3.2组合数及其性质教案-2023-2024学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册
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5. 教学软件和工具：准备一些教学软件和工具，如PowerPoint、Mathematica、Geogebra等，以便于展示和讲解组合数的概念和性质，以及进行实验操作。
6. 教学指导书：为学生提供一本教学指导书，其中包括本节课的学习目标、教学内容、学习方法、练习题和答案等，以便学生能够更好地学习本节课的内容。
作用和目的：通过拓展练习和数学活动，帮助学生深入理解和应用组合数及其性质，提高学生的数学应用能力。
拓展与延伸
1. 提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：
《组合数学导论》（作者：Richard A. Brualdi，ISBN：978-0-521-57498-1）
《概率论与数理统计》（作者：李尚志，ISBN：978-7-04-038045-0）
3.2组合数及其性质教案-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册
主备人
备课成员
教学内容分析
本节课的主要教学内容为组合数及其性质，属于北师大版（2019）选择性必修第一册，第3.2节。
组合数是组合数学中的基本概念，它是指从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有不同组合的数目，记为C(n,m)。组合数具有以下性质：
板书设计
1. 组合数的定义与计算公式
- 定义：组合数是从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有不同组合的数目，记为C(n,m)。
- 计算公式：C(n,m) = n! / [m!(n-m)!]。
2. 组合数的性质
- 非负性：C(n,m) ≥ 0，且当n=m时，C(n,m)=1。
- 对称性：C(n,m) = C(n,n-m)。
2. 组合数的性质：组合数的非负性、对称性和组合性。
3. C(5,2) = 5! / [2!(5-2)!] = 10。
4. C(5,3) = 5! / [3!(5-3)!] = 10。
5. 组合数在数学中的应用：排列数、二项式定理等。
6. 组合数在其他领域中的应用：计算机科学、信息论、密码学、生物学、物理学、经济学等。
3. 学生可能遇到的困难和挑战：
在学习组合数及其性质时，学生可能会遇到以下困难和挑战：
- 对组合数概念的理解不够深入，难以把握组合数的计算公式和性质。
- 学生在学习组合数时，可能会混淆排列数和组合数的概念，导致在计算和应用时出现错误。
- 学生可能缺乏实际应用组合数的经验，难以将组合数知识应用到实际问题中。
- 组合性：C(n,m) = C(n-1,m) + C(n-1,m-1)。
3. 组合数在数学和其他领域中的应用
- 排列数：排列数是组合数的一种特殊情况，当m=n时，C(n,n)=n!。
- 二项式定理：二项式定理中的系数可以用组合数表示。
- 计算机科学：组合数在算法设计、数据结构等方面有广泛应用。
- 生物学：组合数在遗传学、生态学等领域有应用。
（3）完成练习题，通过练习来巩固组合数的计算和性质。
采用的教学方法：讲授法、讨论法、练习法
教学手段：黑板、PPT、实际例子
教学资源：组合数相关资料、练习题
作用和目的：通过讲解、讨论和练习，帮助学生深入理解组合数的计算和性质，提高学生的数学技能。
3. 课后拓展应用
教师活动：
（1）布置一些与组合数及其性质相关的拓展练习题，让学生进行深入学习和练习。
