信号与系统期末总结
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jω0 t jϕ ( ω ) j ω0 t +ϕ ( ω0 )
( s = σ + jω )
→e
jω0 t
H (ω0 ) = H (ω0 ) e
Y (ω ) = X (ω ) H (ω ) e st → e st H ( s ) Y ( s) = X ( s) H ( s)
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f ( t ) = sin tu( t − 1)= sin( t − 1 + 1)u( t − 1)
cos1 + s sin1 − s F ( s) = e 2 s +1
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= sin( t − 1)cos1u( t − 1) + cos( t − 1)sin1u( t − 1)
ω
1. 理解其物理意义：通低频，阻高频； 2. 了解上升时间
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调制：
调制和解调（频移+滤波）
f ( t ) = g ( t ) cos ω 0 t
g( t )
乘法器
解调：
g ( t ) cos(ω 0 t )
cos ω 0 t
1 F (ω ) = [G (ω − ω 0 ) + G (ω + ω 0 )] 2
Ts
t
Sa(ω c t ) 抽样函数
h(t ) = Ts Ts
ωC Sa(ω C t ) π
Y (ω )
1
− ω moω m
π ωC t
O
ω
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系统函数和频率响应
R(ω ) 响应信号的傅 氏 变换 ∴ H (ω ) = = E (ω ) 激 励 信号的傅 氏 变换
拉普拉斯变换对
常用的拉氏变换对：P181 表4-1 性质 − sτ 1 f t − τ u t − τ ↔ F s e ( ) ( ) ( ) δ (t) 1 u(t ) f ( t ) e− at ↔ F ( s + a ) s 1 −α t 1 e u(t ) 周期 化因子 − sT 1−e s +α n! t nu ( t ) s n+1 s cos ( ω t ) u ( t ) s2 + ω 2 sin ( ω t ) u ( t ) 2 ω 2 s +ω
由系统函数列微分方程
s+3 已知 系统的系统 函 数 H (s ) = 2 , 请写 出描述 s + 3s + 2 此 系统的 微 分方程。
R ( s) s+3 H ( s) = 2 = s + 3s + 2 E ( s )
d2 r ( t ) d r (t) de(t) +3 + 2r ( t ) = + 3e ( t ) 2 dt dt dt
理想低通
A 2
g0 (t )
g( t )
G0 (ω ) A 4 2ω 0
ω
cos ω 0 t
本地载波， 与发送端载波 同频同相
− 2ω 0
O ω mω c
ω m < ω c < 2ω 0 − ω m
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希尔伯特变换
希尔伯特变换器：
2. H ( jω ) = − j sgn(ω ) 1 3.h(t ) = πt 应用：单边带信号的产生 因果系统的系统函数H ( jω )的实部与虚部满足 希尔伯特变换约束关系,即： H (jω ) = R ( jω ) + jX (jω )
e ( t ) = ∫ e (τ ) δ ( t − τ ) d τ ⇒ r ( t ) = ∫ e (τ ) h ( t − τ ) d τ
−∞
∞
∞
∞
−∞
x ( n) =
m =−∞
∑ x ( m ) δ ( n − m ) ⇒ y ( n) = ∑ x ( m ) h ( n − m )
m =−∞
∞
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2.线性——将信号分解，分别求响应，再叠加
• 傅立叶级数——将周期信号分解为成谐波关系的频谱 成分；5－2 :求系统的稳态响应
1 1 j arctan( − ω ) = ⋅e jω + 1 1+ ω2 1 H ( jω ) = 2 + ω 1 ϕ ( ω ) = − arctan ( ω ) H ( jω ) =
一、本课程的基本脉络
信号的表示 信号分析 信号的运算 信号与系统 系统的表示 系统分析 系统的性质
•研究确定性信号经线性时不变系统传输与处理 的基本概念和基本分析方法，从时间域到变换 域，从连续到离散，从输入输出描述到状态空 间描述。
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4.线性——将信号分解，分别求响应，再叠加
1 n −1 z变换：x ( n ) = X z z ( ) dz z =1 ∫ 2 πj 1 π jω j nω e dω DTFT : x ( n ) = X e ( ) ∫ 2 π −π 线性时不变： e j nω0 → e j nω0 H e jω0 z → z H ( z)
