【通用版】2018-2019学年高中理数新创新一轮复习 课时达标检测五 函数的单调性与最值含解析

课时达标检测（五） 函数的单调性与最值
[小题对点练——点点落实]
对点练(一) 函数的单调性
1．(2018·阜阳模拟)给定函数①y ＝x 1
2
，②y ＝log 12
(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋
1.其
中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
解析：选B ①y ＝x 12
在(0,1)上递增；②∵t ＝x ＋1在(0,1)上递增，且0<1
2<1，故y ＝log 12
(x ＋1)在(0,1)上递减；③结合图象可知y ＝|x －1|在(0,1)上递减；④∵u ＝x ＋1在(0,1)上递增，且2>1，故y ＝2x ＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.
2．(2018·天津模拟)若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( )
A ．f (x )＝(x －1)2
B ．f (x )＝e x
C ．f (x )＝1
x
D ．f (x )＝ln(x ＋1)
解析：选C 根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．对于A ，f (x )＝(x －1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A ；对于B ，f (x )＝e x 在(0，＋∞)上单调递增，排除B ；对于C ，f (x )＝1
x 在(0，＋∞)上单调递减，C 正确；对于D ，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D.
3．(2018·宜春模拟)函数f (x )＝log 3(3－4x ＋x 2)的单调递减区间为( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，1)，(3，＋∞) C ．(－∞，1)
D ．(－∞，1)，(2，＋∞)
解析：选C 由3－4x ＋x 2>0得x <1或x >3.易知函数y ＝3－4x ＋x 2的单调递减区间为(－∞，2)，函数y ＝log 3x 在其定义域上单调递增，由复合函数的单调性知，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1)，故选C.
4．(2018·贵阳模拟)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( ) A ．y ＝－2x ＋1 B ．y ＝1
x C ．y ＝lg x
D ．y ＝x 3
解析：选B y ＝－2x ＋1在定义域上为单调递减函数；y ＝lg x 在定义域上为单调递增函数；y ＝x 3在定义域上为单调递增函数；y ＝1
x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为单调递减函数，但在定义域上不是单调函数．故选B.
5．若函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1,5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，8]
B ．[40，＋∞)
C ．(－∞，8]∪[40，＋∞)
D ．[8,40]
解析：选C 由题意知函数f (x )＝8x 2－2kx －7的图象的对称轴为x ＝k
8，因为函数f (x )
＝8x 2－2kx －7在[1,5]上为单调函数，所以k 8≤1或k
8≥5，解得k ≤8或k ≥40，所以实数k
的取值范围是(－∞，8]∪[40，＋∞)．故选C.
6．定义运算⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
a b c
d ＝ad －bc ，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
x －1 2－x x ＋3在(－∞，m )上单调递减，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－2，＋∞)
B ．[－2，＋∞)
C ．(－∞，－2)
D ．(－∞，－2]
解析：选D ∵⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，∴f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3＝(x －1)(x ＋3)－2×(－x )＝x 2＋4x －3＝(x ＋2)2－7，
∴f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)， ∵函数f (x )在(－∞，m )上单调递减，
∴(－∞，m )⊆(－∞，－2)，即m ≤－2.故选D. 对点练(二) 函数的最值
1．已知a >0，设函数f (x )＝2 018x ＋
1＋2 016
2 018x ＋1
(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，
那么M ＋N ＝( )
A ．2 016
B ．2 018
C ．4 032
D ．4 034
解析：选D 由题意得f (x )＝2 018x ＋1＋2 0162 018x ＋1＝2 018－2
2 018x
＋1
.∵y ＝2 018x ＋1在[－a ，
a ]上是单调递增的，∴f (x )＝2 018－
2
2 018x ＋1
在[－a ，a ]上是单调递增的，∴M ＝f (a )，N ＝f (－
a )，∴M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝4 036－
22 018a ＋1－2
2 018－a ＋1
＝4 034.
