陕西省高中数学 第一章 推理与证明 分析法—不等式证明的基本方法素材 北师大版选修2-2

分析法--不等式证明的基本方法
有关不等式的证明题是学习的重点和难点所在，往往以知识的纵横联系为依托，考查学生对不等式证明方法的掌握程度，是许多学生难以逾越的沟壑，不少学生常常望题兴叹或无功而返．为了解决此问题，在这向大家介绍分析法，这是不等式证明的重要方法．下面以几道不等式证明题作为分析法的范例加以阐释．
例1 已知002a b c a b >>>+，，，求证：c a c <<． 分析：观察待证式子是连锁不等式，不易用比较法，又待证式子等价于
a c -，即a c -分析法比较合适．
证明：要证c a c <+
只需证a c <-<
只需证a c -<
即证22()a c c ab -<-，
即证22a ac ab -<-．
0a >∵，只需证2a c b -<-，
即证2a b c +<，这为已知．
故原不等式成立．
点评：分析法的步骤是未知→需知→已知，在操作中“要证”，“只需证”，“即证”这些词语是不可缺少的．
例2 已知关于x 的实系数方程20x ax b ++=有两个实根24a b αβ<+，，，且2b <．证明：22αβ<<，
． 证明：要证22αβ<<，
， 只需证2244αβ<<，，
只需证22(4)(4)0αβ-->，且4αβ<，
只需证224()(4)αβαβ+<+，且4αβ<，
只需证224(4)a b <+，且4b <，
只需证24a b >+，且4b <，
即证24a b <+，且4b <．
最后一式为已知条件，故原不等式成立．
点评：应用分析法，一方面要注意寻找使结论成立的充分条件，另一方面要有目的性，逐步逼近已知条件或必然结论．
例3 已知函数π()tan 02f x x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，，若12π02x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，，且12x x ≠．证明：12121[()()]22x x f x f x f +⎛⎫+> ⎪⎝⎭
． 分析：这道题从考查思维的角度来看，方法基本，只要从分析法入手———步步变形，问题极易解决．
证明：要证12121[()()]22x x f x f x f +⎛⎫+> ⎪⎝⎭
， 只需证12121(tan tan )tan 22
x x x x ++>， 只需证12121212sin sin sin()12cos cos 1cos()
x x x x x x x x ⎛⎫++> ⎪++⎝⎭（“化切为弦”）， 只需证
12121212sin()sin()2cos cos 1cos()x x x x x x x x ++>++， 只需证1212121212sin()sin()cos()cos()1cos()
x x x x x x x x x x ++>++-++， 只需证明120cos()1x x <-<，则以上最后一个不等式成立，在题设条件下易得此结论． 点评：分析法是思考问题的一种基本方法，容易找到解决问题的突破口．。