2017年中考数学总复习训练特殊的四边形矩形菱形含解析20170711360

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特殊的平行四边形菱形含答案

题型：解答题难度：中等详细信息于是，由点E是AC的中点，得又丁四边形AFDE是平行四边形, 四边形AFDE是菱形. D£= -BC=^AC=AE£ £...（1 分）/• AD 丄EF....(1 分) ...(1 分)已知：如图，在△ ABC中，D E分别是边AB AC的中点，连接DE AF// BC；且AF=BC,连接DF.(1) 求证：四边形AFDE是平行四边形；(2) 如果AB=AC Z BAC=60，求证：ADL EF.(1 )通过证明边DE平行且等于对边AF，即可证明四边形AFDE是平行四边形；(2 )由题意得△ABC是等边三角形，故有AC=BC，又点E是AC的中点，可得出DE=AE，四边形AFDE是菱形，再根据菱形的对角线互相垂直平分得证.证明：(1 ) •/ D、E分别是边AB、AC的中点，DE是△ABC的中位线，即得DE // BC，DE=-BC...（2 分）•/ AF // BC，，/• DE // AF，DE=AF .二四边形AFDE是平行四边形....(2 分)...(i 分)(2 ) •/ AB=AC，/ BAC=60 ° ，ABC是等边三角形，即得：AC=BC...（i 分）题型：解答题难度：压轴详细信息知，如图①，在 Rt △ ABC 中，/ C=90，/ A=60° , AB=12cm 点 P 从点 A 沿 3以每秒2cm 的速度向点B 运动，点Q 从点C 以每秒1cm 的速度向点A 运动，点P 、Q 分别从点A C 同时出发，运动时间为t (秒)(0v t V 6)，回答下S ,写出S 与t 的函数关系式；并把△ PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP C,那么是否 t ，使四边形PQP C 为菱形？若存在，求出此时t 的值；若不存(1 )根据 / A=60 °，AB=12cm ，得出 AC 的长，进而得出 AP=2t ，AQ=6-t .(2 )过点P 作PH 丄AC 于H .由AP=2t ，AH=t ，得出PH" t ，从而求得S 与t 的函数关系式； (3 )过点P 作PM 丄AC 于M ，根据菱形的性质得 PQ=PC ，则可得出PN=QM=CM ，求得t 即可. 【解析】(1 ) T 在 Rt △ABC 中，/ C=90 °，/ A=60 °，AB=12cm ， ••AC=6，••由题意知：AP=2t ，AQ=6-t ，(2 )如图①过点P 作PH 丄AC 于H .C=90 ，/ A=60 ，AB=12cm•• / B=30，•• / HPA=30 ，• AP=2t ，AH=t ， ••PH= -t ，11S=_ (1)直接写出线段APAQ 的长(含t 的代数式表示)：AP=(2) 设厶APQ 的面积为2 (3 )当t=4时，四边形PQP 'C 是菱形,t 2+3 职;厂 X \ -1 X (6-t )=- CX AC X PH=证明：如图②过点P 作PM 丄AC 于M ,1•/ CQ=t ，由（2）可知，AM= AP=tcm ,1/• QC=AM ，当 PC=PQ 时，即 CM=MQ=AQ= AC=2 时，四边形PQP C 是菱形，即当t=4时，四边形PQP'C 是菱形. 题型：填空题难度：中等详细信息一个平行四边形的一边长是9,两条对角线的长分别是12和6 口，则此平行四边形的面积为题型：填空题难度：困难详细信息如图，梯形 ABCD 中, AD// BC / C=90，且 AB=AD 连接BD ，过A 点作BD 的垂线交 BC 于 E,如果 CE=3cm CD=4cm 那么 BD= ________ cm.连接DE ，因为AB=AD , AE 丄BD , AD // BC ,可证四边形 ABED 为菱形，从而得到 BE 、BC 的长，继连接DE .在直角三角形CDE 中，根据勾股定理，得 DE=5 •/ AB=AD , AE 丄 BD ,/• AE 垂直平分 BD , / BAE= / DAE . /• DE=BE=5 . •/ AD // BC ,/•Z DAE= / AEB ./Z BAE= Z AEB•/ AB=BE=5 •/ BC=BE+EC=8 ,在直角三角形BCD 中，根据勾股定理，得故答案为：4」.BD=4详细信息可编辑范本如图，△ ABC 中，点D E 分别是边BC AC 的中点，过点A 作AF// BC 交线段D 的延长线相交于F 点，取AF 的中点G,如果BC=2AB 求证：（1四边形ABDF 是菱形；（2） AC=2DG（1 ）首先根据三角形的中位线定理，得 DE // AB ，结合AF // BC ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判断该四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2 ）根据菱形的性质可以进一步得到 AFGDFEA ，贝U GD=AE ，即可证明结论.证明：（1 ） T 点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点， ••• DE 是△ABC 的中位线（三角形中位线的定义），DE // AB ，DE= AB （三角形中位线性质）.