2017年内蒙古包头市十校联考高考数学模拟试卷(理科)(解析版)

2017年内蒙古包头市十校联考高考数学模拟试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合M={x|x2＞1}，N={﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N=（）A．{0}B．{2}C．{﹣2，﹣1，1，2}D．{﹣2，2}
2．复数=（）
A．B．C．D．
3．在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛的学生的成绩进行整理后分为5组，绘制出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80～100分的学生人数是（）
A．15 B．18 C．20 D．25
4．如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（）
A．3 B．4 C．D．
5．已知平面向量的夹角为则=
（）
A．2 B．C． D．
6．若满足x，y约束条件，则z=x+y的最大值为（）
A．B．1 C．﹣1 D．﹣3
7．在如图所示的程序图中，若函数f（x）=，则输出的结果是（）
A．﹣3 B．C．D．4
8．双曲线x2﹣=1的左右焦点分别为F1，F2，P为右支上一点，且||=8，
•=0，则双曲线的离心率为（）
A
．3 B．5 C． D．
9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是（ ）
A．0＜θ＜B．0＜θ≤C．0≤θ≤D．0＜θ≤
10．已知函数F（x）=xf（x），f（x）满足f（x）=f（﹣x），且当x∈（﹣∞，0]
时，F'（x）＜0成立，若，则a，b，c的大小关系是（）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b
11．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得
=4a1，则+的最小值为（）
A．B．C．D．
12．在平面直角坐标系xoy中，直线l：y=2x﹣4，圆C的半径为1，圆心在直线l上，若圆C上存在点M，且M在圆D：x2+（y+1）2=4上，则圆心C的横坐标a 的取值范围是（）
A． B．
C．D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知，则=．
14．在（1+x）（2+x）5的展开式中，x3的系数为（用数字作答）．
15．设函数f（x）=x3﹣3x+1，x∈[﹣2，2]的最大值为M，最小值为m，则M+m=．
16．设S n是数列{a n}的前n项和，且，则S n=．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，C=60°．
（1）求的值；
．
（2）若a+b=ab，求△ABC的面积S
△ABC
18．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（1）证明：平面PQC⊥平面DCQ；
（2）求二面角Q ﹣BP ﹣C 的正弦值．
19．2016年1月1日起全国统一实施全面的两孩政策．为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后80后作为调查对象，随机调查了100人并对调查结果进行统计，70后不打算生二胎的占全部调查人数的15%，80后打算生二胎的占全部被调查人数的45%，100人中共有75人打算生二胎．
（1）根据调查数据，判断是否有90%以上把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由；
（2）以这100人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该市70后公民中（人数很多）随机抽取3位，记其中打算生二胎的人数为X ，求随机变量X 的分布列，数学期望E （X ）和方差D （X ）． 参考公式：
（
，其中n=a +b +c +d ）
20．已知F 1、F 2分别是椭圆C
：
+
y
2=1
的左、右焦点．
（1）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，
•
=﹣，求点P 的坐标；
（2）设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围． 21．已知函数f （x ）=a （x +）+blnx （其中a ，b ∈R ）
（Ⅰ）当b=﹣4时，若f （x ）在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）当a=﹣1时，是否存在实数b ，使得当x ∈[e ，e 2]时，不等式f （x ）＞0恒成立，如果存在，求b 的取值范围，如果不存在，说明理由（其中e 是自然对数的底数，e=2.71828…）．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．
（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．
（1）若a≤2，解不等式f（x）≥2；
（2）若a＞1，∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．
2017年内蒙古包头市十校联考高考数学模拟试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合M={x|x2＞1}，N={﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N=（）A．{0}B．{2}C．{﹣2，﹣1，1，2}D．{﹣2，2}
【考点】交集及其运算．
【分析】求出M中不等式的解集确定出M，找出M与N的交集即可．
【解答】解：由M中不等式解得：x＞1或x＜﹣1，即M={x|x＜﹣1或x＞1}，∵N={﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴M∩N={﹣2，2}，
故选：D．
2．复数=（）
