河南省新乡一中2018届高三上学期第一次月考数学试卷文

2018-2018学年河南省新乡一中高三（上）第一次月考数学试卷
（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x∈R|x2+x﹣2＜0}，B={x|≤0}，则A∩B=（）
A．[﹣1，1] B．（﹣1，1）C．[﹣1，1）D．（﹣1，1]
2．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（ +λ）∥，则λ=（）
A．B．C．1 D．2
4．已知命题p：f（x）=a x（a＞0且a≠1）是单调增函数：命题q：∀x∈（，），sinx
＞cosx，则下列命题为真命题的是（）
A．p∧q B．p∨￢q C．￢p∧￢q D．￢p∧q
5．设函数f（x）=log a|x﹣1|在（﹣∞，1）上单调递增，则f（a+2）与f（3）的大小关系是（）
A．f（a+2）＞f（3）B．f（a+2）＜f（3）C．f（a+2）=f（3）D．不能确定
6．设曲线y=x2+1在点（x，f（x））处的切线的斜率为g（x），则函数y=g（x）cosx的部分图象可以为（）
A．B．C．
D．
7．已知角α的终边经过点（sin15°，﹣cos15°），则cos2α的值为（）
A．B．C．D．0
8．已知函数f（x）=cos（x+），则要得到其导函数y=f′（x）的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）
A．向右平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
9．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x﹣3）=﹣f（x），对∀x1，x2∈[0，3]且x1≠x2，都
有＞0，则有（）
A．f（49）＜f（64）＜f（81） B．f（49）＜f（81）＜f（64） C．f（64）＜f（49）＜f（81）D．f（64）＜f（81）＜f（49）
10．已知三个数a﹣1，a+1，a+5成等比数列，其倒数重新排列后恰好为递增的等比数列{a n}
的前三项，则能使不等式a1+a2+…+a n≤++…+成立的自然数n的最大值为（）
A．5 B．7 C．8 D．9
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，BH为AC边上的高，BH=5，若20a+15b+12c=，则H到AB边的距离为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知g（x）=（ax﹣﹣2a）e x（a＞0），若存在x0∈（1，+∞），使得g（x0）+g'（x0）
=0，则的取值范围是（）
A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，0）C．（﹣2，+∞）D．（﹣2，0）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．函数f（x）=cos2x+sinx（x∈（，π）的值域是．
14．若函数f（x）=alnx﹣x在区间（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是．
x+4在x=1处取得极值，则15．已知数列{a n}中，a1=1，函数f（x）=﹣x3+x2﹣3a n
﹣1
a n=．
16．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，M为BC的中点，sin∠BAM=，则AC的长为．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．
（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（2）求数列{b n}的前n项和．
18．中央电视台电视公开课《开讲了》需要现场观众，先邀请甲、乙、丙、丁四所大学的
从这名学生中按分层抽样的方式抽取名学生在第一排发言席就座．
（1）求各大学抽取的人数；
（2）从（1）中抽取的乙大学和丁大学的学生中随机选出2名学生发言，求这2名学生来自同一所大学的概率．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．
20．已知椭圆C的离心率为，A，B分别为左、右顶点，F2为其右焦点，P是椭圆C上
异于A，B的动点，且•的最小值为﹣2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过左焦点F1的直线交椭圆于M，N两点，求•的取值范围．
21．已知函数f（x）=x2+（a﹣3）x+lnx．
（1）若函数f（x）在定义域上是单调增函数，求a的最小值；
（2）若方程f（x）﹣（+a）x2﹣（a﹣4）x=0在区间[，e]上有两个不同的实根，求a
的取值范围．
选做题（以下22、23两题，只能选作其中一题）[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．已知曲线C： +=1，直线l：（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|
（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．
2018-2018学年河南省新乡一中高三（上）第一次月考数
学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x∈R|x2+x﹣2＜0}，B={x|≤0}，则A∩B=（）