（1分）•/ AF // BC ，四边形ABDF 是平行四边形（平行四边形定义）.（1分）•/ BC=2AB ，BC=2BD ， /• AB=BD . （ 1 分）四边形ABDF 是菱形.（1分）（2 ） v 四边形ABDF 是菱形，••• AF=AB=DF （菱形的四条边都相等）.11•/ DE= AB ，1" 八 EF= AF .（ 1 分）v G 是AF 的中点.咼/• GF= AF ，GF=EF . （ 1 分） /•△ FGDFEA ，（ 1 分）/• GD=AE ， v AC=2EC=2AE ，AC=2DG .（ 1 分）已知：如图，矩形ABCD 勺对角线AC 的垂直平分线EF 与AD AC BC 分别交于点 E 、O F.详细信息可编辑范本(1) 求证：四边形AFCE 是菱形；(2) 若AB=5 BC=12 EF=6求菱形 AFCE 的面积.(1 )根据ABCD 为矩形，根据矩形的对边平行得到 AE 与CF 平行，由两直线平行得到一对内错角相等，又EF 垂直平分AC ，根据垂直平分线的定义得到 AO=CO ，且AC 与EF 垂直，再加上一对对顶角相等，利用“ ASA 得到三角形AOE 与三角形COF 全等，根据全等三角形的对应边相等得到 AE=FC ，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到 AFCE 为平行四边形，又根据对角线垂直的平行四边形为菱形即可得证；(2 )由矩形的性质得到 / B 为直角，在直角三角形 ABC 中，由AB 与BC 的长，利用勾股定理求出 AC 的长，又已知EF 的长，而AC 与EF 为菱形AFCE 的两条对角线，根据对角线乘积的一半即可求出菱形的面积. 【解析】(1 ) v 四边形ABCD 是矩形， /• AE // FC ，/•Z EAO= / FCO ，•/ EF 垂直平分 AC ， •/ AO=CO ，FE 丄 AC ，又 Z AOE= Z COF ， △ AOE COF ， •/ EO=FO ，/四边形AFCE 为平行四边形，又v FE 丄AC ，/•平行四边形AFCE 为菱形；，又 EF=6 ，X 13X 6=39•/菱形AFCE 的面积S= AC?EF=题型：选择题难度：简单详细信息下列命题中，真命题是()A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B. 有一条对角线平分对角的四边形是菱形C•菱形是对角线互相垂直平分的四边形D.菱形的对角线相等型：选择题难度：压轴详细信息等腰梯形的两底中点的连线与两腰中点的连线，它们的关系是( )A. 相等B. 互相垂直但不一定互相平分C. 互相平分但不一定互相垂直D. 互相垂直平分可先画岀示意图，根据等腰梯形的腰长相等可得岀答案.\D F C【解析】根据AD=BC , GH // AB // DC 可得EF 丄GH ,结合中位线定理可得EF、GH互相平分.故选D.题型：解答题难度：困难详细信息如图，？ABCD中AB=9对角线AC与BD相交于点O, AC=12 BD亜,(1)求证：?ABCD1菱形；(2)求这个平行四边形的面积.(1 )由四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得AO与BO的长，然后根据勾股定理的逆定理，即可求得△KOB为直角三角形，则可得AC丄BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可证得?ABCD是菱形；(2 )由菱形的面积等于两条对角线的积的一半，即可求得菱形的面积.(1 )证明：T四边形ABCD为平行四边形，AC=12 ，BD=6 应，1 1y— I/• A0= #AC=6 , B0= T在△AOB 中，AB=9 ,T62+ （3」）2=9 2,2 2 2BD=3 苗即AO +BO =AB ,AOB为直角三角形，/•Z AOB=90 ,即AC丄BD,••• ?ABCD是菱形;(2 )由(1 )可知：？ABCD 是菱形，即S 菱形ABCD = AC X BD=36 ，-.题型：填空题难度：压轴详细信息如图，在矩形ABCD中, E、F、G H分别是四条边的中点，HF=2 EG=4贝U四边形EFGH的面积为 _________ .A H5题型：填空题难度：中等详细信息下列命题：①矩形的对角线互相平分且相等；②对角线相等的四边形是矩形；③菱形的每一条对角线平分一组对角；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.其中正确的命题为(注：把你认为正确的命题序号都填上)根据正方形、平行四边形、菱形和矩形的判定，对选项一一分析，选择正确答案.【解析】①矩形的对角线互相平分且相等；故正确；②对角线相等的四边形是矩形，不能正确判定，故错误；③菱形的每一条对角线平分一组对角，这是菱形的一条重要性质，故正确；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故正确.故答案为：①③④•题型：解答题难度：困难详细信息如图，矩形ABCD中，对角线AC BD相交于0点，点P是线段AD上一动点(不与点D重合)，P0的延长线交BC于Q点.(1)求证：四边形PBQ助平行四边形.(2)若AB=3cm AD=4cm P从点A出发•以1cm/秒的速度向点D匀速运动•设点P运动时间为t秒，问四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.