2011中考数学知识点梳理试题分类汇编(17)四边形解读

2011中考数学试题分类汇编(17四边形
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知识点:
一、多边形
1、多边形:由一些线段首尾顺次连结组成的图形,叫做多边形。

2、多边形的边:组成多边形的各条线段叫做多边形的边。

3、多边形的顶点:多边形每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点。

4、多边形的对角线:连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

5、多边形的周长:多边形各边的长度和叫做多边形的周长。

6、凸多边形:把多边形的任何一条边向两方延长,如果多边形的其他各边都在延长线所得直线的问旁,这样的多边形叫凸多边形。

说明:一个多边形至少要有三条边,有三条边的叫做三角形;有四条边的叫做四边形;有几条边的叫做几边形。

今后所说的多边形,如果不特别声明,都是指凸多边形。

7、多边形的角:多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角,简称多边形的角。

8、多边形的外角:多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角。

注意:多边形的外角也就是与它有公共顶点的内角的邻补角。

9、n 边形的对角线共有
3(2
1
n n 条。

说明:利用上述公式,可以由一个多边形的边数计算出它的对角线的条数,也可以由一个多边形的对角线的条数求出它的边数。

10、多边形内角和定理:n 边形内角和等于(n -2180°。

11、多边形内角和定理的推论:n 边形的外角和等于360°。

说明:多边形的外角和是一个常数(与边数无关,利用它解决有关计算题比利用多边形内角和公式及对角线求法公式简单。

无论用哪个公式解决有关计算,都要与解方程联系起来,掌握计算方法。

二、平行四边形
1、平行四边形:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形性质定理1:平行四边形的对角相等。

3、平行四边形性质定理2:平行四边形的对边相等。

4、平行四边形性质定理2推论:夹在平行线间的平行线段相等。

5、平行四边形性质定理3:平行四边形的对角线互相平分。

6、平行四边形判定定理1:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

7、平行四边形判定定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

8、平行四边形判定定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形。

9、平行四边形判定定理4:两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

说明:(1平行四边形的定义、性质和判定是研究特殊平行四边形的基础。

同时又是证明线段相等,角相等或两条直线互相平行的重要方法。

(2平行四边形的定义即是平行四边形的一个性质,又是平行四边形的一个判定方法。

三、矩形
矩形是特殊的平行四边形,从运动变化的观点来看,当平行四边形的一个内角变为90°时,其它的边、角位置也都随之变化。

因此矩形的性质是在平行四边形的基础
上扩充的。

1、矩形:有一个角是直角的平行四边形叫做短形(通常也叫做长方形2、矩形性质定理1:矩形的四个角都是直角。

3.矩形性质定理2:矩形的对角线相等。

4、矩形判定定理1:有三个角是直角的四边形是矩形。

说明:因为四边形的内角和等于360度,已知有三个角都是直角,那么第四个角必定是直角。

5、矩形判定定理2:对角线相等的平行四边形是矩形。

说明:要判定四边形是矩形的方法是:
法一:先证明出是平行四边形,再证出有一个直角(这是用定义证明
法二:先证明出是平行四边形,再证出对角线相等(这是判定定理1
法三:只需证出三个角都是直角。

(这是判定定理2
四、菱形
菱形也是特殊的平行四边形,当平行四边形的两个邻边发生变化时,即当两个邻边相等时,平行四边形变成了菱形。

1、菱形:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、菱形的性质1:菱形的四条边相等。

3、菱形的性质2:菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。

4、菱形判定定理1:四边都相等的四边形是菱形。

5、菱形判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

说明:要判定四边形是菱形的方法是:
法一:先证出四边形是平行四边形,再证出有一组邻边相等。

(这就是定义证明。

法二:先证出四边形是平行四边形,再证出对角线互相垂直。

(这是判定定理2
法三:只需证出四边都相等。

(这是判定定理1
(五正方形
正方形是特殊的平行四边形,当邻边和内角同时运动时,又能使平行四边形的一个内角为直角且邻边相等,这样就形成了正方形。

1、正方形:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形性质定理1:正方形的四个角都是直角,四条边都相等。

