模糊集合
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精确集合
X 6
1
X 6
A 0
A 1
X 6
模糊集合
13
A ( x) 1
A ( x) [0 1]
1
6
13
2) 连续形式: 令X = R+ 为人类年龄的集合, 模糊集合 B = “年龄在50岁左右”则表示为:
B { x, B ( x ) | x X } 1 式中: B ( x) x 50 4 1 ( ) 10
112121xfxfxxf??它的定义比模糊凸的定义严格不符合凸函数条件1x2x语言变量5元组为特征?????????规则与各值含义有关的语法值名称的句法规则产生论域术语的集合变量的名称
基于模糊推理的智能控制
1)模糊集合与模糊推理
2)模糊推理系统
3)模糊控制系统
0. 模糊概念
天气冷热
雨的大小
风的强弱
Trig(x;20,60,80)
Trap(x;10,20,60,90)
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
隶属函数的参数化:
以钟形函数为例, bell ( x; a, b, c) a,b,c,的几何意义如图所示。
1
1
x c 2b a
斜率=-b/2a
c-a
c
c+a
改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状。
R(U ,V ) {( x, y, R ( x, y)) | ( x, y) U V } U ,V 是二个论域。
同 一 空 间
R ( x, y) [0,1]
y1 y2 y3 y4
x1 0.8 1.0 0.1 0.7 0 x2 0 0.8 0 x3 0.9 1.0 0.7 0.8
~ AB ( x) T ( A ( x), B ( x)) A ( x) B ( x)
交(极小):Tmin (a, b) a b min(a, b) 代数积: Tap (a, b) a b ab 有界积: Tbp (a, b) a b max{ 0, a b 1} 如b 1 a 强积: Tdp (a, b) a b b 如a 1 0 如a, b 1
4个最常用的T范式算子:
2)协三角运算 S—范式 二个模糊集合A和B的“并”用函数
S : [0,1] [0,1] [0,1] 来确定。
~ AB ( x) S ( A ( x), B ( x)) A ( x) B ( x)
4个最常用的S范式算子:
并(极大): S max (a, b) a b max(a, b) ˆ b a b ab 代数和: S as (a, b) a 有界和: Sbs (a, b) a b min{ 1, a b} 如b 0 a b 强和: S ds (a, b) a 如a 0 b 1 如a, b 0
引入语言变量以后,可以对一些十分复杂或定义很不完善而又无法用精 确术语进行描述的现象实现表征。
速度 语言变量
x
语言值规则G
x1
1.0 很慢
x2
慢
x3
较慢
x4
中等
x5
较快
x6
快
x7
很快
语言值集合T ( x)
( x)
算法规则M
0
30
50
90 70 论域U / km h 1
105
120
语言变量元素之间的关系示意图
二维模糊隶属函数 1)一维模糊集合的圆柱扩展
X论域中的模糊集合 A, 在X Y中的圆柱扩展:
C ( A)
X Y
A ( x) /( x, y )
2)模糊集合的投影
在X Y中二维模糊集合 R在X和Y的x
X y
RY [max R ( x, y)] / y
如果 X 是对象x的集合,则 X 的模糊集合 A :
uA(x)表示论域X中的元素x属于模糊集合A的程度或等 级。 X 称为论域或域。 隶属函数的性质: a) 定义为有序对; b) 隶属函数在0和1之间; c) 其值的确定具有主观性和个人的偏好。 论域的二种形式: 1)离散形式(有序或无序): 举例:X={上海 北京 天津 西安}为城市的集合。 模糊集合 C = “对城市的爱好”可以表示为:
模糊集合的运算和隶属函数的参数化
包含或子集: A B A ( x) B ( x)
C A B
并(析取) 交(合取)
C max( A ( x), B ( x)) A ( x) B ( x)
C A B
C min( A ( x), B ( x)) A B
模糊与概率的差别: 口极渴的人饮用哪杯液体?
