2020届浙江省杭州市学军中学高三下学期高考模拟数学试题

2020届浙江省杭州市学军中学高三下学期高考模拟数学试题
考生注意：
1.全卷满分150分.考试用时120分钟.
2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上.
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上的答案一律无效.
4.考试结束后，只需上交答题卷. 参考公式：
若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B =
若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率
()()
() 1 0,1,2,,n k
k k
n n P k C p p k n -=-=
台体的体积公式：()
121
3
V S S h =+，其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底而积，h 表示台体的高
柱体的体积公式： V
Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式：1
3
V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高
球的表面积公式：24S R π=，球的体积公式：3
43
V R π=，其中R 表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合{}1,2,4A =，{}0,2,4B =，则A B =（ ）
A. {}2,4
B. {}0,1,2,4
C. {}0,1,2,2,4
D. {}
04x x ≤≤
【答案】B 【解析】 【分析】
根据并集的定义计算,
【详解】∵{}1,2,4A =，{}0,2,4B =，∴{0,1,2,4}A B ⋃=．
故选：B ．
【点睛】本题考查集合的并集运算，属于简单题．
2. 双曲线22
149
x y -=的实轴长为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
【答案】C 【解析】 【分析】
根据双曲线标准方程知实轴长为2a ，可知双曲线22
149
x y -=的实轴长
【详解】由双曲线标准方程22
221x y a b
-=中，实轴长为2a 可知：
在双曲线22
149
x y -=中，实轴长为4
故选：C
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，利用标准方程及实轴定义求实轴长.
3. 已知圆()2
2
:11C x y -+=，直线l 过点()0,1且倾斜角为θ，则“0θ=”是“直线l 与圆C 相切”的
（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
求出直线与圆相切时的θ值，然后判断．
【详解】圆C 是以(1,0)为圆心，1为半径的圆，因此过点(0,1)的切线有两条，方程是1y =和0x =，倾斜角为0θ=或2
π
θ=
．
∴“0θ=”是“直线l 与圆C 相切”的充分不必要条件． 故选：A ．
【点睛】本题考查充分必要条件的判断，充分必要条件的判断方法有两种,一种是根据充分必要条件的定
义判断，另一种是根据充分必要条件与集合包含之间的关系判断．
4. 若复数
3
12
a i
i
+
+
（a R
∈，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）
A. -6
B. 6
C. 4
D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
把已知复数利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0且虚部不等于0求得a的值．
【详解】∵
()()
()()
()()
312632
3
1212125
a i i a a i
a i
i i i
+-++-
+
==
++-
为纯虚数，
∴a+6=0且3−2a≠0，解得：a=−6.
故选：A.
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算及复数概念的应用，纯虚数为实部等于0且虚部不等于0，得出结果后一定要做验证，属于基础题.
5. 已知函数
1
()
ln1
f x
x x
=
--
，则()
y f x
=的图象大致为（）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据特殊值的函数值排除,,
A C D，从而选B.
【详解】因为
11
11
ln1
f e
e
e e
⎛⎫
==>
⎪
⎝⎭--，所以选项A错；
因为
11
()0
ln12
f e
e e e
==>
---
，所以选项C错；
因为()2
2
2211
()ln 13
f e
f e e
e e ==<---，所以选项D 错， 故选：B ．
【点睛】本题考查了由函数解析式选择函数图象，考查了特值排除法，属于基础题. 6. 设l ，m 是条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是（ ） A. 若//l α，//m α，则//l m B. 若//l α，m l ⊥，则m α⊥ C. 若l α⊥，m l ⊥，则//m α D. 若l α⊥，m α⊥，则//l m
【答案】D 【解析】 【分析】
逐项进行分析，在选项A 中，l 与m 相交、平行或异面；在选项B 中，m 与α相交、平行或m ⊂α；在选项C 中，m∥α或m ⊂α；在选项D 中，由线面垂直的性质定理得l∥m． 【详解】由l ，m 是条不同的直线，α是一个平面，知：
在选项A 中，若l∥α，m∥α，则l 与m 相交、平行或异面，故A 错误； 在选项B 中，若l∥α，m⊥l，则m 与α相交、平行或m ⊂α，故B 错误； 在选项C 中，若l⊥α，m⊥l，则m∥α或m ⊂α，故C 错误；
在选项D 中，若l⊥α，m⊥α，则由线面垂直的性质定理得l∥m，故D 正确． 故选D ．
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是基础题．
7. 《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A. 一尺五寸 B. 二尺五寸
C. 三尺五寸
D. 四尺五寸
【答案】B 【解析】 【分析】
从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解.