3、正方形性质定理2:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角。

4、正方形判定定理互:两条对角线互相垂直的矩形是正方形。

5、正方形判定定理2:两条对角线相等的菱形是正方形。

注意:要判定四边形是正方形的方法有
方法一:第一步证出有一组邻边相等;第二步证出有一个角是直角;第三步证出是平行四边形。

(这是用定义证明
方法二:第一步证出对角线互相垂直;第二步证出是矩形。

(这是判定定理1
方法三:第一步证出对角线相等;第二步证出是菱形。

(这是判定定理2
(2010哈尔滨1。

如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在点C′处,折痕为EF,若∠ABE=20°,那么∠EFC′的度数
为度.125
(2010珠海如图,P是菱形ABCD对角线BD上一点,PE⊥AB于点E,PE =4cm,
则点P到BC的距离是_____cm. 4
图6
F
E D
C
B
A 21
(2010红河自治州下列命题错误的是 ( B
a 四边形内角和等于外角和
b 相似多边形的面积比等于相似比
c 点P (1,2关于原点对称的点的坐标为(-1,-2
d 三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半
(2010红河自治州18. (本小题满分9分如图6,在正方形ABCD 中,G 是BC 上的任意一点,(G 与B 、C 两点不重合,E 、F 是AG 上的两点(E 、F 与A 、G 两点不重合,若AF=BF+EF ,∠1=∠2,请判断线段DE 与BF 有怎样的位置关系,并证明你的结论. 解:根据题目条件可判断DE//BF.
证明如下:
∵四边形ABCD 是正方形, ∴AB=AD ,∠BAF+∠2=90°.
∵AF=AE+EF ,又AF=BF+EF
∴AE=BF
∵∠1=∠2,∴△ABF ≌△DAE (SAS . ∴∠AFB=∠DEA ,∠BAF=∠ADE.
∴∠ADE+∠2=90°, ∴∠AED=∠BFA=90°. ∴DE//BF.
(2010年镇江市10.如图,在平行四边形ABCD 中,CD=10,F 是AB 边上一点,DF 交
AC 于点E ,且
的面积
的面积则CDE AEF EC AE ∆∆=,52= 254
,BF= 6
.
(2010年镇江市27.探索发现(本小题满分9分
如图,在直角坐标系OCD Rt OAB Rt xOy ∆∆和中,的直角顶点A ,C 始终在x 轴的正半轴
上,B ,D 在第一象限内,点B 在直线OD 上方,OC=CD ,OD=2,M 为OD 的中
点,AB 与
OD 相交于E ,当点B 位置变化时,.2
1的面积恒为
OAB Rt ∆ 试解决下列问题:
(1填空:点D 坐标为 ;
(2设点B 横坐标为t ,请把BD 长表示成关于t 的函数关系式,并化简; (3等式BO=BD 能否成立?为什么?
(4设CM 与AB 相交于F ,当△BDE 为直角三角形时,判断四边形BDCF 的形状,并证明你
的结论
.
(12,2(;(1分 (2,1
,(,21t
t B OAB Rt 得的面积为
由∆ ,(222CD AB AC BD -+=
41
(22121(2(22222++-+=-+==∴t t t t t t BD ① (2分
.21
(21(221(22-+=++-+=t
t t t t t (3分
.21
|21|-+=-+=∴t
t t t BD ② (4分(注:不去绝
对值符号不扣分
(3[法一]若OB=BD ,则.2
2
BD OB =
,1
,2
2222t t AB OA OB OAB Rt +
=+=∆中在由①得,41(2212
2
22
++-1+=+
t t t t t t (5分
6(..,0242(,
012,21
22分此方程无解得BD OB t t t
t ≠∴∴<-=-=∆=+-∴=+
[法二]若OB=BD ,则B 点在OD 的中垂线CM 上.
,2
2,22(
,,0,2(M OCM Rt C 可求得中在等腰∆∴直线CM 的函数关系式为2+-=x y , ③(5分
,1
,21x
y B OAB Rt =∆点坐标满足函数关系式得的面积为由④
联立③,④得:0122
=+-x x ,
6(..,0242(2分此方程无解BD OB ≠∴∴<-=-=∆
[法三]若OB=BD ,则B 点在OD 的中垂线CM 上,如图27 – 1 过点B 作,,H y CM G y BG 轴于交轴于⊥
6(..
5(,2
1
21222121,210分矛盾显然与分而BD OB S S S S S S S BG HNO DOC MOC OMH OAB OBG ≠∴>=⨯⨯⨯====
=∆∆∆∆∆∆∆
(4如果 45,=∠∆BED BDE 因为为直角三角形,
①当三点重合此时时M E F EBD ,,,90 =∠,如图27 – 2
.//,,DC BF x DC x BF ∴⊥⊥轴轴
∴此时四边形BDCF 为直角梯形.(7分②当,90时 =∠EBD 如图27 – 3
.
//,,.
//,DC BF x DC x AB CF BD OD CF ∴⊥⊥∴⊥轴轴又
∴此时四边形BDCF 为平行四边形.(8分下证平行四边形BDCF 为菱形: [法一]在222,BD OD OB BDO +=∆中,
,221,41(221412
2
