数学一轮复习第八章平面解析几何8.7双曲线课件

△PF2Q的周长是_1_2__.
解析 由题意，得PF2－PF1＝2，QF2－QF1＝2. ∵PF1＋QF1＝PQ＝4， ∴PF2＋QF2－4＝4， ∴PF2＋QF2＝8. ∴△PF2Q的周长是PF2＋QF2＋PQ＝8＋4＝12.
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，PF1＝2PF2， 3
概念方法微思考
1.平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为 双曲线吗？为什么？ 提示 不一定.当2a＝F1F2时，动点的轨迹是两条射线； 当2a>F1F2时，动点的轨迹不存在； 当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线. 2.与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b只限制a>0，b>0，二者没 有大小要求，若a>b>0，a＝b>0,0<a<b，双曲线哪些性质受影响？ 提示 离心率受到影响.∵e＝ac＝ 1＋ba2，故当 a>b>0 时，1<e< 2； 当 a＝b>0 时，e＝ 2(亦称等轴双曲线)；当 0<a<b 时，e> 2.
方程为
A.x42－y22＝1 C.x42－y82＝1
B.x42－y82＝1 或y42－x82＝1
√D.x42－y22＝1 或y42－x82＝1
解析 设双曲线方程为2xm2 －ym2＝1(m≠0)， 又2a＝4，∴a2＝4， 当m>0时，2m＝4，m＝2； 当m<0时，－m＝4，m＝－4. 故所求双曲线方程为x42－y22＝1 或y42－x82＝1.
∴ SF1PF2 ＝12PF1·PF2·sin 60°＝2 3.
引申探究 本例(2)中，“∠F1PF2＝60°”改为“P→F1·P→F2＝0”，则△F1PF2 的面积为__2___.
解析 不妨设点P在双曲线的右支上， 则 PF1－PF2＝2a＝2 2， ∵P→F1·P→F2＝0，∴P→F1⊥P→F2， ∴在△F1PF2 中，有 PF21＋PF22＝F1F22， 即 PF21＋PF22＝16， ∴PF1·PF2＝4，
解析 设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，
∴97m2m－－284n9＝ n＝1， 1，
解得 m＝－715， n＝－215，
∴双曲线方程为2y52 －7x52 ＝1.
思维升华
SI WEI SHENG HUA
求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a， 2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程. (2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2， b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设 为 mx22－ny22＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值.
7.P是双曲线 1x62 －8y12＝1上任意一点，F1，F2分别是它的左、右焦点，且PF1＝ 9，则PF2＝__1_7__.
解析 由题意知a＝4，b＝9， c＝ a2＋b2＝ 97， 由于 PF1＝9<a＋c＝4＋ 97，故点 P 只能在左支上， ∴PF2－PF1＝2a＝8， ∴PF2＝PF1＋8＝17.
B. 2x±y＝0
C.x±2y＝0
D.2x±y＝0
解析
椭圆 C1 的离心率为
a2－b2，双曲线 a
C2
的离心率为
a2＋b2， a
所以
a2－b2 a·
a2＋b2＝ a
23，即
a4＝4b4，
所以 a＝ 2b，所以双曲线 C2 的渐近线方程是 y＝± 12x，即 x± 2y＝0.
4.经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_1x_52_－__1y_52_＝__1_.
若 t＝2，方程3x－2 t＋t－y21＝1 即为 x2＋y2＝1，它表示圆，综上，选 AD.
6.已知双曲线的实轴长为8，离心率为2，则双曲线的标准方程为1_x_62 _－__4y_82 _＝__1_或__ _1y_62_－__4x_82_＝__1_.
解析 由题意知 a＝4，e＝ac＝2，∴c＝8， ∴b2＝c2－a2＝64－16＝48. ∵双曲线的焦点位置不确定， 故所求双曲线的标准方程为1x62 －4y82 ＝1 或1y62 －4x82 ＝1.
解析 设双曲线的方程为ax22－ya22＝±1(a>0)，
把点A(4,1)代入，得a2＝15(舍负)， 故所求方程为1x52 －1y52 ＝1.
题组三 易错自纠 5.(多选)(2020·辽宁六校协作体月考)若方程 3x－2 t＋t－y21＝1所表示的曲线为C， 则下面四个命题中错误的是
√A.若C为椭圆，则1<t<3
①
由椭圆1x22 ＋y32＝1 的焦点为(3,0)，(－3,0)，
可得a2＋b2＝9.
②
由①②可得a2＝4，b2＝5.
所以 C 的方程为x42－y52＝1.故选 B.
3.过双曲线C： ax22－by22＝1(a>b>0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交 于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，
则双曲线C的标准方程为
√A.x42－1y22 ＝1
B.x72－y92＝1
C.x82－y82＝1
D.1x22 －y42＝1
解析 因为渐近线 y＝bax 与直线 x＝a 交于点 A(a，b)，c＝4 且 4－a2＋b2＝4， 解得a2＝4，b2＝12， 因此双曲线的标准方程为x42－1y22 ＝1.
4.经过点 P(－3,2 7)和点 Q(－6 2，－7)的双曲线方程为__2y_52_－__7x_52_＝__1_.
题型突破 典题深度剖析 重点多维探究
题型一 师生共研 双曲线的定义
例1 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆 C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_x_2_－__y8_2＝__1_(_x_≤__－__1_)_.
