黑山县第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

黑山县第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． “24
x ππ
-<≤”是“tan 1x ≤”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【命题意图】本题主要考查充分必要条件的概念与判定方法，正切函数的性质和图象，重点是单调性.
2． 已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n+1（n ∈N *），且a 2+a 4+a 6=9，则log （a 5+a 7+a 9）的值是（ ）
A ．﹣
B ．﹣5
C ．5
D ．
3． 一个几何体的三视图是一个正方形，一个矩形，一个半圈，尺寸大小如图所示，则该几何体的表面积是
（ ）
A ．π
B ．3π+4
C ．π+4
D ．2π+4
4． 袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A ．至少有一个白球；都是白球
B ．至少有一个白球；至少有一个红球
C ．恰有一个白球；一个白球一个黑球
D ．至少有一个白球；红、黑球各一个
5． 已知平面向量与的夹角为
，且||=1，|+2|=2，则||=（ ）
A ．1
B ．
C ．3
D ．2
6． 已知函数f （x ）=2x ，则f ′（x ）=（ ）
A ．2x
B ．2x ln2
C ．2x +ln2
D ．
7． 已知抛物线C ：2
4y x =的焦点为F ，定点(0,2)A ，若射线FA 与抛物线C 交于点M ，与抛
MN FN的值是（）
物线C的准线交于点N，则||:||
A．B．C．1:D(1
8．如图，AB是半圆O的直径，AB＝2，点P从A点沿半圆弧运动至B点，设∠AOP＝x，将动点P到A，B 两点的距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（）
9．已知A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且||=，则•=（）
A．﹣1 B．1 C．﹣D．
10．“互联网+”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶
段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为50的样本进行调查，已知该小区有老年人600人，中年人600人，青年人800人，则应从青年人抽取的人数为（）A．10 B．20 C．30 D．40 11．若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是（）
A．α∥β，l⊂α，n⊂β⇒l∥n B．α∥β，l⊂α⇒l⊥β
C．l⊥n，m⊥n⇒l∥m D．l⊥α，l∥β⇒α⊥β
12．已知平面α、β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β．为使m∥β，应选择下面四个选项中的（）
A．①④B．①⑤C．②⑤D．③⑤
二、填空题
13．设实数x，y满足，向量=（2x﹣y，m），=（﹣1，1）．若∥，则实数m的最大值为．
14．不等式的解为．
15．已知线性回归方程=9，则b=．
16．正六棱台的两底面边长分别为1cm，2cm，高是1cm，它的侧面积为．
17．下列说法中，正确的是．（填序号）
①若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1；
②在同一平面直角坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称；
③y=（）﹣x是增函数；
④定义在R上的奇函数f（x）有f（x）•f（﹣x）≤0．
18．若非零向量，满足|+|=|﹣|，则与所成角的大小为．
三、解答题
19．衡阳市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中
随机抽取100名后按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.
20．（本小题满分12分）某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行名意调查，下表是在某单位
（Ⅱ）从赞同“男女延迟退休”的80人中，利用分层抽样的方法抽出8人，然后从中选出2人进行陈述 发言，求事件“选出的2人中，至少有一名女士”的概率． 参考公式：2
2()K ()()()()
n ad bc a b c d a c b d -=
++++，()n a b c d =+++
【命题意图】本题考查统计案例、抽样方法、古典概型等基础知识，意在考查统计的思想和基本运算能力
21．【南师附中2017届高三模拟二】已知函数()()3
23
131,02
f x x a x ax a =+
--+>． （1）试讨论()()0f x x ≥的单调性；
（2）证明：对于正数a ，存在正数p ，使得当[]
0,x p ∈时，有()11f x -≤≤；
（3）设（1）中的p 的最大值为()g a ，求()g a 得最大值．
22．已知斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，|AB|=4．
（I ）求p 的值；
（II ）若经过点D （﹣2，﹣1），斜率为k 的直线m 与抛物线有两个不同的公共点，求k 的取值范围．
23．（本小题满分12分）
已知直三棱柱111C B A ABC -中，上底面是斜边为AC 的直角三角形，F E 、分别是11AC B A 、的中点.
