圆锥曲线测试卷(含解析)

a2 + 1
a2 + 1
平解方得得a =a24−±8√a 1+5．1 = 0，
6. 由题意知，2a = 12， c = 1 ，所以 a = 6，c = 2，所以 b2 = a2 − c2 = 32， a3
又因为焦点在 x 轴上，所以椭圆方程： x2 + y2 = 1． 36 32
7. 由题意， b = 1，
2019 年 12 月 6 日数学期中考试试卷
1. 双曲线 x2 − y2 = 1 的焦点坐标为 ( ) 2
A. (−3, 0)，(3, 0)
B. (0, −3)，(0, 3)
C.
√ (− 3,
0)，(√3,
0)
D.
(0,
−√3)，(0,
√ 3)
2. 抛物线 y2 = 12x 的准线方程为 ( )
A. x = −3 3. 双曲线 C :
∠P F1F2 = 30◦．求双曲线的渐近线方程．
22. 如图，椭圆 C 长轴的两个端点为 A1，A2，短轴的两个端点为 B1，B2，若四边形 A1B1A2B2 的面积为 120，边长为 13，求椭圆 C 的标准方程．
答案: 2019-12-06 — 参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
2
所以抛物线的方程为 y2 = 4x． 21. 如图，
设 F2 (c, 0) (c > 0)，P (c, y0)，则
c2 a2
−
y02 b2
= 1，
解得
y0
=
±
b2 a
，所以
|P
F2|
=
b2 ． a
在直角三角形 P F2F1 中，∠P F1F2 = 30◦，
所以 |P F1| = 2|P F2|，
C A ACDDDAA B
11 12
CC 1.
2. 3. 双曲线 C :
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a > 0, b > 0) 的离心率 e =
√ 13 ，可得 2
c2 a2
=
13 ，所以 4
b2 a2
+1 =
13 ，可 4
得 b = 3 ，双曲线的渐近线方程为：y = ± 3 x．
a 4. 由点 P
2 到抛物线焦点的距离等于点
P
2 到其准线
x
=
−2 的距离，得 xP
=
7，yP
=
±2√14．
5. 圆 (x − 1)2 + (y − a)2 = 4 的圆心 C (1, a)，半径 R = 2，
因所为以直圆线心与到圆直相线交的，距△离A为BRCs为in等60边◦ =三√角3形，，
即 d = |a√+ a − 2| = √|2a − 2| = √3，
P
到其焦点的距离为 ( √)
9，则(点
P
的坐标为 √)
(
A. 7, ± 14
B. 14, ± 14
C. 7, ±2 14
)(
√)
D. −7, ±2 14
5. 已知直线 ax + y − 2 = 0 与圆心为 C 的圆 (x − 1)2 + (y − a)2 = 4 相交于 A，B 两点，且 △ABC 为等边三
20. 已知抛物线 y2 = 2px (p > 0) 的焦点为 F ，A 是抛物线上横坐标为 4 的点，A 到抛物线准线的距离等于 5，求 抛物线的方程．
21. 已知 F1，F2 为双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1 (a > 0, b > 0) 的焦点，过 F2 作垂直于 x 轴的直线交双曲线于点 P ，且
当
x
⩽√−6
时，上式化为 √
(x − 4)2 + y2 = −x − 8，
因为 (x√− 4)2 + y2 ⩾ (x − 4)2 = 4 − x > −x − 8，
所以符合 (x − 4)2 + y2 = −x − 8 的点 P 不存在．
所以动点 P 的轨迹方程为 y2 = 16x．
20. 因为抛物线 y2 = 2px 的准线为 x = − p ，所以 4 + p = 5，则 p = 2．
值为√( )
A. 17
B. 3
√ C. 5
D. 9
2
2
9. 已知双曲线
x2
−
y2
=
1
右焦点为
F ，P
为双曲线左支上一点，点
A
( 0,
√2))
√
(√ √ )
√√
A. 4 1 + 2
B. 4 + 2
C. 2 2 + 6
D. 6 + 3 2
10. 设抛物线 y2 = 4x 的焦点为 F ，点 M (1, a) 在抛物线上，则 |M F | =(
椭圆 E 的标准方程为 ( )
A. x2 + √y2 = 1
2
2
B. x2 + y2 = 1 2
C. x2 + y2 = 1 42
D. y2 + x2 = 1 42
13. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，且抛物线上一点 M (m, −2) 到焦点的距离为 4，则抛物线的方程
是
．
14. 椭圆 x2 + y2 = 1 的焦距长为
a 所以双曲线的离心率 e =
c
=
√ 1
+
(
b
)2
=
√2．
a
a
8. 9.