2．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )
x
在区间(1，＋∞)上一定( )
A ．有最小值
B ．有最大值
C ．是减函数
D ．是增函数
解析：选D 由题意知a <1，又函数g (x )＝x ＋a
x －2a 在[|a |，＋∞)上为增函数，故选
D.
3．(2018·湖南雅礼中学月考)若函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x ＋6，x ≤2，
3＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)的值域是[4，
＋∞)，则实数a 的取值范围是( )
A ．(1,2]
B ．(0,2]
C ．[2，＋∞)
D ．(1,2 2 ]
解析：选A 当x ≤2时，－x ＋6≥4.当x >2时，⎩⎪⎨⎪⎧
3＋log a x ≥4，
a >1，
∴a ∈(1,2]，故选A.
4．(2018·安徽合肥模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x )·sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( )
A ．4
B ．2
C ．1
D ．0
解析：选A 设t ＝x －1，则y ＝(x 2－2x )sin(x －1)＋x ＋1＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2，t ∈[－2,2]．记g (t )＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2，则函数y ＝g (t )－2＝(t 2－1)sin t ＋t 是奇函数．由已知得y ＝g (t )－2的最大值为M －2，最小值为m －2，所以M －2＋(m －2)＝0，即M ＋m ＝4.故选A.
5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2x －3，x ≥1，
lg (x 2＋1)，x <1，则f (x )的最小值是________．
解析：当x ≥1时，x ＋2
x －3≥2
x ·2x －3＝22－3，当且仅当x ＝2x ，即x ＝2时等号
成立，此时f (x )min ＝22－3＜0；当x ＜1时，lg(x 2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f (x )min ＝0.所以f (x )的最小值为22－3.
答案：22－3
6．(2018·益阳模拟)已知函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤
38，49，则函数g (x )＝f (x )＋1－2f (x )的值域为________．
解析：∵38≤f (x )≤49，∴13
≤
1－2f (x )≤1
2
.令t ＝
1－2f (x )，则f (x )＝1
2
(1－t 2)⎝⎛⎭⎫13≤t ≤12，令y ＝g (x )，则y ＝12(1－t 2)＋t ，即y ＝－12(t －1)2＋1⎣⎡⎦⎤13≤t ≤12.∴当t ＝13时，y 有最小值7
9；当t ＝12时，y 有最大值7
8
.∴g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤79，78. 答案：⎣⎡⎦⎤
79，78
[大题综合练——迁移贯通]
1．已知函数f (x )＝ax ＋1
a (1－x )(a >0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．
解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫a －1a x ＋1a ，当a >1时，a －1
a >0，此时f (x )在[0,1]上为增函数，∴g (a )＝f (0)＝1a ；当0<a <1时，a －1
a
<0，此时f (x )在[0,1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧
a ，0<a <1，1a ，a ≥1，
∴g (a )在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，
又a ＝1时，有a ＝1
a
＝1，
∴当a ＝1时，g (a )取最大值1.
2．(2018·衡阳联考)已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23
.
(1)求证：f (x )在R 上是减函数；
(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．
解：(1)证明：设x 1>x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在R 上为减函数．
(2)∵f (x )在R 上是减函数，∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．而f (3)＝3f (1)＝－2，且f (0)＋f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0，又f (－3)＋f (3)
＝f(－3＋3)＝0，∴f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.
3．已知f(x)＝
x
x－a
(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
解：(1)证明：任设x1<x2<－2，则f(x1)－f(x2)＝
x1
x1＋2
－
x2
x2＋2
＝
2(x1－x2)
(x1＋2)(x2＋2)
.∵(x1＋2)(x2
＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增．
(2)任设1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝
x1
x1－a
－
x2
x2－a
＝
a(x2－x1)
(x1－a)(x2－a)
.∵a>0，x2－x1>0，∴要
使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.综上所述知a的取值范围是(0,1]．。