二重积分的概念与性质

(2) 所求量的结构式相同 曲顶柱体体积:
n
Vlim 0i1
f(i,i)i
平面薄片的质量:
n
Ml i0m i1(i,i)i
精选ppt
9
二、二重积分的定义及可积性
1.定义 设f(x,y)是定义在有界闭区域 D上的有界函数 ,
将区域 D 任意分成 n 个小区域 i(i 1 ,2 , ,n ),
30
D3 D1
D2
由二重积分积分区域的可加性得
.
D
D1
D2
D3
精选ppt
31
2.【二重积分公式推导】
(1) 若积分区域为X－型域： axb, 1 (x )y2 (x ).
且f设 (x,y)0
则f (x, y)d的 值 等 于 D为 以底 ， 以 曲 面
D
z f(x,y)为曲顶的曲顶柱 积体 ．的体
体积为
b
V A(x)dx
a
x xdx b
x
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28
一、利用直角坐标系计算二重积分
1. [预备知识]
(1)［X－型域］
axb, 1 (x )y 2 (x ).
y2(x)
D
y1(x)
a
b
y2(x)
D
y1(x)
a
b
其中函数 1(、x) 在2(x区) 间 上[a连,b续] .
[X—型区域的特点] 穿过区域且平行于y 轴的直线与区 域边界相交不多于两个交点.
D 1 D 2
D2为y轴右方的部分
23
[例如] D 1为 D :x2y21在第一象限部分, 则有
(1) (x2y2)dxdy2(x2y2)dxdy；
D
D上
4(x2y2)dxdy；
y
D1
o
x
D1
(2) (xy)dxdyxdxdyydxdy0
D
D
D
说明 利用对称性简化运算时要特别考虑两方面 ①被积函数的奇偶性
解法 类似定积分解决问题的思想:
“分割, 取近似, 求和, 取极限”
精选ppt
步骤如下
z
6
zf(x,y)
①分割：先分割曲顶柱体 的底，并取典型小区域，
②取近似、 ③求和：用若干
个小平顶柱体体积之和近似
表示曲顶柱体的体积，
④取极限：
x
得曲顶柱体的体积
o
D
•
zf(x,y) i
n
Vl i0mf(i,i)i. i1
12
[注] 1. 重积分与定积分的区别：
重积分中d 0,定积分中dx 可正可负.
2. 根据分割的任意性，当二重积分存在时，在直角坐标系 下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D
x常数, y 常数
y
则直角坐标系下面积元素为 ddxdy
D
故二重积分可写为 f(x,y)df(x,y)dxdy o
x
D
D
引例1中曲顶柱体体积:
D
D1
( 2 )f( x , y ) f( x ,y )则,If(x,y)d0
D
22
y
D1
oD x
当区域关于y轴对称, 函数关于变量x有奇偶性时有类似结果.
2. 若D关于原点对称, (1) f ( x , y ) f ( x ,y ) I ,0
(2) f( x , y ) f(x ,y )I, 2 精选 p pt2
(1)积分存在时，其值与区域的分法和点 (i,的i) 取法无关
？ 不能 用 i 0 代替 0
(2)存在条件（充分条件）
当 f ( x, y)在有界闭区域上连续时，定义中和式的极
限必存在，即二重积分必存在. 以 后 总f(假 x,y)定 在 所 论 有D界 上闭 连域 续
从而二重积分 的 . 都是存在
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21
2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则
I1 yx3d, I2 y2x3d,
D
D
的大小顺序为 ( D)
I3 y12x3d
D
提示
(A )I1I2I3 ; (B )I2I1I3; (C )I3I2I1; (D )I3I1I2.
区域D相同，则比较被积函数的大小
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4
一、问题的提出——引例
1．曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积×高 【特点】平顶.
zf(x,y)
D
柱体体积=？ 【特点】曲顶.
zf(x,y) D
精选ppt
给定曲顶柱体:
5
zf(x,y)
底：xoy 面上的闭区域D
D
顶: 连续曲面 zf(x,y)0
侧面：以D的边界为准线 , 母线平行于z 轴的柱面 求其体积.
D
D
性质5 若在D上 f(x,y)g(x,y), 比较性质
特殊地
则有 f(x,y)dg (x,y)d.