易得点
F
(√ 6,
0)，
△AP F 的周长 l = |AF | + |AP | + |P F | = |AF | + 2a + |P F ′| + |AP |，
要 △AP F 的周长最小，只需 |AP | + |P F ′| 最小，
角形，√则实数 a =( A. ± 3
3
) B. ± 1 3
C. 1 或 7
√ D. 4 ± 15
6. 已知椭圆的中点在原点，焦点在 x 轴上，且长轴长为 12，离心率为 1 ，则椭圆的方程为 ( )
3
A. x2 + y2 = 1
B. x2 + y2 = 1
C. x2 + y2 = 1
D. x2 + y2 = 1
由定义知 P 到准线距离为 4， 故 p + 2 = 4，
2 所以 p = 4， 所以方程为 x2 = −8y．
14. 2 15. π 解析：过点 N 作 N P ⊥ 准线，交准线于点 P ，由抛物线定义知 |N P | = |N F |，
3 所以在 Rt△M P N 中，∠M P N = 90◦，|M N | = 2 |P N |，
由双曲线定义可知 |P F1| − |P F2| = 2a，得 |P F2| = 2a．
因为 |P F2| =
b2 ，所以 2a = a
故所求双曲线的渐近线方程为
b2 ，即 b2 = 2a2，所以
a y
=
±√2x．
b a
√ = 2.
22. 由椭圆的对称性可知，四边形 A1B1A2B2 为菱形．
设椭圆 C 的标准方程为
如图，
当 故
A，P ，F l = 2|AF |
′ 三点共线时取到，
+
2a
=
4
( 1
+
√2)．
10. 11. 若方程 x2 + y2 = 1 表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆，
m−1 3−m
3 − m > 0,
则
m3 −−m1
> >
0, m
−
1,

m < 3,
即
mm
> <
18. 已知 F1，F2 是双曲线
x2 16
−
y2 9
= 1 的两个焦点，过 F2 的直线交双曲线右支于 A，B 两点，且 |AB| = 5，
求 △AF1B 的周长．
19. (1) 求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点 A (2, −4) 的抛物线的方程； (2) 平面内一个动点 P 到点 F (4, 0) 的距离比它到直线 l : x = −6 的距离小 2 个单位，求动点 P 的轨迹 方程．
36 24
36 20
32 36
36 32
7. 若双曲线 √
x2 a2
−
y2 b2
= 1（a > 0，b > 0）的渐近线方程为 y = ±x，则双曲线的离心率为 (
√
√
)
A. 3
B. 2
C. 5
D. 2
8. 已知点 P 是抛物线 y2 = 2x 上的一个动点，则点 P 到点 (0, 2) 的距离与 P 到该抛物准线的距离之和的最小
．
2
15. 已知抛物线 y2 = 2px 的焦点为 F ，准线与 x 轴的交点为 M ，N 为抛物线上的一点，且满足 |M N | = 2 |N F |，
则 ∠N M F =
．
16. 已知 F1，F2 是双曲线的两个焦点，以线段 F1F2 为直径的圆与双曲线的两条渐近线交于 A，B，C，D 四个
点，若这四个点与 F1，F2 两点恰好是一个正六边形的顶点，则该双曲线的离心率为
（方法二）
设动点 P (x, y)，
所以点 P 到直线 l : x = −6 的距√离为 d = |x + 6|．
由题意，得 |P F | = d − 2√，即 (x − 4)2 + y2 = |x + 6| − 2．
当 x > −6 时，上式化为 √(x − 4)2 + y2 = x + 4，即 y2 = 16x；
代入双曲线渐近线方程可得： b = √3， a
可得：c2 = 4a2，e > 1，解得 e = 2．
17.