【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，
n S 是其前n 项和，则()19959985.52
a a S a +=
==，
所以59.5a =，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=，故芒种日影长为二尺五寸. 故选:B .
【点睛】本题考查等差数列应用问题，考查等差数列的前n 项和与通项公式的基本量运算，属于中档题. 8. 设a ，b ，c 为平面向量，2a b a b ==⋅=，若()()
20c a c b ⋅--=，则c b ⋅的最大值是（ ）
A.
B.
5
2
+ C.
174
D.
94
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出a 与b 的夹角，在直角坐标系中用坐标表示a 、b 且设(,)c OC x y ==，有c b ⋅= 2x ，结合
()()20c a c b ⋅--=用坐标表示数量积，可得到方程，根据方程有解求x 范围即可求得c b ⋅的最大值.
【详解】∵2a b a b ==⋅=，若a 与b 的夹角为θ知1cos 2
θ=, ∴3
π
θ=
，建立直角坐标系， 令(2,0),(1,3)b OB a OA ====，设(,)c OC x y == ,
而c b ⋅= 2x ，故求它的最大值即是求x 的最大值,
故2(21,2c a x y -=--，(2,)c b x y -=-，又()()
20c a c b ⋅--=即(2)()c a c b -⊥-
∴(21)(2)(20x x y y --+=，即22(21)(2)0y x x -+--= , 方程有解：38(21)(2)0x x ∆=---≥,
解得：
5544
x -+≤≤
.
∴c b ⋅的最大值为5
2
. 故选：B
【点睛】本题考查了应用坐标表示向量的数量积求最值，根据数量积的坐标公式，结合一元二次方程有解
求参数范围，进而求最大值
9. 定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]
0,1x ∈时，()2cos x
f x x =-，则下列结
论正确的是（ ） A. ()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B. ()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C. ()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D. ()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
然后可根据f （x ）在[0，1]上
的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果.
【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f （x ）的周期为4；∴f （2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜
12f ⎛⎫
⎪⎝⎭
＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,故选C.
【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.
10. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，并满足：对任意*n ∈N ，都有2020n n S S +≥，则下列命题不一定．．．成立的是（ ） A. 20202021S S ≤ B. 20212022S S ≤ C. 10101011a a ≤ D. 10111012a a ≤
【答案】C 【解析】
【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，对d 分为0d =、0d >、0d <三种情况讨论，在0d =时验证即可；在
0d >时，取2d =，可设()2
n S n tn t R =+∈，根据2020n n S S +≥恒成立求得实数t 的取值范围，逐一验
证各选项即可；同理可判断出0d <时各选项的正误.
【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()2111222n n n d d d S na n a n -⎛⎫
=+
=+- ⎪⎝
⎭. ①当0d =时，则1n a a =，1n S na =，则2020n n S S +≥对任意的*n ∈N 恒成立， A 、B 、C 、D 四个选项都成立； ②当0d >时，不妨取2d =，记12
d t a =-
，则2
n S n tn =+， 由2020n n S S +≥可得22
20200n n S S +-≥，即()()202020200n n n n S S S S ++-+≥，
则(
)()2
2
2404020202020240402020220200n t
n
n tn t ++++++≥，
令24040202020200n t ++=，可得22020t n =--；
令2
2
240402020220200n n tn t ++++=，可得2101010101010t n n ⎛⎫
=-++ ⎪+⎝⎭
.