22=+∴++-++=+
∴t t t t t
t t t [方法①]OD BD t t 在 ,01222=+-上方
121
,12;21,12-=+=+=-=t
t t t 或解得(舍去.
得,12,12(+-B [方法②]由②得:.222221
=-=-+=t
t BD 此时,2=
=CD BD
∴此时四边形BDCF 为菱形(9分 [法二]在等腰EDB Rt OAE Rt ∆∆与等腰中9(.,
2].
[.221
,122,
2222(2.22,2,分为菱形此时四边形此时法一以下同即则BDCF CD BD t
t t t t t t BE AE AB T BD ED t OE t AE OA ∴===+=-∴-=-+=+=∴-=====
(图
1
(图2
(24题图
(2010台州市9.如图,矩形ABCD 中,AB >AD ,AB =a ,AN 平分∠DAB ,DM
⊥AN 于点M ,CN ⊥AN
于点N .
则DM +CN 的值为(用含a 的代数式表示(▲
A .a
B .a 5
4
C .a 22 2答案:C
(2010遵义市(10分如图(1,在△ABC 和△EDC 中,AC =CE =CB =CD ,∠ACB =∠ECD =
90,
AB 与CE 交于F ,ED 与AB 、BC 分别交于M 、H . (1求证:CF =CH ; (2如图(2,△ABC 不动,将△EDC 绕点C 旋转到∠BCE=
45时,试判断四边形ACDM 是什么四边形?并证明你的结论.
解:(1(5分证明:在△ACB 和△ECD 中
∵∠ACB=∠ECD= 90
∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB,
∴∠1=∠2
又∵AC=CE=CB=CD,
∴∠A=∠D= 45
∴△ACB ≌△ECD,
∴CF=CH
(2(5分答: 四边形ACDM 是菱形证明: ∵∠ACB=∠ECD= 90, ∠BCE=
45
∴∠1=
45, ∠2=
45 又∵∠E=∠B= 45, ∴∠1=∠E, ∠2=∠B
∴AC ∥MD, CD ∥AM , ∴ACDM 是平行四边形又∵AC=CD, ∴ACDM 是菱形
(玉溪市2010
D
19. 如图9,在ABCD 中,E 是AD 的中点,请添加适
当条件后,构造出一对全等的三角形,并说明理由.
解:添加的条件是连结B 、E,过D 作DF ∥BE 交BC 于
点F,构造的全等三角形是△ABE 与△CDF. …………4分理由: ∵平行四边形ABCD ,AE=ED, …………5分
∴在△ABE 与△CDF 中,
AB=CD, …………6分∠EAB=∠FCD, …………7分AE=CF , …………8分
∴△ABE ≌△CDF. …………9分 (桂林201016.正五边形的内角和等于______度.540 (桂林201021.(本题满分8分求证:矩形的对角线相等.
21.(本题8 分已知:四边形ABCD 是矩形, AC 与BD 是对角线……………2分
求证:AC =BD ………………………………………3分证明: ∵四边形ABCD 是矩形∴AB=DC ,∠ABC =∠DCB =90°…………4分又∵BC=C
B …………………………5分∴△AB
C ≌△DCB …………6分
∴AC=BD ……………………7分
所以矩形的对角线相等. …………8分
(2010年兰州11. 如图所示,菱形ABCD 的周长为20cm ,DE ⊥AB ,垂足为E ,sin A=53
,则下列
结论正确的个数有
①cm DE 3= ②cm BE 1= ③菱形的面积为2
15cm ④cm BD 102= A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
答案C
A
B C
D
(2010年兰州27.(本题满分10分已知平行四边形ABCD 中,对角线AC 和BD 相交于点O ,AC=10,
BD=8.
(1若AC ⊥BD ,试求四边形ABCD 的面积 ;
(2若AC 与BD 的夹角∠AOD=
60,求四边形ABCD 的面积;
(3试讨论:若把题目中“平行四边形ABCD ”改为“四边形ABCD ”,且∠AOD=θAC=a ,BD=b ,试求四边形ABCD 的面积(用含θ,a ,b 的代数式表示.
第
27题图
答案(本题满分10分解:(1∵AC ⊥BD
∴四边形ABCD 的面积
………………………………………2分
(2过点A 分别作AE ⊥BD ,垂足为E …………………………………3分∵四边形ABCD 为平行四边形
521==
=AC CO AO 421===BD DO BO
在Rt ⊿AOE 中,
AO AE
AOE =
∠sin ∴ 23
523560sin sin =⨯
=⨯=∠∙=o AO AOE AO AE …………4分
∴
35523
42121=⨯⨯⨯=∙=
∆AE OD S AOD ………………………………5分
∴四边形ABCD 的面积 3
204==∆AO D S S ……………………………………6分
(3如图所示过点A,C 分别作AE ⊥BD ,CF ⊥BD ,垂足分别为E,F …………7分
第18题
A
B
C
B ’ D E P 在Rt ⊿AOE 中,
AO AE AOE =
∠sin ∴θsin sin ⨯=∠∙=AO AOE AO AE
同理可得
θsin sin ⨯=∠∙=CO COF CO CF …………
……………………8分