A．[﹣1，1] B．（﹣1，1）C．[﹣1，1）D．（﹣1，1]
【考点】交集及其运算．
【分析】确定出A，B，找出A与B的交集即可
【解答】解：由x2+x﹣2＜0解得﹣2＜x＜1，所以A=（﹣2，1），
由≤0，解得﹣1＜x≤2，所以B=（﹣1，2]，
所以A∩B=（﹣1，1），
故选：B
2．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】复数相等的充要条件；充要条件．
【分析】利用复数的运算性质，分别判断“a=b=1”⇒“（a+bi）2=2i”与“a=b=1”⇐“（a+bi）2=2i”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论．
【解答】解：当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，
故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；
当“（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=﹣1”，
故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的不必要条件；
综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件；
故选A
3．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（ +λ）∥，则λ=（）
A．B．C．1 D．2
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】根据所给的两个向量的坐标，写出要用的+λ向量的坐标，根据两个向量平行，写出两个向量平行的坐标表示形式，得到关于λ的方程，解方程即可．
【解答】解：∵向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．
∴=（1+λ，2）
∵（+λ）∥，
∴4（1+λ）﹣6=0，
∴
故选B．
4．已知命题p：f（x）=a x（a＞0且a≠1）是单调增函数：命题q：∀x∈（，），sinx
＞cosx，则下列命题为真命题的是（）
A．p∧q B．p∨￢q C．￢p∧￢q D．￢p∧q
【考点】复合命题的真假．
【分析】命题p：f（x）=a x（a＞0且a≠1）的单调性与a的取值有关，即可判断出真假；命题q：利用三角函数的单调性即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：f（x）=a x（a＞0且a≠1）的单调性与a的取值有关，0＜a＜1时，函数f（x）单调递减，可知是假命题；
命题q：∀x∈（，），sinx＞cosx，是真命题．
则下列命题为真命题的是：（￢p）∧q．
故选：D．
5．设函数f（x）=log a|x﹣1|在（﹣∞，1）上单调递增，则f（a+2）与f（3）的大小关系是（）
A．f（a+2）＞f（3）B．f（a+2）＜f（3）C．f（a+2）=f（3）D．不能确定
【考点】复合函数的单调性；函数单调性的性质．
【分析】利用函数的对称性，以及函数的单调性，根据复合函数的单调性可以判断出，外层函数是个减和，所以a∈（0，1），即a+2＜32由单调性可知，f（a+2）＞f（3）
【解答】解：由函数f（x）=log a|x﹣1|，可知函数关于x=1对称，且f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，易得0＜a＜1．
∴2＜a+2＜3．
又∵函数在（1，+∞）上单调减函数，
∴f（a+2）＞f（3）．
故选：A．
6．设曲线y=x2+1在点（x，f（x））处的切线的斜率为g（x），则函数y=g（x）cosx的部分图象可以为（）
A．B．C．
D．
【考点】函数的图象．
【分析】先研究函数y=g（x）cosx的奇偶性，再根据在某点处的函数值的符号进一步进行判定．
【解答】解：g（x）=2x，g（x）•cosx=2x•cosx，
g（﹣x）=﹣g（x），cos（﹣x）=cosx，
∴y=g（x）cosx为奇函数，排除B、D．
令x=0.1＞0．
故选：A．
7．已知角α的终边经过点（sin15°，﹣cos15°），则cos2α的值为（）
A．B．C．D．0
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】由三角函数的定义可先求sinα，然后代入求解．
【解答】解：角α的终边经过点P（sin15°，﹣cos15°），即P（cos（﹣75°），sin（﹣75°））
由三角函数的定义可得，cos2α=cos2（﹣75°）=[cos（45°+30°）]2=．
故选：B．
8．已知函数f（x）=cos（x+），则要得到其导函数y=f′（x）的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）
A．向右平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】先对函数求导，利用诱导公式可得y=f′（x）=cos（x++），利用三角函数平移变换的规律即可得解．
【解答】解：∵f（x）=cos（x+），
∴函数y=f′（x）=﹣sin（x+）=cos（x++），
∴只需将函数y=f（x）的图象向左平移个单位即可得到其导函数y=f′（x）的图象．
故选：B．
9．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x﹣3）=﹣f（x），对∀x1，x2∈[0，3]且x1≠x2，都