()()2
222
101010101010101010102202010100101010101010n n n n n n n +-⎛⎫-++---=+-
=> ⎪+++⎝
⎭， 则210101010220201010n n n ⎛⎫
-++>-- ⎪+⎝⎭
，
解关于t 的不等式(
)()2
2
2404020202020240402020220200n t
n
n tn t ++++++≥，
可得22020t n ≤--或2101010101010t n n ⎛⎫
≥-++ ⎪+⎝⎭
，
所以()min 22020t n ≤--或2max 101010101010t n n ⎡⎤
⎛⎫≥-++⎢⎥ ⎪+⎝
⎭⎣⎦.
由于数列{}22020n --单调递减，该数列没有最小项；
由双勾函数单调性可知，函数2
1010y x x
=+在区间[1010,+∞)上单调递增，
所以，数列2101010101010n n ⎧⎫⎛⎫⎪⎪-++⎨⎬ ⎪+⎪⎪⎝⎭⎩⎭
单调递减，该数列的最大项为2
101010111011--
，
2
101010111011
t ≥--
. 对于A 选项，2
202020202020S t =+，2
202120212021S t =+，
则()()()()
2
2
2
2
2021202020212020202120204041404120202021S S S S S S t t -=-+=+++，
22
101010104041404110113030010111011
t +≥--=->，
2
2
2
2
2
40411010404120202021202020214041101101011
t ⨯++≥+-⨯->，
则()()()(
)2
2
2
2
2021202020212020202120204041404120202021
0S S S S S S t t -=-+=+++>，
所以，20212020S S >，A 选项成立； 对于B 选项，2
202220222022S t =+，
则()()()(
)2
2
2
2
2022202120222021202220214043404320212022
S S S S S S t t -=-+=+++，
22
101010104043404310113032010111011
t +≥--=->，
2
2
2
2
2
40431010404320212022202120224043101101011
t ⨯++≥+-⨯->，
则()()()(
)2
2
2
2
2022202120222021202220214043404320212022
0S S S S S S t t -=-+=+++>，
所以，20222021S S >，B 选项成立； 当1n =时，111a S t ==+；
当2n ≥时，()
()()2
2
11121n n n a S S n tn n t n n t -⎡⎤=-=+--+-=+-⎣⎦
. 11a t =+满足21n a n t =+-，()
21n a n t n N *∴=+-∈.
对于C 选项，10102019a t =+，10112021a t =+，
()()()2
2
22
101110102021201942020a a t t t -=+-+=+，
222101010101010100910112020101110090101110111011⎛⎫-⨯----=
-=> ⎪⎝⎭， 当21010101120201011
t --<<-时，()22
10111010420200a a t -=+<，
所以，C 选项不一定成立； 对于D 选项，10122023a t =+，
()()()22
2
221012
1011
101020232021420224202210111011a
a
t t t ⎛⎫
-=+-+=+≥-- ⎪
⎝⎭
()22
2410111010101041011010111011-⎛⎫=-=
> ⎪⎝
⎭， 所以，10121011a a >， D 选项成立；
③当0d <时，由②同理可知，C 选项不一定成立. 故选：C.
【点睛】本题考查数列不等式的验证，考查等差数列前n 项和的性质，考查推理能力与计算能力，属于难题.
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11. 已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若E(X)=3，()2D X =，则p =________，
()1P X ==________.
【答案】 (1). 1
3 (2). 2562187
【解析】 【分析】
首先根据已知条件得到()312
np np p =⎧⎨-=⎩，解不等式组即可得到1
3p =，再计算()1P X =即可.
【详解】因为随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若E(X)=3，()2D X =，
所以()312np np p =⎧⎨-=⎩，解得139
p n ⎧
=⎪⎨⎪=⎩，
即随机变量X 服从二项分布19,3B ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
.
()8
1
9122561332187
⎛⎫==⨯⨯=
⎪⎝⎭P X C .
故答案为：1 3
，
256
2187
【点睛】本题主要考查二项分布的均值和方差，同时考查n次独立重复试验，属于简单题.
12. 已知实数x，y满足约束条件
20
20
220
x y
x y
x y
+-≥
⎧
⎪
--≤
⎨
⎪--≥
⎩
，则2
z x y
=+的最小值为________；
1
y
x
+
的取值范围是________.
【答案】(1). 2(2).
