人教A版高考总复习一轮数学精品课件 第二章 一元二次函数、方程和不等式 第二节 基本不等式 (2)
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2
≥2+2
2
2
·=4,当且仅当
1
∴0<a<1.∵a+≥2
错误.
2
2
2,当且仅当
1
a=b= 时,等号成立,故
2
1
1
1
1
B 错误; + =(a+b) +
1
a=b=2时,等号成立,故
1
·=2,当且仅当
A正
=2+ +
C 错误;∵a>0,b>0,a+b=1,
1
a=1 时,等号成立,∴a+取不到
2ab
(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.
(2)a+b≥2 (a>0,b>0),当且仅当 a=b 时,等号成立.
+ 2
(3)ab≤
(a,b∈R),当且仅当 a=b 时,等号成立.
2
2
+ 2 2 +
(4)
≤
(a,b∈R),当且仅当 a=b 时,等号成立.
2
2
3.利用基本不等式求最值
1
(x+y) + 的形式,再展开利用基本不等式求得最值.即将欲求最值的目标
式中的常数用变量替换,构造符合基本不等式应用的条件.
对点训练3(2021重庆八中高三月考)若实数x,y满足x>2y>0,且xy=1,则
2 + 42
的最小值是
-2
.
答案 4
解析 x,y 满足 x>2y>0,且
2
C.若 + ≥2,则必有 a>0,b>0
D.若 a∈R,则有 a2+9≥6a
答案 C
解析
由基本不等式可知,若 + ≥2
a<0,b<0,故 C 不成立.
成立,则必有 >0, >0,因此
a>0,b>0 或
2 -3+1
3.若 t<0,则 y=
的最大值为(
A.5
B.1
C.-5
b=2a=6 时,等号成立,即 ab 的最小值等于 18.
考向5.通过多次利用基本不等式求最值
典例突破
1
例6.若a>0,b>0,则 + 2 +b的最小值为
.
答案 2 2
解析
1
1
2
2
∵a>0,b>0,∴ + 2+b≥2 · 2 +b=+b≥2 ·=2
于
.
答案 (1)A
(2)
1
2
解析 (1)(方法 1)因为 a,b,c 均为正实数,则
+
+
+
+
= 2
≤
=
2
2
2
2
2 + 2 )
2 + 2
+
+ 2 +
2
2(
+ 2 2
·2
1
=2
2 +2+2
2(2 +2 )
=
1
2
1
1
+
≤
2
2
2
+
(方法 2)因为 a>0,b>0,且 a+2b=3ab,
所以 3ab≥2
整理得
8
值为 .
9
3
2,即
2
8
ab≥ ,当且仅当
9
≥ 2,
=
= 2,
即
+ 2 = 3,
=
4
,
3
时,等号成立,故
2
3
ab 的最小
方法点拨常数代换法求最值
对于形如“已知 x+y=t,求 + 的最值”的问题,通常先将 + 转化为
≤
+
+
≤
≤
2
2
2 +
,当且仅当 a=b 时,等号成立.
2
++
4.三个正数的均值不等式:若 a,b,c>0,则
≥
3
等号成立.
3
,当且仅当 a=b=c 时,
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”.
+
(1)ab≤ 2
2
成立的条件是 a,b>0.( × )
已知x≥0,y≥0.
(1)如果积xy等于定值P,那么当
x=y
时,和x+y有最小值
积定和最小).
(2)如果和x+y等于定值S,那么当
和定积最大).
2
(简记:
2
x=y
时,积xy有最大值
4
(简记:
微点拨利用基本不等式求最值的注意点
(1)应用基本不等式求最值应满足“一正、二定、三相等”,忽略某一条件就
2,故 D
名师点析利用基本不等式判断命题真假的注意点
(1)要熟记基本不等式及其各种变形的形式与成立的条件,明确其中等号成
立的条件.
(2)理解基本不等式的一般性,基本不等式中,a,b可以换成不同的数、式,但
必须满足相应的条件,否则就会得出错误的结论.
对点训练1下列不等式的证明过程正确的是(
进行求解,或者通过构造一元二次方程,利用根的分布解决问题.
对点训练5(2021天津和平高三期中)若正数a,b满足2a+b+6=ab,则ab的最
小值为
.