有＞0，则有（）
A．f（49）＜f（64）＜f（81） B．f（49）＜f（81）＜f（64） C．f（64）＜f（49）＜f（81）D．f（64）＜f（81）＜f（49）
【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性．
【分析】根据题意，由f（x﹣3）=﹣f（x）分析可得f（x﹣6）=﹣f（x﹣3）=f（x），则函数f（x）是周期为6的函数，进而可得f（49）=f（1+6×8）=f（1），f（81）=f（﹣3+6×14）=f（﹣3），f（64）=f（﹣2+6×11）=f（﹣2），进而结合函数的奇偶性可得则f（49）=f（1+6×8）=f（1），f（81）=f（﹣3）=f（3），f（64）=f（﹣2）=f（2），进而结合题意分析可得函数f（x）在区间[0，3]上为增函数，进而有f（1）＜f（2）＜f（3），即f（49）＜f（64）＜f（81）；即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x﹣3）=﹣f（x），
有f（x﹣6）=﹣f（x﹣3）=f（x），则函数f（x）是周期为6的函数，
f（49）=f（1+6×8）=f（1），
f（81）=f（﹣3+6×14）=f（﹣3），
f（64）=f（﹣2+6×11）=f（﹣2），
又由函数为偶函数，则f（49）=f（1+6×8）=f（1），
f（81）=f（﹣3）=f（3），
f（64）=f（﹣2）=f（2），
又由对∀x1，x2∈[0，3]且x1≠x2，都有＞0，
则函数f（x）在区间[0，3]上为增函数，
进而有f（1）＜f（2）＜f（3），
即f（49）＜f（64）＜f（81）；
故选：A
10．已知三个数a﹣1，a+1，a+5成等比数列，其倒数重新排列后恰好为递增的等比数列{a n}
的前三项，则能使不等式a1+a2+…+a n≤++…+成立的自然数n的最大值为（）
A．5 B．7 C．8 D．9
【考点】等比数列的性质．
【分析】求出数列的前n项和，根据不等式之间的关系即可得到结论．
【解答】解：∵三个数a﹣1，a+1，a+5成等比数列，
∴（a+1）2=（a﹣1）（a+5），
∴a=3，
倒数重新排列后恰好为递增的等比数列{a n}的前三项，为，，，公比为2
数列{}是以8为首项，为公比的等比数列．
则不等式a1+a2+…+a n≤++…+等价为≤
整理，得2n≤27，
∴1≤n≤7，n∈N
．
+
故选：B．
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，BH为AC边上的高，BH=5，若20a+15b+12c=，则H到AB边的距离为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】向量的线性运算性质及几何意义．
【分析】根据便可得到，
从而由平面向量基本定理便可得出，从而有a2+b2=c2，这便说明BC⊥AC，从而C和H重合，这便得到a=5，根据面积公式即可求出H到AB边的距离．
【解答】解：根据条件，
=；
不共线；
∴；
∴；
∴；
即a2+b2=c2；
∴如图，AC⊥BC，H和C重合，BH=5；
∴a=5，设H到AB边的距离为h，则：
；
∴．故选：D．
12．已知g（x）=（ax﹣﹣2a）e x（a＞0），若存在x0∈（1，+∞），使得g（x0）+g'（x0）
=0，则的取值范围是（）
A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，0）C．（﹣2，+∞）D．（﹣2，0）
【考点】导数的运算．
【分析】求出g（x）的导数，问题等价于存在x＞1，2ax3﹣3ax2﹣2bx+b=0成立，求出=，设u（x）=（x＞1），根据函数的单调性求出的范围即可．
【解答】解：∵g（x）=（ax﹣﹣2a）e x，
∴g′（x）=（+ax﹣﹣a）e x，
∴由g（x）+g′（x）=0，整理得2ax3﹣3ax2﹣2bx+b=0．
存在x＞1，使g（x）+g′（x）=0成立，
等价于存在x＞1，2ax3﹣3ax2﹣2bx+b=0成立，
∵a＞0，∴=，
设u（x）=（x＞1），
则u′（x）=，
∵x＞1，∴u′（x）＞0恒成立，
∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴u（x）＞u（1）=﹣1，
∴＞﹣1，即的取值范围为（﹣1，+∞），
故选：A．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．函数f（x）=cos2x+sinx（x∈（，π）的值域是[1，] ．
【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】将f（x）=cos2x+sinx转化为：f（x）=﹣（sinx﹣）2+，结合题意即可求得其值域．
【解答】解：由f（x）=cos2x+sinx=﹣sin2x+sinx+1=﹣（sinx﹣）2+，
∵x∈（，π），
∴sinx∈（0，1]，可得：sinx﹣∈（﹣，]，
∴可得：（sinx﹣）2∈[0，]．
∴f（x）=﹣（sinx﹣）2+∈[1，]．
故答案为：[1，]．
14．若函数f（x）=alnx﹣x在区间（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是[2，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】通过解f′（x）求单调区间，转化为恒成立问题求a的取值范围．
【解答】解：∵f（x）=alnx﹣x，∴f′（x）=﹣1．
