奥赛起跑线 六年级 第一讲 习题解析

第一讲
1、数学兴趣小组有38人，老师至少拿多少本书，随意分给大家，才能保证至少有1名学生能拿到2本书？
解把38人看成38个抽屉，据抽屉原理，39本书中必有两本给同一人。

所以至少拿39本书，能保证至少有1名学生能拿到2本书。

2、某小学学生的年龄最大的为13岁，最小的为6岁，至少需要从中挑选多少名同学，就一定能使挑出的同学中有两位同学岁数相同？
解学生年龄共有8种不同可能，看成8个抽屉，据抽屉原理，9名同学中必有2人年龄相同，所以至少需要从中挑选9名同学，就一定能使挑出的同学中有两位同学岁数相同。

3、在100米的路段上植树，至少要植多少棵树，才能保证至少有两棵树之间的距离小于10米？
解把100米平均成11段，每段9.0·9·米，看成11个抽屉，据抽屉原理，12棵树中必有2棵在同一段里，则它们的距离小于10米。

所以至少要植12棵树，才能保证至少有两棵树之间的距离小于10米。

4、任意取多少个自然数，才能保证至少有两个数的差是7的倍数？
解把自然数按它们被7除的余数分为7类，看成7个抽屉，据抽屉原理，8个自然数至少有2个数在同一个抽屉里，则它们的差是7的倍数。

所以任意取8个自然数，才能保证至少有两个数的差是7的倍数。

5、从1到50的自然数中，任取27个数，其中必有两个数的和等于52。

这是为什么？
解把(1),(2,50),(3,49),...,(25,27),(26)看成26个抽屉，据抽屉原理，任取27个数，放入这26个抽屉中，必有2个在同一个抽屉中，由于(1)和(26)只能分别放1和26，所以这2个数只能放在2~25号抽屉中，则2个数的和为52。

6、从1,2,3,4,...,10这10个数中，任意取多少个数，可以保证在这些数中一定能找到两个数，使其中一个数是另一个数的倍数？
解把(10,5),(9,3),(8,4),(7,1),(6,2)看成5个抽屉，据抽屉原理，至少取6个数，可以保证在这些数里一定能找到2个数，使其中一个数是另一个数的倍数。

7、从1,2,3,4,...,12这12个数中，任意取出7个数，其中差等于6的数至少有多少对？
解把(1,7),(2,8),(3,9),(4,10),(5,11),(6,12)看成6个抽屉，据抽屉原理，至少取7个数，可以保证在这些数里一定能找到2个数，使其差等于6。

8、有红笔、蓝笔、黄笔、绿笔各两枝，让一位小朋友任意抓两枝，这位小朋友至少抓多少次才能确保他至少有两次抓到的笔的种类完全相同（每抓一次后又放回，再抓另一次）？解枚举法可得，小朋友抓笔种类分为两只相同和不同两种情况，各有4种和6种，所以抓笔种类共有10种。

看成10个抽屉，据抽屉原理，抓11次时至少有两次完全相同。

9、学校买来历史、文艺、科普三种图书各若干本，每名同学从中任意借两本。

那么，至少多少名同学中一定有两人所借图书的种类相同？
解枚举法可得，借书种类分为两只相同和不同两种情况，各有3种和3种，所以借书种类共有6种。

看成6个抽屉，据抽屉原理，借7次时至少有两次完全相同。

10、将一大筐苹果和梨子，分成若干堆。

如果要确保找到这样两堆，其中梨子的总数和苹果的总数都是偶数，那么，至少要把这些苹果和梨分成多少堆？
解梨和苹果奇偶性可分为4个抽屉：(奇,奇),(奇,偶),(偶,奇),(偶,偶)，据抽屉原理，至少要把这些苹果和梨分成5堆。