2. 辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源。这些资源将帮助学生更好地理解和掌握组合数及其性质。例如，可以准备一些关于组合数在实际生活中的应用的图片和图表，如彩票中奖概率、抽奖活动等，以及一些关于组合数计算和性质的视频教程。
3. 实验器材：如果涉及实验，确保实验器材的完整性和安全性。在本节课中，可以设计一些实验活动，让学生通过实际操作来加深对组合数概念的理解。例如，可以准备一些扑克牌或其他物品，让学生通过实际抽取和组合来体验组合数的计算过程。
《数学分析》（作者：吴文俊，ISBN：978-7-04-038047-4）
2. 鼓励学生进行课后自主学习和探究：
（1）探究组合数在生活中的应用，如彩票中奖概率、抽奖活动等。
（2）研究组合数的计算和性质在计算机科学、信息论、密码学等领域的应用。
（3）探究组合数的起源和数学家们对组合数的研究历程。
（4）研究组合数与其他数学概念之间的关系，如排列数、二项式定理等。
7. 排列数和组合数之间的关系：排列数是组合数的一种特殊情况，当m=n时，C(n,n)=n!。
8. 组合数的递推公式：C(n,m) = C(n-1,m) + C(n-1,m-1)。
9. C(5,3) = 5! / [3!(5-3)!] = 10。
10. C(6,4) = 6! / [4!(6-4)!] = 15。
4. 教室布置：根据教学需要，布置教室环境，如分组讨论区、实验操作台等。将教室布置成适合小组讨论和实验操作的环境，以便学生能够更好地参与课堂活动。例如，可以将教室分成几个小组讨论区，每个小组配备一张桌子、椅子、黑板和白板等，以便学生进行小组讨论和合作学习。同时，可以设置一个实验操作台，供学生进行实验操作。
（2）讲解组合数的计算公式和性质，通过具体的例子来帮助学生理解。
（3）引导学生进行小组讨论，通过实际例子来加深对组合数性质的理解。
（4）布置练习题，让学生通过练习来巩固组合数的计算和性质。
学生活动：
（1）回答教师的提问，展示自己对组合数的基本概念和性质的掌握情况。
（2）认真听讲，积极参与课堂讨论，通过实际例子来加深对组合数性质的理解。
学生活动：学生在课前阅读预习材料，了解组合数的基本概念和性质，以及组合数在实际生活中的应用。
采用的教学方法：自主学习法
教学手段：预习材料
教学资源：组合数相关资料、实际应用例子
作用和目的：帮助学生预习组合数的相关知识，为课堂学习打下基础。
2. 课中强化技能
教师活动：
（1）通过提问的方式检查学生的预习情况，了解学生对组合数的基本概念和性质的掌握情况。
5. 请举例说明组合数在数学中的应用。
6. 请举例说明组合数在其他领域中的应用。
7. 请解释排列数和组合数之间的关系。
8. 请解释组合数的递推公式。
9. 请用组合数的递推公式计算C(5,3)。
10. 请用组合数的递推公式计算C(6,4)。
答案：
1. 组合数的计算公式：C(n,m) = n! / [m!(n-m)!]。
1. 组合数的非负性：C(n,m) ≥ 0，且当n=m时，C(n,m)=1。
2. 组合数的对称性：C(n,m) = C(n,n-m)。
3. 组合数的组合性：C(n,m) = C(n-1,m) + C(n-1,m-1)。
教学内容与学生已有知识的联系：
学生在学习本节课之前，已经掌握了排列数的概念，并了解了排列数的计算公式。组合数与排列数有着密切的联系，它们都是组合数学中的基本概念。组合数可以看作是从n个不同元素中任取m个元素的组合数目，而排列数则是从n个不同元素中按照一定的顺序任取m个元素的排列数目。因此，在学习组合数时，可以利用学生已有的排列数知识，通过对比和类比的方式，帮助学生更好地理解和掌握组合数的概念和性质。
7. 学习资料：为学生提供一些学习资料，如数学杂志、数学网站、数学论坛等，以便学生能够了解更多关于组合数及其性质的知识，并进行深入学习和交流。
教学实施过程
1. 课前自主探索