答案 18
解析 由 2a+b+6=ab 可得 2a+b=ab-6,由于 2a+b≥2 2,所以 ab-6≥2 2,
即 ab-2 2 · -6≥0,解得 ≥3 2或 ≤- 2(舍去),故 ab≥18,当且仅当
)
D.-1
答案 C
解析
2 -3+1
1
y=
=t+ -3,因为
时,等号成立,于是
的最大值为-5.
1
t+ =-
t<0,所以-t+
− +
1
−
1
−
≥2
≤-2,因此
1
(-)·(- )=2,当且仅当
1
y=t+ -3≤-5,即
t=-1
2 -3+1
y= (t<0)
增素能 精准突破
考点一
A.若 a<0,b<0,则 + ≤2 · =2
B.若 x,y>0,则 lg x+lg y≥2 lglg
4
4
C.若 x 为负实数,则 x+≥-2 ·=-4
D.若 x 为非负实数,则 2x+2-x≥2 2 ·2- =2
)
答案 D
解析 由
a<0,b<0 可得>0,>0,则由基本不等式可得, + ≥2 ·=2,当且仅
得 a+b=3ab.由于 ab≤
2
4(a+b)≤3(a+b) ,所以
4
围是[3,+∞);由于
且仅当
4
a+b≥3,当且仅当
+ 2
,所以
2
a+b≤3
+ 2
,即
2
2
a=b=3时,等号成立,即
a+b 的取值范
a+b≥2 ,所以 3ab≥2 ,即 9(ab) ≥4ab,所以
2
a=b= 时,等号成立,故
2
2 +42
xy=1,则
-2
4
(-2)· =4,当且仅当
-2
2 +42
故
的最小值是
-2
4.
4
x-2y=
且
-2
=
(-2)2 +4
4
=(x-2y)+
≥
-2
-2
xy=1,即 x=1+ 3,y=
3-1
时,等号成立,
2
考向3.通过消元利用基本不等式求最值
典例突破
8
第二章
第二节 基本不等式
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.了解基本不等式的证
明过程.
1.利用基本不等式判断命
2.能用基本不等式解决
题真假
简单的最值问题.
2.利用基本不等式求最值
3.理解基本不等式在实
3.基本不等式的综合应用
际问题中的应用.
数学抽象
逻辑推理
解析 (方法 1)因为 a>0,b>0,且 a+2b=3ab,
1
2
所以 + =3,且
8
=9,当且仅当
+2
ab=
3
=
4
,
=
1
1
2
(a+2b) +
9
+ 2 = 3,
即
=
=
1
=
9
4
4+ +
4
,
3
时,等号成立,故
2
3
1
≥
9
4+2
4
·
8
ab 的最小值为9.
例4.(2021辽宁锦州高三期中)已知正实数x,y满足x-2y=1,则 +y的最小值
为
答案
.
7
2
解析 由 x-2y=1 可得 x=2y+1,且
1
8
2+1
1
1
≥2
·
−
=2×22
2+1
2
2
2
8
立,所以+y
7
的最小值为2.
=
8
8
8
2+1
2y+1>0,所以+y=2+1+y=2+1 + 2 −
等号成立,故 D 正确.
考点二
利用基本不等式求最值(多考向探究)
考向1.通过拼凑利用基本不等式求最值
典例突破
例 2.(1)(2021 山西太原高三二模)若 a,b,c 均为正实数,则
+
2
的最大值
2
2 +2 +
为(
)
1
A.2
1
B.4
2
C. 2
3
D. 2
2
(2)(2021 广东佛山高三期中)若 x>0,则函数 y=x-1+2+1的最小值等
2
2 +2
当且仅当 =2b,且
+
1
+
2
2 2 ·2
=
1
,
2
a=c,即 a=b=c 时,等号成立,
1
则 2 2 2的最大值为2.
+2 +
(方法 2)因为 a,b,c 均为正实数,所以 a +b ≥2ab,b +c ≥2bc,于是
2
+
(2 +2 )+(2 +2 )
7
,当且仅当
2
8
2+1
=
2+1
,
2
即
-2 = 1,
= 4,
3 时,等号成
=
2
名师点析消元法求最值
在条件最值问题中,当含有多个变量时,可以根据已知条件,用一个变量表
示另一个变量,从而将欲求最值的代数式中的变量减少,只保留一个变量,
然后通过拼凑,创造符合基本不等式应用的条件,求得最值.