1
,2
2
⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
【解析】
【分析】
首先根据题意画出可行域，再根据目标函数的几何意义结合图形即可得到答案.
【详解】不等式组表示的可行域如图所示,
由目标函数2
z x y
=+得到
1
22
z
y x
=-+，
z的几何意义表示直线
1
22
z
y x
=-+的y轴截距的2倍.
所以当直线
1
22
z
y x
=-+过()
2,0
A时，z取得最小值，
min
2
z=.
令
()
1
1
1
--
+
==
-
y
y
z
x x
，
1
z的几何意义表示：可行域内的点()
,x y与()
0,1
B-构成的斜率.
由图知：
()1min 12==
BA z k ，12<z ，故11,22⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
z . 故答案为：(1)2；(2)1
,22
⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【点睛】本题主要考查线性规划问题，同时考查了数形结合的思想，属于中档题. 13. 若将函数()7
=f x x 表示为()()()()2
0127
7111f x a a x a x a x =+-+-+
+-，其中0a ，1a ，2a ，
，7a 为实数，则3a =________，0246a a a a +++=________. 【答案】 (1). 35 (2). 64 【解析】 【分析】
首先将()f x 转化为()()7
11=+-⎡⎤⎣⎦f x x ，再利用二项式定理得展开式即可得到3a 的值；分别令2x =和
0x =，再把两个式子相加除以2即可得到答案.
【详解】因为()()()()()7
2
07717
211111==+-=⎡⎤⎣-+-+-⎦++a a f x a x a x x x x ，
所以3
3
735==a C .
令2x =得：()7012722++==++a a a a f ①， 令0x =得：()012700-+=--=a a a a f ②，
①+②得到()7024622+++=a a a a ，所以024664+++=a a a a .
故答案为：35；64
【点睛】本题主要考查二项式定理，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.
14. 己知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且cos 3sin a C a C b c =+，则A =________；又若2b =，a x =，△ABC 有两解，则实数x 的取值范围是________.
【答案】 (1). 3
π
(2). 32x <<
【解析】 【分析】
由cos 3sin a C a C b c +=+结合正弦定理化简得到1
sin()6
2
A π
-=
，由(0,)A π∈即可得到A 的大小；同样由正弦定理及2b =，a x =，(1)的结论可得3
sin B =
，2(0,)3B π∈且△ABC 有两解，即可知3
sin (
,1)B ∈，可求x 的范围. 【详解】cos 3sin a C a C b c +=+知,
sin cos 3sin sin sin sin A C A C B C +=+，而()B A C π=-+,
∴sin cos 3sin sin sin()sin sin cos cos sin sin A C A C A C C A C A C C +=++=++, 即1
3sin cos 1sin()6
2
A A A π
=+⇒-=
，又(0,)A π∈, ∴3
A π
=
,
由2b =，a x =
sin sin 3
x c c A C =⇒=, 而cos 3sin a C a C b c +=+有：
2333
3cos sin sin()3x C C C π=
==
++，即3sin B =, 2(0,
)3B π∈且△ABC 有两解，知：3
sin (,1)B ∈, ∴(3,2)x ∈, 故答案
：(1)
3
π
；(2)32x <<. 【点睛】本题考查了正弦定理，运用了两角和差的正弦公式，三角形内角和为π，化简求值和参数范
围.
15. 已知抛物线2
4y x =，过点()1,2A 作直线l 交抛物线于另一点B ，点Q 是线段AB 的中点，过点Q 作
与y 轴垂直的直线1l ，交抛物线于点C ，若点P 满足QC CP =，则OP 的最小值是__________．
【答案】2
【解析】 【分析】
由2
4y x =，可设2,4b B b ⎛⎫
⎪⎝⎭
，由题意逐步表示出点,,Q C P 的坐标，于是可以表示出||OP 并求得其最小值.
【详解】由2
4y x =，可设2,4b B b ⎛⎫
⎪⎝⎭
.因为()1,2A ，Q 是AB 的中点，所以242,82b b Q ⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 所以直线1l 的方程为2
2b y +=
.代入24y x =，可得()222,162b b C ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭
. 因为QC CP =，所以点C 为PQ 的中点，可得2,22b b P +⎛⎫
⎪⎝⎭
. 所以()()2
2
22211||14422
b b OP b +=+=++.