教师活动：提前准备一些与组合数及其性质相关的预习材料，如组合数的定义、计算公式、性质等，以及一些关于组合数在实际生活中的应用的例子。
为了帮助学生克服这些困难和挑战，教师需要通过具体的实例和应用场景来引导学生理解组合数的概念，并通过练习和应用来巩固组合数的计算和性质。同时，教师需要鼓励学生积极参与课堂讨论和小组合作，以提高学生的理解和应用能力。
学具准备
多媒体
课型
新授课
教法学法
讲授法
课时
第一课时
步骤
师生互动设计
二次备课
教学资源准备
1. 教材：确保每位学生都有本节课所需的教材或学习资料。教材包括北师大版（2019）选择性必修第一册第3.2节“组合数及其性质”，以及相关的学习指导书和练习册。
（2）鼓励学生参与数学竞赛或数学活动，如数学建模、数学竞赛等，以提高学生的数学应用能力。
学生活动：
（1）完成拓展练习题，通过深入学习和练习来提高对组合数及其性质的理解。
（2）积极参与数学竞赛或数学活动，通过实际应用来提高自己的数学能力。
采用的教学方法：练习法、竞赛法
教学手段：练习题、竞赛活动
教学资源：拓展练习题、数学竞赛
- 物理学：组合数在量子力学、统计物理等领域有应用。
- 经济学：组合数在经济模型、市场分析等领域有应用。
（5）通过数学建模或数学竞赛，将组合数及其性质应用于实际问题的解决。
（6）学习组合数在生物学、物理学、经济学等领域的应用，如遗传学中的组合问题、量子计算中的组合问题等。
（7）研究组合数的计算方法，如递归方法、动态规划方法、生成函数方法等。
（8）通过阅读数学论文或参加学术讲座，了解组合数在数学和其他领域中的应用：
- 组合数在数学中的应用：排列数、二项式定理等。
- 组合数在其他领域中的应用：计算机科学、信息论、密码学、生物学、物理学、经济学等。
当堂检测：
1. 请写出组合数的计算公式。
2. 请解释组合数的非负性、对称性和组合性。
3. 请用组合数的计算公式计算C(5,2)。
4. 请用组合数的性质计算C(5,3)。
学习者分析
1. 学生已经掌握了哪些相关知识：
在学习本节课之前，学生已经学习了排列数的概念和计算公式，了解了排列数与组合数之间的关系。此外，学生还掌握了基本的集合概念和元素的关系，这为学习组合数奠定了基础。
2. 学生的学习兴趣、能力和学习风格：
在数学学习中，学生普遍对新的数学概念和问题解决感兴趣。在学习组合数及其性质时，学生可以通过实际例子和应用场景来提高学习兴趣。在能力方面，学生具有较强的逻辑思维能力和解决问题的能力，能够通过探究和思考来发现组合数之间的规律。在学习风格方面，学生喜欢通过小组合作和讨论来学习，能够积极参与课堂活动。
2. 过程与方法目标：学生通过探究和思考，能够发现组合数之间的规律，学会运用组合数的性质进行组合计算，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观目标：学生通过学习组合数及其性质，能够激发对数学的兴趣，培养学生的数学素养和探究精神，培养学生的团队合作意识，提高学生的数学应用能力。
本节课的教学目标设计，旨在让学生在掌握组合数知识的同时，提升学生的数学思维能力，培养学生的探究精神和团队合作意识，提高学生的数学素养，为学生的数学学习打下坚实的基础。
课堂小结，当堂检测
课堂小结：
1. 组合数的概念和性质：
- 组合数的定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有不同组合的数目，记为C(n,m)。
- 组合数的性质：组合数的非负性、对称性和组合性。
2. 组合数的计算公式：
- 组合数的计算公式：C(n,m) = n! / [m!(n-m)!]。
- 组合数的递推公式：C(n,m) = C(n-1,m) + C(n-1,m-1)。
1. 理解组合数的概念，掌握组合数的计算公式。
2. 掌握组合数的性质，能够运用组合数的性质解决实际问题。
3. 了解组合数在数学和其他领域中的应用，培养学生的数学应用意识。
