江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编AqqPPH

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江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编
导数及其应用
1、(南通市2013届高三期末)曲线2(1)1
()e (0)e 2
x f f x f x x '=-+在点(1,f (1))处的切线方程为 ▲ .
答案:1
e 2
y x =-
. 2、(苏州市2013届高三期末)过坐标原点作函数ln y x =图像的切线,则切线斜率为 . 答案:
1
e
3、(泰州市2013届高三期末)曲线y=2lnx 在点(e,2)处的切线与y 轴交点的坐标为 (0,0)
4、(扬州市2013届高三期末)已知函数x
m
x x f -=ln )((R m ∈)在区间],1[e 上取得最小值4,则=m ▲ . e 3-
5、(常州市2013届高三期末)第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办,展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD ,BC a =,CD b =.a ,b 为常数且满足b a <.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF 建游客休息区(点E ,F 分别在线段AB ,AD 上),且该直角三角形AEF 的周长为(2l b >),如图.设AE x =,△AEF 的面积为S .
(1)求S 关于x 的函数关系式;
(2)试确定点E 的位置,使得直角三角形地 块AEF 的面积S 最大,并求出S 的最大值. 解:(1)设AF y =,则2
2
x y x y l ++
+=,整理,得222()
l lx
y l x -=
-.………3分 2(2)
4(12)
l l x S lx x xy --==,](0,x b ∈. …………………………………4分
(2)()()]22'
222422222,(0,4224l x lx l l S x l x l x b x l x l ⎛⎫⎛⎫
-+-+=⋅=-⋅-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
∴当22
2
b l -≤
时,'0S >,S 在](0,b 递增,故当x b =时,()()max 24bl b l S b l -=
-; 当222b l ->
时,在220,2x l ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭上,'
0S >,S 递增,在22,2x l b ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭
上,'0S <,S 递减,故当222x l -=
时,2
max 3224
S l -=.
6、(连云港市2013届高三期末)(连云港市2013届高三期末)某单位决定对本单位职工实行年医疗
费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件:①报销的医疗费用y (万元)随医疗总费用x (万元)增加而增加;②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%;③报销的医疗费用不得超过8万元.
(1)请你分析该单位能否采用函数模型y =0.05(x 2+4x +8)作为报销方案;
(2)若该单位决定采用函数模型y =x -2ln x +a (a 为常数)作为报销方案,请你确定整数a 的值.(参考数据:ln2≈0.69,ln10≈2.3)
【解】(1)函数y =0.05(x 2+4x +8)在[2,10]上是增函数,满足条件①, ……………2分 当x =10时,y 有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件③. ………………………4分
但当x =3时,y =2920<32,即y ≥x
2
不恒成立,不满足条件②,
故该函数模型不符合该单位报销方案. ………………………6分
(2)对于函数模型y =x -2ln x +a ,设f (x )= x -2ln x +a ,则f ´(x )=1-2x =x -2
x
≥0.
所以f (x )在[2,10]上是增函数,满足条件①,
由条件②,得x -2ln x +a ≥x 2,即a ≥2ln x -x
2
在x ∈[2,10]上恒成立,
令g (x )=2ln x -x 2,则g ´(x )=2x -12=4-x
2x
,由g ´(x )>0得x <4,
∴g (x )在(0,4)上增函数,在(4,10)上是减函数.
∴a ≥g (4)=2ln4-2=4ln2-2. ………………10分 由条件③,得f (10)=10-2ln10+a ≤8,解得a ≤2ln10-2. ……………………12分 另一方面,由x -2ln x +a ≤x ,得a ≤2ln x 在x ∈[2,10]上恒成立, ∴a ≤2ln2,
综上所述,a 的取值范围为[4ln2-2,2ln2],
所以满足条件的整数a 的值为1. ……………14分
7、(南京市、盐城市2013届高三期末)对于定义在区间D 上的函数()f x , 若任给0x D ∈, 均有0()f x D ∈, 则称函数()f x 在区间D 上封闭.
试判断()1f x x =-在区间[2,1]-上是否封闭, 并说明理由; 若函数3()1
x a
g x x +=
+在区间[3,10]上封闭, 求实数a 的取值范围; 若函数3()3h x x x =-在区间[,](,)a b a b Z ∈上封闭, 求,a b 的值.
解: (1)()1f x x =-在区间[2,1]-上单调递增,所以()f x 的值域为[-3,0]………2分 而[-1,0][2,1]⊄-,所以()f x 在区间[2,1]-上不是封闭的……………… 4分 (2)因为33
()311
x a a g x x x +-=
=+++, ①当3a =时,函数()g x 的值域为{}3[3,10]⊆,适合题意……………5分 ②当3a >时,函数()g x 在区间[3,10]上单调递减,故它的值域为309[
,]114
a a
++,
由309[,]114a a ++[3,10]⊆,得30311
9104
a
a +⎧≥⎪⎪⎨
+⎪≤⎪⎩,解得331a ≤≤,故331a <≤……………………7分 ③当3a <时,在区间[3,10]上有33
()3311
x a a g x x x +-=
=+<++,显然不合题意 …………………8分 综上所述, 实数a 的取值范围是331a ≤≤……………………………9分
(3)因为3()3h x x x =-,所以2()333(1)(1)h x x x x '=-=+-, 所以()h x 在(,1)-∞-上单调递减,在(1,1)-上递增,在(1,)+∞上递增.
①当1a b <≤-时,()h x 在区间[,]a b 上递增,所以()()h a a
h b b ≥⎧⎨
≤⎩
,此时无解………10分
②当111a b ≤--<≤且时,因max ()(1)2h x h b =-=>,矛盾,不合题意…………11分 ③当11a b ≤->且时,因为(1)2,(1)2h h -==-都在函数的值域内,故2
2
a b ≤-⎧⎨
≥⎩,
又33
()3()3a h a a a b h b b b ⎧≤=-⎨≥=-⎩
