2024-2025学年高一数学必修第二册(北师版)教学课件第五章-§2复数的四则运算

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新知学习
一、复数的加法与减法
1.复数的加法与减法
两个复数的和仍是一个复数，两个复数的和的实部是它们的实部的和，两个复数的和的虚部是它们
的虚部的和.也就是：（ + i） + （ + i）＝（ + ） + （ + ）i.
名师点析
（1）复数的加法中规定：实部与实部相加，虚部与虚部相加.很明显，两个复数的和仍然是一个确定的
根据平面向量的坐标运算，得1 +2 ＝（ + ， + ）.
这说明两个向量1 ，2 的和就是与复数（ + ）+（ + ）i对应的向量.
因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这是复数加法的几何意义.
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二、复数的乘法与除法
1.复数的乘法
（ + i）（ + i）＝（ − ） + （ + ）i.
解：（方法1）原式＝（1-2+3-4+…+2 017-2 018）+（-2+3-4+5+…-2 018+2 019）i＝-1 009+1 009i.
（方法2）（1-2i）-（2-3i）＝-1+i，（3-4i）-（4-5i）＝-1+i，…，（2 017-2 018i）-（2 018-2 019i）＝-1+i.
解析：＝（1+i）（1+2i）＝1+2i+i+2i2＝1+2i+i-2＝-1+3i，∴ ||＝
.
−1
2
+ 32 ＝ 10.
答案： 10
反思感悟
复数的乘法类似于多项式的乘法，只是在结果中要将i2换成-1，并将实部、虚部分别相加减.实数中的一些
重要公式仍适用于复数，如（ + i）2＝2 + 2i + 2i2＝2 − 2 + 2i，（ + i）3＝3 +
由ቊ
−6 − + = 0,
= 4,
解得 ቊ
∴ 实数，的值分别是4，10.
2 − 8 = 0,
= 10.
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课堂小结
1.知识清单：
（1）复数的加法、减法及运算法则.
（2）复数加法的几何意义.
（3）复数的乘法、除法.
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谢 谢！
则 · ＝||
ҧ
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3.复数的除法
1
给定复数2，若存在复数，使得2 · ＝1，则称是2的倒数，记作＝ .
2

1
对任意的复数1＝ + i（， ∈ ）和非零复数2＝ + i（， ∈ ），规定复数的除法：1＝z1· ，
2

+i
方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，把分母化成实数再计算.
（2）以下几个运算结论，在进行复数运算中可以简化运算过程.
1
1+i
① i ＝-i；②（1±i）2＝±2i；③1−i＝i.
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跟踪训练
已知
A.1+i
1−i

2
＝1+i（i为虚数单位），则复数＝（ D ）
B.1-i
C.-1+i
（2）复数的加、减运算类似于多项式合并同类项的过程.解本题时根据给出的待求式的特征，从局部入手，
抓住式子中相邻两项之差是一个常量这一特点，适当地进行组合，可简化运算.
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跟踪训练
设＝3-4i，则复数 − ||+（1-i）在复平面内对应的点位于（ C ）
A.第一象限
B.第二象限
名师点析
（1）两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别
合并即可.
（2）两个复数的积是一个确定的复数.
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2.复数乘法的运算
复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对任意1，2，3 ∈ ，有
（1）交换律：1 · 2 ＝2 · 1 ；
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3.已知复数＝
A.2i
B.-2i
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2+i
i
是纯虚数，其中是实数，则等于（ A ）
1−i
C.i
D.-i
+i 1
4.已知 ∈ ，若复数 1+i -2的实部与虚部相等，则等于（ C ）
A.-1
B.-2
1
C.2
D.2
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5.若＝（2
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− 1） + （ − 1）i为纯虚数，其中 ∈
D.-1-i
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随堂小测
i
1.已知，是实数，设i是虚数单位，若+i＝1+i，则复数 + i＝（ C ）
A.2-i
B.2+i
C.1+2i
D.1-2i
2.下列各式的运算结果为实数的是
（D ）
A.-i（1+i）
B.i（1-i）
C.（1+i）-（1-i）
D.（1+i）（1-i）
+ −
＝ 2+2 - 2+2 i.
由此可见，在进行复数除法运算时，实际上是将分母“实数化”.
2
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典例剖析
一 复数的加减运算
例1 计算：（1-2i）-（2-3i）+（3-4i）-（4-5i）+…+（2 017-2 018i）-（2数范围内仍然成立.
常用的乘法公式有：若1，2 ∈ ，则
（1）平方差公式：（1 + 2）（1 − 2）＝21 − 22；
（2）完全平方公式：（1 + 2）2＝21 + 212 + 22；（1 − 2）2＝12 -212 + 22；
32i+32i2+3i3＝3 − 32 + （32 − 3）i.
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跟踪训练
设复数满足||＝5且（3+4i）是纯虚数，则＝（
ҧ
A ）
A.4-3i或-4+3i
B.-4+3i或-4-3i
C.4-3i
D.-4+3i
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四 复数的除法运算
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复数的加法运算满足如下运算律：
（1）结合律：（1 + 2 ） + 3 ＝1 + （2 + 3 ）；
（2）交换律：1 + 2 ＝2 + 1 .
2.复数加法的几何意义
如图，1＝ + i，2＝ + i（，，， ∈ ）分别与向量1 ＝（，），2 ＝（， ）对应，
综上所述，原式＝1 009（-1+i）＝-1 009+1 009i.
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反思
感悟
反思感悟
（1）两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）.复数的减法是加法的逆
运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数.当多个复数相加（减）时，可将这些复数的
所有实部相加（减），所有虚部相加（减）.
2 +i
，则
等于
1+i
i
.
1
1
− （5-9i）.
4
2+2i
6.已知复数＝
（1）求复数的模；
（2）若复数是方程22 + + ＝0的一个根，求实数，的值.
1
1
- 4（5-9i）＝-1+2i，∴
2+2i
解：（1）∵ ＝
||＝ 5.
（2）∵ 复数是方程22 + + ＝0的一个根，∴ −6 − + + （2 − 8）i＝0.
−i
例4 已知∈R，i为虚数单位，若2+i为实数，则的值为
−i 2−i
−i
解析：∵2+i＝ 2+i 2−i
2−i−2i+i2
2−1 − +2
＝ 22 +12 ＝
5
.
i 2−1 +2
+2
＝ 5 - 5 i∈R，∴ - 5 ＝0，∴ ＝-2.
答案：-2
反思感悟
（1）复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式的形式，采用分母“实数化”的
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跟踪训练
非零复数1，2分别对应复平面内的向量，，若|1 + 2|＝|1 − 2|，则（ C ）
A.＝
B.| |＝||
C. ⊥
D.，共线
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三 复数的乘法运算
例3
已知复数＝（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则的模是
＝（
+i
即除以一个复数，等于乘这个复数的倒数.因此1＝
2
在实际计算
+i
时，通常把分子和分母同乘分母
+i
+i −i
+i
＝
+i
+i −i
+ i）