教学目标分析
本节课的教学目标分析主要围绕数学学科核心素养进行设计，具体包括以下几个方面：
1. 知识与技能目标：学生能够理解组合数的概念，掌握组合数的计算公式，并能够运用组合数的性质解决实际问题。
6. 教学指导书：为学生提供一本教学指导书，其中包括本节课的学习目标、教学内容、学习方法、练习题和答案等，以便学生能够更好地学习本节课的内容。
作用和目的：通过拓展练习和数学活动，帮助学生深入理解和应用组合数及其性质，提高学生的数学应用能力。
拓展与延伸
1. 提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：
《组合数学导论》（作者：Richard A. Brualdi，ISBN：978-0-521-57498-1）
《概率论与数理统计》（作者：李尚志，ISBN：978-7-04-038045-0）
3.2组合数及其性质教案-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册
主备人
备课成员
教学内容分析
本节课的主要教学内容为组合数及其性质，属于北师大版（2019）选择性必修第一册，第3.2节。
组合数是组合数学中的基本概念，它是指从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有不同组合的数目，记为C(n,m)。组合数具有以下性质：
板书设计
1. 组合数的定义与计算公式
- 定义：组合数是从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有不同组合的数目，记为C(n,m)。
- 计算公式：C(n,m) = n! / [m!(n-m)!]。
2. 组合数的性质
- 非负性：C(n,m) ≥ 0，且当n=m时，C(n,m)=1。
- 对称性：C(n,m) = C(n,n-m)。
2. 组合数的性质：组合数的非负性、对称性和组合性。
3. C(5,2) = 5! / [2!(5-2)!] = 10。
4. C(5,3) = 5! / [3!(5-3)!] = 10。
5. 组合数在数学中的应用：排列数、二项式定理等。
6. 组合数在其他领域中的应用：计算机科学、信息论、密码学、生物学、物理学、经济学等。
3. 学生可能遇到的困难和挑战：
在学习组合数及其性质时，学生可能会遇到以下困难和挑战：
- 对组合数概念的理解不够深入，难以把握组合数的计算公式和性质。
- 学生在学习组合数时，可能会混淆排列数和组合数的概念，导致在计算和应用时出现错误。
- 学生可能缺乏实际应用组合数的经验，难以将组合数知识应用到实际问题中。
- 组合性：C(n,m) = C(n-1,m) + C(n-1,m-1)。
3. 组合数在数学和其他领域中的应用
- 排列数：排列数是组合数的一种特殊情况，当m=n时，C(n,n)=n!。
- 二项式定理：二项式定理中的系数可以用组合数表示。
- 计算机科学：组合数在算法设计、数据结构等方面有广泛应用。
- 生物学：组合数在遗传学、生态学等领域有应用。
（3）完成练习题，通过练习来巩固组合数的计算和性质。
采用的教学方法：讲授法、讨论法、练习法
教学手段：黑板、PPT、实际例子
教学资源：组合数相关资料、练习题
作用和目的：通过讲解、讨论和练习，帮助学生深入理解组合数的计算和性质，提高学生的数学技能。
3. 课后拓展应用
教师活动：
（1）布置一些与组合数及其性质相关的拓展练习题，让学生进行深入学习和练习。
2. 辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源。这些资源将帮助学生更好地理解和掌握组合数及其性质。例如，可以准备一些关于组合数在实际生活中的应用的图片和图表，如彩票中奖概率、抽奖活动等，以及一些关于组合数计算和性质的视频教程。
