2018-2019学年高中新创新一轮复习理数：课时达标检测(十一) 函数与方程含解析

课时达标检测（十一） 函数与方程
[小题对点练——点点落实]
对点练(一) 函数的零点问题
1．(2018·河北武邑中学基础训练)方程ln(x ＋1)－2
x ＝0(x >0)的根存在的大致区间是
( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2，e)
D ．(3,4)
解析：选B 令f (x )＝ln(x ＋1)－2
x ，则f (1)＝ln(1＋1)－2＝ln 2－2<0，f (2)＝ln 3－1>0，
所以函数f (x )的零点所在大致区间为(1,2)．故选B.
2．(2018·四川双流中学必得分训练)函数f (x )＝2x ＋2x 的零点所处的区间是( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,0] C ．[0,1]
D ．[1,2]
解析：选B f (－2)＝2－
2＋2×(－2)<0，f (－1)＝2－
1＋2×(－1)<0，f (0)＝20＋0>0，由零点存在性定理知，函数f (x )的零点在区间[－1,0]上．故选B.
3．(2018·云南大理州统测)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
ln x ，x >0，－x (x ＋2)，x ≤0
的零点个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选D 当x >0时，令f (x )＝0可得x ＝1；当x ≤0时，令f (x )＝0可得x ＝－2或x ＝0.因此函数的零点个数为3.故选D.
4．关于x 的方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选B ∵a >0，∴a 2＋1>1.而y ＝|x 2－2x |的图象如图所示，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有2个交点，即方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是2.
5．函数f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6
D ．7
解析：选B 令2sin πx －x ＋1＝0，得2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题就转化为函数h (x )与g (x )的图象的交点个数问题．h (x )＝2sin πx 的最小正周期为T ＝
2π
π
＝2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h (1)＝g (1)，h ⎝⎛⎭⎫52>g ⎝⎛⎭⎫52，g (4)＝3>2，g (－1)＝－2，所以两个函数图象的交点共5个，所以f (x )＝2sin πx
－x ＋1的零点个数为5.
对点练(二) 函数零点的应用问题
1．已知函数f (x )＝log 3x ＋2
x －a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，－log 32) B ．(0，log 52) C ．(log 32,1)
D ．(1，log 34)
解析：选C ∵单调函数f (x )＝log 3x ＋2
x －a 在区间(1,2)内有零点，∴f (1)·f (2)<0，即(1－a )·(log 32－a )<0，解得log 32<a <1，故选C.
2．(2018·甘肃天水一中月考)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为( )
A ．(－∞，0)
B ．(0，＋∞)
C ．(0,1)∪(1，＋∞)
D ．(－∞，0)∪{1}
解析：选C 由题意，显然x ＝1是函数f (x )的一个零点，取a ＝－1，则f (x )＝ln x ＋x 2
－x ，f ′(x )＝2x 2
－x ＋1x ＝2⎝⎛⎭⎫x －142＋7
8
x
>0恒成立．则f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除
A 、D ；取a ＝1，则f (x )＝ln x －x 2
＋x ，f ′(x )＝1－2x 2＋x x ＝(1＋2x )(1－x )
x
，f ′(x )＝0得x
＝1，则f (x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，f (x )max ＝f (1)＝0，即f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除B ，故选C.
3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
sin πx ，0≤x ≤1，
log 2 017
x ，x >1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a
＋b ＋c 的取值范围是( )
A ．(1,2 017)
B ．(1,2 018)
C ．[2,2 018]
D ．(2,2 018)
解析：选D 作出函数f (x )的图象与直线y ＝m ，如图所示，不妨设a <b <c ，当0≤x ≤1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 的交点分别为A ，B ，由正弦曲线的对称性，可得A (a ，m )与B (b ，m )关于直线x ＝1
2对称，因此a ＋b ＝1，当直线y ＝m ＝1时，由log 2 017x ＝1，解
得x ＝2 017.若满足f (a )＝f (b )＝f (c )，且a ，b ，c 互不相等，由a <b <c 可得1<c <2 017，因此可得2<a ＋b ＋c <2 018，即a ＋b ＋c ∈(2，2 018)．故选D.
