高中数学第二章数列2 2 2等差数列的性质素养评价检测含解析新人教A版必修5

等差数列的性质
(20分钟35分)
1.(2020·榆林高二检测)已知数列{a n}是等差数列,a7+a13=20,则a9+a10+a11=( )
A.36
B.30
C.24
D.1
〖解析〗选B.由于a7+a13=2a10=20,即a10=10,
故a9+a10+a11=3a10=30.
〖补偿训练〗
已知等差数列{a n}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
〖解析〗选B.因为数列{a n}是等差数列,
所以2a3=a1+a5=10,
所以a3=5,
又a4=7,所以数列{a n}的公差d=a4-a3=2.
2.《九章算术》一书中有如下问题:今有女子善织,日增等尺,七日织28尺,第二日,第五日,第八日所织之和为15尺,则第十五日所织尺数为( )
A.13
B.14
C.15
D.16
〖解析〗选 C.由题意可知,每日所织数量构成等差数列{a n},且a2+a5+a8=15,a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=28,设公差为d,由a2+a5+a8=15,得3a5=15,所以a5=5,
由a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=7a4=28,得a4=4,则d=a5-a4=1,所以a15=a5+10d=5+10×1=15.
3.已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若a m=8,则m的值
为( )
A.12
B.8
C.6
D.4
〖解析〗选B.由等差数列的性质,得a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,
所以a8=8,又d≠0,所以m=8.
〖补偿训练〗
在等差数列{a n}中,a1=,a2+a5=4,a n=33,则n是( )
A.48
B.49
C.50
D.51
〖解析〗选C.a1=,a2+a5=2a1+5d=4,
所以d=,
所以a n=a1+(n-1)d=+(n-1)=33,
所以n=50.
4.已知等差数列{a n}:1,0,-1,-2,…;等差数列{b n}:0,20,40,60,…,则数列{a n+b n}是( )
A.公差为-1的等差数列
B.公差为20的等差数列
C.公差为-20的等差数列
D.公差为19的等差数列
〖解析〗选D.(a2+b2)-(a1+b1)=(a2-a1)+(b2-b1)=-1+20=19.
所以由等差数列性质知数列{a n+b n}是公差为19的等差数列.
5.如果等差数列{a n}中,a1=2,a3=6,则数列{2a n-3}是公差为________的等差数列.
〖解析〗因为a3-a1=6-2=4,
所以2d=4,即d=2.
所以{2a n-3}的公差为2d=4.
答案:4
6.已知数列{a n}为等差数列,且公差为d.
(1)若a15=8,a60=20.求a65的值;
(2)若a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差d.
〖解析〗(1)等差数列{a n}中,
a15=8,a60=20,则
解得d=,a65=a60+5d=20+=.
(2)数列{a n}为等差数列,
且公差为d且a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,
解得a2=4,a5=13或a2=13,a5=4.
a5=a2+3d,
即13=4+3d或4=13+3d,
解得d=3或d=-3.
(30分钟60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知数列{a n}是等差数列,若a1-a9+a17=7,则a3+a15=( )
A.7
B.14
C.21
D.7(n-1)
〖解析〗选B.因为a1-a9+a17=(a1+a17)-a9=2a9-a9=a9=7,所以a3+a15=2a9=2×7=14.
2.数列{a n}满足3+a n=a n+1且a2+a4+a6=9,则
log6(a5+a7+a9)的值是( )
A.-2
B.-
C.2
D.
〖解析〗选C.因为a n+1-a n=3,
所以{a n}为等差数列,设其公差为d,则d=3.
a2+a4+a6=9=3a4,所以a4=3,
a5+a7+a9=3a7=3(a4+3d)=3(3+3×3)=36,
所以log6(a5+a7+a9)=log636=2.
补偿训练〗
在等差数列{a n}中,a2 000=log27,a2 022=log2,则a2 011=( )
A.0
B.7
C.1
D.49
〖解析〗选A.因为数列{a n}是等差数列,
所以由等差数列的性质可知2a2 011=a2 000+a2 022=log27+log2=log21=0,故a2 011=0.
3.设等差数列{a n}的公差为d,若数列{2a1a n}为递减数列,则( )
A.d<0
B.d>0
C.a1d<0
D.a1d>0
〖解析〗选C.因为数列{2a1a n}为递减数列,a1a n=a1〖a1+(n-1)d〗=a1dn+a1(a1-d),等式右边为关于n的一次函数,
所以a1d<0.
4.目前农村电子商务发展取得了良好的进展,若某家农村网店从第一个月起利润就成递增等差数列,且第2个月利润为2 500元,第5个月利润为4 000元,第m个月后该网店的利润超过
5 000元,则m等于( )
A.6
B.7
C.8
D.10
〖解析〗选B.设该网店从第一个月起每月的利润构成等差数列{a n},
则a2=2 500,a5=4 000.
由a5=a2+3d,即4 000=2 500+3d,得d=500.
由a m=a2+(m-2)×500=5 000,得m=7.
〖补偿训练〗
《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题:把100个面包分给5个人,使每个人的所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小的一份的量为( )
A.个
B.个
C.个
D.个
〖解析〗选C.易得中间的一份为20个面包,
设最小的一份的量为a1,公差为d(d>0),
根据题意,有〖20+(a1+3d)+(a1+4d)〗×=a1+(a1+d),解得a1=.故最小一份的量为个.
5.下面是关于公差d>0的等差数列{a n}的四个说法.