解析 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B. 根据两圆外切的条件，
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
图形
范围 _x_≥__a_或__x_≤__－__a_，__y_∈__R_
_x_∈__R_，__y_≤__－__a_或__y_≥__a_
对称性
对称轴： 坐标轴 对称中心：_原__点__
a，b，c的关系
c2＝__a_2＋__b_2_ (c>a>0，c>b>0)
3.等轴双曲线 实轴与虚轴 等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心 率e＝ 2，渐近线方程为 y＝±x .
4.双曲线的第二定义 平面内动点P到定点F的距离和它到定直线l( 点F不在直线l上 )的距离的 比 是常 数e(e>1)的点的轨迹是双曲线.定点F是 焦点 ，定直线l是准线 ，常数e是 离心率 . 双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的准线方程为 x＝±ac2 ，双曲线ay22－bx22＝1(a>0，b>0) 的准线方程为 y＝±ac2 .
B.若C为双曲线，则t>3或t<1
C.曲线C可能是圆
√D.若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1<t<2
解析 若 t>3，则方程可变形为t－y21－t－x23＝1，它表示焦点在 y 轴上的双曲线； 若 t<1，则方程可变形为3x－2 t－1y－2 t＝1，它表示焦点在 x 轴上的双曲线； 若 2<t<3，则 0<3－t<t－1，故方程3x－2 t＋t－y21＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆； 若 1<t<2，则 0<t－1<3－t，故方程3x－2 t＋t－y21＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆；
∴S F1PF2＝12PF1·PF2＝2.
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在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合|PF1－PF2|＝2a， 运用平方的方法，建立与PF1·PF2的联系.
跟踪训练1
(1)(2020·广东普宁华侨中学期末)过双曲线x2－
y2 4
＝1的左焦点F1作
一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若PQ＝4，F2是双曲线的右焦点，则
注意 ①双曲线与椭圆标准方程均可记为mx2＋ny2＝1(mn≠0)，其中当m>0， n>0，且m≠n时表示椭圆；当mn<0时表示双曲线，合理使用这种形式可避免 讨论. ②常见双曲线设法 (i)已知a＝b的双曲线可设为x2－y2＝λ(λ≠0)； (ii)已知过两点的双曲线可设为Ax2－By2＝1(AB>0)； (iii)已知渐近线为mx ±ny＝0 的双曲线方程可设为mx22－ny22＝λ(λ≠0).
( √) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )
题组二 教材改编
2.若双曲线 ax22－yb22＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双 曲线的离心率为
√A. 5
B.5
C. 2
D.2
解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为ax±by ＝0，即 bx±ay＝0，
§8.7 双曲线
INDEX
基础落实 回扣基础知识 训练基础题目
知识梳理
1.双曲线的概念 平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点 的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做 双曲线的焦点 ，两焦点间的距离叫做_双__曲_ 线的焦距 . 集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c>2a，其中a，c为常数且a>0，c>0.
顶点 渐近线
A1(－a,0)，A2(a,0) __y_＝__±_ba_x _
A1(0，－a)，A2(0，a) __y＝__±__abx__
性质 离心率
e＝ac ，e∈_(_1_，_＋___∞__) ，其中c＝___a_2＋__b_2__
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a ，线段B1B2叫 做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝ 2b ；a叫做双曲线的实半轴 长，b叫做双曲线的虚半轴长
则cos∠F1PF2＝__4__.
解析 ∵由双曲线的定义得 PF1－PF2＝PF2＝2a＝2 2， ∴PF1＝2PF2＝4 2， 则 cos∠F1PF2＝PF212＋PPFF1·22P－FF2 1F22 ＝4 22×2＋4 22×222－2 42＝34.
题型二 自主演练 双曲线的标准方程
1.(2020·合肥调研)已知双曲线的渐近线为 y＝± 22x，实轴长为 4，则该双曲线的
得MC1－AC1＝MA， MC2－BC2＝MB， 因为MA＝MB， 所以MC1－AC1＝MC2－BC2， 即MC2－MC1＝BC2－AC1＝2， 所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于C1C2＝6. 又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与 C1的距离小)， 其中a＝1，c＝3，则b2＝8. 故点 M 的轨迹方程为 x2－y82＝1(x≤－1).
基础自测
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.
( ×) (2)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( × )
(3)双曲线方程mx22－ny22＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是mx22－ny22＝0，即mx ±ny＝0.
∴2a＝ ab2＋c b2＝b.又 a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2. ∴e2＝ac22＝5，∴e＝ 5.
3.已知 a>b>0，椭圆 C1 的方程为xa22＋by22＝1，双曲线 C2 的方程为xa22－by22＝1，C1 与
C2 的离心率之积为 23，则 C2 的渐近线方程为
√A.x± 2y＝0
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°， 则△F1PF2的面积为__2__3__.
解析 不妨设点P在双曲线的右支上， 则 PF1－PF2＝2a＝2 2， 在△F1PF2中，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝PF212＋PPFF1·22P－FF2 1F22＝21， ∴PF1·PF2＝8，
2.(2017·全国Ⅲ)已知双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为 y＝
25x，且与椭圆1x22 ＋y32＝1 有公共焦点，则 C 的方程为
A.x82－1y02 ＝1
√B.x42－y52＝1
C.x52－y42＝1
D.x42－y32＝1
解析
由
y＝
25x，可得ab＝
5 2.