原子结构初步

4
1 me En 2 ( 2 2 ) n 8ε 0 h
n 1,2,3,
13.6 En 2 eV, n
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n 1,2,3,...
氢原子及原子结构初步
③.氢原子光谱的解释
En Ek 1 nk me 1 1 2 3 ( 2 2) h nk c 8 0 h c k n
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氢原子及原子结构初步
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氢原子及原子结构初步
4.电子自旋角动量量子化和自旋磁量子数 ms
斯特恩－革拉赫实验 1921年，O.Stern和W.Gerlach发现s态的银原子在外 磁场中发生分裂，1925年，G.E.Uhlenbeck和S.Goudsmit 提出电子自旋的概念。
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空间量子化的实验证据
1898年的P.Zeeman效应 对空间量子化理论给出了 实验证据。
e 磁矩 L 2m
E B
能级分裂 2l 1
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如 l 1, ml 1, 0, 1
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氢原子的波函数描述
了归纳（参见图21.1），得到了著名的巴尔末公式：
1 1 RH ( 2 2 ) 2 n
1
n 3,4,5,...
RH 1.0967758 107 m-1
氢原子光谱
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后来，J.R.Rydlerg推广巴尔末公式
1 1 RH ( 2 2 ) k n (k 1,2,3..., n k 1, k 2, k 3,...)
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推导如下:
L rm n
1 e m 2 4 0 r r
2 2
2 h r n2 0 2 me
n 1,2,3,
(8.85 10 12 )(6.63 10 34 ) 2 10 0 . 53 10 m 当n=1时, r1 31 19 2 3.14 9.1110 (1.6 10 )
例：氢原子，主量子数n＝4，求（1）角量子数的可能取值； （2）轨道角动量的最大值； （3）磁量子数的可能取值； （4）角动量在磁场方向的分量的最大值。
解： (1) n 4, l 0, 1, 2, 3
(2) l 3, L l (l 1) 12 (3)ml 0, 1, 2, 3
不同的k值对应不同的谱线系 k=1--------赖曼系； k=2-------巴尔末系； k=3-------帕邢系；
1
1

T ( k ) T ( n)
k=4-------布喇开系；
………..
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R R T (k ) 2 , T (n) 2 称为光谱项 k n
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4
0.54 0.85 1.51
n5 n4 帕邢系（红外） n3
3.40
巴尔末系（可见光） n2
13.58
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赖曼系（紫外）
n 1
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弗兰克－赫兹实验
1914年，J.Franck和G.Herz 从实验上证实了原子能级的存在！
P
弗兰克－赫兹实验原理图
E1 13.6eV 3.4eV 又 ∵ Ek 2 2 2 2 E1 En 2 Ek h ∴ n E1 n 5 ∴ Ek h
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例：氢原子光谱的巴耳末线系中，有一光谱线的波长为4340Å， 试求：①与这一谱线相应的光子能量为多少电子伏特？②该谱 线是氢原子由能级En跃迁到能级Ek产生的，n和k各为多少？③ 最高能级为En的大量氢原子，最多可以发射几个线系，共几条 谱线？请在氢原子能级图中表示出来，并说明波长最短的是哪 一条谱线。 解： ③可发射四个线系，共有10条谱线。（见图） 波长最短的是赖曼系中由n =5跃迁到n =1的谱线。
rn n 2 r1 , n 1,2,3,... r1 0.529 10 10 m, 玻尔半径a0
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推导如下:
L rm n 2 1 1 e 2 E m 2 4 0 r 2 h 2 0 n 1,2,3..... r n 2 me
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主要内容： 1、氢原子的玻尔理论 玻尔氢原子能级公式，三个光谱系 2、氢原子的量子力学描述 波函数和四个量子数
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一、玻尔氢原子理论 1.原子模型
①.汤姆孙模型（西瓜模型）