∴四边形ABCD 的面积
(2010年连云港7.如图,四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相垂直,则下列条件能判定四边形ABCD 为菱形的是(
A .BA =BC
B .A
C 、B
D 互相平分 C .AC =BD D .AB ∥CD 答案 B
(2010年连云港18.矩形纸片ABCD 中,AB =3,AD =4,将纸片折叠,使点B 落在边CD 上的B ’
处,折痕为AE .在折痕AE 上存在一点P 到边CD 的距离与到点B 的距离相等,则此相等距离为________.
答案 5
2
(2010年连云港27.(本题满分10分如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分,我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线.如,平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线.
(1三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分
线的有________; (2如图1,梯形ABCD 中,AB ∥DC ,如果延长DC 到E ,使CE =AB ,连接AE ,那么有S 梯
θθθsin 2
1
sin 21
(sin 21
2
1
21ab AC BD CO AO BD CF BD AE BD S S S CBD AB D =∙=+=∙+∙=+=∆∆…………………………………10分
E
图1
A
B
C
D
图2
形ABCD
=S △ABE .请你给出这个结论成立的理由,并过点A 作出梯形ABCD 的面积等分线(不
写作法,保留作图痕迹;
(3如图,四边形ABCD 中,AB 与CD 不平行,S △ADC >S △ABC ,过点A 能否作出四边形ABCD
的面积等分线?若能,请画出面积等分线,并给出证明;若不能,说明理由.
答案(1 中线所在的直
线 ..........................................................................................................2分 (2法一:连接BE ,因为AB ∥CE,AB=CE ,所以四边形ABEC 为平行四边形
所以BE
∥AC ......................................................................................................................3分
所以△ABC 和△AEC 的公共边AC 上的高也相等所以有ABC AEC S S =
所以ACD ABC ACD AEC AED ABCD S S S S S S =+=+= 梯
形 ...................................................5分法二: 设 AE 与BC 相交于点F
因为AB ∥CE ,所以,ABF ECF BAF CEF ∠=∠∠=∠又因为 AB=CE 所以 ABF ECF ≅
所以ABF CBF AED ABCD AFCD AFCD S S S S S S =+=+= 梯形四边形四边形过点A 的梯形ABCD 的面积等分线的画法如右图(1所示
C
图1 (第21题
A B C
图3 周长________
C
图4
A B C 图2 周长
________
(3能.连接AC,过点B 作BE ∥AC 交DC 的延长线于点E,连接AE.
因为BE ∥AC,所以△ABC 和△AEC 的公共边AC 上的高也相等所以有A B C A E
C S S =
所以ACD ABC ACD AEC AED ABCD S S S S S S =+=+= 梯形
因为ACD ABC S S >
所以面积等分线必与CD 相交,取DE 中点F
则直线AF 即为要求作的四边形ABCD 的面积等分线作图如右图(2所示
(2010宁波市21.如图1,有一张菱形纸片ABCD ,AC =8,BD =6. (1请沿着AC 剪一刀,把它分成两部分,把剪开的两部分分拼成一个平
行四边形,在图2中用实线画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD 剪开,请在图3中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边形的周长.
(2沿着一条直线剪开,拼成与上述两种都不全等的平行四边形,请在图4
中用实线画出拼成的平行四边形. (注:上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等
24. (2010年金华 (本题12分
如图,把含有30°角的三角板ABO 置入平面直角坐标系中,A ,B 两点坐标分别为(3,0
和(0,
.动点P 从A 点开始沿折线AO-OB-BA 运动,点P 在AO ,OB ,BA 上运动的速度分别为1
2 (长度单位/秒﹒一直尺的上边缘l 从x 轴的位置开始以
3
3
(长度单位/秒的速度向上平行移动(即移动过程中保持l ∥x 轴,且分别与