又∵f（x）在（1，2）上单调递增，
∴﹣1≥0在x∈（1，2）上恒成立，
∴a≥x max=2，∴a∈[2，+∞）．
故答案为：[2，+∞）
15．已知数列{a n}中，a1=1，函数f（x）=﹣x3+x2﹣3a n
﹣1
x+4在x=1处取得极值，则a n=2•3n﹣1﹣1．
【考点】利用导数研究函数的极值；数列递推式．
【分析】由已知可得x=1为导函数f′（x）=﹣2x2+a n x﹣3a n
﹣1的零点，即a n=3a n
﹣1
+2，进而
可得数列{a n+1}是一个以2为首项，以3为公比的等比数列，进而得到答案．
【解答】解：∵函数f（x）=﹣x3+x2﹣3a n
﹣1
x+4在x=1处取得极值，
∴x=1为导函数f′（x）=﹣2x2+a n x﹣3a n
﹣1
的零点，
即a n=3a n
﹣1
+2，
即a n+1=3（a n
﹣1
+1），
∵a1=1，
∴a1+1=2，
∴数列{a n+1}是一个以2为首项，以3为公比的等比数列，
故a n+1=2•3n﹣1，
故a n=2•3n﹣1﹣1，
故答案为：2•3n﹣1﹣1
16．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，M为BC的中点，sin∠BAM=，则AC的长为．【考点】正弦定理．
【分析】作出图象，设出未知量，在△ABM中，由正弦定理可得sin∠AMB=，进而可得
cosβ=sin∠AMB，在RT△ACM中，还可得cosβ=，再由勾股定理可得c=，
继而解得b的值
【解答】解：如图
设AC=b，AB=c，CM=MB==1，∠MAC=β，
在△ABM中，由正弦定理可得===3
解得sin∠AMB=，
故cosβ=cos（﹣∠AMC）=sin∠AMC=sin（π﹣∠AMB）=sin∠AMB=，
而在RT△ACM中，cosβ==，
故可得=，
再由勾股定理可得a2+b2=c2，即c=，
故9b2=（1+b2）（4+b2），
解得b=，
故答案为：．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．
（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（2）求数列{b n}的前n项和．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；
（2）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和．
【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由题意得
d===3．
∴a n=a1+（n﹣1）d=3n（n=1，2，…）．
∴数列{a n}的通项公式为：a n=3n；
设等比数列{b n﹣a n}的公比为q，由题意得：
q3===8，解得q=2．
∴b n﹣a n=（b1﹣a1）q n﹣1=2n﹣1．
从而b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．
∴数列{b n}的通项公式为：b n=3n+2n﹣1；
（2）由（1）知b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．
数列{3n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为=2n﹣1．
∴数列{b n}的前n项和为n（n+1）+2n﹣1．
18．中央电视台电视公开课《开讲了》需要现场观众，先邀请甲、乙、丙、丁四所大学的
（1）求各大学抽取的人数；
（2）从（1）中抽取的乙大学和丁大学的学生中随机选出2名学生发言，求这2名学生来自同一所大学的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．
【分析】（1）从这40名学生中按照分层抽样的方式抽取10名学生，能求出各大学抽取的人数．
（2）设乙中3人为a1，a2，a3，丁中3人为b1，b2，b3，利用列举法能求出这2名同学来自同一所大学的概率．
【解答】解：（1）从这40名学生中按照分层抽样的方式抽取10名学生，
则各大学人数分别为甲大学抽取：=2人，
乙大学抽取：10×=3人，
丙大学抽取：=2人，
丁大学抽取：=3人．…
（2）设乙中3人为a1，a2，a3，丁中3人为b1，b2，b3，
从这6名学生中随机选出2名学生发言的结果为：
{a1，a2}，{a1，a3}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a1，b3}，
{a3，a2}，{b1，a2}，{b2，a2}，{b3，a2}，{a3，b1}，
{a3，b2}，{a3，b3}，{b1，b2}，{b1，b3}，{b2，b3}，共15种，…
这2名同学来自同一所大学的结果共6种，
所以所求概率为．…
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；
（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB角PB
于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，
∵ABCD是矩形，
∴O为BD的中点
∵E为PD的中点，
∴EO∥PB．
EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC
∴PB∥平面AEC；
（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，
∴V==，
∴AB=，PB==．