（1）求证：//EF 平面ABC ； （2）求证：平面⊥AEF 平面B B AA 11.
24．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．
黑山县第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】因为tan y x =在,22ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递增，且24x ππ-<≤，所以tan tan 4x π≤，即tan 1x ≤.反之，当
tan 1x ≤时，24k x k πππ-<≤+π（k Z ∈），不能保证24x ππ-<≤，所以“24
x ππ
-<≤”是“tan 1x ≤”
的充分不必要条件，故选A.
2． 【答案】B
【解析】解：∵数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n+1（n ∈N *
）， ∴a n+1=3a n ＞0，
∴数列{a n }是等比数列，公比q=3． 又a 2+a 4+a 6=9， ∴=a 5+a 7+a 9=33×9=35，
则log
（a 5+a 7+a 9）=
=﹣5．
故选；B ．
3． 【答案】B
【解析】解：由三视图可知：原几何体为圆柱的一半，（沿中轴线切开） 由题意可知，圆柱的高为2，底面圆的半径为1，
故其表面积为S=2×π×12
+2×2+×2π×1×2=3π+4
故选：B
【点评】本题考查由几何体的三视图求面积，由三视图得出原几何体的形状和数据是解决问题的关键，属基础题．
4． 【答案】D
【解析】解：从3个红球，2个白球，1个黑球中任取2个球的取法有：
2个红球，2个白球，1红1黑，1红1白，1黑1白共5类情况， 所以至少有一个白球，至多有一个白球不互斥；
至少有一个白球，至少有一个红球不互斥； 至少有一个白球，没有白球互斥且对立；
至少有一个白球，红球黑球各一个包括1红1白，1黑1白两类情况，为互斥而不对立事件，
故选：D
【点评】本题考查了互斥事件和对立事件，是基础的概念题．
5．【答案】D
【解析】解：由已知，|+2|2
=12，即，所以||2+4||||×+4=12，所以||=2；
故选D．
【点评】本题考查了向量的模的求法；一般的，要求向量的模，先求向量的平方．
6．【答案】B
【解析】解：f（x）=2x，则f'（x）=2x ln2，
故选：B．
【点评】本题考查了导数运算法则，属于基础题．
7．【答案】D
【解析】
考点：1、抛物线的定义；2、抛物线的简单性质.
【方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.本题就是将M到焦点的距离转化为到准线的距离后进行解答的.
8．【答案】
【解析】选B.取AP的中点M，
则P A＝2AM＝2OA sin∠AOM
＝2sin x
2
，
PB＝2OM＝2OA·cos∠AOM＝2cos x
2，
∴y＝f（x）＝P A＋PB＝2sin x
2＋2cos x
2
＝22sin（x
2
＋
π
4
），x∈[0，π]，根据解析式可知，只有B选项符合要求，
故选B.