3. 实验器材：如果涉及实验，确保实验器材的完整性和安全性。在本节课中，可以设计一些实验活动，让学生通过实际操作来加深对组合数概念的理解。例如，可以准备一些扑克牌或其他物品，让学生通过实际抽取和组合来体验组合数的计算过程。
《数学分析》（作者：吴文俊，ISBN：978-7-04-038047-4）
2. 鼓励学生进行课后自主学习和探究：
（1）探究组合数在生活中的应用，如彩票中奖概率、抽奖活动等。
（2）研究组合数的计算和性质在计算机科学、信息论、密码学等领域的应用。
（3）探究组合数的起源和数学家们对组合数的研究历程。
（4）研究组合数与其他数学概念之间的关系，如排列数、二项式定理等。
7. 排列数和组合数之间的关系：排列数是组合数的一种特殊情况，当m=n时，C(n,n)=n!。
8. 组合数的递推公式：C(n,m) = C(n-1,m) + C(n-1,m-1)。
9. C(5,3) = 5! / [3!(5-3)!] = 10。
10. C(6,4) = 6! / [4!(6-4)!] = 15。
4. 教室布置：根据教学需要，布置教室环境，如分组讨论区、实验操作台等。将教室布置成适合小组讨论和实验操作的环境，以便学生能够更好地参与课堂活动。例如，可以将教室分成几个小组讨论区，每个小组配备一张桌子、椅子、黑板和白板等，以便学生进行小组讨论和合作学习。同时，可以设置一个实验操作台，供学生进行实验操作。
（2）讲解组合数的计算公式和性质，通过具体的例子来帮助学生理解。
（3）引导学生进行小组讨论，通过实际例子来加深对组合数性质的理解。
（4）布置练习题，让学生通过练习来巩固组合数的计算和性质。
学生活动：
（1）回答教师的提问，展示自己对组合数的基本概念和性质的掌握情况。
（2）认真听讲，积极参与课堂讨论，通过实际例子来加深对组合数性质的理解。
学生活动：学生在课前阅读预习材料，了解组合数的基本概念和性质，以及组合数在实际生活中的应用。
采用的教学方法：自主学习法
教学手段：预习材料
教学资源：组合数相关资料、实际应用例子
作用和目的：帮助学生预习组合数的相关知识，为课堂学习打下基础。
2. 课中强化技能
教师活动：
（1）通过提问的方式检查学生的预习情况，了解学生对组合数的基本概念和性质的掌握情况。
5. 请举例说明组合数在数学中的应用。
6. 请举例说明组合数在其他领域中的应用。
7. 请解释排列数和组合数之间的关系。
8. 请解释组合数的递推公式。
9. 请用组合数的递推公式计算C(5,3)。
10. 请用组合数的递推公式计算C(6,4)。
答案：
1. 组合数的计算公式：C(n,m) = n! / [m!(n-m)!]。
1. 组合数的非负性：C(n,m) ≥ 0，且当n=m时，C(n,m)=1。
2. 组合数的对称性：C(n,m) = C(n,n-m)。
3. 组合数的组合性：C(n,m) = C(n-1,m) + C(n-1,m-1)。
教学内容与学生已有知识的联系：
学生在学习本节课之前，已经掌握了排列数的概念，并了解了排列数的计算公式。组合数与排列数有着密切的联系，它们都是组合数学中的基本概念。组合数可以看作是从n个不同元素中任取m个元素的组合数目，而排列数则是从n个不同元素中按照一定的顺序任取m个元素的排列数目。因此，在学习组合数时，可以利用学生已有的排列数知识，通过对比和类比的方式，帮助学生更好地理解和掌握组合数的概念和性质。
7. 学习资料：为学生提供一些学习资料，如数学杂志、数学网站、数学论坛等，以便学生能够了解更多关于组合数及其性质的知识，并进行深入学习和交流。
教学实施过程
1. 课前自主探索
教师活动：提前准备一些与组合数及其性质相关的预习材料，如组合数的定义、计算公式、性质等，以及一些关于组合数在实际生活中的应用的例子。
为了帮助学生克服这些困难和挑战，教师需要通过具体的实例和应用场景来引导学生理解组合数的概念，并通过练习和应用来巩固组合数的计算和性质。同时，教师需要鼓励学生积极参与课堂讨论和小组合作，以提高学生的理解和应用能力。
