武忠祥《2016高等数学辅导讲义》第四章解答

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其特征方程为 (r 1)2 (r 1) r3 r2 r 1 0 ,故应选(B).
4.【解】应选(A). 特征方程为 r 2 1 0, 则 r1,2 i, 则特解形式为 y ax2 bx c x( Asin x B cos x).
5.【解】应选(D).由 y C1ex C2e2x xex 为方程的解知, r1 1, r2 2 为两个特征根, 特 征方程为 (r 1)(r 2) r 2 r 2 0 ,正确选项只可能是(C)或(D),将 y xex 代入(D)中的
(5)
联立(5)式和(4)式消去 C1 得
(2x x2) y (x2 2) y 2(1 x) y 6(1 x)
20.【解】将 y 与 x 对调, y
1 x
,
y


(
x x ) 2
1 x


(
x x)
3
代入原方程得 x x e2 y ,则其通解为
又已知有公共切线,得 y 1, y 1,
x0
x0
即 C1 C2 1, C1 2C2 1. 解得 C1 1, C2 0 . 所以 y (1 2x)ex .
19.【解】 y2 y1 x2, y3 y1 ex 为齐次方程的两个线性无关的特解,则所求方程通解为
y C1x2 C2ex 3 。
y C1x2 C2ex 3
(1)
(1)式求导得 y 2C1x C2ex
(2)
再求导得
y 2C1 C2ex
(3)
(3) (2) 得 y y 2C1(1 x)
(4)
(1) (2) 得 y y C1(x2 2x) 3
dy
dy
y
du dy


u 1

eu eu


1 eu u eu
du

dy y
ln u eu ln C y
1 u eu
Cy
即 (u eu ) y

1 C

x
x
ye y

1
C
11. 【解】
应填
y

1 2
(ex

ex

xex
)
.由方程
y

ay

by

0
的通解为
0
0
0
f (x) 1 x f (u)du , f (x) f (x) ,又 f (0) 1,则 f (x) ex. 0
23.【解】
对原方程两边求导: f (x) ex ex
x
[
f
(t)]2
dt

e
x[
f
(t )]2
.
0
再把原方程代入得 f (x) f (x) ex[ f (x)]2,
tz(t) z(t) 0, z(1) 0, z(1) 1.
解得 z(t) ln t, f (t) ln t , t e 最大, f (e) 1 .
lim x0
y(x) 1 2x
f (0) , 在 y (x 1) y x2 y ex 中令 x 0 得 2
y(0) 2. 则 a 1.
14.【解】特征方程为 r 2 4r 3 0, 则 r1 1, r2 3, 则非齐次特解形式为 ae2x.代入原方程
(x) 0 ,即(x) 单调增加,因而(x) (0) 0 ,即有 f (x) ex. .
综上所述,当 x 0 时,成立不等式 ex f (x) 1.
【证法二】
由于
x
f (t)dt f (x) f (0) f (x) 1,所以
f (x) 1
2
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2016 高等数学辅导讲义练习题解答
得 a 2, 则原方程的通解为 y C1e3x C2ex 2e2x. 15.【解】已知微分方程的特征方程为 r3 2r2 r 2 0 ,即 (r 2)(r 2 1) 0 ,解得
r 2,i ,故所求方程通解为 y C1e2x C2 cos x C2 sin x .
y

C1e x

C2e x
可知,该方程的特征方程有特征根 r1,2 1, 则其特征方程为 r2 1 0, 从而 a 0,b 1.
设方程 y y ex 的特解为 y axex , 代入该方程得 a 1 . 2
则方程 y y ex 的通解
y

C1e x
ln y
arctan1 ln


ln
,即 y

e 4
,故选(D).
4
2.【解】应选(D).特征方程为 r 2 2r 1 0, 则 r1 r2 1, 则特解形式为 ( Ax B)x2ex.
3.【解】应选(B).由题设知 r 1,1,1为所求齐次线性微分方程对应特征方程的 3 个根,则

f f
(x) 2 (x)

1 f (x)
ex.
令u
1 ,则 u(x) f (x)
f f
(x) 2 ( x)
,所以有
u u ex.
由求解公式得 u(x) e dx[ e dx (ex )dx C] ex[ e2xdx C] Cex 1 ex , 2
将 f (0) 0 代入上式,得 C 1,所以 f (x) ex2 1.
x
x
x
x
22.【解】令 x t u, 则 tf (x t)dt (x u) f (u) x f (u)du uf (u)du
0
0
0
0
x
x
x
f (t)dt = x x f (u)du uf (u)du ,等式两端对 x 求导得
得 (x 1) f (x) (x 2) f (x).
4
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设 u f (x) ,则有 du x 2 u ,解之得 f (x) u Cex . .
dx x 1
x 1
由 f (0) 1及 f (0) f (0) 0 ,知 f (0) 1 ,从而 C 1,因此 f (x) ex . x 1
2x[ f (x) f (0)] 2x ,
由题设知 f (0) 0 ,故有 f (x) 2xf (x) 2x ,
从而得 f (x) e 2xdx 2xe 2xdxdx C ex2 2xex2 dx C
ex2 (ex2 C) 1 Cex2 ,
z z(t) 2x, x
2z x2

