阿氏圆

那么如何应用"阿氏圆"的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢?我们来看一道基本题目:
例：已知∠AOB=90°，OB=4,OA=6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点(1)求1
2AP BP +的最小值为
(2)求1
3
AP BP +的最小值为
第（1）问解题基本步骤：构造△OPC ∽△OBP,则PC OP OC
k BP OB OP
===（相似比）
①分别连接圆心O 与系数不为1的线段BP 的两端点，即OP ，OB;
②计算
OP OB 的值，则1
2OP k OB ==（半径圆心到定点的距离
） ③计算OC 的长度，由
OC k OP =得：1
2
OC OP =（相似比×半径） ④连接AC ，当A 、P 、C 三点共线时，1
2
AP BP AP PC AC +=+≥
⑤计算AC 的长度即为最小值.
y
x O C B A P
C
O
P
x y
B O A P 实战练习：
1、已知⊙O 半径为1，AC 、BD 为切线，AC=1，BD=2，P 为弧AB 上一动点， 试求2
PD +的最小值
2、已知点A （4，0），B （4，4），点P 在半径为2的⊙O 上运动，试求
1
2
AP BP +的最小值
3、已知点A(-3,0)，B （0,3），C （1,0），若点P 为⊙C 上一动点，且⊙C 与y 轴相切，
（1）1
4AP BP +的最小值;
（2）PAB
S 的最小值.
4、如图1，在平面直角坐标系xoy 中，半⊙O 交x 轴与点A 、B(2,0)两点，AD 、BC 均为半⊙O 的切线，AD=2，BC=7. (1)求OD 的长；
（2）如图2，若点P 是半⊙O 上的动点，Q 为OD 的中点.连接PO 、PQ. ①求证：△OPQ ∽△ODP;
②是否存在点P ，使2PD PC 有最小值，若存在，试求出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由.
5、（1）如图1，已知正方形ABC 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，
求12PD PC +的最小值和1
2
PD PC -的最大值.
(2)如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么
23PD PC +的最小值为 ；2
3
PD PC -的最大值为
（3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2.点P 是圆B 上的一个
动点.那么12PD PC +的最小值为 ；1
2
PD PC -的最大值为
6、（2016年＊ 济南28题）如图1，抛物线y ＝ax 2＋(a ＋3)x ＋3（a ≠0）与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜4），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．
（1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；
（2）设△PMN 的周长为C 1，△AEN 的周长为C 2，若12C C ＝6
5，求m 的値；
（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连
接E ′A 、E ′B ，求E ′A ＋2
3
E ′B 的最小值．
x
y
M
N
P
B A
O
E E'第28题图1
x
y
M
N
P
B
A
O
E
7、（2017年＊遵义27题）如图，抛物线y=ax2+bx﹣a﹣b（a＜0，a、b为常数）与x轴交于A、C两点，
与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=8
9
x+
16
3
．
（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；
（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？
（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；
i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，NP
NB
始终保持不变，若存在，
试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
ii：试求出此旋转过程中，（NA+3
4
NB）的最小值．。