(1 )依据矩形的性质和平行线的性质，通过全等三角形的判定定理判定APOD QOB，所以OP=OQ，则四边形PBQD的对角线互相平分，故四边形PBQD为平行四边形.(2 )点P从点A出发运动t秒时，AP=tcm ，PD= (4-t ) cm .当四边形PBQD是菱形时，PB=PD=(4-t ) cm •在直角A ABP中，根据勾股定理得到AP2+AB 2=PB 2,即t2+3 2= (4-t ) 2，由此可以求得t的值.(1 )证明：如图，•/四边形ABCD是矩形，/• AD // BC，OD=OB ，/•Z PDO= / QOB，在APOD与A QOB中，« OD=OB./△ POD QOB (ASA )，•/ OP=OQ，/四边形PBQD为平行四边形；(2 )点P从点A出发运动t秒时，AP=tcm ，PD= (4-t ) cm . 当四边形PBQD是菱形时，PB=PD= ( 4-t ) cm . T四边形ABCD是矩形，/Z BAP=90 ，•/在直角A ABP 中，AB=3cm ，AP2+AB 2=PB 2，即卩t2+3 2= (4-t )7二点P 运动时间为秒时，四边形PBQD 能够成为菱形. 题型：解答题难度：中等详细信息已知，如图，正方形ABCD 勺边长为6,菱形EFGH 勺三个顶点E 、G H 分别在正方形ABCD 勺边AB CD DA 上, AH=2连接CF. (1) 当DG=2时，求证：菱形EFGH 为正方形； (2) 求证：/ AEH M CGF(3) 设DG=x 用含x 的代数式表示△ FCG 的面积.D G C(1 )由于四边形ABCD 为正方形，四边形 HEFG 为菱形，那么/ D= / A=90 °，HG=HE ，而 AH=DG=2 ，易证△AHE DGH ，从而有 / DHG= / HEA ，等量代换可得 / AHE+ / DHG=90° ，易证四边形HEFG 为正方形；(2 )过F 作FM 丄CD ，垂足为M ，连接GE ，由AB 与CD 平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由GE 为菱形的对角线，利用菱形的性质得到一对内错角相等，利用等式的性质即可得证；(3 )欲求△FCG 的面积，由已知得 CG 的长易求，只需求出 GC 边的高，通过证明 △AHE ◎△ MFG 可得. (1 )证明：在△HDG 和A AEH 中，丁四边形ABCD 是正方形，/•Z D= / A=9C °，T 四边形EFGH 是菱形，•/ HG=HE ，在 Rt AHDG 和 A AEH 中，(HG-HE•/ Rt △HDGAEH ( HL )，/Z DHG= Z AEH ， /Z DHG+ Z AHE=90 /Z GHE=90 ，•/菱形EFGH 为正方形，/Z EHG=90:•/ CD // AB ,•/ GF // HE ,HEG= / FGE ,AEH= / FGM ;(3 )由(2)得至U / AEH= / FGM , 在Rt △AHE 和Rt △SFM 中，(zJ = ?0°•^AEH— 2.FGMHE^FG% 5/• Rt A AHE 幻Rt A GFM (AAS ),/• MF=2 ,-DG=x ,•• CG=6-x ,百•S△FCG= CG?FM=6 -x .题型：解答题难度：中等详细信息如图，已知0为矩形ABCD寸角线的交点，过点D作DE// AC过点C作CE// BD且DE CE相交于E点.(1)请你判断四边形OCE啲形状，并说明理由；(2)若AB=6 BC=8求四边形OCE的面积.(1 )首先由CE // BD , DE // AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD，即可判定四边形CODE是菱形，(2 )由矩形的性质可知四边形OCED的面积为矩形ABCD面积的一半，问题得解.【解析】(1 )四边形OCED的形状是菱形，理由如下：•/ CE // BD , DE // AC ,四边形CODE是平行四边形，T四边形ABCD是矩形，/• AC=BD , OA=OC , OB=OD ,OD=OC ,四边形CODE是菱形；(2 ) •/ AB=6 , BC=8 ,矩形ABCD的面积=6X 8=48 ,1：S △ODC = “S 矩形ABCD =12 ,四边形OCED的面积=2S △ODC =24 .题型：解答题难度：困难详细信息如图，在菱形ABCD中, AB=4 / AND=60，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N,连接MD AN.(1)求证：四边形AMDN1平行四边形；(2)填空：①当AM的值为 ___ 时，四边形AMDN1矩形；②当AM的值为 ___ 时，四边形AMDN1菱形.(1 )利用菱形的性质和已知条件可证得△NDE MAE，即可利用四边形AMDN的对角线互相平分证得四边形AMDN是平行四边形；(2 )①有(1)可知四边形AMDN是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即/DMA=90° ，所以AM= ?AD=2 时即可；②当平行四边形AMND的邻边AM=DM 时，四边形为菱形，利用已知条件再证明三角形AMD是等边三角形即可.(1 )证明：丁四边新ABCD是菱形，/• AB // CD ,/•Z DNE= / AME ,T点E是AD边的中点，•/ AE=DE ,在ANDE 和△MAE 中,r ZDNE-AAMEDE-AE* ,:.