对点训练 4(2021 湖南长沙高三期中)已知正数 a,b,c 满足 2a-b+c=0,则 2 的最
大值为(
)
A.8
B.2
1
C.8
1
D.6
答案 C
解析 因为 2a-b+c=0,所以 b=2a+c,于是
2
4
当且仅当
=
且
2a-b+c=0,即
1
c=2a= b
2
=
2
(2+)
= 4
1
≤
+
2+2
=
1
,当且仅当
2
2
2
2
+
2 +22 +2
a=b=c 时,等号成立,故
=
+
的最
2
2
2
+2 +
1
大值为2.
2
1
1
1
3
(2)因为 x>0,所以 y=x-1+2+1=x-1+ 1=x+2 + 1 − 2≥2
+
+
2
1
,当且仅当
2
1
x+
2
=
1
1,即
+2
+
+4
≤
1
4
2 ·+4
1
时,等号成立,故 2的最大值为 .
8
=
1
,
8
考向4.利用基本不等式“和”“积”互化求最值
典例突破
1 1
例5.(2021河北沧州高三期末)已知正数a,b满足 + =3,则a+b的取值范
围是
;ab的最小值为
.
答案
4
[ ,+∞)
3
4
9
解析
1
1
由 + =3
当 a=b 时,等号成立,故 A 错误;x,y>0 时,lg x,lg y 有可能为 0 或负数,不符合基
本不等式成立的条件,故 B 错误;若 x<0,则
4ห้องสมุดไป่ตู้
x+ ≤-4,当且仅当
x=-2 时,等号成
立,故 C 错误;当 x≥0 时,2x>0,由基本不等式可得,2x+2-x≥2,当且仅当 x=0 时,
即
8
-3 = 2,
a
= 1,
=
1
a
-3b
1时,等号成立,综上可得,2
-3
1
+ 的最小值为 4.
a
8
考向2.通过常数代换利用基本不等式求最值
典例突破
例3.(2021山东潍坊高三期中)已知a>0,b>0,且a+2b=3ab,则ab的最小值为
≥2+2
2
2
·=4,当且仅当
1
∴0<a<1.∵a+≥2
错误.
2
2
2,当且仅当
1
a=b= 时,等号成立,故
2
1
1
1
1
B 错误; + =(a+b) +
1
a=b=2时,等号成立,故
1
·=2,当且仅当
A正
=2+ +
C 错误;∵a>0,b>0,a+b=1,
1
a=1 时,等号成立,∴a+取不到
2ab
(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.
(2)a+b≥2 (a>0,b>0),当且仅当 a=b 时,等号成立.
+ 2
(3)ab≤
(a,b∈R),当且仅当 a=b 时,等号成立.
2
2
+ 2 2 +
(4)
≤
(a,b∈R),当且仅当 a=b 时,等号成立.
2
2
3.利用基本不等式求最值
1
(x+y) + 的形式,再展开利用基本不等式求得最值.即将欲求最值的目标
式中的常数用变量替换,构造符合基本不等式应用的条件.
对点训练3(2021重庆八中高三月考)若实数x,y满足x>2y>0,且xy=1,则
2 + 42
的最小值是
-2
.
答案 4
解析 x,y 满足 x>2y>0,且
2
C.若 + ≥2,则必有 a>0,b>0
D.若 a∈R,则有 a2+9≥6a
答案 C
解析
由基本不等式可知,若 + ≥2
a<0,b<0,故 C 不成立.
成立,则必有 >0, >0,因此
a>0,b>0 或
2 -3+1
3.若 t<0,则 y=
的最大值为(
A.5
B.1
C.-5
b=2a=6 时,等号成立,即 ab 的最小值等于 18.
考向5.通过多次利用基本不等式求最值
典例突破
1
例6.若a>0,b>0,则 + 2 +b的最小值为
.
答案 2 2
解析
1
1
2
2
∵a>0,b>0,∴ + 2+b≥2 · 2 +b=+b≥2 ·=2
于
.