OB ,AB 交于E ,F 两点﹒设动点P 与动直线l 同时出发,运动时间为t 秒,当点P 沿折线AO -OB -BA 运动一周时,直线l 和动点P 同时停止运动. 请解答下列问题:
(1过A ,B 两点的直线解析式是▲ ;
(2当t ﹦4时,点P 的坐标为▲ ;当t ﹦▲ ,点P 与点E 重合; (3①作点P 关于直线EF 的对称点P′. 在运动过程中,若形成的四边形PEP′F 为菱形,则t 的值是多少?
②当t ﹦2时,是否存在着点Q
Q 的坐标;若
不存在,请说明理由.
解:(1333+-=x y ;………4分 (2(
(3①当点P 在线段AO 上时,过F 作FG ⊥x 轴,G 为垂足(如图1 ∵FG OE =,FP EP =,∠=EOP ∠=FGP 90°∴△EOP ≌△FGP ,∴PG OP =﹒
(图1
又∵t FG OE 33
=
=,∠=A 60°,∴t FG AG 3
160tan 0== 而t AP =,∴t OP -=3,t AG AP PG 3
2
=-=
由t t 323=-得 5
9
=t ;………………………………………………………………1分
当点P 在线段OB
当点P 在线段BA 上时, 过P 作PH ⊥EF ,PM ⊥OB ,H
、M ∵t OE 33=
,∴t BE 33
33-=,∴360
tan 0BE EF == ∴6
921t
EF EH MP -=
=
=, 又∵6(2-=t BP 在Rt △BMP 中,MP BP =⋅060cos 即69216(2t t -=
⋅
-,解得7
45
=t .…………………………………………………1分②存在﹒理由如下:
∵2=t ,∴33
2
=
OE ,2=AP ,1=OP 将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°,得到△EC B '(如图3 ∵OB ⊥EF ,∴点B '在直线EF 上, C 点坐标为(332,33
2
-1
过F 作FQ ∥C B ',交EC 于点Q ,
则△FEQ ∽△EC B '
由
3=='=QE CE FE E B FE BE ,可得Q 的坐标为(-3
2
,33………………………1分根据对称性可得,Q 关于直线EF 的对称点Q '(-
3
2
,3也符合条件.……1分 22.(2010年长沙在正方形ABCD 中,AC 为对角线,E 为AC 上一点,连接EB 、ED . (1求证:△BEC ≌△DEC ;
F ,当∠BED =120°时,求∠EFD 的度数.
(图3
答案:(1证明:∵四边形ABCD 是正方形∴BC =CD ,∠ECB =∠ECD =45°
又EC =EC ..............................2分∴△ABE ≌△ADE (3)
分 (2∵△ABE ≌△ADE ∴∠BEC =∠DEC =
1
2
∠BED …………4分∵∠BED =120°∴∠BEC =60°=∠AEF ……………5分
∴∠EFD =60°+45°=105° …………………………6分
(2010年湖南郴州市22.一种千斤顶利用了四边形的不稳定性. 如图,其基本形状是一个菱形,中间通过螺杆连接,转动手柄可改变ADC ∠的大小(菱形的边长不变,从而改变千斤顶的高度(即A 、C 之间的距离.若AB=40cm ,当A D C ∠从60︒变为120︒时,千斤顶升高了多少?
1.414, 1.732,结果保留整数
答案22.解: 连结AC ,与BD 相交于点O
四边形ABCD 是菱形 \AC ^BD ,ÐADB =ÐCDB ,AC =2AO ……1分当ÐADC =60°时, ADC 是等边三角形
\AC =AD =AB =40 …………………3分当ÐADC =120°时,ÐADO =60°
\AO =AD ×
sin ÐADO =40
\AC
…………………………5分
因此增加的高度为
-40=40´0.732»29(cm ……………6分 (说明:当ÐADC =120°时,求AC 的长可在直角三角形用勾股定理
(2010年湖南郴州市23.已知:如图,把ABC 绕边BC 的中点O 旋转180°
得到DCB .
求证:四边形ABDC 是平行四边形.
第22题
C
B
答案23.证明:因为 DCB 是由ABC 旋转180︒所得………………2分
所以点A 、D ,B 、C 关于点O 中心对称……………………4分所以OB =OC OA =OD ………………………………6分所以四边形ABCD 是平行四边形………………………………8分
(注:还可以利用旋转变换得到AB =CD ,AC =BD 相等;或证明ABC DCB ≅证ABCD 是平行四边形
(2010湖北省荆门市19.(本题满分9分将三角形纸片ABC (AB >AC 沿过点A 的直线折叠,使得AC 落在AB 边上,折痕为AD ,展平纸片,如图(1;再次折叠该三角形纸片,使得点A 与点D 重合,折痕为EF ,再次展平后连接DE 、DF ,如图2,证明:四边形AEDF 是菱形.
答案19.
证明:由第一次折叠可知:AD 为∠CAB 的平分线,∴∠1=∠2 (2)
分由第二次折叠可知:∠CAB =∠EDF ,从而,∠3=∠4 (4)
分∵AD 是△AED 和△AFD 的公共边,∴△AED ≌△AFD (ASA………………………6分∴AE =AF ,DE =DF
又由第二次折叠可知:AE =ED ,AF =DF
∴AE =ED =DF