(1) 由题意可知 a = 2，b = 1，
所以椭圆 C 的方程为 x2 + y2 = 1．
4
(2) 由点 P (x, y) 在椭圆 C 上，可得 x2 + y2 = 1，且 0 ⩽ x2 ⩽ 4．
x2 a2
+
y2 b2
= 1 (a > b > 0)．
由题意得 a2 + b2 = 169, · · · · · · ① 1 · 2a · 2b = 120.
2
C 的标准方程为 x2 + y2 = 1．
144 25
· · · · · · ② 由 ①② 解得 a = 12，b = 5，故椭圆
√
√
|OP | = x2 + y2 = x2 + 1 −
x2
4√ = 1+
3x2 ．
4
4
由 0 ⩽ 3x2 ⩽ 3，可得 1 ⩽ 1 + 3x2 ⩽ 4，
4
4
所以 1 ⩽ |OP | ⩽ 2，
故 |OP | 的取值范围为 [1, 2]．
18. 由题意及双曲线的定义可知 |AF1| − |AF2| = 8，|BF1| − |BF2| = 8， 所以 |AF1| + |BF1| − |AB| = 16． 又因为 |AB| = 5，
1, 2,
解得 1 < m < 2，即“1 < m < 2”是“方程 x2 + y2 = 1 表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭 m−1 3−m
圆”的充要条件． 12. 易知 b = c = √2，故 a2 = b2 + c2 = 4，从而椭圆 E 的标准方程为 x2 + y2 = 1．
42 13. x2 = −8y 解析：据题意知，抛物线的开口向下，设标准方程为 x2 = −2py (p > 0)，
2 (2) （方法一）
由图象，易分析出点 P 不可能在 y 轴左侧（在此略）．
设直线 l1 : x = −4，则 y 轴右侧的点 P 到直线 l1 的距离比它到直线 l : x = −6 的距离小 2 个单位， 由题意，P 到点 F (4, 0) 的距离等于它到直线 l1 : x = −4 的距离， 根据抛物线的定义，知动点 P 的轨迹为抛物线，且方程为 y2 = 16x．
x2 a2
−
y2 b2
B. x = 3
C. y√= −3
D. y = 3
= 1(a > 0, b > 0) 的离心率 e = 13 ，则它的渐近线方程为 (
2
)
A. y = ± 3 x
B. y = ± 2 x
C. y = ± 9 x
D. y = ± 4 x
2
3
4
9
4. 若抛( 物线√y2
)=
8x
上一点
所以 |AF1| + |BF1| = 21， 所以 △AF1B 的周长为 26．
19.
(1) 由于点 A (2, −4) 在第四象限，且坐标轴为对称轴，
所以设抛物线方程为 y2 = 2px (p > 0) 或 x2 = −2py (p > 0)， 将点 A 的坐标代入，分别得 p = 4 或 p = 1 ，所以，所求的抛物线方程为 y2 = 8x 或 x2 = −y．
．
17. 已知两点 A (2, 0)，B (0, 1) 在椭圆 C : x2 + y2 = 1 (a > b > 0) 上，P (x, y) 为椭圆 C 上的动点，O 为坐标 a2 b2
原点． (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 将 |OP | 表示为 x 的函数，并求 |OP | 的取值范围．
√
A. 1
B. 2
C. 5
) D. 4
11. “1 < m < 2”是“方程 x2 + y2 = 1 表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆”的 ( ) m−1 3−m
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
12. 椭圆 E 的焦点在 x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是 2 的正方形的顶点，则
所以 ∠P M N = 30◦，
所以 ∠N M F = π ． 3
16. 2 解析：F1，F2 是双曲线的两个焦点，以线段 F1F2 为直径的圆与双曲线的两条渐近线交( 于 A，√B，C)，
D 四个点，若这四个点与 F1，F2 两点恰好是一个正六边形的顶点，可得第一象限内的点
1 c, 3 c ， 22