人教A版高中数学必修三课件2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(共37张PPT)

【解】 (1) x 甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
x 乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.
s2甲＝16 [(99－ 100)2＋ (100 －100)2＋(98 －100)2＋ (100－ 100)2
＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73， s2乙＝16 [(99－ 100)2＋ (100 －100)2＋(102－ 100)2＋ (99－ 100)2 ＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1. (2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同， 又 s2甲>s2乙， 所以乙机床加工零件的质量更稳定．
【名师点评】 用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数 (1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数． (2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分左 右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数． (3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率 分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标 之和．
跟踪训练 2．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位 工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，则
(1) 这 20 名 工 人 中 一 天 生 产 该 产 品 数 量 在 [55,75) 的 人 数 是 ________； (2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为________； (3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为________．
(3)方差的简化计算公式 s2＝n1[(x21＋x22＋…＋x2n)－n x 2] ＝n1(x21＋x22＋…＋x2n)－ x 2
＝n1i＝n1x2i － x 2.
(4)平均数、方差计算公式的推论 若数据 x1，x2，…，xn 的平均数为 x ，方差为 s2，则： ①x1＋b，x2＋b，…，xn＋b 的平均数是 x ＋b，方差是_s_2_； ②ax1，ax2，…，axn 的平均数是 a x ，方差是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa_2_s_2__； ③ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b 的平均数是 a x ＋b，方差是 __a_2s_2__.
众数
①体现了样本数据的最大集 中点；②容易计算
据中很少的一部分信 息；②无法客观地反
映总体的特征
①不受少数几个极端数据(即
中位 数
排序靠前或靠后的数据)的影 响；②容易计算，便于利用
对极端值不敏感
中间数据的信息
代表性较好，是反映数据集 任何一个数据的改变
平均 中趋势的量．一般情况下， 都会引起平均数的改
(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数 据的平均值，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形 的面积即可． ∴平均成绩为45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10) ＋75×(0.03×10)＋85×(0.024×10)＋95×(0.016×10)＝76.2. 综上，(1)众数是75，中位数约为76.7；(2)平均成绩为76.2.
①平均数等于每个小长方形的面积乘以小长
平均数
方形底边中点的横坐标之和； ②平均数是频率分布直方图的重心，是频率
分布直方图的平衡点
想一想 给定一个样本，如何确定中位数？ 提示：由初中学过的中位数的定义知，把样本数据按从小到 大的顺序排列，若样本容量为奇数，则排在中间的那个数就 是中位数；若样本容量为偶数，则排在中间的两个数的平均 数就是中位数．
(3)去掉老板的收入后的周平均收入 x 2＝16(450＋350＋400 ＋320＋320＋410)＝375(元)．这能代表打工人员的周收入 水平．
【名师点评】 平均数与每一个数据都有关，可以反映更 多的总体信息，但受极端值的影响大；中位数是样本数据 所占频率的等分线，不受几个极端值的影响；众数只能体 现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征．
据的离散程度越小．
③ 方 差 ： 标 准 差 的 平 方 ， 即 s2 ＝ _1n_[_(_x_1－___x__)_2＋__(_x_2－___x__)2_＋__…__＋__(_xn_－___x__)2_]_叫这组数据的方差． 方差也是用来测量样本数据的分散程度的特征数．一组数据的 方差越大，说明这组数据越分散；反之，数据越集中在平均数 附近．
做一做 2.对数字特征的理解中,下列说法正确的是_______. ①数据5,4,4,3,5,2的众数为4； ②数据2,3,4,5的标准差是数据4,6,8,10的标准差的一半； ③方差与标准差具有相同的单位； ④如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平 均数改变，方差不变． 解析：①中的众数应为4和5；②正确；③不正确；④正确， 平均数也应减去该常数，方差不变． 答案：②④
做一做 1.若M个数的平均数是X，N个数的平均数是Y，则M＋N个数 的平均数是________． 解析：M 个数的和为 MX，N 个数的和为 NY，则 M＋N 个数 的和为 MX＋NY，所以其平均数为MMX＋ ＋NNY.