=AF …………………………………………………………………………8分故四边形AEDF 是菱形.……………………………………………………………………9分
8.(2010湖北省咸宁市如图,菱形ABCD 由6个腰长为2,且全等的等腰梯形镶嵌而成, 则线段AC 的长为 A .3 B .6 C
. D
.答案:D
13. (2010年郴州市如图,已知平行四边形ABCD ,E 是AB 延长线上一点,连结DE 交BC 于点F ,在不添加任何辅助线的情况下,请补充一个条件,使CDF BEF
△≌△,这个条件是 .(只要填一个
图1 图2
4
32
1E
A
F
B
D
C
C
D
B
A
(1 (2 第19题图A
B
D
C
C
D
B
F A
E
A
B
E
F
D
C 第13题
答案:DC EB =或CF BF =或DF EF = 或F 为DE 的中点或F 为BC 的中点或AB BE =或B 为AE 的中点 7.(2010年怀化市如图2,在菱形ABCD 中, 对角线AC=4,∠BAD=120°, 则菱形ABCD 的周长为(
A .20
B .18
C .16
D .15 答案:C 18.(2010年怀化市如图5,在直角梯形ABCD 中, AB ∥CD ,AD ⊥CD ,AB=1cm ,
AD=6cm ,CD=9cm ,则BC= cm . 答案:10 22.(2010湖北省咸宁市问题背景 (1如图1,△ABC 中,DE ∥BC 分别交AB ,AC 于D ,E
过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F .请按图示数据填空:
四边形DBFE 的面积S = , △EFC 的面积1S = , △ADE 的面积2S = .
探究发现
(2在(1中,若BF a =,FC b =,DE 与BC 间的距离为h .请证明2124S S S =. 拓展迁移
(3如图2,□DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上,若△ADG 、△DBE 、△GFC 的面积分别为2、5、3,试利用..(2. 中的结论....求△ABC 的面积. 22.(16S =,19S
=,21S =.……3分
(2证明:∵DE ∥BC ,EF ∥AB ,
∴四边形DBFE 为平行四边形,AED C ∠=∠,A CEF ∠=∠. ∴△ADE
∽△EFC .……4分
∴2
2221(
S DE a S FC b
==. ∵11
2
S bh =, ∴222122a a h S S b b =⨯=.……5分
∴2212144(22a h
S S bh ah b
=⨯⨯
=. 而S ah =, ∴2124S S S =……6分
(3解:过点G 作GH ∥AB 交BC 于H ,则四边形DBHG 为平行四边形. ∴GHC B ∠=∠,BD HG =,DG BH =. ∵四边形DEFG 为平行四边形,
B
C
D
G
F
E 图2
A 图1
B
C
D
G
F
E 图2
A H
∴DG EF =. ∴BH EF =. ∴BE HF =. ∴△DBE ≌△GHF . ∴△GHC 的面积为538+=.……8分
由(2得,□DBHG
的面积为8=.……9分∴△ABC 的面积为28818++=. 22.(2010年郴州市一种千斤顶利用了四边形的不稳定性. 如图,其基本形状是一个菱形,中间通
过螺杆连接,转动手柄可改变ADC ∠的大小(菱形的边长不变
之间的距离.若AB=40cm ,当A D C ∠从60︒变为120︒
1.414, 1.732,结果保留整数
22.解: 连结AC ,与BD 相交于点O
四边形ABCD 是菱形 \AC ^BD ,ÐADB =ÐCDB ,AC =2AO
当ÐADC =60°时, ADC 是等边三角形
\AC =AD =AB =40
当ÐADC =120°时,ÐADO =60° \AO =AD ×
sin ÐADO =40×2
\AC
因此增加的高度为-40=40´0.732»29(cm
23.(2010年郴州市已知:如图,把ABC 绕边BC 的中点O 旋转180°
得到DCB . 求证:四边形ABDC 是平行四边形.
23.证明:因为 DCB 是由ABC 旋转180︒所得
所以点A 、D ,B 、C 关于点O 中心对称所以OB =OC OA =OD 所以四边形ABCD 是平行四边形
(注:还可以利用旋转变换得到AB =CD ,AC =BD 证ABCD 是平
行四边形
23. (2010年怀化市如图7,平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ,直线EF 经过点O,分别与AB,CD 的延长线交于点E,F.
求证:四边形AECF 是平行四边形.
23. 证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴
OD=OB,OA=OC …………………1分
CD AB //……………………………………
…………2分
∴∠DFO=∠BEO, ∠FDO=∠EBO ……………………………………………3分∴△FDO ≌△EBO ……………………………………………………………4分
C B 第23题
第22题
图7
∴OF=OE …………………………………………………………………5分
∴四边形AECF 是平行四边形
北京4. 若菱形两条对角线的长分别为6和8,则这个菱形的周长为 (A 20 (B 16 (C 12 (D 10。