2z(t)

4 x 2 z(t )
5
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2z 2z(t) 4 y2z(t) y 2
2z x2

2z y 2

4( x2

y 2 ) z(t )

4 z(t )

0
方程知其满足该方程.
6.【解】应选(D). 由 y C1ex C2 cos 2x C3 sin 2x 为方程的解知, r1 1, r2,3 2i 为三个 特征根, 特征方程为 (r 1)(r 2 4) r3 r2 4r 4 0, 故应选(D).
7.【解】应选(C). 特征方程为 r 2 2 0, 则 r1,2 , 则特解形式为
y x(aex bex ). 故应选(C).
8.【解】 原方程可化为
dy y 1 dx x ln x x
解此线性方程得
y 1 (ln x 1 )
2
ln x
9.【解】 原方程即 y y x2 ,解此一阶线性方程,得 y x 1 x2 x C . 由
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《高等数学辅导讲义》
练习题解答
第四章 常微分方程
1.【解】应选(D).
由 y

yx 1 x2

知 dy dx

1
y x
2
.
分离变量,解此微分方程,得
ln y arctan x C . 由 y(0) 知 C ln ,故 ln y arctan x ln . 于是,当 x 1时
16.【解】
yt

C(5)t

5 12
(t

1 ). 6
17.【解】 yt C 2t (5t t2 )2t ;
18.【解】 对应齐次方程的通解为Y C1ex C2e2x .
设原方程的特解为 y Axex . 得 A 2 .
故原方程通解是 y(x) C1ex C2e2x 2xex .
(2)【证法一】 当 x 0 时, f (x) 1 ,即 f (x) 单调减少,又 f (0) 1 ,所以
f (x) f (0) 1 . 设 (x) f (x) ex , 则 (0) 0,(x) f (x) ex x ex . 当想 x 0 时 , x 1
x et dt.
0
0t 1
注意到当 x 0 时, 0 x et dt x etdt 1 ex ,因而 ex f (x) 1 .
0t 1
0
25.【解】 f (t)
(x2 y2) f (
x2 y2 )dxdy t 4
2

C2e x

1 2
xe x .

y(0)

0,
y(0)

3 2
得 C1

1 2
,C2


1 2
. 则所求特解为
y

1 2
(ex

e x

xex ).
12.【解】 应填
y

C1
cos
x

C2
sin
x

x

1 2

x
sin
x
.
齐次方程的特征方程为 r2 1 0, 特征根为 r1,2 i. 齐次通解为
2x 2
5

1
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y 6 知 C 1,故所求方程特解为 y 1 x3 x .
x1 5
5
10.【解】由原方程得
(1
x
ey
)
dx

(1
x)

0
dy
y
令 x u, 则 x yu, dx u y du ,代入上式得
y
x 0
x
e x f (x) ex f (x) f (x)
lim
x0
x
e x lim f (x) f (x) x0 x
e x f (0) f (x)
( f (0) 0)
2e x f (x) ,则 f (x) 2xex.
27.【解】令 x2 y2 t, 则 z tf (t) z(t)
3
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x

C1e y

C2e y

1 e2y 3
21.【解】 f (x) x2
x
f (t)dt
x
t
2
f
(t)dt

x2

0
0
f (x) 2x x f (t)dt x2 f (t) x2 f (x) 2x 0
y C1 cos x C2 sin x
设非齐次方程的特解为 y ax x[b cos x c sin x]
代入原方程得 a 1,b 0,c 1 . 2
则原方程的通解为
y

C1
cos
x

C2
sin
x

x

1 2
x
sin
x
13.【解】 lim x0
y(x) x x2
d
t r3 f (r)dr t4
0
0
x2 y2 t2
2 t r3 f (r)dr t 4 , f (t) 2t3 f (t) t 4, 又 f (0) 0, 则 f (x) 1 (ex4 1).
0

26.【解】 f (x) lim f (x x) f (x)

f
(x)

Ce x
1
1
ex
.
2
又由原方程知
f
(0) 1,代入上式得1
f
(0)

C
1
1
,C

3 . 所以 2
f
(x)

2 3ex ex
.
2
x
24.【解】 (1)由题设知 (x 1) f (x) (x 1) f (x) f (t)dt 0 ,上式两边对 x 求导, 0
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