作AH⊥PB交PB于H，
由题意可知BC⊥平面PAB，
∴BC⊥AH，
故AH⊥平面PBC．
又在三角形PAB中，由射影定理可得：
A到平面PBC的距离．
20．已知椭圆C的离心率为，A，B分别为左、右顶点，F2为其右焦点，P是椭圆C上
异于A，B的动点，且•的最小值为﹣2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过左焦点F1的直线交椭圆于M，N两点，求•的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由椭圆的离心率得到a，b的关系，再由•的最小值为﹣2求得a的值，则b可求，椭圆方程可求；
（2）由（1）知F1（﹣，0），F2（，0），则斜率不存在时，用坐标分别表示出，
，直接求得•；直线斜率存在时，设直线MN的方程为y=k（x+），代入椭
圆方程，消去y得（1+2k2）x2+4k2x+4（k2﹣1）=0．利用根与系数的关系求
得M，N的横纵坐标的积，把•转化为M，N的横坐标的和与积的形式，代入后化
为关于k的函数式得答案．
【解答】解：（1）由题意知，，即，
∴，则a2=2b2，
设P（x，y），
∵•=（﹣a﹣x，﹣y）•（a﹣x，﹣y）
==，
∵﹣a≤x≤a，∴当x=0时，，
∴a2=4，则b2=2．
∴椭圆C的方程为；
（2）由a2=4，b2=2，得，
∴，
则直线斜率不存在时，
M（﹣，1），N（﹣，﹣1），于是，=（﹣2，﹣1），
∴•=7；
直线斜率存在时，设直线MN的方程为y=k（x+），代入椭圆方程，消去y得
（1+2k2）x2+4k2x+4（k2﹣1）=0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，
∵，
∴•=
=+2k2+2
=+2k2+2
=．
∵1+2k2≥1，∴0＜≤1
∴∈[﹣2，7），
综上知，•∈[﹣2，7]．
21．已知函数f（x）=x2+（a﹣3）x+lnx．
（1）若函数f（x）在定义域上是单调增函数，求a的最小值；
（2）若方程f（x）﹣（+a）x2﹣（a﹣4）x=0在区间[，e]上有两个不同的实根，求a
的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）求出函数的导数，分离参数a，根据函数的单调性求出a的最小值即可；（2）分离a，根据函数的单调性求出a的范围即可．
【解答】解：（1）f′（x）=x+a﹣3+，（x＞0），
若函数f（x）在（0，+∞）上递增，
则f'（x）≥0对x＞0恒成立，即对x＞0恒成立，
而当x＞0时，，
∴a≥1．
若函数f（x）在（0，+∞）上递减，
则f'（x）≤0对x＞0恒成立，即对x＞0恒成立，
这是不可能的．
综上，a≥1．a的最小值为1．
（2）由，
得，
即，令，，
得1﹣x﹣2lnx=0的根为1，
所以当0＜x＜1时，r'（x）＞0，则r（x）单调递增；
当x＞1时，r'（x）＜0，则r（x）单调递减，
所以r（x）在x=1处取到最大值r（1）=1．
又x→0时r（x）→0，又x→+∞时r（x）→0，
所以要使与y=a有两个不同的交点，则有0＜a＜1．
选做题（以下22、23两题，只能选作其中一题）[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．已知曲线C： +=1，直线l：（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．
【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以
sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．
【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C： +=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，
故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．
对于直线l：，
由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．
P到直线l的距离为．
则，其中α为锐角．
当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．
当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|
（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．
【分析】（1）不等式等价于，或，或，
求出每个不等式组的解集，
再取并集即得所求．
（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，
或②，
或③．
解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．
把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．
（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，
等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．
故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，
故a的取值范围为[﹣3，0]．
2018年1月4日。