答案：MMX＋ ＋NNY
(3)三种数字特征的比较
名称
优点
缺点
①它只能表达样本数
(2)求样本数据 x1，x2，…，xn 的标准差的一般步骤： 第一步，求出样本数据的平均数 x ；
第二步，求出每个样本数据与样本平均数的差 xi－ x (i＝ 1,2，…，n)； 第三步，求出 xi－ x (i＝1,2，…，n)的平方值； 第四步，求出上一步中 n 个平方值的平均数，即为样本方差； 第五步，求出上一步中平均数的算术平方根,即为样本标准差. 在处理数据时计算量较大，要借助科学计算器或计算机，计 算时要细心．
数 可以反映出更多的关于样本 变．数据越“离群”,
数据全体的信息
对平均数的影响越大
2.方差与标准差 (1)相关概念
①平均距离：假设样本数据是 x1，x2，…，xn，且 x 表示这
组数据的平均数．xi 到 x 的距离是|xi－ x |(i＝1,2，…，n)．于
是，样本数据 x1，x2，…，xn 到 x 的“平均距离”是 S＝
跟踪训练 1．某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的 成绩(满分100分)统计如下表：
班级 平均分 众数 中位数 标准差
甲班 79 70 87 19.8
乙班 79 70 79
5.2
(1)请你对下面的一段话给予简要分析： 甲班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79 分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！” (2)请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析, 并提出教学建议．
解析：(1)(0.040×10＋0.025×10)×20＝13. (2)设中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5， x＝62.5. (3)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64. 答案：(1)13 (2)62.5 (3)64
题型三 方差及标准差的应用 甲例、3乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量， 各从中抽取6件测量，数据为： 甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
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高中数学课件
第二章 统计
2．2.2 用样本的数字特征估计总体 的数字特征
学习导航
学习目标
样本的众数、中位 结合实例 ―了―解→ 数、平均数、标准 ―理―解→
差、方差
用样本的数字特 征来估计总体数 字特征的方法
―掌―握 →
用相关知识解决 简单的实际问题
重点难点 重点：求样本的众数、中位数、平均数、标准 差、方差．
|x1－ x |＋|x2－ x |＋…＋|xn－ x |
n
.
②标准差：由于平均距离中含有绝对值，运算不太方便，因
此，通常改用如下公式来计算标准差：
s＝____n1_[__x_1－___x___2＋___x_2_－___x__2_＋__…__＋__ x_n_－___x__2_]__ .
显然，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数
题型二 由频率分布图求众数、中位数、平均数 从例高2三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率 分布直方图．
由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求： (1)这50名学生成绩的众数与中位数； (2)这50名学生的平均成绩．
【解】 (1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数． 在直方图中高度最高的小矩形框的中间值的横坐标即为所求, 所以众数应为75. 在频率分布直方图中，中位数的左右两边频数应相等，即频 率也相等，从而小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方 图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线 所对应的成绩即为所求． ∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.3， ∴前三个小矩形面积的和为0.3. 而第四个小矩形面积为0.03×10＝0.3,0.3＋0.3＞0.5， ∴中位数应位于第四个小矩形内， 设其底边为x，高为0.03，∴令0.03x＝0.2，得x≈6.7， 故中位数应为70＋6.7＝76.7.
③平均数：指样本数据的算术平均数． 即 x ＝n1(x1＋x2＋…＋xn)． (2)众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
众数
众数是最高矩形的中点所对应的数据，表示 样本数据的中心值
①在频率分布直方图中，中位数左边和右边
中位数
的直方图面积相等，由此可以估计中位数的 值，但是有偏差；
②表示样本数据所占频率的等分线
难点：准确求出样本的数字特征，并理解其意义．
新知初探思维启动
1．众数、中位数、平均数 (1)众数、中位数、平均数的概念 ①众数：在一组数据中，出现次数最多的数据(即频率分布 最大值所对应的样本数据)叫这组数据的众数． 若有两个或两个以上的数据出现得最多,且出现的次数一样, 则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数一 样多，则没有众数． ②中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置 的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫这组数据的中位数.
【解】 (1)周平均收入
x
1
＝
1 7
(3
000 ＋ 450 ＋ 350 ＋ 400 ＋ 320 ＋ 320 ＋ 410) ＝
750(元)．
(2)这个平均收入不能反映打工人员的周收入水平，可以看
出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，
这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他
不是打工人员．
【名师点评】 在实际应用中，常常把平均数与标准差结合 起来进行决策，在平均值相等的情况下，比较方差或标准差 以确定稳定性．
互动探究
3．在本例中，甲机床所加工的6个零件的数据全都加10，那么 所得新数据的平均数及方差分别是多少？
解 ： 甲的数据为 99＋10,100＋10,98＋10,100＋10,100＋ 10,103＋10， 平均数为 100＋10＝110， 方差仍为16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－ 100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73.
解：(1)由中位数可知，85分排在第25名之后，从名次上讲， 85分不算是上游．但也不能单以名次来判断学习成绩的好坏, 小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容掌握较好． (2)甲班学生成绩的中位数为87分，说明高于或等于87分的学 生占一半以上，而平均分为79分，标准差很大，说明低分也 多，两极分化严重，建议对学习有困难的同学多给一些帮助; 乙班学生成绩的中位数和平均分均为79分，标准差小，说明 学生成绩之间差别较小，成绩很差的学生少，但成绩优异的 学生也很少，建议采取措施提高优秀率．
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 众数、中位数、平均数的综合应用 下例面1是某快餐店所有工作人员一周的收入表：
老板 大厨 二厨 采购员 杂工 服务生 会计 3000元 450元 350元 400元 320元 320元 410元 (1)计算所有人员的周平均收入； (2)这个平均收入能反映打工人员的周收入的一般水平吗？ 为什么？ (3)去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人 员的周收入的水平吗？