,解得202202a a b b -≤≤≥⎧⎨≤≤≤⎩或或,从而2
2a b =-⎧⎨=⎩ ………12分 ④当11a b -≤<≤时,()h x 在区间[,]a b 上递减,()()h b a
h a b
≥⎧⎨
≤⎩ (*),
而,a b Z ∈,经检验,均不合(*)式……………………………13分
⑤当111a b -<≤≥且时,因min ()(1)2h x h a ==-<,矛盾,不合题意…………14分 ⑥当1b a >≥时,()h x 在区间[,]a b 上递增,所以()()h a a
h b b
≥⎧⎨
≤⎩,此时无解 ……………15分
综上所述,所求整数,a b 的值为2,2a b =-=…………………16分
8、(南通市2013届高三期末)某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板,其周长为4米,这种薄板须沿其对角线折叠后使用.如图所示,()ABCD AB AD >为长方形薄板,
沿AC 折叠后,AB '交DC 于点P .当△ADP 的面积最大时最节能,凹多边形ACB PD '的面积最大时制冷效果最好. (1)设AB =x 米,用x 表示图中DP 的长度,并写出x 的取值范围; (2)若要求最节能,应怎样设计薄板的长和宽? (3)若要求制冷效果最好,应怎样设计薄板的长和宽?
A
B
C
D
(第17题)
B '
P
解:(1)由题意,AB x =,2BC x =-.因2x x >-,故12x <<. …………2分
设DP y =,则PC x y =-.
因△ADP ≌△CB P ',故PA PC x y ==-.
由 222PA AD DP =+,得 2221()(2)2(1)x y x y y x -=-+⇒=-,12x <<.……5分
(2)记△ADP 的面积为1S ,则
11(1)(2)S x x
=-- ………………………………………………………………6分
23()222x x
=-+≤-,
当且仅当2x =∈(1,2)时,S 1取得最大值.……………………………………8分 故当薄板长为2米,宽为22-米时,节能效果最好. ……………………9分 (3)记△ADP 的面积为2S ,则
221114(2)(1)(2)3()22S x x x x x x
=-+--=-+,12x <<.…………………………10分
于是,3
3222142(2)022x S x x x x
-+'=--==⇒=.……………………………11分 关于x 的函数2S 在3(1,2)上递增,在3(2,2)上递减.
所以当32x =时,2S 取得最大值. …………………………13分
故当薄板长为32米,宽为322-米时,制冷效果最好. ………………………14分
9、(徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末)已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x (1) 求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程;
(2) 求函数)(x f 单调区间;
(3) 若存在]1,1[,21-∈x x ,使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数),求实数a 的取值范围. ⑴因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+,
所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+,(0)0f '=,…………………………………………2分 又因为(0)1f =,所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =. …………4分 ⑵由⑴,()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++.
因为当0,1a a >≠时,总有()f x '在R 上是增函数, ………………………………8分 又(0)0f '=,所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+,
故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+.………………………………………………10分 ⑶因为存在12,[1,1]x x ∈-,使得12()()e 1f x f x --≥成立,
而当[1,1]x ∈-时,12max min ()()()()f x f x f x f x --≤,
所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可.……………………………………………12分 又因为x ,()f x ',()f x 的变化情况如下表所示:
x
(,0)-∞
0 (0,)∞+ ()f x '
-
+
()f x
减函数
极小值
增函数
所以()f x 在[1,0]-上是减函数,在[0,1]上是增函数,所以当[1,1]x ∈-时,()f x 的最小值
()()min 01f x f ==,()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值.
因为11
(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a a
a
--=--=--+++, 令1()2ln (0)g a a a a a =-->,因为22121
()1(1)0g a a a a '=-=->+,
所以1
()2ln g a a a a
=--在()0,a ∈+∞上是增函数.
而(1)0g =,故当1a >时,()0g a >,即(1)(1)f f >-;
当01a <<时,()0g a <,即(1)(1)f f <-.………………………………………14分
所以,当1a >时,(1)(0)e 1f f --≥,即ln e 1a a --≥,函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数,解得e a ≥;当01a <<时,(1)(0)e 1f f ---≥,即1ln e 1a a +-≥,函数1
ln y a a
=+在(0,1)a ∈上是减函数,解得1
0e
a <≤.
综上可知,所求a 的取值范围为1(0,][e,)e
a ∈∞+U .………………………………16分
10、(泰州市2013届高三期末)已知函数f(x)=(x-a)2
()x b -,a,b 为常数, (1)若a b ≠,求证:函数f(x)存在极大值和极小值
(2)设(1)中 f(x) 取得极大值、极小值时自变量的分别为12,x x ,令点A 11(,()x f x ),B 22(,()x f x ),如果直线AB 的斜率为12
-
,求函数f(x)和/
()f x 的公共递减区间的长度 (3)若/
()()f x mf x ≥对于一切x R ∈ 恒成立,求实数m,a,b 满足的条件
解:(1)[])2(3)()(/
b a x b x x f +--= …………………………………………………1分
b a ≠Θ32b a b +≠
∴0)(,=∴x f 有两不等 b 和
3
2b
a + ∴f (x )存在极大值和极小值 ……………………………….……………………………4分
(2)①若a =b ,f (x )不存在减区间
②若a >b 时由(1)知x 1=b ,x 2=
3
2b
a + ∴A (
b ,0)B ⎪⎪⎭

