2-2 点、线、面的投影特性

2-2 点、线、面的投影特性
一、点的投影
1、点的三面投影
点是组成物体最基本的几何元素。

如图2-9所示，在三投影面体系中，由空间点A（x，y，z）分别向三投影面作正投影，得其三面投影a（x，y）、a′(x，z）、a″（y，z），即过点A分别作三投影面的垂线，其垂足即为点A的三面投影；展开H面和W面，得到点A的三视图：a 、a′长对正，a′、a″高平齐，a 、a″宽相等，如图2-10所示。

图2-9 点的三面投影图2-10 点的三视图例1 ：已知空间点B的两面投影b ，b′，如图2-11所示，求其第三面投影b″。

分析：空间点B的三面投影b 、b′、b″符合“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律。

作图： b′与b″高平齐，b与b″宽相等，则其交点即为b″。

图2-11 求点的第三面投影图2-12 求点的三面投影例2 ：已知空间点D(5,4,3)，如图2-12所示,求其三面投影。

分析：空间点D的三面投影分别为d（x，y）、d′（x，z）、d″（y，z），且符合“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律。

作图：分别在三投影轴
上取x
1=5，y
1
=4，z
1
=3，按“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律分别作直线
段，交点即为空间点D的三面投影（d 、d′、d″）。

2、两点的相对位置
空间两点的相对位置是指空间两点间前后、左右、上下的位置关系。

两点在空间的相对位置可以根据两点的坐标值来判定，如图2-13所示。

X坐标确定两点的左右位置关系。

X坐标值大的点在左；
Y坐标确定两点的前后位置关系。

Y坐标值大的点在前；
Z坐标确定两点的上下位置关系。

Z坐标值大的点在上。

图2-13 两点的相对位置
故A点在B点的右，后，上方，即B点在A点的左，前，下方。

3、重影点及其可见性判断
若空间两点在某一投影面上的投影重合，则称这两点为该投影面的重影点。

此时，这两点位于同一投射线上，且有两个坐标的值分别相等，不等值的坐标之大小可以确定重影点的可见性，即X、Y、Z坐标值大的点分别位于左方、前方、上方，为可见点，如图2-14所示。

在图2-14中，C、D两点为H面的重影点，它们的X坐标和Y坐标相同，C 点的Z坐标值大，位于D点的上方，可见；D点的Z坐标值小，位于C点的下方，不可见，其投影加括号。

思考：（1）已知空间点A（6，4，5）和点B（3，3，6），问两点的相对位置如何？
（2）已知空间点E（3，6，4）和点F（5，6，4），判断其可见性。

（3）如图2-15所示，寻找重影点，判断其可见性，并标注在物体的三视图上。

图2-14 重影点及可见性判断
图2-15 重影点及可见性判断之思考题
二、直线的投影
图2-16 直线的三面投影
1、直线的三面投影
直线的三面投影一般仍为直线。

如图2-16所示，先求出直线上任意两点的三面投影，将两点的同面投影连点成线，即得直线的三面投影。

2、直线的空间位置
（1）投影面平行线
在三投影面体系中，平行于一个投影面，并倾斜于另两个投影面的直线，称为投影面平行线。

其中，
水平线——平行于H面，并倾斜于V面、W面，如图2-17中的AB线；
正平线——平行于V面，并倾斜于H面、W面，如图2-17中的AC线；
侧平线——平行于W面，并倾斜于H面、V面，如图2-17中的BC线。

（2）投影面垂直线
在三投影面体系中，垂直于一个投影面，并平行于另两个投影面的直线，称为投影面垂直线。

其中，
铅垂线——垂直于H面，并平行于V面、W面，如图2-18中的AB线；
正垂线——垂直于V面，并平行于H面、W面，如图2-18中的EF线；
侧垂线——垂直于W面，并平行于H面、V面，如图2-18中的CD线。

注：投影面平行线和投影面垂直线统称为特殊位置直线。

（3）投影面倾斜线
在三投影面体系中，同时倾斜于三个投影面的直线，称为投影面倾斜线。

如图2-19中的AB线，即为投影面倾斜线。

注：投影面倾斜线也称为一般位置直线。

思考：直线的空间位置共有几种？
3、直线的投影特性
图2-17 投影面平行线的投影特征
（1）投影面平行线
在平行的投影面上，其平行投影反映实长，且倾斜于投影轴；另两面投影小于实长，且平行于投影轴，如图2-17所示。

思考：讨论并作出直线AC和直线BC的三面投影图。

（2）投影面垂直线
在垂直的投影面上，其垂直投影积聚成点；另两面投影反映实长，且平行于投影轴，如图2-18所示。

图2-18 投影面垂直线的投影特征
思考：讨论并作出直线CD和直线EF的三面投影图。

（3）投影面倾斜线
其三面投影均小于实长，且都倾斜于投影轴，如图2-19所示。

图2-19 投影面倾斜线的投影特征
二、平面的投影
图2-20 平面的三面投影
1、平面的三面投影
平面的三面投影一般仍为平面。

如图2-20所示，先求出平面上不在同一条
直线上三点的三面投影，将三点的同面投影连线成面，即得平面的三面投影。

2、平面的空间位置
（1）投影面平行面
在三投影面体系中，平行于一个投影面，并垂直于另两个投影面的平面，称为投影面平行面。

其中，
水平面——平行于H面，并垂直于V面、W面，如图2-21中的B平面；
正平面——平行于V面，并垂直于H面、W面，如图2-21中的A平面；
侧平面——平行于W面，并垂直于H面、V面，如图2-21中的C平面。

（2）投影面垂直面
在三投影面体系中，垂直于一个投影面，并倾斜于另两个投影面的平面，称为投影面垂直面。

其中，
铅垂面——垂直于H面，并倾斜于V面、W面，如图2-22中的P平面；
正垂面——垂直于V面，并倾斜于H面、W面，如图2-22中的Q平面；
侧垂面——垂直于W面，并倾斜于H面、V面，如图2-22中的R平面。

注：投影面平行面和投影面垂直面统称为特殊位置平面。

（3）投影面倾斜面
在三投影面体系中，同时倾斜于三个投影面的平面，称为投影面倾斜面。

如图2-23中的M平面，即为投影面倾斜面。

3、平面的投影特性
（1）投影面平行面
在平行的投影面上，其平行投影反映实形；另两面投影积聚成直线，且平行于投影轴，如图2-21所示。

(a) (b) (c)
图2-21 投影面平行面的投影特征
思考：讨论并作出平面B和平面C的三面投影图。

（2）投影面垂直面
在垂直的投影面上，其垂直投影积聚成直线，且倾斜于投影轴；另两面投影收缩成该平面的类似形，如图2-22所示。

(a) (b) (c)
图2-22 投影面垂直面的投影特征
思考：讨论并作出平面P和平面R的三面投影图。

（3）投影面倾斜面
其三面投影均收缩成该平面的类似形，如图2-23所示。

(a) (b) (c)
图2-23 投影面倾斜面的投影特征。