答案 (1)A
(2)
1
2
解析 (1)(方法 1)因为 a,b,c 均为正实数,则
+
+
+
+
= 2
≤
=
2
2
2
2
2 + 2 )
2 + 2
+
+ 2 +
2
2(
+ 2 2
·2
1
=2
2 +2+2
2(2 +2 )
=
1
2
1
1
+
≤
2
2
2
+
(方法 2)因为 a>0,b>0,且 a+2b=3ab,
所以 3ab≥2
整理得
8
值为 .
9
3
2,即
2
8
ab≥ ,当且仅当
9
≥ 2,
=
= 2,
即
+ 2 = 3,
=
4
,
3
时,等号成立,故
2
3
ab 的最小
方法点拨常数代换法求最值
对于形如“已知 x+y=t,求 + 的最值”的问题,通常先将 + 转化为
≤
+
+
≤
≤
2
2
2 +
,当且仅当 a=b 时,等号成立.
2
++
4.三个正数的均值不等式:若 a,b,c>0,则
≥
3
等号成立.
3
,当且仅当 a=b=c 时,
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”.
+
(1)ab≤ 2
2
成立的条件是 a,b>0.( × )
已知x≥0,y≥0.
(1)如果积xy等于定值P,那么当
x=y
时,和x+y有最小值
积定和最小).
(2)如果和x+y等于定值S,那么当
和定积最大).
2
(简记:
2
x=y
时,积xy有最大值
4
(简记:
微点拨利用基本不等式求最值的注意点
(1)应用基本不等式求最值应满足“一正、二定、三相等”,忽略某一条件就
2,故 D
名师点析利用基本不等式判断命题真假的注意点
(1)要熟记基本不等式及其各种变形的形式与成立的条件,明确其中等号成
立的条件.
(2)理解基本不等式的一般性,基本不等式中,a,b可以换成不同的数、式,但
必须满足相应的条件,否则就会得出错误的结论.
对点训练1下列不等式的证明过程正确的是(
进行求解,或者通过构造一元二次方程,利用根的分布解决问题.
对点训练5(2021天津和平高三期中)若正数a,b满足2a+b+6=ab,则ab的最
小值为
.
答案 18
解析 由 2a+b+6=ab 可得 2a+b=ab-6,由于 2a+b≥2 2,所以 ab-6≥2 2,
即 ab-2 2 · -6≥0,解得 ≥3 2或 ≤- 2(舍去),故 ab≥18,当且仅当
)
D.-1
答案 C
解析
2 -3+1
1
y=
=t+ -3,因为
时,等号成立,于是
的最大值为-5.
1
t+ =-
t<0,所以-t+
− +
1
−
1
−
≥2
≤-2,因此
1
(-)·(- )=2,当且仅当
1
y=t+ -3≤-5,即
t=-1
2 -3+1
y= (t<0)
增素能 精准突破
考点一
A.若 a<0,b<0,则 + ≤2 · =2
B.若 x,y>0,则 lg x+lg y≥2 lglg
4
4
C.若 x 为负实数,则 x+≥-2 ·=-4
D.若 x 为非负实数,则 2x+2-x≥2 2 ·2- =2
)
答案 D
解析 由
a<0,b<0 可得>0,>0,则由基本不等式可得, + ≥2 ·=2,当且仅
得 a+b=3ab.由于 ab≤
2
4(a+b)≤3(a+b) ,所以
4
围是[3,+∞);由于
且仅当
4
a+b≥3,当且仅当
+ 2
,所以
2
a+b≤3
+ 2
,即
2
2
a=b=3时,等号成立,即
a+b 的取值范
a+b≥2 ,所以 3ab≥2 ,即 9(ab) ≥4ab,所以
2
a=b= 时,等号成立,故
2
2 +42
xy=1,则
-2
4
(-2)· =4,当且仅当
-2
2 +42
故
的最小值是
-2
4.
4
x-2y=
且
-2
=
(-2)2 +4
4
=(x-2y)+
≥
-2
-2
xy=1,即 x=1+ 3,y=
3-1
时,等号成立,
2
考向3.通过消元利用基本不等式求最值
典例突破
8
第二章
第二节 基本不等式
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.了解基本不等式的证
明过程.
1.利用基本不等式判断命
2.能用基本不等式解决
题真假
简单的最值问题.