A．B．C．D．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数的除法运算法则化简为a+bi的形式即可．
【解答】解：复数===．
故选：B．
3．在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛的学生的成绩进行整理后分为5组，绘制出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80～100分的学生人数是（）
A．15 B．18 C．20 D．25
【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征．
【分析】根据频率分布直方图，结合频率、频数与样本容量的关系，求出结果即可．
【解答】解：根据频率分布直方图，得；
第二小组的频率是0.04×10=0.4，
频数是40，
∴样本容量是=100；
∴成绩在80～100分的频率是
（0.01+0.005）×10=0.15，
对应的频数（学生人数）是
100×0.15=15．
故选：A．
4．如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（）
A．3 B．4 C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知：该几何体是四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的
菱形，对角线BD=2，侧棱PA=PB=PC=PD=2．顶点P在底面的射影为底面ABCD 的中心O．利用体积计算公式即可得出．
【解答】解：由三视图可知：该几何体是四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，对角线BD=2，
侧棱PA=PB=PC=PD=2．
顶点P在底面的射影为底面ABCD的中心O．
∴OA==，PO===3．
===2，
∴S
底面ABCD
===2．
∴V P
﹣ABCD
故选：C．
5．已知平面向量的夹角为则=（）
A．2 B．C． D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由向量的坐标求得，再由向量的数量积的定义求出的值，再
根根=求出结果．
【解答】解：∵，∴，
又平面向量的夹角为60°，|b|=1，
∴=2×1×cos60°=1，
∴==2．
故选：D．
6．若满足x，y约束条件，则z=x+y的最大值为（）
A．B．1 C．﹣1 D．﹣3
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，
由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，目标函数有最大值，
由：，可得A（1，），z的最大值为z=1+=．
故选：A．
7．在如图所示的程序图中，若函数f（x）=，则输出的结果是（）
A．﹣3 B．C．D．4
【考点】程序框图．
【分析】框图在输入a=﹣4后，对循环变量a与b的大小进行判断，直至满足条件b＜0算法结束．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
a=﹣4≤0，
b=2﹣4=＞0，
a==4，
不满足条件b＜0，继续循环，b==﹣2，a=2﹣2=，
满足条件b＜0，退出循环，输出a的值为．
故选：C．
8．双曲线x2﹣=1的左右焦点分别为F1，F2，P为右支上一点，且||=8，
•=0，则双曲线的离心率为（）
A．3 B．5 C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线x2﹣=1的定义，通过||=8，•=0，求出a，c，即可得到双曲线的离心率．
【解答】解：由已知a=1，=8，=6．
又因为，则|F1F2|=10，即c=5．则双曲线离心率为5，
故选：B．
9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是（ ）
A．0＜θ＜B．0＜θ≤C．0≤θ≤D．0＜θ≤
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】由题意在正方体ABCD﹣A1BC1D1中，点P在线段AD1上运动，根据A1B ∥D1C，将CP与A1B成角可化为CP与D1C成角，然后再求解．
【解答】解：∵A1B∥D1C，
∴CP与A1B成角可化为CP与D1C成角．
∵△AD1C是正三角形可知当P与A重合时成角为，
∵P不能与D1重合因为此时D1C与A1B平行而不是异面直线，
∴；
故选D．
10．已知函数F（x）=xf（x），f（x）满足f（x）=f（﹣x），且当x∈（﹣∞，0]
时，F'（x）＜0成立，若，则a，b，c的大小关系是（）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b
【考点】对数值大小的比较．
【分析】f（x）=f（﹣x），函数f（x）是偶函数，可得函数F（x）=xf（x）是奇
函数．由当x∈（﹣∞，0]时，F'（x）＜0成立，可得函数F（x）在x∈（﹣∞，0]时单调递减，因此函数F（x）在x∈R上单调递减．
【解答】解：∵f（x）=f（﹣x），函数f（x）是偶函数，∴函数F（x）=xf（x）是奇函数．
∵当x∈（﹣∞，0]时，F'（x）＜0成立，∴函数F（x）在x∈（﹣∞，0]时单调递减，
因此函数F（x）在x∈R上单调递减．
∵20.1＞1，ln2∈（0，1），＜0，
，
∴a＜b＜c．
故选：C．
11．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得
=4a1，则+的最小值为（）
A．B．C．D．
【考点】基本不等式；等比数列的通项公式．
【分析】由a7=a6+2a5求得q=2，代入求得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．
【解答】解：由各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，可得
，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2．
