高三数学第一轮复习 50 平面向量的概念与几何运算(2)教学案(教师版)

教案50 平面向量的概念与几何运算（2）
一、课前检测
1.（2010辽宁文8）平面上,,O A B 三点不共线，设,OA a OB b ==
,则OAB ∆的面积=（ C ）
A.
C.
解
析
：
111||||sin ,||||||222OAB
S a b a b a b a b ∆=<>=
=
2.（2010四川理）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，
216,B C A B A C A B A C =∣+∣=∣-∣, 则AM ∣∣= （ C ）
A.8
B.4
C. 2
D.1
解析：由2
BC ＝16，得|BC|＝4
AB AC AB AC BC ∣+∣=∣-∣=|| ＝4
而AB AC AM ∣+∣=2∣∣ 故AM ∣∣= 2
二、知识梳理
1．平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量
,i j
作为基底。

由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成a xi y j =+ ，由于a 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a 的坐标，记作a
=(x,y)，其中x 叫作a
在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标。

(1) 若a xi y j =+ ,则||a = (2)若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)则2121(,)AB x x y y =--,
||AB =
表示相等向量的有向线段的始点、终点的坐标未必相同. (3) 向量相等 坐标相同。

解读：
2．平面向量的坐标运算
(1) 若()()2211,,,y x b y x a ==，则()2121,y y x x b a ±±=± (2) 若=(x,y)，则λ=(λx, λy)
(3) 若()()2211,,,y x b y x a ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅
解读：
3．设()()2211,,,y x b y x a ==则
向量共线:1221//0a b x y x y ⇔-=
向量垂直:b a ⊥，⇔ 02121=⋅+⋅y y x x
解读：
三、典型例题分析
【例1】平面内给定三个向量()()()1,4,2,1,2,3=-==，回答下列问题： （1）求满足c n b m a +=的实数m,n ；
（2）若(
)()
a b c k a -+2//，求实数k ； （3）若d 满足()()b a c d +-//
5=
-，求d
解：（1）由题意得()()()1,42,12,3n m +-=
所以⎩⎨⎧=+=+-2234n m n m ，得⎪⎩
⎪⎨
⎧
==9895n m （2）()()2,52,2,43-=-++=+a b k k c k a
()()()13
16
,025432-
=∴=+--+⨯∴k k k （3）设(,)d x y =
则()()4,2,1,4=+--=-y x
由题意得()()()()⎩⎨
⎧=-+-=---5
140
12442
2y x y x 得⎩⎨⎧-==13y x 或⎩
⎨⎧==35y x , (3,1)(5,3)d =-
或
◆方法提炼：1.利用平面向量基本定理,
2.利用共线向量定理.
变式训练设→--OA =（3，1），→--OB =（-1，2），→--OC ⊥→--OB ，→--BC ∥→
--OA ，O 为坐标原点，则满足
→--OD +→--OA =→--OC 的→
--OD 的坐标是___________
答案：（11,6）
小结与拓展：
【例2】（2006全国Ⅱ）已知向量(sin ,1),(1,cos ),2
2
a b π
π
θθθ==-
<<。

（Ⅰ）若a b ⊥，求θ；
（Ⅱ）求a b +的最大值。

解：（Ⅰ）,sin cos 0a b θθ⊥若则＋＝， 得 tan 1π
π
θθ=- (-
<<
),2
2
所以 ;4
π
θ=-
（Ⅱ） 由(sin ,1),(1,cos )a b θθ==得
||a b +==
sin()1,4a b πθ+=+当时
取最大值，max , 1.4
a b π
θ=+=即当时
◆解题评注：向量一三角函数综合是一类常考的题目，要理解向量及运算的几何意义，
要能熟练解答。

变式训练 已知向量()2,3=a
，()1,1-=b ,向量m 与b a 23-平行,︱m ︱=4137则向量
m
的坐标是_____________
答案：()16,44=m 或()16,44--=m
小结与拓展：
【例3】已知ABC ∆中，A(2,-1)，B(3,2)，C(-3,-1),BC 边上的高为AD ，求AD 。

解：设D(x,y), 则()()()3,,2,3,1,2--=--=+-=b BC y x BD y x AD
BC BD BC AD //,⊥
()()()()⎩⎨
⎧=-+--=+---∴0263301326y x y x 得⎩
⎨⎧==11
y x 所以()2,1-=AD
变式训练 已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=2，|a －b |=2，则|a +b |等于 ( ) A.1
B.2
C.5
D.6
答案：D
小结与拓展：
四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）
1.知识：
2.思想与方法：
3.易错点：
4.教学反思（不足并查漏）：。