2 +2

+ −
− 2+2 i ＝ 2+2 - 2+2 i.
+ i的共轭复数 − i，化简后就得到上面的结果：
第五章
§2
复数的四则运算
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学习目标
1.学会复数代数形式的四则运算法则，能够运用法则求两个复数的和与差、积与商.
2.了解复数加法运算、乘法运算的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.
3.了解复数加法运算、减法运算的几何意义，初步感知复数乘法运算的几何意义.
核心素养：数学抽象，直观想象，数学运算.
（3）立方和、差公式：（1 + 2）（21 − 12 + 22）＝31 + 32，（1 − 2）（21 + 12 + 22）＝31 − 32.
互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数（或其共轭复数）模的平方.即若＝ + i（， ∈ ），
2＝||ҧ 2＝2 + 2.
（2）因为＝-，所以向量对应的复数为（3+2i）-（-2+4i）＝5-2i；
（3）因为＝+，所以向量对应的复数为（3+2i）+（-2+4i）＝1+6i.
反思感悟
利用向量加法“首尾相接”和减法“指向被减向量”的特点，在三角形或平行四边形内可求得第三个向
量及其对应的复数.注意向量对应的复数是 − （终点对应的复数减去起点对应的复数）.
由此可见，两个复数的差仍是一个复数，两个复数的差的实部是它们的实部的差，两个复数的差的虚部
是它们的虚部的差.
名师点析
（1）两个实数的差是实数，但是两个虚数的差不一定是虚数，例如（3+2i）-2i＝3.
（2）把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加、减法类似于多项式的加、减法，只需要
“合并同类项”就可以了.
（2）结合律：（1 · 2 ） · 3 ＝1 · （2 · 3 ）；
（3）乘法对加法的分配律：1 · 2 + 3 ＝1 · 2 + 1 · 3 .
（4）复数指数幂的运算对复数，1，2和正整数，，有 · ＝ + ， ＝ ， 1 · 2 ＝1 · 2 .
复数.
（2）复数的加法可以推广到多个复数相加的情形：各复数的实部分别相加，虚部分别相加.
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对任意的复数1＝ + i和非零复数2＝ + i，规定复数的减法：1 − 2＝1 + （ − 2），即减去一个
复数，等于加上这个复数的相反数.也就是： （ + i）-（ + i）＝（ − ）+（ − ）i.
C.第三象限
D.第四象限
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二 复数加减法的几何意义
例2 如图所示，在复平面内，平行四边形的顶点，，分别对应复数0，3+2i，-2+4i.求：
（1）向量对应的复数；（2）向量对应的复数；（3）向量对应的复数.
解：（1）因为＝-，所以向量对应的复数的-3-2i；