D
D
f(x,y)df(x,y)d.
D
D
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15
性质6 设M 、m分别是 f (x, y)在闭区域 D 上的最
大值和最小值， 为 D 的面积，则
m f(x,y)dM
D
二重积分估值不等式
性质7 设函数 f (x, y)在闭区域 D 上连续， 为 D 的面积，则在 D 上至少存在一点( , )使得
f(x,y)df(,)
D
二重积分中值定理
几何意义 曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积
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16
以下仅证性质7（中值定理）
证明
f(x,y)是有界 D上 闭的 域连续函数
必有最大、最 M、小 m 值
由估值性质得
由于 0
m f(x,y)dM m1Df(x,y)dM
D
据有界闭域上的连续函数的介值定理
(3) f (x,y)在D上有界是二重积分存在的必要条件. 连续是二重积分存在的充分条件
(证明略)
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3.【二重积分的几何意义】
11
体
1)若 f(x,y)0,f(x, y)d 表曲顶柱体的体积.
积 的
D
2)若 f(x,y)0, f(x, y)d 表曲顶柱体体积的负值.
代 数
D
3)若 f(x,y)1, 1 d 表区域D的面积.
⑴分割：将薄片分割成若干小块， y
⑵近似：取典型小块，将其近似
•
看作均匀薄片，
(i,i )
⑶求和：所有小块质量之和
i
近似等于薄片总质量
o
x
n
⑷ 取极限：得薄片总质量 M 精选 pptl i0m i1(i,i)i.
8
两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同 “分割, 取近似, 求和, 取极限”
1(x0)
2(x0)
A A ((x x0 )) 1 2 1 (2 ((x(x x)x 0 )0 ))ff(x (,xy 0,)d yy )dy
D
D
逐项积分
[k(fx,y)m(x g,y)d ]kf(x,y)dmg(x,y)d
D
D
D
线性性质可以推广至有限个函数的情形。
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14
性质3 对区域具有可加性
f(x ,y )d f(x ,y )d f(x ,y )d .
D
D 1
D 2
(DD 1D 2,D 1,D 2无公)共内点
性质4 若 为D的面积， 1dd.
y2 b2
1
(0 b a).
解 区域 D 的面积 abπ
在D上 0 x2 y2 a2,
1e0ex2 y2ea 2,
由性质 6 知 e d (x2y2) ea2,
D
abπ e d (x2y2) abπea2.
D
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19
例3 比较积分ln(x y)d 与[ln(x y)]2d
z和
a
D
几个特殊结果 (1) kdk ；
D
(2)
a2x2y2d2 π a 3 ；
x2y2a2
3
y
a
x x2y2a2
z
(3) (1xy)d1 .
xy1,x0,y0
6
1 z1xy
4.【物理意义】(x,y)d 在物理上表x1示D 1 y
D
面密度 f(x,y为 )占有平面 D的 区 平 域 面薄片的质 精选ppt
它与x 轴交于点(1,0) , 与直 xy线 1相.切 而区域D位
于直线的上方, 故在 D 上 xy1, 从而
(xy)2(xy)3
(xy)2d (xy)3d
D
D
解Ⅱ 见作业答案解法或有关习题解答
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18
例2 不作计算，估计 I e(x2y2 )d 的值，
D
其中
D
是椭圆闭区域：
x a
2 2
26
§10.2 二重积分的计算法（一）
一 利用直角坐标计算二重积分 二 小结 思考题
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27
复习与回顾
n
(1)二重积分 Df(x,y)dl i0m i 1f(i,i) i
(2)回顾一元函数定积分的应用
平行截面面积为已知的立体的体积的求法
在点x处的平行截面的面积为: A(x)
oa
体积元素 dVA (x)dx A(x)
②积分区域的对称性
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四、小结
24
二重积分的定义 （积分和式的极限） 二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积） 二重积分的物理意义（平面薄片的质量） 二重积分的性质（7条）
[二重积分的比较大小] 1.若区域D相同，则比较被积函数的大小； 2.若被积函数相同，则比较区域D的大小.
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25 精选ppt
VDf(x,y)dD f(x,y)dxdy
引例2中平面薄板的质量:
MD (x,y)d精选 pptD (x,y)dxdy
13
三、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质1 性质2 线性性质
k (fx,y)d kf(x,y)d.