9．【答案】B
【解析】解：由A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且||=，
即有||2+||2=||2，
可得△OAB为等腰直角三角形，
则，的夹角为45°，
即有•=||•||•cos45°=1××=1．
故选：B．
【点评】本题考查向量的数量积的定义，运用勾股定理的逆定理得到向量的夹角是解题的关键．
10．【答案】B
【解析】
试题分析：设从青年人抽取的人数为800,,2050600600800
x x x ∴=∴=++，故选B ． 考点：分层抽样．
11．【答案】D
【解析】解：对于A ，α∥β，l ⊂α，n ⊂β，l ，n 平行或 异面，所以错误； 对于B ，α∥β，l ⊂α，l 与β 可能相交可能平行，所以错误；
对于C ，l ⊥n ，m ⊥n ，在空间，l 与m 还可能异面或相交，所以错误．
故选D ．
12．【答案】D
【解析】解：当m ⊂α，α∥β时，根据线面平行的定义，m 与β没有公共点，有m ∥β，其他条件无法推出m ∥β， 故选D
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，一般有两种思路：判定定理和定义，要注意根据条件选择使用．
二、填空题
13．【答案】 6 ．
【解析】解：∵ =（2x ﹣y ，m ），=（﹣1，1）．
若∥， ∴2x ﹣y+m=0， 即y=2x+m ，
作出不等式组对应的平面区域如图： 平移直线y=2x+m ，
由图象可知当直线y=2x+m 经过点C 时，y=2x+m 的截距最大，此时z 最大．
由，
解得
，代入2x ﹣y+m=0得m=6．
即m 的最大值为6． 故答案为：6
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用m的几何意义结合数形结合，即可求出m的最大值．根据向量平行的坐标公式是解决本题的关键．
14．【答案】{x|x＞1或x＜0}．
【解析】解：
即
即x（x﹣1）＞0
解得x＞1或x＜0
故答案为{x|x＞1或x＜0}
【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法．注意不等式的解以解集形式写出
15．【答案】4．
【解析】解：将代入线性回归方程可得9=1+2b，∴b=4
故答案为：4
【点评】本题考查线性回归方程，考查计算能力，属于基础题．
16．【答案】cm2．
【解析】解：如图所示，是正六棱台的一部分，
侧面ABB1A1为等腰梯形，OO1为高且OO1=1cm，AB=1cm，A1B1=2cm．
取AB和A1B1的中点C，C1，连接OC，CC1，O1C1，
则C1C为正六棱台的斜高，且四边形OO1C1C为直角梯形．
根据正六棱台的性质得OC=，O
C1==，
1
∴CC1==．
又知上、下底面周长分别为c=6AB=6cm，c′=6A1B1=12cm．
∴正六棱台的侧面积：
S=．
=
=（cm2）．
故答案为：cm2．
【点评】本题考查正六棱台的侧面积的求法，是中档，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17．【答案】②④
【解析】解：①若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1或k=0，故错误；
②在同一平面直角坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称，故正确；
③y=（）﹣x是减函数，故错误；
④定义在R上的奇函数f（x）有f（x）•f（﹣x）≤0，故正确．
故答案为：②④
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了集合，指数函数的，奇函数的图象和性质，难度中档．18．【答案】90°．
【解析】解：∵
∴=
∴
∴α与β所成角的大小为90°
故答案为90°
【点评】本题用向量模的平方等于向量的平方来去掉绝对值．
三、解答题
19．【答案】（1）3,2,1；（2）
7
10
.
【解析】111]
试题分析：（1）根据分层抽样方法按比例抽取即可；（2）列举出从名志愿者中抽取名志愿者有10种情况，
其中第组的名志愿者
12
,
B B至少有一名志愿者被抽中的有种，进而根据古典概型概率公式可得结果. 1
（2）记第3组的3名志愿者为
123
,,
A A A，第4组的2名志愿者为
12
,
B B，则从5名志愿者中抽取2名志愿者
有
12
(,)
A A，
13
(,)
A A，
11
(,)
A B，
12
(,)
A B，
23
(,)
A A，
21
(,)
A B，
22
(,)
A B，
31
(,)
A B，
32
(,)
A B，
12
(,)
B B，
共10种，其中第4组的2名志愿者
12
,
B B至少有一名志愿者被抽中的有
11
(,)
A B，
12
(,)
A B，
21
(,)
A B，
22
(,)
A B，
31
(,)
A B，
32
(,)
A B，
12
(,)
B B，共7种，所以第4组至少有一名志愿都被抽中的概率为
7
10
.
考点：1、分层抽样的应用；2、古典概型概率公式.