(1)数列{a n}是递增数列;
(2)数列{na n}是递增数列;
(3)数列是递增数列;
(4)数列{a n+3nd}是递增数列.其中正确的是( )
A.(1)(2)
B.(3)(4)
C.(2)(3)
D.(1)(4)
〖解析〗选D.因为a n=a1+(n-1)d,d>0,
所以a n-a n-1=d>0,说法(1)正确;
na n=na1+n(n-1)d,所以na n-(n-1)a n-1=a1+2(n-1)d,与n的大小和a1的取值情况有关. 故数列{na n}不一定递增,说法(2)不正确;
=+d,所以-=,
当d-a1>0,即d>a1时,数列递增,
但d>a1不一定成立,则(3)不正确;
设b n=a n+3nd,则b n+1-b n=a n+1-a n+3d=4d>0.
所以数列{a n+3nd}是递增数列,(4)正确.
综上,正确的说法为(1)(4).
〖补偿训练〗
若{a n}是等差数列,则下列数列为等差数列的有( )
①{a n+a n+1};②{};③{a n+1-a n};④{2a n};⑤{2a n+n}.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
〖解析〗选D.设等差数列{a n}的公差为d.对于①,
(a n+a n+1)-(a n-1+a n)
=(a n-a n-1)+(a n+1-a n)=2d(n≥2),
所以{a n+a n+1}是以2d为公差的等差数列;
对于②,-=(a n+1-a n)(a n+a n+1)
=d(a n+a n+1)≠常数,所以{}不是等差数列;
对于③,因为a n+1-a n=d,所以{a n+1-a n}为常数列;
所以{a n+1-a n}为等差数列;
对于④,因为2a n+1-2a n=2d,所以{2a n}为等差数列;
对于⑤,(2a n+1+n+1)-(2a n+n)=2d+1,
所以{2a n+n}为等差数列.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2020·成都高二检测)等差数列{a n}中,a1=1,a9=21,则a3与a7等差中项的值为________. 〖解析〗根据等差数列的性质可知,a3+a7=a1+a9=1+21=22,所以a3与a7的等差中项为(a3+a7)=11.
答案:11
7.若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为________.
〖解析〗设这三个数为a-d,a,a+d,
则解得a=3,d=4或a=3,d=-4.所以这三个数
为-1,3,7或7,3,-1.
所以这三个数的积为-21.
答案:-21
8.在等差数列{a n}中,已知a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9的值为________.
〖解析〗方法一:因为(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=3d,
(a3+a6+a9)-(a2+a5+a8)=3d,所以a1+a4+a7,a2+a5+a8,a3+a6+a9成等差数列.所以a3+a6+a9=2(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=2×33-39=27.
方法二:因为a1+a4+a7=a1+(a1+3d)+(a1+6d)
=3a1+9d=39,所以a1+3d=13,①
因为a2+a5+a8=(a1+d)+(a1+4d)+(a1+7d)
=3a1+12d=33.
所以a1+4d=11,②
联立①②解得
所以a3+a6+a9=(a1+2d)+(a1+5d)+(a1+8d)
=3a1+15d=3×19+15×(-2)=27.
答案:27
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知数列{a n},a n=2n-1,b n=a2n-1.
(1)求{b n}的通项公式;
(2)数列{b n}是否为等差数列?说明理由.
〖解析〗(1)因为a n=2n-1,b n=a2n-1,
所以b n=a2n-1=2(2n-1)-1=4n-3.
(2)由b n=4n-3,知b n-1=4(n-1)-3=4n-7.
因为b n-b n-1=(4n-3)-(4n-7)=4,b1=4×1-3=1,
所以{b n}是首项为1,公差为4的等差数列.
10.已知数列a1,a2,…,a30,其中a1,a2,…,a10是首项为1,公差为1的等差数列;a10,a11,…,a20是公差为d的等差数列;a20,a21,…,a30是公差为d2的等差数列(d≠0).
(1)若a20=30,求公差d;
(2)试写出a30关于d的关系式,并求a30的取值范围.
〖解析〗(1)a10=1+9=10,a20=10+10d=30,所以d=2.
(2)a30=a20+10d2=10(1+d+d2)(d≠0),
a30=10,
当d∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,a30∈.
1.如果有穷数列a1,a2,…,a m(m为正整数)满足条件:a1=a m,a2=a m-1,…,a m=a1,那么称其为“对称”数列.例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数列{c n}中,c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,则c2=________.
〖解析〗因为c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,所以c20=c11+9d=1+9×2=19. 又{c n}为21项的对称数列,所以c2=c20=19.
答案:19
2.已知无穷等差数列{a n},首项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{b n}.
(1)求b1和b2;
(2)求数列{b n}的通项公式;
(3)数列{b n}中的第110项是数列{a n}中的第几项?
〖解析〗(1)由题意,等差数列{a n}的通项公式为a n=3-5(n-1)=8-5n,
设数列{b n}的第n项是数列{a n}的第m项,则需满足m=4n-1,n∈N*.所以b1=a3=8-5×3=-7, b2=a7=8-5×7=-27.
(2)由(1)知b n+1-b n=a4(n+1)-1-a4n-1=4d=-20,
所以数列{b n}也为等差数列,且首项b1=-7,公差d′=-20,所以b n=b1+(n-1)d′=-7+(n-1)×(-20)=13-20n.
(3)因为m=4n-1,n∈N*,
所以当n=110时,m=4×110-1=439,
所以数列{b n}中的第110项是数列{a n}中的第439项.。