D
D
[f(x,y)g(x,y)d ]
D
f(x,y)dg (x,y)d.
D
D
的大小,其中 D 是三角形闭区域 ,三顶点各为
(1,0),(1,1), (2,0).
课后习题
解 在 D 内有 1 x y 2 e,
y
故 0 ln( x y) 1,
于是 ln( x y) ln( x y)2,
1
xy2
D
o
1 2x
xy1
因此 ln(x y)d [ln(x y)]2d .
f(i,i)
y (i,i)
(精i选,ppit )
i
7
2．求平面薄片的质量 设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域 D，在点
( x, y)处的面密度为( x, y)，假定( x, y)在 D上连续，
平面薄片的质量为多少？
分 =常数时，质量= · ，其中 为面积. 若析为非常数，仍可用“分割, 取近似, 求和, 取极限”解决.
D
D
精选ppt
20
机动 练
1. 习比较下列积分值的大小关系:
I1 xy dxdy；I2 xy dxdy；I3 xydxdy
x2y21
xy1
1x1 1y1
[提示] 被积函数相同，则比较区域D的大小. y
1
解 I1, I2, I3 被积函数相同, 且非负, 由它们的积分域范围可知
o 1x
I2I1I3
1
第一节 二重积分的概念与性质
一、问题的提出 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 四、小结 思考题
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2
复习和总结
定积分
b
a
f
xdx
（1）定积分是用来解决哪一类问题？
答：求非均匀分布在区间上的量的求和问题 被积函数是一元函数，积分范围是直线上的区间
（2）解决这一类问题采用了什么思想方法？ 答： “分割,取近似,求和, 取极限”
在D上至少存(在 ,)一 ,使点 得
1f(x,y)df(,) 变形后 【得证】 D 精选ppt
17
例1 比较下列积分的大小:
作业题、课后习题
(xy)2d , (xy(x 2 )2 (y 1 )2 2
1
D
解Ⅰ 积分域D 的边界为圆周 (x2)2(y1 )22
o1 2 3 x xy1
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29
(2)［Y－型域］ cyd, 1 (y ) x2 (y ).
d
x1(y)
c
D x2(y)
d
x1(y) D
c
x2(y)
[Y—型区域的特点]穿过区域且平行于x 轴的直线与区 域边界相交不多于两个交点.
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(3) [既非X－型域也非Y－型域]
则必须分割.
在分割后的三个区域上分别都 是X－型域(或Y—型域)
a bfxdxld i0m kn 1 fkxk
（3）如何计算定积分？
精选ppt
3
问题:
现要求解非均匀分布在平面、空间立体上的量的求和问题
所计算的量与多元函数及平面或空间区域有关
推广
被积函数 二元函数 三元函数
积分范围 平面区域 空间区域 一段曲线 一片曲面
积分类型 二重积分 三重积分 曲线积分 曲面积分
方法 根据二重积分的几何意义以及计算“平行截面面积 为已知的立体的体积”的方法来求.
x0[a,b]
作平x面 x0
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x0[a,b] 作平 x面 x0
32
yy22((xxz))z
yy
zzff(x(x,,yy))
2(x0)
AA((xx0 )0 )
1(x0) oo aa xx00
xx
bb yy1(1x()x)
任取一点 (i,i) i, 若存在一个常数 I , 使
n
Ilim
0 i1
f(i,i)i
记作
f (x, y)d
D
则称 f(x,y)可积 , 称 I为 f(x,y)在D上的二重积分.
积分和
f(x,y)d
D
积分表达式
x, y称为积分变量
积分域
被积函数
精选ppt
面积元素
2.【对二重积分定义的说明】
10
因 0 < y <1, 故
y2
1
yy 2
;
y 1
又因 x30, 故在D上有
D
y12x3yx3y2x3
ox
精选ppt
[补充]在分析问题和计算二重积分时常用的对称奇偶性
1. 设函数 f (x, y)在闭区域D上连续, D关于x 轴对称,
D 位于x 轴上方的部分为D1 ,在D上
( 1 )f(x , y ) f(x ,y )则,If(x,y)d2f(x, y)d