所以当1b =-时，2||OP 取得最小值
12，即||OP 的最小值为
2
.
故答案为
2
. 【点睛】本题考查抛物线的基本问题，设出坐标表示出目标函数，利用函数求最值.
16. 将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有_________种不同的放法. 【答案】535 【解析】 【分析】
根据每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，将每个盒子能放入的球个数列举出来，由总球数为5，以可能的球数组合列举分组，结合组合数求出它们所有不同放法. 【详解】四个盒子放球的个数如下 1号盒子：{0，1} 2号盒子：{0，1，2}
3号盒子：{0，1，2，3} 4号盒子：{0，1，2，3，4}
结合由5个不同的小球全部放入盒子中，不同组合下放法 5 = 1 + 4：1
53C 种 5 = 2 + 3：254C 种 5 = 1 + 1 + 3：3
1
526C C 种 5 = 1 + 2 + 2：2
2536C C 种 5 = 1 + 1 + 1 + 2：2
1
1
5323C C C 种
∴5个相同的小球放入四个盒子方式共有535种. 故答案为：535.
【点睛】本题考查了组合数，对问题分类、分组，应用组合数的计算
17. 已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AD =，若球O 的表面积为29π，则三棱锥A BCD -的侧面积的最大值为__________．
【答案】254
【解析】 【分析】
根据球的性质可知球心O 必在过BC 中点E 且平行于AD 的直线上，根据勾股定理可确定
112AF DF OE AD ===
=；根据球的表面积公式可确定半径2
R =，勾股定理可得到222225AB AC x y +=+=；将三棱锥侧面积表示为1
2
S x y xy =++，利用基本不等式可求得最大值.
【详解】取BC 中点E ,
90BAC ∠= E ∴为ABC ∆的外接圆圆心,
过E 作AD 的平行线，由球的性质可知，球心O 必在此平行线上, 作//OF AE ，交AD 于F ，如图所示：
OA OE =2222OD OF DF AD DF =+=+OA OD = 1
12
AF DF OE AD ∴===
= 球O 的表面积为29π ∴球O 的半径2929
4R ==
设AB x =，AC y =
由2222
29142
x y R OC CE OE +==+=+=
得22
25x y += 又12ABD S AB AD x ∆=
⋅=，12ACD S AC AD y ∆=⋅=，11
22
ABC S AB AC xy ∆=⋅= ∴三棱锥A BCD -侧面积1
2
S x y xy =++
由2
2
2x y xy +≥得：252xy ≤
（当且仅当522
x y ==时取等号） 又()2
222222550x y x y xy x y +=++≤++=（当且仅当52
2
x y ==
时取等号） 25524S ∴≤（当且仅当52x y == 故答案为:25
524
【点睛】本题考查空间多面体的外接球的相关问题的求解，涉及到利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够根据球的性质确定球心位置，从而利用勾股定理得到变量所满足的等量关系，从而结合基本不等式求得结果.
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18. 设函数()3cos 2cos 262x x x a f ππ⎛
⎫
=+
--+ ⎛⎫
⎪⎝
⎪⎭
⎭⎝
的最小值是1-. （1）求a 的值及()f x 的对称中心;
（2）将函数()f x 图象的横坐标压缩为原来的一半（纵坐标不变），再向右平移12
π
个单位，得到()g x 的
图象，若()1
2
g x ≥-
，求x 的取值范围. 【答案】（1）0a =，对称中心是,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
()k Z ∈；（2）7,224224ππππ⎡⎤
-+⎢⎥⎣⎦k k ()k Z ∈. 【解析】 【分析】
（1）首先利用三角函数恒等变换化简得到()sin 23π⎛
⎫
=++ ⎪⎝
⎭
f x x a ，根据()f x 的最小值得到0a =，再求()f x 的对称中心即可.
（2）首先根据三角函数的平移变换得到()sin 4g x x =，再解不等式1
sin 42
≥-x 即可. 【详解】（1）()3cos 2cos 262x x x a f ππ⎛
⎫
=+
--+ ⎛⎫
⎪⎝
⎪⎭
⎭⎝
.
