圆锥曲线综合复习讲义

圆锥曲线综合复习讲义
【基础概念填空】 椭圆
1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1 ，F 2的距离的和__________________的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的_________ , 两焦点之间的距离叫做椭圆的________.
2.椭圆的标准方程：椭圆)0b a (1
b
y a x 22
22>>=+的中心在______，焦点在_______轴上,
焦点的坐标分别是是F 1 ___________，F 2 ____________；
椭圆)0b a (1
b
x a y 22
22>>=+的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标
分别是F 1 ____________，F 2 ____________.
3.几个概念：椭圆与对称轴的交点，叫作椭圆的______.a 和b 分别叫做椭圆的______长和______长。

椭圆的焦距是_________. a,b,c 的关系式是_________________。

椭圆的________与________的比称为椭圆的离心率，记作e=_____,e 的范围是_________. 双曲线 1．双曲线的定义：平面内与两定点F 1 ，F 2的距离的差_____________________的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做双曲线的_________ , 两焦点之间的距离叫做双曲线的________.
2.双曲线的标准方程：双曲线0)b 0,1(a b
y a x 22
22>>=-的中心在______，焦点在_______轴上,
焦点的坐标是____________；顶点坐标是______________,渐近线方程是_____________.
双曲线0)b 0,1(a b
x a y 22
22>>=-的中心在______，焦点在_______轴上,
焦点的坐标是____________；顶点坐标是______________,渐近线方程是_____________. 3.几个概念：双曲线与对称轴的交点，叫作双曲线的_____.a 和b 分别叫做双曲线的________长 和_______长。

双曲线的焦距是_____. a,b,c 的关系式是______________。

双曲线的________与________的比称为双曲线的离心率，记作e=_____,e 的范围是_________. 4.等轴双曲线：______和_______等长的双曲线叫做等轴双曲线。

双曲线是等轴双曲线的两个充要条件：（1）离心率e =_______,（2）渐近线方程是_________.
抛物线
1．抛物线的定义:平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F)__________的点的轨迹
叫做抛物线。

这个定点F 叫做抛物线的_________ , 定直线l 叫做抛物线的___________. 2.抛物线的标准方程：抛物线2px y 2
= 的焦点坐标为__________，准线方程是___________;
抛物线2px y 2-=的焦点坐标为__________，准线方程是___________; 抛物线2py x 2= 的焦点坐标为__________，准线方程是___________; 抛物线2py x 2-=的焦点坐标为__________，准线方程是___________。

3.几个概念：抛物线的_________叫做抛物线的轴，抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的________。

抛物线上的点M 到________的距离与它到________的距离的比，叫做抛物线的离心率，记作e ， e 的值是_________.
4.焦半径、焦点弦长公式：过抛物线2px y 2
=焦点F 的直线交抛物线于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)两点，则
|AF|=___________,|BF|=____________,|AB|=_____________________
直线与圆锥曲线的位置关系
一、知识整理：
1.考点分析：此部分的解答题以直线与圆锥曲线相交占多数，并以椭圆、抛物线为载体较多。

多数涉及求圆锥曲线的方程、求参数的取值范围等等。

2．解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤：
设线、设点， 联立、消元， 韦达、代入、化简。

第一步：讨论直线斜率的存在性，斜率存在时设直线的方程为y=kx+b （或斜率不为零时，设x=my+a ）； 第二步：设直线与圆锥曲线的两个交点为A(x 1,y 1)B(x 2,y 2);
第三步：联立方程组⎩⎨
⎧=+=0
)y ,x (f b
kx y ，消去y 得关于x 的一元二次方程；
第四步：由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件⎩⎨
⎧>∆0
二次系数不为零，⎩⎨⎧=⋅=
+2121x x x x 第五步：把所要解决的问题转化为x 1+x 2 、x 1x 2 ，然后代入、化简。

3．弦中点问题的特殊解法-----点差法：即若已知弦AB 的中点为M(x o ,y o )，先设两个交点为A(x 1,y 1)，
B(x 2,y 2);分别代入圆锥曲线的方程，得0)y ,x (f ,0)y ,x (f 2211==，两式相减、分解因式，再将
o 21o 212y y y ,2x x x =+=+代入其中，即可求出直线的斜率。

