从提高学生运算能力的角度浅谈数学核心素养的培养

概括的说：核心素养是指学生借助学校教育所
形成的解决问题的素养与能力。
数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个 人终身发展和社会发展需要的人的关键能力与 思维品质。 数学学科核心素养的内涵包括数学 核心知识、核心能力、核心品质等。 概括的说：数学核心素养是数学学习者在学习
数学或学习数学某一个领域所应达成的综合性
易知点M恰为 FB1 的中点，且 FB1 PB, 同理可知点N恰为 FA1
的中点，且 FA1 PA. ∴F,N,P,M四点在以FP 为直径的圆上，
FPN FMN B1BM FBP ,
FPA FBP.
同理可得 FPB FAP, PFA PFB.
一、数学核心素养的基本概念 核心素养是指学生应具备的、能够适应终身
发展和社会发展需要的必备品格与关键能力。
由此可得到如下三点：一是核心素养要适应和 满足两方面的需要，即学生终身发展的需要和 社会发展的需要； 二是核心素养包括品格与能力
三是核心素养指向素 两个方面，二者缺一不可； 养的核心，是必备的品格与关键的能力。
定理 从抛物线外一点P引抛物线的两条切
线PA,PB,切点分别为A,B,若F是抛物线的焦点，
则有 PFA PFB. 证法1如图，设抛物线的方程为 x2 2 py( p 0), 点P( x0 , y0 ), A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ),
则切线 PA : x1 x py py1 0,
p 2
p p2 y1 y0 y1 y0 2 4 p FP y1 2 p p y1 y0 2 2 p FP y1 2 p y0 p 2 y0 cos PFB , 同理 2 FP , FP ∴ PFA PFB.
| PF | | FA | | FB | .
2
证明 根据定理的第二种证明方法易知
PFA和BFP 相似.