∵，∴q m+n﹣2=16，∴2m+n﹣2=24，∴m+n=6，
∴，当且仅当=时，等号成立．
故的最小值等于，
故选A．
12．在平面直角坐标系xoy中，直线l：y=2x﹣4，圆C的半径为1，圆心在直线l上，若圆C上存在点M，且M在圆D：x2+（y+1）2=4上，则圆心C的横坐标a 的取值范围是（）
A． B．
C．D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】设出圆心C的坐标，表示出圆的方程，进而判断出点M应该既在圆C 上又在圆D上，且圆C和圆D有交点．进而确定不等式关系求得a的范围．【解答】解：因为圆C的圆心在直线y=2x﹣4上，所以设圆心C为（a，2a﹣4），则圆C的方程为：（x﹣a）2+[y﹣（2a﹣4）]2=1．
又M在圆D：x2+（y+1）2=4上，所以点M应该既在圆C上又在圆D上，且圆C 和圆D有交点．
则|2﹣1|≤≤|2+1|．
由5a2﹣12a+8≥0，得a∈R．
由5a2﹣12a≤0得0≤a≤．
所以圆心C的横坐标的取值范围为[0，]．
故选：B
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知，则=．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】利用诱导公式即可得出．
【解答】解：∵，则=，
故答案为：．
14．在（1+x）（2+x）5的展开式中，x3的系数为120（用数字作答）．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】根据（2+x）5的展开式的通项公式，计算在（1+x）（2+x）5的展开式中含x3的项是什么，从而求出x3的系数．
【解答】解：（2+x）5的展开式的通项是
，
所以在（1+x）（2+x）5=（2+x）5+x（2+x）5的展开式中，
含x3的项为，
所以x3的系数为120．
故答案为：120．
15．设函数f（x）=x3﹣3x+1，x∈[﹣2，2]的最大值为M，最小值为m，则M+m= 2．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】求出原函数的导函数，得到导函数的零点，进一步得到原函数的极值点，求得极值，再求出端点值，比较可得最大值为M，最小值为m，则M+m可求．【解答】解：由f（x）=x3﹣3x+1，得f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），
当x∈（﹣2，﹣1）∪（1，2）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）的增区间为（﹣2，﹣1），（1，2）；减区间为（﹣1，1）．
∴当x=﹣1时，f（x）有极大值3，当x=1时，f（x）有极小值﹣1．
又f（﹣2）=﹣1，f（2）=3．
∴最大值为M=3，最小值为m=﹣1，
则M+m=3﹣1=2．
故答案为：2．
16．设S n是数列{a n}的前n项和，且，则S n=．
【考点】数列递推式；数列的求和．
【分析】=S n，可得=S n，﹣=﹣1，利用等差数列的通项公
式即可得出．
【解答】解：∵=S n，∴=S n，化为：﹣=﹣1，
∴数列是等差数列，首项为﹣1，公差为﹣1．
∴=﹣1﹣（n﹣1）=﹣n，
∴S n=﹣．
故答案为：．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，C=60°．
（1）求的值；
．
（2）若a+b=ab，求△ABC的面积S
△ABC
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）根据正弦定理求出，然后代入所求的式子即可；
（2）由余弦定理求出ab=4，然后根据三角形的面积公式求出答案．
【解答】解：（1）由正弦定理可设，
所以，
所以．…
（2）由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，
即4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，
又a+b=ab，所以（ab）2﹣3ab﹣4=0，
解得ab=4或ab=﹣1（舍去）
所以．…
18．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（1）证明：平面PQC⊥平面DCQ；
（2）求二面角Q﹣BP﹣C的正弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）先证明CD⊥平面PDAQ，可得CD⊥PQ；再由勾股定理得逆定理证得PQ⊥QD．再利用直线和平面垂直的判定定理证得PQ⊥平面DCQ，从而证得平面PQC⊥平面DCQ．
（2）如图建立空间坐标系，求得和的坐标，再求得平面的PBC法向量的
坐标，同理求得平面PBQ的法向量的坐标，求得cos＜，＞=的值，
从而求得sin＜，＞的值，即为所求．
【解答】解：（1）由题意可得QA⊥平面ABCD，∴QA⊥CD．
由四边形ABCD为正方形知DC⊥AD，又QA、AD为平面PDAQ内
两条相交直线，
∴CD⊥平面PDAQ，∴CD⊥PQ．
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，
∴PQ2+DQ2=PD2．
由勾股定理得逆定理得：PQ⊥QD．
又CD、QD为平面ADCB内两条相交直线，
∴PQ⊥平面DCQ．
再由PQ⊂平面PQC，可得平面PQC⊥平面DCQ．
（2）如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，
射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；
依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0），B（1，0，1），
=（1，0，0），=（﹣1，2，﹣1）．
设=（x ，y ，z ）是平面的PBC 法向量，则，即
，
可取 =（ 0，﹣1，﹣2）．
同理求得平面PBQ 的法向量=（1，1，1）． 所以cos ＜，＞=
=
=﹣，故有 sin ＜，＞=，
即二面角Q ﹣BP ﹣C 的正弦值为
．