△ NDE MAE (AAS ),/• NE=ME ,•:四边形AMDN是平行四边形；(2 )【解析】①当AM的值为2时，四边形AMDN是矩形.理由如下：1•/ AM=2=】AD ,•：Z ADM=3°vZ DAM=6°,•：Z AMD=9°,:•平行四边形AMDN是矩形；②当AM的值为4时，四边形AMDN是菱形.理由如下：•/ AM=4 ,•: AM=AD=4 ,•:△ AMD是等边三角形，•: AM=DM ,:•平行四边形AMDN是菱形.故答案为；(1 ) 2 , ( 2 ) 4 .题型：解答题难度：困难详细信息(1)如图甲，矩形ABCD勺对角线AC BD交于点0,过点D作DP// OC且DP=0C 连接CP判断四边形C0DP勺形状并说明理由.(2)如果题目中的矩形变为图乙菱形结论应变为什么，说明理由.(1 )根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形C0DP是平行四边形，再根据矩形的对角线互相平分且相等可得0C=0D ,然后根据邻边相等的平行四边形是菱形解答；(2 )根据菱形的对角线互相垂直可得AC丄BD ,再根据垂线的定义求出Z BOC=90 ° ,然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答.【解析】(1 )是菱形.理由如下：•/ DP // 0C , DP=0C ,四边形CODP是平行四边形，T矩形ABCD的对角线AC、BD交于点0,OC=OD ,二平行四边形CODP是菱形，故四边形CODP是菱形；(2 )是矩形.理由如下：T菱形ABCD的对角线AC、BD交于点0, /• AC 丄BD ,/•Z BOC=90 ,二平行四边形CODP是矩形，故，四边形CODP是矩形.题型：解答题难度：中等详细信息小宇将两张长为8宽为2的矩形条交叉如图①，发现重叠部分可能是一个菱形.(1)请你帮助小宇证明四边形ABCD是菱形.(2) ___________________________________________________ 小宇又发现：如图②时，菱形ABCD勺周长最小，等于 ___________________ ; 如图③时菱形ABCD勺周长最大，求此时菱形ABCD勺周长.图②图③(1)首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形；(2 )根据垂线段最短，当两纸条垂直放置时，菱形的周长最小，边长等于纸条的宽度；(3 )当菱形的一条对角线为矩形的对角线时，周长最大，作出图形，设边长为x，表示出BE=8-x ，再.A作AE丄BC于E, AF丄CD于F ,T两条纸条宽度相同(对边平行)，•/ AB // CD , AD // BC , AE=AF ,/四边形ABCD是平行四边形，•'S?ABCD =BC?AE=CD?AF 又■； AE=AF ,/• BC=CD ,利用勾股定理列式计算求岀A DB c(1)证明：如图①，过点四边形ABCD是菱形；【解析】(2 )如图②，当两纸条互相垂直时，菱形的周长最小，此时菱形的边长等于纸条的宽，为 2 ,所以，菱形的周长=4 X 2=8 .故答案是：8 ;(3 )如图③，菱形的一条对角线与矩形的对角线重合时，周长最大，设AB=BC=x ，贝U BE=8-x ，在Rt ABCE 中，BC2=BE 2+CE 2，即x2= ( 8-x ) 2+2 2，n解得x= °，J/7所以，菱形的周长=4 X ~ =17 .［此文档可自行编辑修改，如有侵权请告知删除，感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好］。

八年级数学下册特殊的平行四边形矩形、菱形、正方形综合复习试题

卜人入州八九几市潮王学校特殊的平行四边形(矩形、菱形、正方形)综合复习一、矩形：〔1〕、性质的应用1、如图，在矩形ABCD 中，O 是BC 的中点，∠AOD=90°，假设矩形ABCD 的周长为30 cm ，那么AB 的长为()A.5 cm B.10 cmC.15 cmD.7.5 cm 、如图，矩形纸片ABCD ，长AD ＝9cm ，宽AB ＝3 cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长为，折痕EF 的长为。

〔2〕、矩形的断定 3、平行四边形的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 是等边三角形，且AB ＝4 cm ，求平行四边形的面积二、菱形：〔1〕、性质的应用 5、如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连结DF ，那么∠CDF 等于〔〕A 、60° B 、65° C 、70° D 、80°〔2〕、菱形的断定6、如图，过矩形ABCD 的四个顶点作对角线AC 、BD 的平行线，分别相交于E 、F 、G 、H 四点，那么四边形EFGH 为〔〕A.平行四边形B 、矩形C 、菱形D.正方形三、正方形：〔1〕性质的应用7、如图，将一块边长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点E ，使DE=5，这痕为PQ ，那么PQ 的长为_______.