⎝⎛--+9)(2,322
b a b a 213
29)(22
-=-+-∴b b a b a ∴)(3)(22b a b a -=- 2
3=-∴b a

3当a <b 时 x 1=
3
2b
a +,x 2=
b 。

同理可得a -b =2
3
(舍)
综上a -b =
2
3
………………………………………………..………………………….7分 )(x f ∴的减区间为)32,(b a b +即(b ,b +1),,f (x )减区间为)2
1
,(+-∞b ∴公共减区间为(b ,b +21
)长度为2
1…………………………….……………………10分
(3))()(/
x mxf x f ≥
[])2(3)())((2b a x b x x m b x a x +--⋅≥--∴ []{}
0)()2()31()(2≥++-++--∴ab x b a b a m x m b x
若3
1

m ,则左边是一个一次因式,乘以一个恒正(或恒负)的二次三项式,或者是三个一次因式的积,无论哪种情况,总有一个一次因式的指数是奇次的,这个因式的零点左右的符号不同,因此不可能恒非负。

3
1
=
∴m …………………………………………………………………………………12分 []03)2()(≤-+-∴ab x b a b x
若a +2b =0,b a 2-=,b a =∴=0, 若02≠+b a 则 b x =1,b
a ab
x 232+=
⎩⎨⎧∴<++=0223b a b
a ab
b
①b =0 则a<0,
②b ≠0
123=+b
a a
b a =∴且b <0
综上 3
1
=∴m 0≤=b a ………………………………………………………………..16分
11、(无锡市2013届高三期末)已知函数f (x )=ax 2+1,g (x )=x 3+bx ,其中a>0,b>0. (Ⅰ)若曲线y=f (x )与曲线y=g (x )在它们的交点P (2,c )处有相同的切线(P 为切点), 求a ,b 的值; (Ⅱ)令h (x )=f (x )+g (x ),若函数h (x )的单调递减区间为[,23
a b --],求: (1)函数h (x )在区间(一∞,-1]上的最大值M (a );
(2)若|h (x )|≤3,在x ∈[-2,0]上恒成立,求a 的取值范围。

12、(扬州市2013届高三期末) 已知0a >,函数3()(f x ax bx x =-∈R)图象上相异两点,A B 处的切线分别为12,l l ,
且1l ∥2l .
(1)判断函数()f x 的奇偶性;并判断,A B 是否关于原点对称; (2)若直线12,l l 都与AB 垂直,求实数b 的取值范围. 解:(1)()()()()
()x f bx ax x b x a x f -=--=---=-33
Θ,……2分
()x f ∴为奇函数.……3分
设()()2211,,,y x B y x A 且21x x ≠,又()b ax x f -='23,……5分
Θ()x f 在两个相异点,A B 处的切线分别为12,l l ,且1l ∥2l ,
∴()()()22
111222330k f x ax b k f x ax b a ''==-===->,
∴2
221x x =又21x x ≠,∴21x x -=,……6分 又()f x Q 为奇函数, ∴点B A ,关于原点对称.……7分
(2)由(1)知()()1111,,,y x B y x A --, ∴b ax x y k AB -==
2
11
1,……8分 又()x f 在A 处的切线的斜率()b ax x f k -='=2
113, Θ直线12,l l 都与AB 垂直,
∴()()
22111,
31AB k k ax
b ax b ⋅=--⋅-=-,……9分
令02
1≥=ax t ,即方程014322=++-b bt t 有非负实根,……10分
∴302
≥⇒≥∆b ,又212103b t t +=> , ∴003
4>⇒>b b
.综上3≥b .……14分。

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