PDF pdfFactory 拉源自拉斯变换的时移性质：向u(t)靠拢
ϕ L[ f (t )] = L sin ω t + ω = L[sin(ωt ) cos ϕ + cos ωt sin ϕ ] ω cos ϕ + s sin ϕ = 2 2 s +ω
ω
oω m ω s
ω
f s ( t ) = f ( t )δ T ( t ) =
1 1 Fs ( ω ) = F f ( t ) δ T ( t ) = 2π F ( ω ) ∗ δ T ( ω ) = T s
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n= − ∞
∑ f (nT )δ (t − nT )
线性系统的分析方法
输入—输出描述法 系统的两种分析 方法 状态变量分析法
线性——将信号分解，分别求响应，再叠加； 运用线性、时不变性质，求响应的方法： • 卷积（卷积和） • 傅里叶变换 • 拉普拉斯变换 • z变换
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1. 线性、时不变性质——卷积（卷积和）
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三、拉普拉斯变换
• 基础
– 正变换（单边） – 逆变换：部分分式展开法 – 性质
• 应用
– 解微分方程 （关键：边界条件确定，习题26 ），动态电路的分析（电路的s域等效模型） – 系统函数，零极点，频率响应特性
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sin t → sin 3t → r (t ) =
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H ( jω )
1
1 2
O
α ω
1 1+1 1
2
sin ( t − arctan1) sin ( 3t − arctan 3 ) 1 10 sin ( 3t − 72° )
−π 2
O
ϕ (ω )
π 2
2
1+ 3
ω
1 2
sin ( t − 45° ) +
u(t)
( α 为 大 于 0的 实 数 )
sgn ( t )
抽样及抽样定理
f(t) 1
F (ω )
o p(t)
(1)
t
oω m − ωm
ω
P(ω ) L
L o TS fS(t) L o T S
∞
E L t 相 乘 L t
s
(ω s )
L − ωs 卷 积 L − ωs
s
o
ωs F s (ω ) 1 Ts L
3.线性——将信号分解，分别求响应，再叠加
1 傅里叶变换：x ( t ) = 2π
∫
∞ −∞
X ( ω ) e jω t dω
1 σ + j∞ st 拉普拉斯变换：x ( t ) = X s e ds ( ) ∫ 2 π j σ − j∞ 线性时不变： H (ω ) = H (ω ) e e
R(ω ) = E (ω ) ⋅ H (ω )
ϕ r (ω ) = ϕ e (ω ) + ϕ h (ω ) E ( ω ) 的相位由ϕ h ( ω ) 修正。 系统的无失真传输条件 r ( t ) = Ke( t − t 0 ) e (t ) r (t ) h(t ) = Kδ (t − t 0 ) H (ω ) = Ke
n =−∞
∑ F ( ω − nω )
s
∞
抽样信号的恢复
抽样信号的恢复： 频域——低通滤波器 时域——内插 零阶保持
h0 (t )
ω S > 2ω m
L
− ωS ωS oω m ωS − ωm
1
F S (ω )
TS
L
ω
1
O Ts t h1 (t )
H (ω )
TS
1
− ωC o ωC ω
一阶保持
O
1 ∞ X ( jλ ) 1 ∞ R ( jλ ) R(jω ) = ∫ d λ X ( jω ) = − ∫ dλ π −∞ ω − λ π −∞ ω − λ
Y ( s) = F ( s ) + kY ( s ) G ( s)
+
∑
+
X (s )
Y ( s) G ( s) 1 = = 2 H ( s) = F ( s ) 1 − kG ( s ) s + 3 s + 2 − k
k
−3 ± 1 + 4k p1,2 = 2 因果 系统 稳 定性的 条件 为极点位于 s平面 的 左半平面， 或极点 的 实部小于 0， 可得 k <2
h(t ) = L−1 [H (s )] = t e − t u(t )
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判断系统的稳定性 例：给定因果系统如图所示，图中G ( s ) =
k取何值时系统稳定？
F (s )
( s + 1)( s + 2 )
G (s ) Y (s )
1
，
解：
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连续系统的频率响应特性
其中 H ( s ) s = j ω0 = H ( j ω0 ) = H 0 e jϕ 0