112sin 2sin 22sin 2sin 2223x x x a x x a x a π⎛⎫=
-++=++=++ ⎪⎝
⎭ 因为()min 11=-+=-f x a ，所以0a =，即()sin 23f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
. 令23
x k π
π+
=，解得62
πk πx =-+
()k Z ∈.
所以()sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的对称中心是,026k ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
()k Z ∈； （2）()sin 4sin 4123ππ⎡⎤
⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
g x x x ， 因为()1
2g x ≥-
，即1sin 42≥-x ， 所以724266k x k ππ
ππ-≤≤+()k Z ∈，
解得：7224224ππππ-≤≤+k k x ()k Z ∈, ∴x 的取值范围是7,224224ππππ⎡⎤
-+⎢⎥⎣⎦
k k ()k Z ∈. 【点睛】第一问考查三角函数的恒等变换，同时考查正弦函数的对称性，第二问考查正弦函数图象变换，同时考查三角不等式，属于中档题.
19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，11112A B A C ==，123CC =， 120BAC ∠=︒，点O 为线段11B C 的中点，点P 为线段1CC 上一动点（异于点1C C 、），点Q 为线段BC 上一动点，且QP OP ⊥.
（Ⅰ）求证：平面1A PQ ⊥平面1A OP ；
（Ⅱ）若//BO PQ ，求直线OP 与平面1A PQ 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；219
. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）要证平面1A PQ ⊥平面1A OP ，转证QP ⊥平面1A OP ，即证1QP AO QP OP ⊥⊥，； （Ⅱ）建立如图空间直角坐标系O xyz -，求出平面1A PQ 的法向量，代入公式可得结果. 【详解】（I ）证明：因为11112A B A C ==，O 为线段11B C 的中点，
所以1
11AO B C ⊥， 在直三棱柱111ABC A B C -中，易知1CC ⊥平面111A B C ，
1
1AO CC ∴⊥，而1111CC B C C ⋂=； 1A O ∴⊥平面11CBB C ，1QP A O ∴⊥；
又因为QP OP ⊥，A 1O ∩OP=O ； 所以QP ⊥平面1A OP ，
又QP ⊂平面1A OP ；所以平面1A PQ ⊥平面1A OP ； （II ）由（I ）可建立如图空间直角坐标系O xyz -，
因为120BAC ︒∠=所以113OB OC =，
则()()()
110,0,0,3,0,0,3,0O C B -，
(()1
0,3,23,1,0,0B A --， 设()(3,,0,,23P a Q b ，
所以()(0,3,23,0,3,23QP b a OB =--=-
，
因为QP OP ⊥，//BO PQ ， 所以0,//QP OP OB QP ⋅=，
()(()(33230233323b a a b a ⎧-=⎪∴⎨-=--⎪⎩
， 解得：33
24
a b =
=
（P 异于点1,C C ） ,
13333331,3,,0,,,0,3,A P QP OP ⎛⎫⎛⎫⎛∴==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭
设平面1A QP 的法向量为(),,n x y z = ，则100
n A P n QP ⎧⋅=⎨⋅=⎩
即3
3033330x z y z ⎧++
=⎪⎪= ，可取 ()
53,4,2n =- ， 设直线OP 与平面1A QP 所成角为θ ，
则
433219
sin 15
954
n OP n OP
θ⋅+=
=
=
⋅ ,
直线OP 与平面1A QP
. 【点睛】本题考查了面面垂直的判定，空间向量的应用，线面角的计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．
20. 已知数列{}n a 满足12a =,210a =,212n n n a a a ++=+,n *∈N . (1)证明:数列{}1n n a a ++是等比数列; (2)求数列{}n a 的通项公式; (3)证明:
12
11134
n a a a +++
<. 【答案】(1)证明见解析;(2)()1221n
n n a +=+⋅-;(3)证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）由2
12n n n a a a ++=+，得21
12n n n n
a a a a ++++=+，即可得到本题答案；（2）由1
132n n n a a +++=⋅，得
11122222n n n n
a a ++⎛⎫
-=-⋅- ⎪⎝⎭
，即可得到本题答案；（3）当1n =时，满足题意；若n 是偶数，由12
123111111111n n
n a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫
+++<+++++ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，
可得1211134n a a a ++⋯+<；当n 是奇数,且3n ≥时，由12
1123111
1111111n n n n a a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫+++
+=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，可得1211134n a a a ++⋯+<，综上，
即可得到本题答案.