19．2016年1月1日起全国统一实施全面的两孩政策．为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后80后作为调查对象，随机调查了100人并对调查结果进行统计，70后不打算生二胎的占全部调查人数的15%，80后打算生二胎的占全部被调查人数的45%，100人中共有75人打算生二胎．
（1）根据调查数据，判断是否有90%以上把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由；
（2）以这100人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该市70后公民中（人数很多）随机抽取3位，记其中打算生二胎的人数为X ，求随机变量X 的分布列，数学期望E （X ）和方差D （X ）． 参考公式：
（
，其中n=a +b +c +d ）
【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（1）根据列联表中的数据，计算K2的值，即可得到结论；
（2）X可能取值为0，1，2，3，X～B（3，），求出相应的概率，可得X的分布列及数学期望．
【解答】解：（1）由题意得年龄与生二胎的列联表为：
所以
所以有90%以上把握认为“生二胎与年龄有关”．…
（2）由已知得该市70后“生二胎”的概率为，且X～B（3，）…
所以
故X的分布列为：
…
所以E（X）=3×=2，方差D（X）=3××=．…
20．已知F1、F2分别是椭圆C： +y2=1的左、右焦点．
（1）若P是第一象限内该椭圆上的一点，•=﹣，求点P的坐标；（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）求得椭圆的a，b，c，可得左右焦点，设P（x，y）（x＞0，y＞0），运用向量的数量积的坐标表示，解方程可得P的坐标；
（2）显然x=0不满足题意，可设l的方程为y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由∠AOB为锐角，即
为，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求k的范围．
【解答】解：（1）因为椭圆方程为，
知a=2，b=1，，
可得，，
设P（x，y）（x＞0，y＞0），
则，
又，联立，
解得，即为；
（2）显然x=0不满足题意，可设l的方程为y=kx+2，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，
由△=（16k）2﹣4（1+4k2）•12＞0，得．
，．
又∠AOB为锐角，即为，
即x1x2+y1y2＞0，x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，
又，
可得k2＜4．又，即为，
解得．
21．已知函数f（x）=a（x+）+blnx（其中a，b∈R）
（Ⅰ）当b=﹣4时，若f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；（Ⅱ）当a=﹣1时，是否存在实数b，使得当x∈[e，e2]时，不等式f（x）＞0恒成立，如果存在，求b的取值范围，如果不存在，说明理由（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，问题转化为则a≥，或a≤，求出a 的范围即可；
（Ⅱ）问题转化为b＞在x∈[e，e2]时恒成立，令h（x）=，x∈
[e，e2]，根据函数的单调性求出b的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=，
若f（x）在其定义域内递增，
则a≥==1，
故a≥1，
若若f（x）在其定义域内递减，
则a≤=，
x+→+∞时，→0，
故a≤0；
综上，a≤0或a≥1；
（Ⅱ）f（x）=﹣（x+）+blnx＞0在x∈[e，e2]时恒成立，
即b＞在x∈[e，e2]时恒成立，
令h（x）=，x∈[e，e2]，
h′（x）=，
令=t，则t∈[，]，
∴+=t2+2t∈[+， +]，
∴lnx﹣（+）＞0，h′（x）＞0恒成立，
h（x）在[e，e2]递增，
∴h（x）max=h（e2）=
∴b＞．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
【考点】圆的参数方程；函数的图象与图象变化；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．
【分析】（I）将直线l中的x与y代入到直线C1中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出|AB|．
（II）将直线的参数方程化为普通方程，曲线C2任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特
殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值即可．
【解答】解：（I）l的普通方程为y=（x﹣1），C1的普通方程为x2+y2=1，
联立方程组，解得交点坐标为A（1，0），B（，﹣）
所以|AB|==1；
（II）曲线C2：（θ为参数）．
设所求的点为P（cosθ，sinθ），
则P到直线l的距离d== [sin（）+2]
当sin（）=﹣1时，d取得最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．
（1）若a≤2，解不等式f（x）≥2；
（2）若a＞1，∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（1）通过讨论x的范围，求出各个区间的解集，取并集即可；（2）令F （x）=f（x）+|x﹣1|，求出F（x）的最小值，从而求出a的范围即可．
【解答】解：（1）当f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|=，而f（x）≥2，
解得或．…
（2）令F（x）=f（x）+|x﹣1|，则F（x）=，
所以当x=1时，F（x）有最小值F（1）=a﹣1，只需a﹣1≥1，解得a≥2，
所以实数a的取值范围是[2，+∞）．…
2017年3月3日。