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四、傅里叶变换及其应用
第三章：基础 • 周期信号的傅里叶级数 • 傅立叶变换的定义 • 典型信号的傅里叶变换及其频谱图 • 傅立叶变换的性质 第五章：应用 • 卷积定理——滤波 频率响应特性的物理意义 理想低通滤波器 系统的无失真传输条件 • 频移性质——调制 • 抽样定理——抽样信号的恢复 • 希尔伯特变换——定义、应用
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典型信号的傅里叶变换
δ (t) 1 e−α t u ( t ) cos ω 0 t δT ( t ) sin ω 0 t Sa ( ω C t ) τ τ u t + − u t − 2 2
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R ( s ) ( s 2 + 3 s + 2 ) = E ( s )( s + 3 )
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求系统的单位冲激响应：
2Ω 1H
i L (0 − ) e (t ) 1F
2
v C (t )
−
s 1 s VC ( s )
+
E ( s)
画出电路的s域模型图（不含附加项） 1 VC ( s ) 1 sC H ( s) = = = 2 E ( s ) R + sL + 1 s + 2s + 1 sC 单位冲激响应
n n jω z = r e ( )
( r =1)
( )
Y ( e jω ) = X ( e jω ) H ( e jω ) Y ( z) = X ( z) H ( z)
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二、主要内容
• 信号的表示和运算； • 系统的表示和性质：线性，时不变性，因果性， 稳定性，频率响应特性 • 系统的输入－输出描述法 – 时域：微（差）分方程；单位样值响应 – 变换域：系统函数，零、极点图，频率响应 特性； • 系统的状态变量分析法：信号流图，梅森增益 公式，连续时间状态方程的建立和求解。
o
− jω t0
E (ω )的幅度由H (ω ) 加权，
t
群延迟:
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dϕ (ω ) τg = − dω
o
t
相延迟: τ p = −
ϕ (ω ) ω
K , t 0为 常 数
理想低通滤波器
H (ω )
ϕ (ω )
ωC
− ωC O
ωC ω
− ωC O
( s = σ + jω )
→e
jω0 t
H (ω0 ) = H (ω0 ) e
Y (ω ) = X (ω ) H (ω ) e st → e st H ( s ) Y ( s) = X ( s) H ( s)
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f ( t ) = sin tu( t − 1)= sin( t − 1 + 1)u( t − 1)
cos1 + s sin1 − s F ( s) = e 2 s +1
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= sin( t − 1)cos1u( t − 1) + cos( t − 1)sin1u( t − 1)
ω
1. 理解其物理意义：通低频，阻高频； 2. 了解上升时间
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调制：
调制和解调（频移+滤波）
f ( t ) = g ( t ) cos ω 0 t
g( t )
乘法器
解调：
g ( t ) cos(ω 0 t )
cos ω 0 t
1 F (ω ) = [G (ω − ω 0 ) + G (ω + ω 0 )] 2
Ts
t
Sa(ω c t ) 抽样函数
h(t ) = Ts Ts
ωC Sa(ω C t ) π
Y (ω )
1
− ω moω m
π ωC t
O
ω
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系统函数和频率响应
R(ω ) 响应信号的傅 氏 变换 ∴ H (ω ) = = E (ω ) 激 励 信号的傅 氏 变换
拉普拉斯变换对
常用的拉氏变换对：P181 表4-1 性质 − sτ 1 f t − τ u t − τ ↔ F s e ( ) ( ) ( ) δ (t) 1 u(t ) f ( t ) e− at ↔ F ( s + a ) s 1 −α t 1 e u(t ) 周期 化因子 − sT 1−e s +α n! t nu ( t ) s n+1 s cos ( ω t ) u ( t ) s2 + ω 2 sin ( ω t ) u ( t ) 2 ω 2 s +ω
由系统函数列微分方程