【详解】(1)因为212n n n a a a ++=+，所以()2112n n n n a a a a ++++=+， 因为12120a a +=≠，所以
21
12n n n n
a a a a ++++=+，
所以数列{}1n n a a ++是等比数列；
(2)因为1
132n n n a a +++=⋅，所以
1113222n n
n n
a a +++⋅=， 所以11
122222n n n n a a ++⎛⎫
-=-⋅- ⎪⎝⎭
，
又因为12a =，所以
1212a -=-，所以22n n a ⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭
是以1-为首项， 12-为公比的等比数列，所以1
1222n n n a -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭
，
所以()1221n
n n a +=+⋅-；
(3)①当1n =时，
113
24
n a =<； ②若n 是偶数，
则12132
11113122222242142n n n n n n
n n a a +++⋅+=+=<⋅
+-⋅+-， 所以当n 是偶数时，
12
12
1
1111111n n n a a a a a a a ++++
<+++
+ 123111111n
n a a a a a +⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 24
1311124222n
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+⋅+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
1
13341244
14
<+⋅=-； ③当n 是奇数，且3n ≥时，
12
12
11111111n n n
a a a a a a a -+++
=+++
+ 123111111n n a a a a a -⎛⎫⎛⎫=
+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
24
1
1311124222n -⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+⋅+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
1
13341244
14
<+⋅=-；
综上所述，当n *
∈N 时，12
11
13
4
n a a a +
++
<. 【点睛】本题主要考查利用构造法证明等比数列并求通项公式，以及数列与不等式的综合问题.
21. 椭圆M ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦距为23，点(0,2)P 关于直线y x =-的对称点在椭圆M 上．
（1）求椭圆M 的方程；
（2）如图，椭圆M 的上、下顶点分别为A ，B ，过点P 的直线l 与椭圆M 相交于两个不同的点C ，D ． ①求OC OD ⋅的取值范围；
②当AD 与BC 相交于点Q 时，试问：点Q 的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】（1）2
214
x y +=（2）①13[1,)4OC OD ⋅∈-②12
【解析】 【详解】 【分析】
试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，联立方程组求解：因为点(0,2)P 关于直线y x =-的对称点为(2,0)-，所以2a =．又223c =3c =
，21b =（2）①直线与椭圆位置关系问题，一
般联立方程组，借助于韦达定理进行求解：设直线l 的方程为2,y kx =+代入2
2
2,
{1,
4
y kx x y =++=消去y 整理得
22(14)16120k x kx +++=，因为1212OC OD x x y y ⋅=+，由1212
22
1612
,1414k x x x x k k +=-
=++得2
17114OC OD k ⋅=-+
+再由>0∆，可得2
43k >，13[1,)4
OC OD ⋅∈-②求定值问题，一般以算代证：
先分别表示直线AD ：2211y y x x -=
+，BC ：111
1y y x x +=-，解得121221
233kx x x x y x x ++=-，再将1212
22
1612,1414k x x x x k k +=-
=++代入化简得1
2y = 试题解析：（1）因为点(0,2)P 关于直线y x
=-的
对称点为(2,0)-，且(2,0)-在椭圆M 上，所以2a =．
又
2c =
c =2
2
2
431b a c =-=-=．所以椭圆M 的方程为2
214
x y +=． （2）①当直线l 的斜率不存在时，(0,1),(0,1)C D -，所以OC OD ⋅＝－1．当直线l 的斜率存在时，设直
线l 的方程为11222,(,),(,)y kx C x y D x y =+，2
22,
{1,
4
y kx x y =++=消去y 整理得22
(14)16120k x kx +++=，由
>0∆，可得243k >，且1212
22
1612
,1414k x x x x k k +=-
=++，所以1212OC OD x x y y ⋅=+ 212122
17(1)2()4114k x x k x x k =++++=-+
+，所以1314OC OD -<⋅<，综上13
[1,)4
OC OD ⋅∈-．
②由题意得，直线AD ：2211y y x x -=
+，直线BC ：11
1
1y y x x +=-，联立方程组，消去x 得121221233kx x x x y x x ++=
-，又121243()kx x x x =-+，解得12
y =，故点Q 的纵坐标为定值1
2.