〔2〕正方形的断定 8、在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，以下条件能断定这个四边形是正方形的是＿A 、AC ＝BD ，AB ∥CD ，AB ＝CDB 、AD ∥BC ，∠A ＝∠C1题图 A B D O2题图 D CB A F E GP D E A B 7题图C 、AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BDD 、AC ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC9、矩形各内角的平分线假设能围成一个四边形，那么这个四边形一定是〔〕〖综合应用〗10、顺次连接四边形各边中点，所得的图形是；顺次连结矩形四边中点所得四边形是_________；顺次连结菱形四边中点所得四边形是_________；由此猜想：顺次连结_______的四边形四边中点所得四边形是矩形，顺次连结_________的四边形四边中点所得四边形是菱形。

中考总复习平行四边形矩形菱形正方形专项练习(含解析)

第110讲四边形微课平行四边形的性质题一：如图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是() A．若AO=OC，则四边形ABCD是平行四边形B．若AC=BD，则四边形ABCD是平行四边形C．若AO=BO，CO=DO，则四边形ABCD是平行四边形D．若AO=OC，BO=OD，则四边形ABCD是平行四边形A DOB题二：四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD．从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有()A．3种B．4种C．5种D．6种题三：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD垂直于点O，且它们的长度分别为6cm和8cm，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，则阴影部分面积的和为_____．教育选轻轻·家长更放心页1教育选轻轻·家长更放心页 2题四：如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，BC =6，BC 边上的高为4，其中EF 、MN 、GH 交于点O ，则阴影部分的面积为_____．题五：如图，平行四边形ABCD 中，O 是对角线交点，AB =13cm ，BC =5cm ，那么△AOB 周长比△BOC 的周长多_____cm ．题六：如图，在平行四边形ABCD 中，EF 经过对角线的交点O ，交AB 于点E ，交CD 于点F ．若AB =5，AD =4，OF =1.8，那么四边形BCFE 的周长为_____．教育选轻轻·家长更放心页 3题七：如图，平行四边形ABCD 中，P 是CD 上的一点，且AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠C BA ，过点P 作PQ ∥AD ，交AB 于点Q ．下列结论不一定成立的是( )A ．AP ⊥BPB ．AD =PDC ．△PBC 是等边三角形D ．点Q 是AB 的中点题八：如图，已知四边形ABCD 是平行四边形．(1)若AF ，BE 分别是∠DAB 、∠CBA 的平分线，求证：DE =FC ；(2)已知AD =3，AB =5，求EF 的长．教育选轻轻·家长更放心页 4第111讲四边形微课平行四边形的判定题一：如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要使四边形ABCD 成为平行四边形还需要条件( )A．AB =DC B ．∠1=∠2C ．AB =AD D ．∠D =∠B题二：如图，在平行四边形ABCD 中，对角线BD 、AC 相交于点O ，E 、F 是BO 上的两点，请你添一个条件_______使四边形AECF 是平行四边形，并说出你的理由．题三：如图，AD ∥BC ，ED ∥BF ，且AE =CF ，求证：四边形ABCD 是平行四边形．教育选轻轻·家长更放心页 5题四：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥AD 交BD 于点E ，CF ⊥BC 交BD 于点F ，且AE =CF ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．题五：如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是OB ，OD 的中点，试说明四边形AECF 是平行四边形．题六：如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BE 的延长线与CD 的延长线相交于点F ，求证：四边形ABDF 是平行四边形．第112讲四边形微课矩形题一：矩形具有而平行四边形不具有的性质是()A．内角和为360°B．对角线相等C．对角相等D．相邻两角互补题二：矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线相等C．内角和为360°D．对边平行且相等题三：下列关于矩形的说法中正确的是()A．