s+3 已知 系统的系统 函 数 H (s ) = 2 , 请写 出描述 s + 3s + 2 此 系统的 微 分方程。
R ( s) s+3 H ( s) = 2 = s + 3s + 2 E ( s )
d2 r ( t ) d r (t) de(t) +3 + 2r ( t ) = + 3e ( t ) 2 dt dt dt
理想低通
A 2
g0 (t )
g( t )
G0 (ω ) A 4 2ω 0
ω
cos ω 0 t
本地载波， 与发送端载波 同频同相
− 2ω 0
O ω mω c
ω m < ω c < 2ω 0 − ω m
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希尔伯特变换
希尔伯特变换器：
2. H ( jω ) = − j sgn(ω ) 1 3.h(t ) = πt 应用：单边带信号的产生 因果系统的系统函数H ( jω )的实部与虚部满足 希尔伯特变换约束关系,即： H (jω ) = R ( jω ) + jX (jω )
e ( t ) = ∫ e (τ ) δ ( t − τ ) d τ ⇒ r ( t ) = ∫ e (τ ) h ( t − τ ) d τ
−∞
∞
∞
∞
−∞
x ( n) =
m =−∞
∑ x ( m ) δ ( n − m ) ⇒ y ( n) = ∑ x ( m ) h ( n − m )
m =−∞
∞
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2.线性——将信号分解，分别求响应，再叠加
• 傅立叶级数——将周期信号分解为成谐波关系的频谱 成分；5－2 :求系统的稳态响应
1 1 j arctan( − ω ) = ⋅e jω + 1 1+ ω2 1 H ( jω ) = 2 + ω 1 ϕ ( ω ) = − arctan ( ω ) H ( jω ) =
一、本课程的基本脉络
信号的表示 信号分析 信号的运算 信号与系统 系统的表示 系统分析 系统的性质
•研究确定性信号经线性时不变系统传输与处理 的基本概念和基本分析方法，从时间域到变换 域，从连续到离散，从输入输出描述到状态空 间描述。
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4.线性——将信号分解，分别求响应，再叠加
1 n −1 z变换：x ( n ) = X z z ( ) dz z =1 ∫ 2 πj 1 π jω j nω e dω DTFT : x ( n ) = X e ( ) ∫ 2 π −π 线性时不变： e j nω0 → e j nω0 H e jω0 z → z H ( z)
PDF pdfFactory 拉源自拉斯变换的时移性质：向u(t)靠拢
ϕ L[ f (t )] = L sin ω t + ω = L[sin(ωt ) cos ϕ + cos ωt sin ϕ ] ω cos ϕ + s sin ϕ = 2 2 s +ω
ω
oω m ω s
ω
f s ( t ) = f ( t )δ T ( t ) =
1 1 Fs ( ω ) = F f ( t ) δ T ( t ) = 2π F ( ω ) ∗ δ T ( ω ) = T s
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n= − ∞
∑ f (nT )δ (t − nT )
线性系统的分析方法
输入—输出描述法 系统的两种分析 方法 状态变量分析法
线性——将信号分解，分别求响应，再叠加； 运用线性、时不变性质，求响应的方法： • 卷积（卷积和） • 傅里叶变换 • 拉普拉斯变换 • z变换
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1. 线性、时不变性质——卷积（卷积和）
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三、拉普拉斯变换
• 基础
– 正变换（单边） – 逆变换：部分分式展开法 – 性质
• 应用
– 解微分方程 （关键：边界条件确定，习题26 ），动态电路的分析（电路的s域等效模型） – 系统函数，零极点，频率响应特性
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sin t → sin 3t → r (t ) =
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H ( jω )
1
1 2
O
α ω
1 1+1 1
2
sin ( t − arctan1) sin ( 3t − arctan 3 ) 1 10 sin ( 3t − 72° )
−π 2
O
ϕ (ω )
π 2
2
1+ 3
ω
1 2
sin ( t − 45° ) +
u(t)
( α 为 大 于 0的 实 数 )
sgn ( t )
抽样及抽样定理
f(t) 1
F (ω )
o p(t)
(1)
t
oω m − ωm
ω
P(ω ) L
L o TS fS(t) L o T S
∞
E L t 相 乘 L t
s
(ω s )