2
FA PF

PF FB
,
| FB | . 故有 | PF | | FA |
有了上面的定理和推论我们就可以很轻松 的解决下面的几个高考题. 例1. 设抛物线C : y x2 的焦点为F,动点P在直线
证法2.如图，设抛物线的方程为y2 2 px( p 0),
点 P( x0 , y0 ), A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 并设点A,B在准 线上的射影分别为 A1 , B1 , 切线PA,PB与
x
轴的交点分别为N,M, p p A1 x1 , , B1 x2 , . 2 2 ∵切线 PB : x2 x py py2 0, py2 x2 M ,0, 即 M ,0 . x2 2
x1x0 py0 py1 0.
切线 PB : x2 x py py2 0,
x2 x0 py0 py2 0.
p p FA ( x1 , y1 ), FB ( x2 , y2 ), 2 2 p FP ( x0 , y0 ), 2
试证:| FC1 | | FC2 | | FCn | 2n 2n1 1.
分析 根据推论2可得 | FCn |
FAn FBn ,
| FAn | | FBn | ( yn 1)(tn 1)
2 2 xn sn 1 1 4 4
1 1 2 n n 1 n 2 1 2 2 1. 1 1 2
n
n
又如.例4 在直角坐标系 与直线
中， 曲线C：y=
( ＞0)交与M,N两点，
(Ⅰ)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程； （Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时， 总有∠OPM=∠OPN？说明理由.
考点定位:抛物线的切线；
FAFP cos PFA FA FP
p p p x1 x0 y1 y0 p y1 y0 y1 y0 2 2 2 p p FP y1 FP y1 2 2
1 2 2 1 2 2 xn sn ( xn sn ) 1, 16 4
1 xn sn 4, xn 2 , sn 4 . 2
n
n
1 2 2 1 2 2 | FAn | | FBn | xn sn ( xn sn ) 1 16 4 1 2 2 2 ( xn sn ) 4
运算能力的培养与学生的素养相辅相成，
主体上无法靠简单的训练形成。 具体地是:中学数学的运算包括数的计算，式 的恒等变形，方程和不等式同解变形，初等函
数的运算和求值，各种几何量的测量与计算， 求解数列和函数、定积分、概率、统计的初步
计算等。 <<高中数学新课程标准>>所要求的 数学能力中运算求解能力更为基本，
四、以平面解析几何为例浅谈高中学生运算 能力的培养 高中学生运算能力的培养是一项长期而又 艰巨的教学工作，涉及中学数学的各个分支， 值得高度关注。 下面以平面解析几何为例浅谈高中学生 运算能力的培养方法与策略 1.建立恰当的坐标系。
2.追根溯源，回归定义。
3.设而不求，整体代换 4.类比代换，减少运算 5.活用曲线系方程 6.利用圆锥曲线的参数方程 7.二级结论，粉末登场 8.类比联想，推广结论
推论1 从抛物线外一点P引抛物线的两条 切线PA，PB，切点分别为A,B，若弦AB经过 抛物线的焦点F，则有 PF AB. 证明 由定理知 PFA PFB.
又∵A,B,F三点共线，PFA PFB 900 , 故有 PF AB.
推论2. 从抛物线外一点P引抛物线的两条 切线PA，PB，切点分别为A,B，则
本数学思想方法的教学； 向学生适当介绍有关
创新性方法学、科学方法论等知识，启发学生 的积极思维，开阔视野。
同时，要帮助学生建立良好的数学认知结构 和培养广泛迁移能力， 要重视数学知识与应用 的发生过程，重视知识间的有机联系，把整体 学习与局部学习有机结合起来。 3.优化教学过程，培养学生的主体意识。 在运算教学中，要重视从激发学生学习数学 努力提高学生学习的积极性和主 的兴趣入手， 动性。
数学运算，都是依据相应的概念、法则、性质、 尤其是概念，它是思维 公式等基础知识进行的，
的形式，只有概念明确、理解透彻，才能作出 计算法则是计算 正确的判断及合乎逻辑的推理， 方法的程序化和规则化，对法则的理解是计算 高考命题对运算求解能力的考 技能形成的前提， 查主要是针对算法、推理以及代数运算为主的 考查。
运算求解能力指的是要求学生会根据法则、公 式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问
题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；
能根据要求对数据进行估计和近似计算。
运算求解能力是思维能力和运算技能的结合。
运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对 式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几 何量的计算求解等。
激发学生学习兴趣的方式并不在于过多地求新
求奇，而主要在于教学内容要在适应学生现有 使教学具有启 水平基础上达到最近发展区水平， 发性，通过挖掘数学中的美来启迪学生的心灵， 也是吸引学生自觉钻研数学的一个重要方面。 4．引导学生反思，提升运算品质。 引导学生进行运算解题后的反思，是进一步 优化数学思维品质， 培养数学素养的重要举措，
1 2 2 ( xn 2 xn sn sn ) 4
1 2 ( xn sn ) , 4
1 n 1 | FCn | FAn FBn [2 4 ] 2 2 n 1 1 n 1 2 . 2 | FC1 | | FC2 | | FCn |
能力。
二、高中数学核心素养的基本内容 高中数学核心素养主要包括:学会学习、 应用能力、创新意识、数学抽象、逻辑推理、 数学建模、数学运算、几何直观、数据分析， 其中前三项为通识素养，后六项为数学素养。 数学核心素养是数学的教与学过程应当特别 关注的基本素养。
章建跃博士认为:数学学习的基本任务是 学会运算和推理，运算离不开推理，推理在高 中乃至整个基础教育阶段的数学学习中的展现 形式就是运算。 近年来，各地的高考试题一直 关注对数学核心素养中的运算能力的考查，要 求考生在理解、应用、实施运算过程中，分析 运算条件、探究运算方向、选择运算方法、设 计运算程序(考查算法算理)。
三、高中数学运算能力的培养方法与策略
以高三为例着重以几个方面 1、着眼于扎实的数学基础知识与基本技能。 落实基本概念、公式、法则的理解是思维和运 算的“基元”， 在数学教学中，让学生牢固掌握运 算所需要的概念、公式、法则是运算的前提。 2.突出数学思想与方法的教学，提倡在理解的 基础上创新。
必须突出数学思想和方法的教学，使学生在 把握问题、理解问题的基础上有所创新，要重 视培养学生的观察能力、分析能力、抽象概括 能力，推理论证能力等， 要加强特殊化、一般 化、类比推广、从反面考虑问题、构造法等基
l : x y 2 0 上运动，过P作抛物线C的两条
切线PA,PB,且与抛物线C分别相切于A,B两点， 证明: PFA PFB. 分析 本题命制背景实际上就是本文阐述的定理，
引进向量即可快速证明.
抛物线上的两动点，且 AF FB( 0),过A,B
2 已知抛物线 x 4 y 的焦点为F,A,B是 例 2.
两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。证明 FM AB 为定值.
分析 根据条件 AF FB( 0), 可知，弦AB的
过抛物线的焦点，由推论1可得 MF AB,
从而有 FM AB 0(定值).
9.平面几何精彩亮相
常用平面几何知识如下:
(1)三角形与梯形中位线定理； (2)角平分性质定理与比例的等比性质定理； (3)特殊多边形(正三角形、等腰三角形、正方 形、菱形、平行四边形等)性质； (4)与圆相切的性质； (5)垂经定理及圆的相关性质；
(6)相似三角形性质、平行线分线段成比例定理； (7)两圆相交与相切(内切与外切)的性质； (8)直角三角形中30度所对直角边等于斜边的 一半，反之也成立等。
对运算的过程和结果进行评估和研判，也是
这一过程既是对学生运 学生运算能力的一种，
算品质的全面性进行培养，也是学生对自己 思维活动的再认识的过程。 总之，高三复习过程中要把培养学生的运算能 力列为明确的教学目标，辅之以相应的教学素 材和教学设计。要把学生运算能力的培养渗透 到每节课、每道题中。
任何一道精心编拟的数学试题，均蕴涵着运算 的通性通发或者是在数学思想方法基础上所表 如果注意渗透、 现出来的合理、简捷的运算方式。 适时讲解、反复强调，贯穿于整个高三复习的 始终学生就会深入于心，形成良好的运算心理、 意识和品质，数学核心素养的培养才会得到有 效落实。
例3. 如图，对每个正整数 n, An ( xn , yn ) 是抛物线 x 4 y 上的点， 过焦点F的直线
2Hale Waihona Puke FAn 交抛物线于另一点 Bn (sn , tn ).
1)试证: xn sn 4(n 1); 2)取 xn
2 , 并记 Cn
n
为抛物线上分别以An与Bn 为切点的两条切线的交点。