考点：直线与椭圆位置关系.
22. 已知实数1a ≥-，设()()ln ,0f x x a x x =+>.
（1）若1a =-，有两个不同实数1x ，2x 满足()()12f x f x ''=，求证：122x x +>；
（2）若存在实数214
c e e
<<，使得()f x c =有四个不同的实数根，求a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）21
0a e
<<.
【解析】 【分析】
（1）首先求出函数的导函数，依题意可得12
1212
ln 20x x x x x x +-+=，先证121x x ≥.再利用基本不等式即可得证；
（2）原题即()f x c =±共有四个不同的实数根，对a 分类讨论，分别利用导数研究函数的单调性与最值，即可求出参数的取值范围；
【详解】解：（1）()1
ln 1f x x x
'=+-. 因为()f x '在0x >上单调递增，
故()()120f x f x ''+=，即12
1212
ln 20x x x x x x +-+= 先证明：121x x ≥.
因为()10f '=，故不妨11x >，201x <<. 设22
1
1x x '=
>. 由基本不等式知：()
()222212220f x f x x x ⎛⎫'''+=-+<-= ⎪⎝
⎭.
因为()f x '在0x >上单调递增且()()120f x f x ''+=， 所以12x x '>即121x x ≥.
因为12x x ≠，由基本不等式得：
122x x +>>.
（2）原题即()f x c =±共有四个不同的实数根. 因为()ln 1a
f x x x
'=++
. ①10a -≤≤，因为()f x '在0x >上单调递增， 且当0x →时()f x '→-∞，
当x →+∞时()f x '→+∞，故存在唯一实数00x >， 使得()00f x '=，即()00ln 1a x x =-+.
因此()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增. 由10a -≤≤可知
01
1x e
≤≤. 把()00ln 1a x x =-+代入得：
()f x 的极小值()()2
000ln f x x x =-.
令()()2
ln h x x x =-，()ln (ln 2)h x x x '=-+.
当210,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0h x '<；
当21,1x e ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，()0h x '>. 因此()h x 在2
10,
e ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭上单调递减，在21,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 故()01,0f x e
⎡⎤∈-⎢⎥⎣
⎦
，
所以()f x c =上至多有两个不同的实数根，()f x c =-上至多有一个的实数根，故不合题意. ②0a >，当0x →时()f x '→+∞， 当x →+∞时()f x '→+∞，()2x a
f x x
-''=. 当()0,x a ∈时，()0f x ''<；
当(),x a ∈+∞时，()0f x ''>，()2ln f a a '=+. 因此()f x '在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增. （i ）若21
a e ≥
，则()0f x '≥（当且仅当2
1a x e
==时取等）， 故()f x 在0x >上单调递增.
因此()f x c =±上至多有两个不同的实数根，故不合题意. （ii ）若21
0a e
<<
，则()0f a '<， 故存在()10,x a ∈和21,x a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使得()()120f x f x ''==. 因此()f x 在()10,x 和()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减. 因为当0x →时()f x →-∞，
当x →+∞时()f x '→+∞，且()()2
111ln 0f x x x =-≤，
故()f x c =上有且仅有一个实数根.
由①的()h x 可知：()124,0f x e ⎛⎫∈-
⎪⎝⎭，()2241,f x e
e ⎛⎫
∈-- ⎪⎝⎭. 故存在()()()
21,c f x f x -∈， 使得
214
c e e
<<.此时()f x c =-上恰有三个不同的实数根. 此时()f x c =±共有四个不同的实数根. 综上：2
1
0a e <<
满足条件. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，以及函数的零点问题，考查分类讨论思想，属于难题.。