陕西省西安市第八十三中学2014届高三下学期第四次模拟考试数学(理)试题

陕西省西安市第八十三中学2014届高三下学期第四次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．设全集U R =，集合{}(){}222,log 3A y y x B x y x ==-==-，则()U C A B = （ ）A. {}23x x -≤< B. {}2x x ≤- C. {}3x x < D. {}2x x <- 2. 复数31ii--等于（ ） A ．i 21+ B.12i - C.2i + D.2i -3.621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项等于（ ）A. 15B. 10C.15-D.10-4．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5．采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A ，编号落入区间[401，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ．则抽到的人中，做问卷C 的人数为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 6．A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边(A 、B 可以不相邻)，那么不同 的排法共有( )A ．24种B ．60种C ．90种D ．120种 7.下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是( )A.8B.9C.10D.118．已知抛物线的方程为22(0)y px p =>，焦点为F ，O 为坐标原点，A 是该抛物线上一点，FA与x 轴的正方向的夹角为60 ，若AOF ∆，则p 的值为（ ）A. 2B.或9.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+=)10(,1)01(,1)(2x x x x x f , 则⎰-=11)(dx x f ( )A.124π-+B. 421π+C. 41π+ D.122π-+10.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数(1)()y x f x '=-的图像如图（第8题图）所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f B ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f C ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f - D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值 (2)f第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置．11．设x ，y 满足约束条件021x x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则52z x y =-+的最小值是 .12．某四面体的三视图如下图所示，则该四面体的四个面中，直角 三角形的面积和．是_______. 13．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …… …… ……按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ． 14．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于4S的概率是 . 15．（考生注意：请在以下三个小题中，任选一个作答．．．．．．.若多做,则按所做的第一题评卷计分） A ．（不等式选做题）若不等式16x x m ++-<的解集为空集，则实数m 的取值范围为 ．B ．（几何证明选做题）AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 延长线于点C ，若DC=2，BC=1，则=∠DCA sin .C ．（坐标系与参数方程选做题），在极坐标系) , (θρ （πθ20<≤）中，直线4πθ=被圆θρsin 2=截得的弦的长是 ．三、解答题：本大题共6小题,共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知等差数列{n a }满足02=a ，1086-=+a a . （I ）求数列{n a }的通项公式； （II ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和． 17．（本小题满分12分）已知a =(x sin 3,x cos ),b =(x cos , x cos -)，21)(-⋅=x f （x ∈R ）．（I ）求函数)(x f 的最小值和最小正周期；（II ）设∆ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c 且3=c ,0)(=C f ，若A B sin 2sin =，求a,b 的值．18．（本小题满分12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图中的信息，回答下列问题．(Ⅰ)求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图； (Ⅱ)根据频率分布直方图，估计本次考试的平均分；(Ⅲ)若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，70）记0分，抽到的学生成绩在[70，100]记1分，用X 表示抽取结束后的总记分，求X 的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD //BC ，AB AD ⊥，AB PA ⊥，224BC AB AD BE ===，平面PAB ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：平面PED ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若直线PE 与平面PAC 所成的角的正弦值为A PC D --的平面角的余弦值． 20．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的两个焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过1F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且△2MNF 的周长为8． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过原点O 的两条互相垂直的射线与椭圆C 分别交于A ，B 两点，求证：点O 到直线AB 的距离为定值，并求出这个定值．21．（本小题满分14分）已知,R m ∈函数x xx g x x m mx x f ln 1)(,ln 1)(+=---=．（Ⅰ）求)(x g 的最小值；（Ⅱ）若)()(x g x f y -=在[)+∞,1上为单调增函数，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）证明：+++44ln 33ln 22ln …)()1(2ln 2*∈+<+N n n n n n ．西安市第八十三中学2014届第4次模拟数学答案（理）一. 选择题（本大题共10小题，每小题5分,满分50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的．）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．-3. 12。

2+ 13．262n n -+． 14．34`15．请考生选答一题,若多答,则按所答的第一题计分.A . .(][),75,-∞-+∞ B.35C. 2．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- ………………5分 （II ）设数列1{}2n n n a n S -的前项和为，即2111,122n n n a a S a S -=+++= 故， 12.2242n n nS aa a =+++ 所以，当1n >时，1211111222211121()2422121(1)22n n n n n nn n n nS a a a a a a nn------=+++--=-+++--=--- =.2nn 所以1.2n n n S -=综上，数列11{}.22n n n n a n n S --=的前项和 ………………12分 17、解.，则的最小值是，最小正周期是；，则，，，，，由正弦定理，得，由余弦定理，得，即，由解得．18．解析] 解：（Ⅰ）设分数在[)70,80内的频率为x，根据频率分布直方图，则有(0.010.01520.0250.005)101x⨯++⨯+=＋，可得x=0.3.所以频率分布直方图如图所示：……………4分（Ⅱ）平均分为：450.1550.15650.15750.3850.25950.05x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯71.=……6分（Ⅲ）学生成绩在[40,70)的有0.4×60=24人，在[70,100]的有0.6×60=36人，且X的可能取值是0，1，2．则22426046(0)295CP XC===，112436260144(1)295C CP XC===，236260105(2)295CP XC====2159．所以X的分布列为：所以EX＝0×46295＋1×144295＋2×105295＝354295=65．……………12分19．法一（Ⅰ）取AD中点F，连接BF，则//FD BE，∴四边形FBED是平行四边形，∴FB//ED∵直角△BAF和直角△CBA中，2BA CBAF BA==∴直角△BAF 直角△CBA ，易知BF AC ⊥∴ED AC ⊥ 2分 ∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD AB = AB PA ⊥∴PA ⊥平面ABCD∴PA ED ⊥， 4分 ∵PA AC A =∴ED ⊥平面PAC . 5分 ∴平面PED ⊥平面PAC . 6分（Ⅱ）设ED 交AC 于G ，连接PG ，则EPG ∠是直线PE 与平面PAC 所成的角.设1BE =由△AGD △CGE ，知23DG AD GE EC ==， ∵2AB AD ==∴35EG DE ==DG =∵∴3PE =，,2AE PA === 9分作GH PC ⊥于H ，由PC DE ⊥，知PC ⊥平面HDG ，∴PC DG ⊥，∴GHD ∠是二面角A PC D --的平面角. 10分∵△PCA △GCH ，∴PA PC GH GC =，而GC ==∴PA GC GH PC ⋅==∴tan GHD ∠=，∴cos GHD ∠=，即二面角A PC D --. 12分 法二：（Ⅰ）∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD AB =，AB PA ⊥∴PA ⊥平面ABCD又∵AB AD ⊥，故可如图建立空间直角坐标系o xyz -2分由已知(0,2,0)D ，(2,1,0)E ，(2,4,0)C ，(0,0,)P λ（0λ>） ∴(2,4,0)AC = ，(0,0,)AP λ= ，(2,1,0)DE =-∴4400DE AC ⋅=-+= ，0DE AP ⋅=，∴DE AC ⊥，DE AP ⊥，∴ED ⊥平面PAC . 4分∴平面PED ⊥平面PAC 6分（Ⅱ）由（Ⅰ），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =- ，(2,1,)PE λ=-设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，∴sin |cos ,|PE DE θ=<>==，2λ=± ∵0λ>∴2λ=，即(0,0,2)P 8分设平面PCD 的一个法向量为n 000(,,)x y z =，(2,2,0)DC = ，(0,2,2)DP =-由n DC ⊥ ，n DP ⊥∴0000220220x y y z +=⎧⎨-+=⎩，令01x =，则n (1,1,1)=-- 10分∴cos <n，DE >==显然二面角A PC D --的平面角是锐角，∴二面角A PC D --的平面角的余弦 12分20．解：（I ）由题意知，48a =，所以2a =．因为12e = 所以222222314b a c e a a -==-=， 所以23b =． 所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ·············4分 II ）由题意,当直线AB 的斜率不存在，此时可设00(,)A x x ，00(,)B x x -.又A ，B 两点在椭圆C 上，所以2200143x x +=，20127x =．所以点O 到直线AB 的距离d ==．···········6分 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+．由22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(34)84120k x kmx m +++-=． ···········8分 由已知0∆>．得：2234km +>设11(,)A x y ，22(,)B x y ．则：1122,y kx m y kx m =+=+所以122834kmx x k+=-+，212241234m x x k -=+． 因为OA OB ⊥ 所以12120x x y y +=．所以1212()()0x x kx m kx m +++=． 即221212(1)()0k x x km x x m ++++=． ··········10分所以22222224128(1)03434m k m k m k k-+-+=++． 整理得)1(12722+=k m ，满足0∆>成立． 所以点O 到直线AB 的距离d ===为定值． ·············13分21．（本小题14分）．解：（Ⅰ）函数()x g 的定义域为()+∞,0，22111)(xx x x x g -=+-='. 当0)(),1,0(<'∈x g x ，当0)(),,1(>'+∞∈x g x .∴ 1=x 为极小值点.极小值g (1)=1. ············3分（Ⅱ） x x x m mx y ln 211----=x xmmx ln 2--=. ∴），[1022∞+≥-+='在x x m m y 上恒成立，即122+≥x xm 在),1[+∞∈x 上恒成立. 又112122≤+=+xx x x，所以1≥m .所以，所求实数m 的取值范围为),1[+∞.·······7分（Ⅲ）由 （Ⅱ），取,1=m 设0)1(ln 21)()()(=≥--=-=h x xx x g x f x h ， 则x x x 1ln 2-≤，即)11(21ln 2x x x -≤.于是)11(21ln 2nn n -≤)(*∈N n .∴)]1312111([21ln 33ln 22ln 11ln 2222nn n n ++++-≤++++())]11431321211([21+++⋅+⋅+⋅-<n n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+--=)1113121211(21n n n )111(21++-=n n )1(22+=n n . 所以)1(2ln 44ln 33ln 22ln 2+<++++n n n n )(*∈N n . ············14分。