20．【答案】
【解析】（Ⅰ）根据题中的数据计算：
()2
2
4005017030150
6.25
80320200200
⨯⨯-⨯
K==
⨯⨯⨯
因为6．25＞5．024，所以有97．5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关
（Ⅱ）由已知得抽样比为81
=
8010
，故抽出的8人中，男士有5人，女士有3人．分别设为,,,,,1,2,3
a b c d e，选
取2人共有{},a b ，{},a c ，{},a d ，{},a e ，{},1a ，{},2a ，{},3a ，{},b c ，{},b d ，{},b e ，{},1b ，{},2b ，
{},3b ，{},c d ，{},c e ，{},1c ，{},2c ，{},3c ，{},d e ，{},1d ，{},2d ，{},3d ，{},1e ，{},2e ，{},3e ，{}1,2，{}1,3，{}2,328个基本事件，其中事件“选出的2人中，至少有一名女士”包含18个基本事件，故所
求概率为189=2814
P =
． 21．【答案】（1）证明过程如解析；（2）对于正数a ，存在正数p ，使得当[]
0,x p ∈时，有()11f x -≤≤；
（3）()g a 【解析】【试题分析】（1）先对函数()()3
23
131,02
f x x a x ax a =+
--+>进行求导，再对导函数的值的 符号进行分析，进而做出判断；（2）先求出函数值
()01,f =()3213122f a a a =--+=
()()2
11212
a a -+-，进而分()1f a ≥-和()1f a <-两种情形进行 分析讨论，推断出存在()0,p a ∈使得()10f p +=，从而证得当[]
0,x p ∈时，有()11f x -≤≤成立；（3） 借助（2）的结论()f x ：在[
)0,+∞上有最小值为()f a ，然后分011a a ≤，两种情形探求()g a 的解析表达式和最大值。

证明：（1）由于()()2
3313f x x a x a =+--'()()31x x a =+-，且0a >，
故()f x 在[]0,a 上单调递减，在[
),a +∞上单调递增．
（3）由（2）知()f x 在[
)0,+∞上的最小值为()f a ．
当01a <≤时，()1f a ≥-，则()g a 是方程()1f p =满足p a >的实根，
即()2
23160p a p a +--=满足p a >的实根，
所以()()314
a g a -=
．
又()g a 在(]
0,1上单调递增，故()
()max
1g a g ==
当1a >时，()1f a <-，由于()()()9
01,11112
f f a ==--<-，
故][0,0,1p ⎡⎤⊂⎣⎦．此时，()1g a ≤．
综上所述，()g a 22．【答案】
【解析】解：（I ）由题意可知，抛物线y 2
=2px （p ＞0）的焦点坐标为
，准线方程为
．
所以，直线l 的方程为…
由
消y 并整理，得
…
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 则x 1+x 2=3p ，
又|AB|=|AF|+|BF|=x 1+x 2+p=4， 所以，3p+p=4，所以p=1…
（II ）由（I ）可知，抛物线的方程为y 2
=2x ．
由题意，直线m 的方程为y=kx+（2k ﹣1）．…
由方程组
（1） 可得ky 2
﹣2y+4k ﹣2=0（2）… 当k=0时，由方程（2），得y=﹣1．
把y=﹣1代入y 2
=2x ，得
．
这时．直线m 与抛物线只有一个公共点
．…
当k ≠0时，方程（2）得判别式为△=4﹣4k （4k ﹣2）．
由△＞0，即4﹣4k （4k ﹣2）＞0，亦即4k 2
﹣2k ﹣1＜0．
解得．
于是，当
且k ≠0时，方程（2）有两个不同的实根，从而方程组（1）有两组不同的解，这
时，直线m 与抛物线有两个不同的公共点，…
因此，所求m 的取值范围是．…
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
23．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【
解
析
】
试
题解析：证明：（1）连接C A 1，∵直三棱柱111C B A ABC -中，四边形C C AA 11是矩形， 故点F 在C A 1上，且F 为C A 1的中点，
在BC A 1∆中，∵F E 、分别是11AC B A 、的中点，∴BC EF //. 又⊄EF 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，∴//EF 平面ABC .
考点：1.线面平行的判定定理；2.面面垂直的判定定理. 24．【答案】
【解析】解：函数f （x ）的定义域为（0，+∞），
．
（1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，，
因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，
所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），
即x+y﹣2=0
（2）由，x＞0知：
①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；
②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．
又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．
从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；
当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值．。