学具准备
多媒体
课型
新授课
教法学法
讲授法
课时
第一课时
步骤
师生互动设计
二次备课
教学资源准备
1. 教材：确保每位学生都有本节课所需的教材或学习资料。教材包括北师大版（2019）选择性必修第一册第3.2节“组合数及其性质”，以及相关的学习指导书和练习册。
（2）鼓励学生参与数学竞赛或数学活动，如数学建模、数学竞赛等，以提高学生的数学应用能力。
学生活动：
（1）完成拓展练习题，通过深入学习和练习来提高对组合数及其性质的理解。
（2）积极参与数学竞赛或数学活动，通过实际应用来提高自己的数学能力。
采用的教学方法：练习法、竞赛法
教学手段：练习题、竞赛活动
教学资源：拓展练习题、数学竞赛
- 物理学：组合数在量子力学、统计物理等领域有应用。
- 经济学：组合数在经济模型、市场分析等领域有应用。
（5）通过数学建模或数学竞赛，将组合数及其性质应用于实际问题的解决。
（6）学习组合数在生物学、物理学、经济学等领域的应用，如遗传学中的组合问题、量子计算中的组合问题等。
（7）研究组合数的计算方法，如递归方法、动态规划方法、生成函数方法等。
（8）通过阅读数学论文或参加学术讲座，了解组合数在数学和其他领域中的应用：
- 组合数在数学中的应用：排列数、二项式定理等。
- 组合数在其他领域中的应用：计算机科学、信息论、密码学、生物学、物理学、经济学等。
当堂检测：
1. 请写出组合数的计算公式。
2. 请解释组合数的非负性、对称性和组合性。
3. 请用组合数的计算公式计算C(5,2)。
4. 请用组合数的性质计算C(5,3)。
学习者分析
1. 学生已经掌握了哪些相关知识：
在学习本节课之前，学生已经学习了排列数的概念和计算公式，了解了排列数与组合数之间的关系。此外，学生还掌握了基本的集合概念和元素的关系，这为学习组合数奠定了基础。
2. 学生的学习兴趣、能力和学习风格：
在数学学习中，学生普遍对新的数学概念和问题解决感兴趣。在学习组合数及其性质时，学生可以通过实际例子和应用场景来提高学习兴趣。在能力方面，学生具有较强的逻辑思维能力和解决问题的能力，能够通过探究和思考来发现组合数之间的规律。在学习风格方面，学生喜欢通过小组合作和讨论来学习，能够积极参与课堂活动。
2. 过程与方法目标：学生通过探究和思考，能够发现组合数之间的规律，学会运用组合数的性质进行组合计算，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观目标：学生通过学习组合数及其性质，能够激发对数学的兴趣，培养学生的数学素养和探究精神，培养学生的团队合作意识，提高学生的数学应用能力。
本节课的教学目标设计，旨在让学生在掌握组合数知识的同时，提升学生的数学思维能力，培养学生的探究精神和团队合作意识，提高学生的数学素养，为学生的数学学习打下坚实的基础。
课堂小结，当堂检测
课堂小结：
1. 组合数的概念和性质：
- 组合数的定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有不同组合的数目，记为C(n,m)。
- 组合数的性质：组合数的非负性、对称性和组合性。
2. 组合数的计算公式：
- 组合数的计算公式：C(n,m) = n! / [m!(n-m)!]。
- 组合数的递推公式：C(n,m) = C(n-1,m) + C(n-1,m-1)。
1. 理解组合数的概念，掌握组合数的计算公式。
2. 掌握组合数的性质，能够运用组合数的性质解决实际问题。
3. 了解组合数在数学和其他领域中的应用，培养学生的数学应用意识。
教学目标分析
本节课的教学目标分析主要围绕数学学科核心素养进行设计，具体包括以下几个方面：
1. 知识与技能目标：学生能够理解组合数的概念，掌握组合数的计算公式，并能够运用组合数的性质解决实际问题。