北京19. 已知:如图,在梯形ABCD 中,AD //BC ,AB =DC =AD =2,BC =4。

求∠B 的度数及AC 的长。

毕节23.(本题10
分如图,已知: ABCD 中,BCD ∠的平分线CE 交边AD 于E ,ABC ∠的
平分线BG 交CE 于F ,交AD 于G .求证:AE DG =.
A
B
C
D
E F
G
23. 证明:∵四边形ABCD 是平行四边形(已知,
AD BC ∴∥,AB CD =(平行四边形的对边平行,对边相等 GBC BGA
∴∠=∠,BCE CED ∠=∠(两直线平行,内错角相等 2分又∵ BG 平分ABC ∠,CE 平分BCD ∠(已知
ABG GBC ∴∠=∠,BCE ECD ∠=∠(角平分线定义 ABG GBA ∴∠=∠,ECD CED ∠=∠. 6分 AB AG ∴=,CE DE =(在同一个三角形中,等角对等边 AG DE ∴= 8分 AG EG DE EG ∴-=-,即AE DG =. 10分
7.(10湖南怀化如图2,在菱形ABCD 中,对角线AC=4,∠BAD=120°,则菱形ABCD 的周长为( C
A .20
B .18
C .16
D .
15
18.(10湖南怀化如图5,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AD
⊥CD ,AB=1cm ,AD=6cm ,CD=9cm ,则BC=______cm .10
23。

如图7,平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ,直线EF 经过点O,分别与AB,CD 的延长线交于点E,F.
求证:四边形AECF 是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OD =OB,OA=OC …………………1分CD AB //………………………………………………2分∴∠DFO=∠BEO,
∠FDO=∠EBO……………………………………………3分∴△FDO
≌△EBO……………………………………………………………4分
∴OF=OE …………………………………………………………………5分∴四边形AECF 是平行四边形……………………………………6分
24.全等、四边形、勾股定理(10重庆潼南县如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形,点G 是BC 延长线上一点,连结AG ,点E 、F 分别在AG 上,连接BE 、
DF ,∠1=∠2,∠3=∠4. (1证明:△ABE ≌△DAF ; (2若∠AGB=30°,求EF 的长.
解:(1∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=AD 。

在△ABE 和△DAF 中,
⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠=∠=∠3412DA AB ∴△ABE ≌△DAF 。