2.利用基本不等式求最值
3.理解基本不等式在实
3.基本不等式的综合应用
际问题中的应用.
数学抽象
逻辑推理
解析 (方法 1)因为 a>0,b>0,且 a+2b=3ab,
1
2
所以 + =3,且
8
=9,当且仅当
+2
ab=
3
=
4
,
=
1
1
2
(a+2b) +
9
+ 2 = 3,
即
=
=
1
=
9
4
4+ +
4
,
3
时,等号成立,故
2
3
1
≥
9
4+2
4
·
8
ab 的最小值为9.
例4.(2021辽宁锦州高三期中)已知正实数x,y满足x-2y=1,则 +y的最小值
为
答案
.
7
2
解析 由 x-2y=1 可得 x=2y+1,且
1
8
2+1
1
1
≥2
·
−
=2×22
2+1
2
2
2
8
立,所以+y
7
的最小值为2.
=
8
8
8
2+1
2y+1>0,所以+y=2+1+y=2+1 + 2 −
等号成立,故 D 正确.
考点二
利用基本不等式求最值(多考向探究)
考向1.通过拼凑利用基本不等式求最值
典例突破
例 2.(1)(2021 山西太原高三二模)若 a,b,c 均为正实数,则
+
2
的最大值
2
2 +2 +
为(
)
1
A.2
1
B.4
2
C. 2
3
D. 2
2
(2)(2021 广东佛山高三期中)若 x>0,则函数 y=x-1+2+1的最小值等
2
2 +2
当且仅当 =2b,且
+
1
+
2
2 2 ·2
=
1
,
2
a=c,即 a=b=c 时,等号成立,
1
则 2 2 2的最大值为2.
+2 +
(方法 2)因为 a,b,c 均为正实数,所以 a +b ≥2ab,b +c ≥2bc,于是
2
+
(2 +2 )+(2 +2 )
7
,当且仅当
2
8
2+1
=
2+1
,
2
即
-2 = 1,
= 4,
3 时,等号成
=
2
名师点析消元法求最值
在条件最值问题中,当含有多个变量时,可以根据已知条件,用一个变量表
示另一个变量,从而将欲求最值的代数式中的变量减少,只保留一个变量,
然后通过拼凑,创造符合基本不等式应用的条件,求得最值.
对点训练 4(2021 湖南长沙高三期中)已知正数 a,b,c 满足 2a-b+c=0,则 2 的最
大值为(
)
A.8
B.2
1
C.8
1
D.6
答案 C
解析 因为 2a-b+c=0,所以 b=2a+c,于是
2
4
当且仅当
=
且
2a-b+c=0,即
1
c=2a= b
2
=
2
(2+)
= 4
1
≤
+
2+2
=
1
,当且仅当
2
2
2
2
+
2 +22 +2
a=b=c 时,等号成立,故
=
+
的最
2
2
2
+2 +
1
大值为2.
2
1
1
1
3
(2)因为 x>0,所以 y=x-1+2+1=x-1+ 1=x+2 + 1 − 2≥2
+
+
2
1
,当且仅当
2
1
x+
2
=
1
1,即
+2
+
+4
≤
1
4
2 ·+4
1
时,等号成立,故 2的最大值为 .
8
=
1
,
8
考向4.利用基本不等式“和”“积”互化求最值
典例突破
1 1
例5.(2021河北沧州高三期末)已知正数a,b满足 + =3,则a+b的取值范
围是
;ab的最小值为
.
答案
4
[ ,+∞)
3
4
9
解析
1
1
由 + =3
当 a=b 时,等号成立,故 A 错误;x,y>0 时,lg x,lg y 有可能为 0 或负数,不符合基
本不等式成立的条件,故 B 错误;若 x<0,则
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x+ ≤-4,当且仅当
x=-2 时,等号成
立,故 C 错误;当 x≥0 时,2x>0,由基本不等式可得,2x+2-x≥2,当且仅当 x=0 时,
即
8
-3 = 2,
a
= 1,
=
1
a
-3b
1时,等号成立,综上可得,2
-3
1
+ 的最小值为 4.
a
8
考向2.通过常数代换利用基本不等式求最值
典例突破
例3.(2021山东潍坊高三期中)已知a>0,b>0,且a+2b=3ab,则ab的最小值为