L − ωs 卷 积 L − ωs
s
o
ωs F s (ω ) 1 Ts L
3.线性——将信号分解，分别求响应，再叠加
1 傅里叶变换：x ( t ) = 2π
∫
∞ −∞
X ( ω ) e jω t dω
1 σ + j∞ st 拉普拉斯变换：x ( t ) = X s e ds ( ) ∫ 2 π j σ − j∞ 线性时不变： H (ω ) = H (ω ) e e
R(ω ) = E (ω ) ⋅ H (ω )
ϕ r (ω ) = ϕ e (ω ) + ϕ h (ω ) E ( ω ) 的相位由ϕ h ( ω ) 修正。 系统的无失真传输条件 r ( t ) = Ke( t − t 0 ) e (t ) r (t ) h(t ) = Kδ (t − t 0 ) H (ω ) = Ke
n =−∞
∑ F ( ω − nω )
s
∞
抽样信号的恢复
抽样信号的恢复： 频域——低通滤波器 时域——内插 零阶保持
h0 (t )
ω S > 2ω m
L
− ωS ωS oω m ωS − ωm
1
F S (ω )
TS
L
ω
1
O Ts t h1 (t )
H (ω )
TS
1
− ωC o ωC ω
一阶保持
O
1 ∞ X ( jλ ) 1 ∞ R ( jλ ) R(jω ) = ∫ d λ X ( jω ) = − ∫ dλ π −∞ ω − λ π −∞ ω − λ
Y ( s) = F ( s ) + kY ( s ) G ( s)
+
∑
+
X (s )
Y ( s) G ( s) 1 = = 2 H ( s) = F ( s ) 1 − kG ( s ) s + 3 s + 2 − k
k
−3 ± 1 + 4k p1,2 = 2 因果 系统 稳 定性的 条件 为极点位于 s平面 的 左半平面， 或极点 的 实部小于 0， 可得 k <2
h(t ) = L−1 [H (s )] = t e − t u(t )
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判断系统的稳定性 例：给定因果系统如图所示，图中G ( s ) =
k取何值时系统稳定？
F (s )
( s + 1)( s + 2 )
G (s ) Y (s )
1
，
解：
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连续系统的频率响应特性
其中 H ( s ) s = j ω0 = H ( j ω0 ) = H 0 e jϕ 0
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四、傅里叶变换及其应用
第三章：基础 • 周期信号的傅里叶级数 • 傅立叶变换的定义 • 典型信号的傅里叶变换及其频谱图 • 傅立叶变换的性质 第五章：应用 • 卷积定理——滤波 频率响应特性的物理意义 理想低通滤波器 系统的无失真传输条件 • 频移性质——调制 • 抽样定理——抽样信号的恢复 • 希尔伯特变换——定义、应用
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典型信号的傅里叶变换
δ (t) 1 e−α t u ( t ) cos ω 0 t δT ( t ) sin ω 0 t Sa ( ω C t ) τ τ u t + − u t − 2 2
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R ( s ) ( s 2 + 3 s + 2 ) = E ( s )( s + 3 )
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求系统的单位冲激响应：
2Ω 1H
i L (0 − ) e (t ) 1F
2
v C (t )
−
s 1 s VC ( s )
+
E ( s)
画出电路的s域模型图（不含附加项） 1 VC ( s ) 1 sC H ( s) = = = 2 E ( s ) R + sL + 1 s + 2s + 1 sC 单位冲激响应
n n jω z = r e ( )
( r =1)
( )
Y ( e jω ) = X ( e jω ) H ( e jω ) Y ( z) = X ( z) H ( z)
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二、主要内容
• 信号的表示和运算； • 系统的表示和性质：线性，时不变性，因果性， 稳定性，频率响应特性 • 系统的输入－输出描述法 – 时域：微（差）分方程；单位样值响应 – 变换域：系统函数，零、极点图，频率响应 特性； • 系统的状态变量分析法：信号流图，梅森增益 公式，连续时间状态方程的建立和求解。
o
− jω t0
E (ω )的幅度由H (ω ) 加权，
t
群延迟:
PDF pdfFactory
dϕ (ω ) τg = − dω
o
t
相延迟: τ p = −
ϕ (ω ) ω
K , t 0为 常 数
理想低通滤波器
H (ω )
ϕ (ω )
ωC
− ωC O
ωC ω
− ωC O