C
A
L (C) 0.91
Pr [ A L] 0.91
L {可饮液体的集合 }
啤酒
盐酸
C
L (C) 0.91
A
Pr [ A L] 0
1)模糊隶属函数表示物体(对象)对不精确定义性质 的相似程度。
2)概率把信息转变为事件发生或出现的频度。
图示:
x X A ( xi ) / xi X为离散对象集合 i A (x ) / x X为连续空间(通常为实 轴) A i X
注意: 和 并非求和和积分符号. 上述三个例子分别可写为 C = 0.8 /上海+0.9 /北京 +0.7 /天津 +0.6 /西安 C = 0.1/0+0.3/1+0.7/2+1.0/4+0.3/5+0.1/6 1 B /x / 不是除法运算 x 50 4 R 1 ( ) 10
f (x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 )
它的定义比模糊凸的定义严格
x2
x1
不符合凸 函数条件
5元组为特征 (x, T ( x), X , G, M)
⑧ 语言变量
x : 变量的名称 T ( x) : x术语的集合 X : 论域 G : 产生 x值名称的句法规则 M : 与各值含义有关的语法 规则
举例
y1 y2 y3
x1 0
0 0 1 1 0 x2
同一空间模糊关系复合运算: RS ( x, y) R ( x, y) S ( x, y) (三角范式运算) 或
取极小运算
RS ( x, y) R ( x, y) S ( x, y) (协三角范式运算)
取极大运算
举例
0 . 8 1 0 .1 0.7 M ( x , y ) 0 0 .8 0 0 0 .9 1 0 . 7 0 .8 0.4 0 0.1 0.6 M L ( x, y ) 0 0.4 0 0 0.3 0 0.7 0.5 0 .8 1 0 . 9 0 .7 M L ( x , y ) 0 .9 0 .8 0 . 5 0 .7 0 .9 1 0 . 8 0 . 8
A A A A U
隶属函数参数化 三角形隶属函数
0 xa ba trig ( x; a, b, c) c x c b 0
0 xa ba Trap( x, a, b, c, d ) 1 d x d c 0
模糊集合的公式表示
② 支集
支集( A) {x | A ( x) 0}
交叉点
核 截集 支集
③核 ④
核A x A (x) 1
截集
截集(A) {x | A ( x) }
交叉点( A) {x | A ( x) 0.5}
⑤ 交叉点
⑥ 模糊单点
模糊关系与复合运算
精确关系 表示二个或二个以上集合 元素之间关联、交互、互 连是否存在。
R(U ,V ) {( x, y) | x X , y Y } U ,V 是二个精确的集合。
R
1 当只当( x, y ) R(U V ) 0 其它。
模糊关系 表示二个或二个以上集合 元素之间关联、交互、互 连是否存在或不存在的程 度。
Y x
二维的隶属函数可以进行max(OR) 和 min(AND)运算: 梯形Trap(x,-6,-2,2,6)和Trap(y,-6,-2,2,6)的min和 max运算
钟形bell(x,4,3,0)和bell(y,4,3,0)的min和 max运算
22
更一般化的二个模糊集合的运算 1)三角范式运算: 二个模糊集合A和B的“交”用函数 T : [0,1] [0,1] [0,1] 来确定。
0.4 0 0.9 0.6 L ( x, y ) 0.9 0.4 0.5 0.7 0.3 0 0.8 0.5
非同一空间模糊关系复合运算:
精确关系 不同乘积空间,但有一个公 共集合的二个关系复合定义为:
R(U ,W ) P(U ,V ) Q(V ,W ) R是U W的子集, ( x, w) R 当仅当至少有一个 y V , 使 ( x, y ) P, ( y, w) Q. 为复合算子
xa a xb bxc cx
xa a xb bxc cxd dx
梯形隶属函数
高斯形隶属函数
g ( x; c, ) e
1 x c 2 ( ) 2
c代表MF的中心; 决定MF的宽度。
一般钟形隶属函数 bell ( x; a, b, c)
1 1
x c 2b a
人的胖瘦
年龄大小
个子高低
1)模糊集合和模糊推理 常用术语
① 模糊集合和隶属函数 精确集合(非此即彼): A={X|X>6} 精确集合的隶属函数: 如果 X A 1 A 如果 X A 0 模糊集合:
A {( x, A ( x)) | x X } A ( x) 称为模糊集合 A的隶属函数(简写为 MF )
C = {(上海,0.8),(北京,0.9), (天津,0.7),(西安,0.6)}
又:X = {0 1 2 3 4 5 6}为一个家庭可拥有自行车数目的集合
模糊集合 C = “合适的可拥有的自行车数目” C = {(0,0.1),(1,0.3),(2,0.7),(3,1.0),(4,0.7),(5,0.3),(6,0.1)}
常用的复合运算:
模糊关系 不同乘积空间,但有一个公 共集合的二个模糊关系R(U,V) 和S(V,Z)定义为:
A , A或非 A A ( x) 1 A ( x)
补(负)
定理:模糊集运算的基本定律:设U为论域,A,B,C为U中 的任意模糊子集,则下列等式成立: (2 9) (1)幂等律 A A A , A A A (2)结合律 A ( B C) ( A B) C , A ( B C) ( A B) C; (2 10) (2 11) (3)交换律 A B B A , A B B A ; (4)分配律 A (B C) ( A B) ( A C) , A (B C) ( A B) ( A C);(2 12) (2 13) (5)同一律 A U A , A A ; (2 14) (6)零一律 A , A U U ; (2 15) (7)吸收律 A ( A B) A , A ( A B) A ; (2 16) (8)德•摩根律 ( A B) A B , ( A B) A B (9)双重否认律 A A (2 17) 模糊集与经典集的集合运算的基本性质完全相同,只是模糊 集运算不满足互补律,即
隶 1.0 属 函 数 0.5
A ( x) 1 的单点支集
45
90
年龄
⑦ 凸性 一个模糊集合是凸的, 当仅当任何 x1, x2 X 和任何 [ 0, 1], 满足:
A (x1 (1 ) x2 ) min{ A ( x1 ), 2 ( x2 )}
普通函数凸的定义: