福建省漳州市龙海第一中学2023-2024学年高二下学期第二次阶段性考试数学试题

福建省漳州市龙海第一中学2023-2024学年高二下学期第二次
阶段性考试数学试题
一、单选题
1．下列求导运算结果正确的是（ ） A ．()()1ln x x
'
-=
- B ．()()1x x xa a x '
=+ C ．()'
sin πcos π=
D ．()21
tan cos x x
'
=
2．如图，在正四面体ABCD 中，E 是BC 的中点，2AF FD =u u u r u u u r ，则EF =u u u r
（ ）
A ．
211322
AD AB AC --u u u
r u u u r u u u r B ．211322
AD AB AC ++u u u
r u u u r u u u r
C ．211322A
D AB AC ---u u u
r u u u r u u u r
D ．112223AB AC AD +-u u u
r u u u r u u u r
3．若{}
,,a b c r r r
构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A ．2,,2b c b b c +-r r r r r
B ．,2,2a a b a b +-r r r r
r
C ．,,a b a b c +-r r r r r
D ．,,a b a b c c +++r r r r r r
4．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，正方形ABCD 的中心为O ，棱111,CC BC 的中点分别为,E F ，则下列选项中不正确的是（ ）
A ．2OE BC ⋅=u u u r u u u r
B ．FOE S =
△
C ．点F 到直线1OD
D ．异面直线1OD 与EF 5．泊松分布的概率分布列为()e (0,1,2,)!
k
P X k k k λλ-==
=L ，
其中e 为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值.若随机变量X 服从二项分布，当n 很大且p 很小时，二项分布近似于泊松分布，其中np λ=，即()~,,X B n p ()()()*
e !
i
np np P X i n i -==
∈N .现已知某种元件的次品率
为0.01，抽检100个该种元件，则次品率不超过1%的概率约为（参考数据:1
0.37e
≈）（ ）
A ．37%
B ．74%
C ．90%
D ．99%
6．已知随机变量()
2
~,X N μσ，()~6,Y B p ，且()1
32
P X ≥=
，()()E X E Y =，则p =（ ） A ．1
6
B ．14
C ．13
D ．12
7．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋“日落云里走，雨在半夜后等，一位同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了某地区的100天日落和夜晚天气，得到22⨯列联表如下，并计算得到
20.00119.0510.828x x ≈>=，下列中该同学对某地区天气的判断不正确的是（ ）
A ．夜晚下雨的概率约为1
2
B ．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为
514
C ．有99.9%的把握，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关
D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气无关 8．已知实数x ，y ，满足2ln e ln 2x y y y x =-，则y 的最小值为（ ）
A ．e
B ．e 2
C ．2e
D
二、多选题
9．下列关于概率统计的说法中正确的是（ ）
A ．某人在10次答题中，答对题数为(),10,0.7X X
B ~，则答对7题的概率最大 B ．设随机变量X 服从正态分布()0,1N ，若()1P X p ≥=，则(10)12P X p -<<=-
C ．已知回归直线方程为ˆˆ9y
bx =+，若样本中心为()3,24-，则ˆ5b =- D ．两个变量,x y 的相关系数为r ，则r 越小，x 与y 之间的相关性越弱
10．设A ，B ，C 均为随机事件，且0()1P A <<，0()1P B <<，0()1P C <<，则下列结论中一定成立的是（ ）
A ．()(|)(|)P
B P B A P B A =+ B ．
()
(|)(|)()
P ABC P B A P C AB P A = C ．若B A ⊆，则()
(|)()
P B P B A P A =
D ．若(|)(|)P B A P B A =，则()()()P AB P A P B =
11．“新高考”后，普通高考考试科目实行“312++”模式，其中“2”就是考生在思想政治、地理、化学、生物学这4门科目中选择2门作为再选科目．甲、乙两名同学各自从这4门科目中任意挑选2门科目学习．记事件A 表示“甲、乙两人中恰有一人选择生物学”，事件B 表示“甲、乙两人都选择了生物学”，事件C 表示“甲、乙两人所选科目完全相同”，事件D 表示“甲、乙两人所选科目不完全相同”，则（ ）
A ．
B 与
C 相互独立
B ．3
()5
P A
D =∣ C ．1
()5P B
D =∣ D ．11()12
P B D +=
三、填空题
12．某工厂生产的10件产品中，有3件次品，现从中任取3件产品，设X 为取出的3件产品中次品的件数，则X 的均值为．
13．某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为6%,5%,4%，假设这三条生产线产品产量的比为2:3:5，现从这三条生产线上随机任意选取100件产品，则次品数的数学期望为.
14．某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布()
2,N μσ，用样本平均数x 和标准差S 分别作为μ、σ的近似值，其中样本标准差S 的近似
值为50，现任取一辆汽车，则它的单次最大续航里程[]250,400X ∈的概率为.
（参考数据：若随机变量()2
~,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，
()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈）
四、解答题
15．为促进全面阅读，建设书香校园，鼓励学生参加阅读活动，某校随机抽查了男、女生各200名，统计他们在暑假期间每天阅读时长，并把每天阅读时长超过1小时的记为“阅读达标”，时长不超过1小时的记为“阅读不达标”，阅读达标与阅读不达标的人数比为1:1，阅读达标的女生与男生的人数比为3:2．
(1)完成下面的22⨯列联表：
(2)根据上述数据，依据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为“阅读达标情况”与“性别”有关联？
(3)从阅读达标的学生中按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈，再从这5人中任选2人，记这2人中男生人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 参考公式：22
())
n ad bc d χ-=+，n a b c d =+++．
16．如图1，在平行四边形ABCD 中，60,22D DC AD =︒==，将ADC △沿AC 折起，使点D 到达点P 位置，且PC BC ⊥，连接PB 得三棱锥P ABC -，如图2．
(1)证明：平面PAB ⊥平面ABC ；
(2)在线段PC 上是否存在点M ，使平面AMB 与平面MBC 的夹角的余弦值为5
8
，若存在，求
出||||
PM PC 的值，若不存在，请说明理由． 17．为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．下图1
是该公司2013年至2022年的年份代码x 和年研发投入y （单位：亿元）的散点图，其中年份代码1-10分别对应年份2013-2022．
根据散点图，分别用模型①y bx a =+，
②y c =+作为年研发投入y 关于年份代码x 的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：
表中1
10i i i t t t ===∑．
(1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y 关于年份代码x 的经验回归方程模型？并说明理由；
(2)根据（
1）中所选模型，求出y 关于x 的经验回归方程，并预测该公司2028年的高科技研发投入．
附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y L ，其经验回归直线$$y a
bx =+$的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()
()
1
2
1
ˆˆˆ,n
i
i
i n
i
i x x y y b
a
y bx x x ==--==--∑∑． 18．甲、乙两人用一颗均匀的骰子（一种正方体玩具，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6）做抛掷游戏，并制定如下规则：若掷出的点数不大于4，则由原掷骰子的人继续掷，否则，轮到对方掷.已知甲先掷.
（1）若共抛掷4次，求甲抛掷次数的概率分布列和数学期望； （2）求第n 次（2n ≥，n N *∈）由乙抛掷的概率.
19．某人从A 地到B 地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有n 个路口，第二条路线上有m 个路口.
(1)若2n =，2m =，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为
2
3
；第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为34，第二个路口遇到红灯的概率为3
5
，从“遇到红灯次数的期望”考虑，
哪条路线更好？请说明理由.
(2)已知；随机变量i X 服从两点分布，且()()110i i i P X P X p ==-==，
.则11
n
i i n i i E X p ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑，且()2
112,1,2,3,,n n
i i i i i j i j E X p p p i j n ==≠⎡⎤⎛⎫=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣
⎦∑∑∑L .若第一条路线的第i 个路口遇到红灯的概
率为1
2i
，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差.。