北师大版高中数学必修五练习简单线性规划

第1课时 求线性目标函数的最值
课时过关·能力提升
1.若变量x ,y 满足约束条件{x +y ≤8,
2y -x ≤4,
x ≥0,y ≥0,且z =5y −x 的最大值为a,最小值为b,则a −b 的值是( )
A.48
B.30
C.24
D.16
,如图所示.
联立{x +y =8,2y -x =4,
解得{x =4,y =4,即点A 坐标为(4,4).
故z max =5×4-4=16,z min =0-8=-8,即a=16,b=-8,因此a-b=24.
故选C . 2.若变量x ,y 满足约束条件{x +y ≥0,
2x -y ≥0,x ≤4,则z =2x +y 取最大值时的最优解为( )
A.(4,8)
B.(4,-4)
C.16
D.4
,如图中阴影部分所示,当直线y=-2x+z 经过点A (4,8)时,纵截距z 取得最大值16,因此z=2x+y 取最大值时的最优解为(4,8).
答案:A
3.若变量x ,y 满足{x +y -1≥0,
x +3y -6≤0,x -y -2≥0,则z =x −2y 的最小值为( )
A.1
B .5
2 C.
3 D.3
2
,如图中阴影部分所示.
当直线y =1
2x −1
2z 经过点A (3,1)时,在y 轴上的截距−1
2z 达到最大值,此时z 取得最小值1.
4.设实数x ,y 满足不等式组{x +2y -5>0,
2x +y -7>0,x ≥0,y ≥0,若x,y 为整数,则z =3x +4y 的最小值是( )
A.14
B.16
C.17
D.19
{x +2y -5>0,
2x +y -7>0,x ≥0,y ≥0
表示的平面区域,如图中阴影部分所示.
因为x ,y 为整数,所以z=3x+4y 在点A (4,1)处取到最小值16.
5.设变量x ,y 满足|x|+|y|≤1,z=2x+y ,则z 的最大值和最小值分别为( ) A.1,-1 B.2,-2 C.1,-2
D.2,-1
≤1表示的平面区域如图阴影部分所示.
当直线y=-2x+z 过点(1,0)时,z 最大;当直线y=-2x+z 过点(-1,0)时,z 最小,则z 的最大值为2,最小值为-2.
6.设变量x ,y 满足约束条件{x -2≤0,
x -2y ≤0,x +2y -8≤0,则目标函数z =3x +y 的最大值为( )
A.7
B.8
C.9
D.14
,如图阴影所示.
目标函数z=3x+y 可化为y=-3x+z ,平移目标函数线,当其过点A 时,z 取最大值.
由{x =2,x +2y -8=0得{x =2,y =3.
所以点A 的坐标为(2,3),z max =3×2+3=9.
7.若实数x ,y 满足不等式组{x +y ≥2,
2x -y ≤4,x -y ≥0,则z =2x +3y 的最小值是______________.
.
当直线y=−23
x +z 过点A (2,0)时,z=2x+3y 有最小值4.
8.若实数x ,y 满足{y ≤2x ,
y ≥-2x ,x ≤3,
则目标函数z =x −2y 的最小值是______________.
画出满足不等式组的可行域如图阴影部分所示,目标函数化为y =12
x −z,当直线经过点A 时,-z 的值最大,z 的值最小,点A 坐标为(3,6),所以z 的最小值为3-2×6=-9.
答案
:
-9
9.若x ,y 满足不等式组{x -y +1≥0,x +y +1≥0,
x +2y -2≤0,x -2y -2≤0,则z =3x +y −7的最大值为______________.
.
当直线y=-3x+z 0经过点A (2,0)时,直线在y 轴上的截距z 0最大,所以z 0=3x+y 有最大值6,故z=3x+y-7有最大值-1. 1
10.设z=2y-2x+4,式中x ,y 满足{0≤x ≤1,
0≤y ≤2,2y -x ≥1,求z 的最大值和最小值.
{0≤x ≤1,
0≤y ≤2,2y -x ≥1
的可行域,如图阴影部分所示,
作直线l :2y-2x=z-4,当直线l 经过点A (0,2)时,z max =2×2-2×0+4=8;
当直线l 经过点B (1,1)时,z min =2×1-2×1+4=4.
★11.求z=5x-8y 的最大值,式中的x ,y 满足约束条件{x +y ≤6,5x +9y ≤45,
x ≥0,y ≥0.
{x +y ≤6,5x +9y ≤45,
x ≥0,y ≥0
的可行域,如图阴影部分所示.
作直线l 0:5x-8y=0,平移直线l 0,由图可知,当直线平移到经过点A 时,z 取最大值.解方程组{
x +y =6,
y =0,得A (6,0),所以z max =5×6-8×0=30.
★12.若实数x ,y 满足不等式组{2≤2x -y ≤4,
x ≤3,y ≥
-3,求下列目标函数的最大值,以及此时x,y 的值.
(1)z=x-y ; (2)z=x+3y+1.
,如图阴影部分所示.
(1)当直线y=x-z 移动到经过点A (12
,-3)时,直线在y 轴上的截距-z 最小,为−72
,所以当x =12
,y =−3时,z 取得最大值7
2. (2)当直线y=−1
3
x +z -1
3移动到经过点B (3,4)时,直线在y 轴上的截距
z -1
3
最大,为5,所以当x=3,y=4
时,z 取得最大值16.。