J.J.Thomson确定电子 的存在 电子

②.E.Rutherford模型（核式模型）
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③.N.Bohr模型（轨道模型）
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2.氢原子光谱的实验规律
实验发现，原子光谱是不连续 的分立线光谱。且每个元素都 有自己特定的原子光谱。
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1885年，J.J.Balmer对氢原子光谱中的可见光谱线规律进行
则空间V中的概率为： P＝ (r , , ) dV (r , , ) r 2 sin drdd
2 2 V V
2
P(r ) r Rnl (r ) 称为径向概率密度： 表示在单位半径的球壳空间内粒子存在的概率
对于氢原子1S态可证：P(r )＝r R1,0 (r )
(4) Lz 3
例：在下列各组量子数的空格上，填上适当的数值，以便使它
们可以描述原子中电子的状态： l=1 （１）n=2，l=______________，ml=-1，ms=-1/2； ml=0 （２）n=2，l=0，ml=_____________，ms=-1/2； ms=±1/2 （３）n=2，l=1，ml=0，ms=______________。
rn n2a0 9a0
E1 13.6 12
E 12.09
13.6 n2
n=1
En
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例：氢原子光谱的巴耳末线系中波长最长的谱线用 1 表示，其 第二长的谱线用 2 表示。试求它们的比值为多少？ 解一：
1 1 5 ) RH 2 2 1 36 2 3 1 1 1 3 RH ( 2 2 ) RH 2 16 2 4 RH (
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二、量子力学对氢原子的描述
e 对处在氢原子势场U 中的电子， 4 0 r 其对应的定态薛定谔方程为： 2 2 2 2 m 1 e2 2 2 2 [E ] 0 2 4 0 r x y z
采用球坐标代替直角坐标， 其波函数可分解为三个独立函数的乘积 (r , , ) R(r )( )( )
1
2
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在球坐标系中，分离变量后薛定锷方程写成
d 2 dR 2m 2 e2 (r ) 2 r (E ) R l (l 1) R dr dr 4 0 r
ml2 1 d dΘ (sin ) 2 Θ l (l 1)Θ sin d d sin
n 1,2,3,...
2.轨道角动量量子化和角量子数 l
L l (l 1)
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3.空间量子化和磁量子数 ml
对于某一确定的 l 值，ml 可以 取 0，1，2，... l 共 2l+1个 数值，相应的角动量分量为
LZ ml
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斯特恩－革拉赫实验的理论解释：电子的自旋角动量 取向量子化
自旋量子数 自旋角动量
1 s 2 S s ( s 1) 3 4
1 自旋磁量子数 ms 2 自旋角动量的磁场分量 1 S Z ms 2
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3.玻尔的三个基本假设：
①.定态假设，E=E(n) ②.跃迁假设，h=En-Ek ③.角动量量子化假设
L mvr n, n 1,2,3,... h 2
电子绕原子核的运动也可以用德布罗意波的驻波来解释：
h h 2r n , p mv L mvr n
氢原子的每一个定态由三个量子数 n，l，ml 确定，相应的波函数可表示为：
nlm Rnl (r )lm ( ) m ( )
l l l
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概率分布与电子云
(r , , ) 为概率密度：
表示在空间(r , , )附近单位体积内粒子存在的概率
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4.玻尔的氢原子理论结论 ①.电子轨道半径的量子化（见推导）
rn n r1 , n 1,2,3,...
2
r1 0.53 10
10
m, 玻尔半径a0
②.原子能量的量子化（见推导）
电离能的定义为： 13.6 En 2 eV, n 1,2,3,... E E n 电离 n
n=5 n=4 n=3 n=2
n=1
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例：已知基态氢原子的能量为-13.6eV，试求当基态氢原子被 12.09eV 的光子激发后，其电子的轨道半径将增加到玻尔半 径的多少倍？
解：
En E1 E E1 n2 Байду номын сангаасn2 1 1 E E1 9
n n
1dΦ 2 m l Φ d 2
2
(1)
(2)
(3)
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解方程(1), 可得： R 要满足有限的条件，必须
me4 1 En 8 0 h 2 n 2
n 1, 2, 3,
解方程(2), 可得： Θ 要满足有限的条件，必须
l 0, 1, 2, n 1
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2
2
2
2
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例：试证明氢原子1S态电子的径向概率分布极 大值在玻尔半径处。 R (r )＝ 2 e
1, 0 r / a0 3/ 2 a0
4 2 r / a0 解：对于氢原子 1S态：P ( r )＝r R1,0 ( r ) ＝r 3 e a0
2 2 2
在径向概率密度取极大值的位置，有 dP(r ) ＝0 r0 a 0 dr 即在玻尔半径a 0 处出现径向概率密度最大。
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三、原子的壳层结构
1. 根据W.Pauli不相容原理，对于一个确定的主量子数n（能级）

1
1 27 2 20
解二：
13.6 13.6 5 h1 [ 2 ( 2 )]eV 13.6eV 36 3 2 13.6 13.6 3 h 2 [ 2 ( 2 )]eV 13.6eV 16 4 2 1 2 27 2 1 20
解方程(3), 可得： Φ 要满足单值的条件，必须
ml 0, 1, 2, l
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氢原子的量子力学解的结论 1.能量量子化和主量子数 n
13.6 En 2 eV, n
对于某一确定的能级 n , l 可以取 0,1,2,...n-1 共 n 个量子数，相应的角动 量为
电流－电压实验曲线
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例：氢原子光谱的巴耳末线系中，有一光谱线的波长为4340Å， 试求：①与这一谱线相应的光子能量为多少电子伏特？②该谱 线是氢原子由能级En跃迁到能级Ek产生的，n和k各为多少？③ 最高能级为En的大量氢原子，最多可以发射几个线系，共几条 谱线？请在氢原子能级图中表示出来，并说明波长最短的是哪 一条谱线。 c h h 2.86eV 解：① ②由于此谱线是巴耳末线系，其k =2