4.弦长公式:]x 4x )x x )[(k 1(|x x |k 1|AB |212212212
-++=
-+=( k 为弦AB 所在直线的斜率)
1、(2008海南、宁夏文)双曲线
22
1102
x y -=的焦距为（ ） A. 32 B. 42 C. 33 D. 43
2.（2004全国卷Ⅰ文、理）椭圆14
22
=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的 直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （ ）
A ．
2
3
B ．3
C ．27
D ．4
3．（2006辽宁文）方程2
2520x x -+=的两个根可分别作为（ ）
Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率
Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率
Ｄ．两椭圆的离心率
4．（2006四川文、理）直线ｙ＝ｘ－3与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，过A 、B 两点向 抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为（ ） （A ）48. （B ）56 （C ）64 （D ）72.
5.(2007福建理)以双曲线
116
92
2=-y x 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( )
A . B.
C .
D.
6．（2004全国卷Ⅳ理）已知椭圆的中心在原点，离心率2
1
=
e ，且它的一个焦点与抛物线 x y 42-=的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）
A ．13422=+y x
B ．16822=+y x
C ．122
2=+y x D ．14
22=+y x 7．（2005湖北文、理）双曲线)0(12
2≠=-mn n
y m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ）
A ．
163 B ．83 C ．3
16
D ．38
8. (2008重庆文)若双曲线22
21613x y p
-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( )
(A)2 (B)3
(C)4
(D)42
9．（2002北京文）已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线13222
2
2=-n
y m x 有公共的焦点，那么 双曲线的渐近线方程是（ ） A ．y x 2
15
±
= B ．x y 2
15±
= C ．y x 4
3±
= D ．x y 4
3±
=
10．（2003春招北京文、理）在同一坐标系中，方程)0(01222
22>>=+=+b a by ax b
y a x 与的曲线大
致是( )
11. （2005上海文）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是()
0,152，则椭圆的
标准方程是_________________________
12．(2008江西文)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为3
3
y x =±，
若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．
13.（2007上海文）以双曲线15
42
2=-y x 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的 抛物线方程是 ．
14.(2008天津理)已知圆C 的圆心与抛物线x y 42=的焦点关于直线x y =对称.直线0234=--y x
与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ,则圆C 的方程为 . 15（2010，惠州第二次调研）已知圆C 方程为：224x y +=.
（1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若||23AB =，求直线l 的方程；
（2）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+，
求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.
16（2010，惠州第三次调研）已知点P 是⊙O ：229x y +=上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ,动点Q 满足2
3
DQ DP =。

（1）求动点Q 的轨迹方程；
（2）已知点(1,1)E ，在动点Q 的轨迹上是否存在两个不重合的两点M 、N ，使1
()2
OE OM ON =
+ (O 是坐标原点)，若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，请说明理由。

x
y
x
y x
y
x
y
O
O
O
O
A
B C D
17（2006北京文）椭圆C:22
221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上，且
11212414
,||,||.33
PF F F PF PF ⊥== （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)若直线l 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M , 交椭圆C 于,A B 两点, 且A 、B 关于点M 对称,求直线l 的
方程..
18（2010，珠海市一模）如图，抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上。

过点(02)M -，作直线l 与抛物线相交于A B 、两点，且满足
(412)OA OB +=--，．
(Ⅰ)求直线l 和抛物线的方程；
(Ⅱ)当抛物线上一动点P 从点A 向点B 运动时，求ABP ∆面积的最大值．
19(2010,广东六校第四次联考）已知动点P 的轨迹为曲线C ，且动点P 到两个定点12(1,0),(1,0)F F -的距离12,PF PF 的等差中项为2. （1）求曲线C 的方程；
（2）直线l 过圆22
40x y y ++=的圆心Q 与曲线C 交于,M N 两点，且0ON OM ⋅=(O 为坐标原
点)，求直线l 的方程.
20（2010，珠海二模文）已知两圆2
2
15:(1)4O x y ++=
和22245:(1)4
O x y -+=，动圆P 与⊙O 1外切，且与⊙O 2内切．
（1）求动圆圆心P 的轨迹方程；
（2）过点M (5，0)作直线l 与点P 的轨迹交于不同两点A 、B ，试推断是否存在直线l ，使 得线段AB 的垂直平分线经过圆心O 2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．。