图7
题图
24
(2∵四边形ABCD 是正方形,∴∠1+∠4=900。

∵∠3=∠4,∴∠1+∠3=900。

∴∠AFD=900。

在正方形ABCD 中,AD ∥BC ,∴∠1=∠AGB=300。

在Rt △ADF 中,∠AFD=900,AD=2,∴AF=3,DF =1。

由(1得△ABE ≌△ADF 。

∴AE=DF=1。

∴EF=AF-AE=13-。

1、已知四边形ABCD 中,90A B C ===
∠∠∠,如果添加
一个条件,即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是( . A .90D =
∠ B .AB CD = C .AD BC = D .BC CD =
答案:D
2、大正方形网格是由25个边长为1的小正方形组成,
把图中阴影部分剪下来,用剪下来的阴影部分拼成一个正方形, 那么新正方形的边长是答案:5
(2010陕西省8.若一个菱形的边长为2,则这个菱形两条对角线的平
方和为 (A
A 16
B 8
C 4
D 1
(2010陕西省18.如图,A 、B 、C 三点在同一条直线上AB=2BC ,
分别以AB,BC 为边做正方形ABEF 和正方形BCMN 连接FN,EC.
求证:FN=EC
证明:在正方形ABEF 中和正方形BCMN 中
AB=BE=EF,BC=BN, ∠FEN=∠EBC=90°
(第16题图
∵ AB=2BC
∴ EN=BC
∴△FNE≌△EBC
∴FN=EC
(2010年天津市(6下列命题中正确的是(D
(A对角线相等的四边形是菱形
(B对角线互相垂直的四边形是菱形
(C对角线相等的平行四边形是菱形
(D对角线互相垂直的平行四边形是菱形
(2010宁夏6.点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点,点D是平面内任意一点,若A、
B、C、D四点恰能构成一个平行四边形,则在平面内符合这样条件的点D有(C A.1个B.2个C.3个D.4个
(2010宁夏26. (10分
在△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC于D,将△ABD沿AB所在的直线折叠,使点D落在点E处;将△ACD沿AC所在的直线折叠,使点D落在点F处,分别延长EB、FC使其交于点M.
(1判断四边形AEMF的形状,并给予证明.
(2若BD=1,CD=2,试求四边形AEMF的面积.
26.解:(1∵AD BC
△AEB是由△ADB折叠所得
∴∠1=∠3,∠E=∠ADB=0
90,BE=BD, AE=AD 又∵△AFC是由△ADC折叠所得
∴∠2=∠4,∠F=∠ADC=0
90,FC=CD,AF=AD ∴AE=AF---------------------------------------------2分又∵∠1+∠2=0
45,
∴∠3+∠4=0
45
∴∠EAF=0
90--------------------------------------3分
∴四边形AEMF是正方形。

---------------------5分
(2方法一:设正方形AEMF的边长为x
根据题意知:BE=BD, CF=CD
A
B C
D
4
32
1
M
F E
D C
B
A
∴BM=x -1; CM=x -2-------------------------------------------------------------------7分在Rt △BMC 中,由勾股定理得:
222BM CM BC +=
∴92(1(22=-+-x x
0232=--x x
解之得: 21731+=
x 2
17
32-=x (舍去∴2
17
3132173(
2+=
+=AEMF S 正方形------------------------------------------10分方法二:设:AD=x
∴AD BC S ABC ⋅⋅=
∆21=x 2
3
∴x S S ABC AEBCF 32==∆五边形-----------------------------------------------------------7分∵2(1(2
1
21--=⋅=
∆x x CM BM S BMC 且BMC AEB CF AEMF S S S ∆+=五边形正方形∴2(1(2
1
32
--+
=x x x x 即0232=--x x 解之得:21731+=
x 2
17
32-=x (舍去∴2
173132173(
2+=+=AEMF S 正方形---------------------------------------------10分 1.(2010宁德如图,在□ABCD 中,AE =EB ,AF =2, 则FC 等于_____.4
2. (2010宁德本题满分13分如图,四边形ABCD 是正方形,△ABE 是等边三角形,M 为对角线BD (不含B 点上任意一点,将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ,连接EN 、AM 、CM.
⑴求证:△AMB ≌△ENB ;
⑵①当M 点在何处时,AM +CM 的值最小;
②当M 点在何处时,AM +BM +CM 的值最小,并说明理由;
第16题图
F
A E B
C
D
⑶当AM +BM +CM 的最小值为13+时,求正方形的边长
解:⑴∵△ABE 是等边三角形,
∴BA =BE ,∠ABE =60°. ∵∠MBN =60°,
∴∠MBN -∠ABN =∠ABE -∠ABN. 即∠BMA =∠NBE. 又∵MB =NB ,
∴△AMB ≌△
ENB (SAS . ………………5分
⑵①当M 点落在BD 的中点时,AM +CM 的值最小. ………………7分②如图,连接CE ,当M 点位于BD 与CE 的交点处时, AM +BM +CM 的值最
小. ………………9分理由如下:连接MN.由⑴知,△AMB ≌△ENB , ∴AM =EN.
∵∠MBN =60°,MB =NB , ∴△BMN 是等边三角形. ∴BM =MN.
∴AM +BM +CM =EN +MN +CM. ………………10分根据“两点之间线段最短”,得EN +MN +CM =EC 最短
∴当M 点位于BD 与CE 的交点处时,AM +BM +CM 的值最小,即等于EC 的长.……11分⑶过E 点作EF ⊥BC 交CB 的延长线于F , ∴∠EBF =90°-60°=30°. 设正方形的边长为x ,则BF =23
x ,EF =2
x . 在Rt △EFC 中,
∵EF 2+FC 2=EC 2
, ∴(
2x 2+(2
3x +x 2=(2
13+. ………………12分。