高中数学人教A版选修2-11.4 全称量词与存在量词.docx

1.4 全称量词与存在量词
一、选择题
1．下列命题中全称命题的个数为( )
①平行四边形的对角线互相平分 ②梯形有两边平行
③存在一个菱形，它的四条边不相等
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
[答案] C
[解析] ①②是全称命题，③是特称命题．
2．下列特称命题中真命题的个数是( )
①∃x ∈R ，x ≤0 ②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数
③∃x ∈{x |x 是整数}，x 2是整数
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
[答案] D
[解析] ①②③都是真命题．
3．(2010·湖南文，2)下列命题中的假命题．．．是( )
A ．∃x ∈R ，lg x ＝0
B ．∃x ∈R ，tan x ＝1
C ．∀x ∈R ，x 2＞0
D ．∀x ∈R,2x ＞0
[答案] C
[解析] 本题主要考查全称命题和存在性命题真假的判断．
对于选项C ，∀x ∈R ，x 2≥0，故C 是假命题．
4．下列语句是特称命题的是( )
A ．整数n 是2和5的倍数
B ．存在整数n ，使n 能被11整除
C ．若3x －7＝0，则x ＝73
D ．∀x ∈M ，p (x )
[答案] B
5．命题“存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m ≤0”的否定是( )
A ．存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0
B ．不存在x ∈Z ，使 x 2＋2x ＋m >0
C ．对于任意的x ∈Z 都有x 2＋2x ＋m ≤0
D ．对于任意x ∈Z 都有x 2＋2x ＋m >0
[答案] D
[解析] “不存在x∈Z使x2＋2x＋m≤0”等价于对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0.
6．命题p：∀x>1，log2x>0，则綈p是( )
A．∀x>1，log2x≤0
B．∀x≤1，log2x>0
C．∃x>1，log2x≤0
D．∃x≤1，log2x>0
[答案] C
[解析] 全称命题的否定是特称命题．
7．下列命题中，是真命题且是全称命题的是( )
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B．菱形的两条对角线相等
C．∃x，x2＝x
D．对数函数在定义域上是单调函数
[答案] D
[解析] A中含有全称量词“任意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0；故是假命题．B、D在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B是假命题，C是特称命题，故选D.
8．设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立
．．．．的是( ) A．a＋b>2ab
B．(a－b)＋1
a－b
≥2
C．a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca
D．|a－b|≤|a－c|＋|c－b|
[答案] B
[解析] 本题考查有关均值不等式成立的条件问题，对于B项当a－b<0时有－(a－b)
＋
1
－(a－b)
≥2，所以(a－b)＋
1
a－b
≤－2.
9．已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，那么下列说法：
①M的元素都不是P的元素；
②M中有不属于P的元素；
③M中有P的元素；
④M中元素不都是P的元素．
其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] 结合韦恩图可知②④正确．
10．(2009·辽宁文，11)下列4个命题
其中的真命题是( )
A．p1，p3
B．p1，p4
C．p2，p3
D．p2，p4
[答案] D
[解析] 考查指数函数、对数函数图像和性质．选D.
二、填空题
11．(2010·安徽文，11)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是____________．[答案] 对∀x∈R，都有x2＋2x＋5≠0.
[解析] 该题考查命题的否定．注意存在性命题的否定是全称命题．
12．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________(填“真”或“假”)命题．
[答案] ∃x，y∈R，x＋y>1；∀x，y∈R，x＋y≤1；假
[解析] 注意练习符号∃、∀、綈、∧、∨等，原命题为真，所以它的否定为假．
13．下列命题中真命题为________，假命题为________．
①末位是0的整数，可以被2整除②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等③正四面体中两侧面的夹角相等④有的实数是无限不循环小数⑤有些三角形不是等腰三角形⑥所有的菱形都是正方形
[答案] ①②③④⑤⑥
14．命题∀x∈R，x2－x＋3>0的否定是________，命题∃x∈R，x2＋1<0的否定是________．
[答案] ∃x∈R，x2－x＋3≤0 ∀x∈R，x2＋1≥0
三、解答题
15．写出下列命题的否定．
(1)所有自然数的平方是正数；
(2)任何实数x 都是方程5x －12＝0的根；
(3)对任意实数x ，存在实数y ，使x ＋y >0；
(4)有些质数是奇数．
[解析] (1)的否定：有些自然数的平方不是正数．
(2)的否定：存在实数x 不是方程5x －12＝0的根．
(3)的否定：存在实数x ，对所有实数y ，有x ＋y ≤0.
(4)的否定：所有的质数都不是奇数．
16．判断命题的真假，并写出命题的否定．
(1)存在一个三角形，它的内角和大于180°.
(2)所有圆都有内接四边形．
[答案] (1)假命题
所有的三角形，它的内角和都不大于180°.
(2)真命题
存在一个圆，没有内接四边形．
17．写出下列命题的否定：
(1)若2x >4，则x >2；
(2)若m ≥0，则x 2
＋x －m ＝0有实数根；
(3)可以被5整除的整数，末位是0；
(4)被8整除的数能被4整除；
(5)若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．
[解析] (1)的否定：存在实数x 0，虽然满足2x 0>4，但x 0≤2.
(2)的否定：存在m ≥0使x 2＋x －m ＝0无实根．
(3)的否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0.
(4)的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除．
(5)存在一个四边形，虽然它是正方形，但它的四条边中至少有两条不相等． 18．若方程log 2(ax 2－2x ＋2)＝2在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2内有解，求实数a 的取值范围． [解析] 方程log 2(ax 2－2x ＋2)＝2在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2内有解． 即方程ax 2－2x ＋2＝4在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2内有解．
即ax 2－2x －2＝0在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2内有解． 方程ax 2
－2x －2＝0可化为 a ＝2x ＋2x 2＝2x 2＋2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋122－12
令t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋122－12，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，t ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32，12. ∴要使原方程在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内有解，a ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32，12.。