4．(2018·孝感模拟)若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫－12，14
B.⎝⎛⎭⎫－14，1
2 C.⎝⎛⎭⎫14，12
D.⎣⎡⎦
⎤－14，12 解析：选C 依题意并结合函数f (x )的图象可知，⎩⎪⎨⎪
⎧
m ≠2，f (－1)·
f (0)<0，f (1)·f (2)<0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
m ≠2，[m －2－m ＋(2m ＋1)](2m ＋1)<0，[m －2＋m ＋(2m ＋1)][4(m －2)＋2m ＋(2m ＋1)]<0，
解得14<m <12
.
5．(2018·广东七校联合体联考)若函数f (x )＝2x ＋a 2x －2a 的零点在区间(0,1)上，则实数a 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫－∞，12 B ．(－∞，1) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞
D ．(1，＋∞)
解析：选C 易知函数f (x )的图象连续，且在(0,1)上单调递增．∴f (0)f (1)＝(1－2a )(2＋a 2－2a )<0，解得a >1
2
.
6．已知x 0是f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1
x 的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0
D ．f (x 1)<0，f (x 2)>0
解析：选C 在同一坐标系下作出函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，f (x )＝－1x 的图象(图略)，由图象可知当x ∈(－∞，x 0)时，⎝⎛⎭⎫12x >－1x ；当x ∈(x 0,0)时，⎝⎛⎭⎫12x <－1x ，所以当x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)时，有f (x 1)>0，f (x 2)<0.
7．(2018·龙岩质检)已知f (x )是奇函数，且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是________．
解析：令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，
解得λ＝－7
8
.
答案：－7
8
8．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2(x ＋1)，x >0，
－x 2
－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．
解析：函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有
3个，进而转化为y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图象，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1,1)，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．
答案：(0,1)
[大题综合练——迁移贯通]
1．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围．
解：f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－
1
2a
. ①当－12a ≤－1，即0<a ≤1
2时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (1)≥0，即⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≤5，a ≥1，∴
无解．
②当－1<－12a <0，即a >1
2
时，
须使⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝⎛⎭⎫－12a ≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧
－12a －3－a ≤0，
a ≥1，解得a ≥1，
∴a 的取值范围是[1，＋∞)．
2．(2018·德州模拟)已知函数f (x )＝－x 2－2x .g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.
(1)求g [f (1)]的值；
(2)若方程g [f (x )]－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵f (1)＝－12－2×1＝－3，
∴g [f (1)]＝g (－3)＝－3＋1＝－2.
(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象，如图所示，由
图象可知，当1≤a <5
4
时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围
是⎣⎡⎭
⎫1，54. 3．(2018·信阳模拟)已知函数f (x )＝log 2(2x ＋1)． (1)求证：函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；
(2)若g (x )＝log 2(2x －1)(x >0)，且关于x 的方程g (x )＝m ＋f (x )在[1,2]上有解，求m 的取值范围．
解：(1)证明：∵函数f (x )＝log 2(2x ＋1)，任取x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝log 2(2x 1＋1)－log 2(2x 2
＋1)＝log 22x 1＋12x 2＋1
，
∵x 1<x 2，∴0<2x 1＋1
2x 2＋1<1，
∴log 22x 1＋1
2x 2＋1<0，
∴f (x 1)<f (x 2)，
∴函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． (2)∵g (x )＝m ＋f (x )， ∴m ＝g (x )－f (x )
＝log 2(2x －1)－log 2(2x ＋1) ＝log 22x －12x ＋1
＝log 2⎝⎛⎭
⎫1－2
2x ＋1，
∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4， ∴log 213≤log 2⎝⎛⎭⎫1－22x ＋1≤log 23
5，
故m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤log 213
，log 23
5.。