矩形的对角线互相垂直且平分B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是矩形题四：下列说法正确的有()①两条对角线相等的四边形是矩形；②有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；③一个角为直角，两条对角线相等的四边形是矩形；④四个角都相等的四边形是矩形；⑤对角线相等且垂直的四边形是矩形；⑥有一个角是直角的平行四边形是矩形．A．1个B．2个C．3个D．4个教育选轻轻·家长更放心页6教育选轻轻·家长更放心页 7题五：如图，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD ，垂足为E ，∠DAE ：∠BAE =1：2，试求∠CAE 的度数．题六：如图，已知矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，DE 平分∠ADC 交BC 于E ，∠BDE =15°，试求∠COE 的度数．教育选轻轻·家长更放心页 8题七：如图，△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，F 是AC 中点，AN 是△ABC 的外角∠MAC 的角平分线，延长DF 交AN 于点E．(1)判断四边形ABDE 的形状，并说明理由；(2)问：线段CE 与线段AD 有什么关系？请说明你的理由．题八：已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ．(1)求证：△ADE ≌△CBF ；(2)若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．第113讲四边形微课菱形题一：如图，AC是菱形ABCD的对角线，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长是_____．题二：如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠A=120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为()A．12m B．20mC．22m D．24m题三：能判定一个四边形是菱形的条件是()A．对角线互相平分且相等B．对角线互相垂直且相等C．对角线互相垂直且对角相等D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角题四：下列给出的条件中，能识别一个四边形是菱形的是()A．有一组对边平行且相等，有一个角是直角B．两组对边分别相等，且有一组邻角相等C．有一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直D．有一组对边平行且相等，且有一条对角线平分一个内角教育选轻轻·家长更放心页9题五：红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志．将宽为1cm的红丝带交叉成60°角重叠在一起(如图)，判断重叠四边形是什么特殊四边形？证明你的结论．题六：将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF，连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．教育选轻轻·家长更放心页10题七：如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC= 90°．将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，点E在AC上，再将Rt△ABC沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，连接AD．求证：四边形AFCD是菱形．题八：Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线m∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线m于E，垂足为F，连接CD、BE．(1)求证：CE=AD；(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．教育选轻轻·家长更放心页11教育选轻轻·家长更放心页 12第114讲四边形微课正方形题一：下列判断中正确的是( )A ．四边相等的四边形是正方形B ．四角相等的四边形是正方形C ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D ．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形题二：正方形四边中点的连线围成的四边形(最准确的说法)一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形题三：如图，正方形ABCD 中，点E 、F 、H 分别是AB 、BC 、CD 的中点，CE 、DF 交于G ，连接AG 、HG ．下列结论：①CE ⊥DF ；②AG =AD ；③∠CHG =∠DAG ；④HG =12AD ．其中正确的有( )A ．①②B ．①②④C ．①③④D ．①②③④题四：如图，正方形ABCD 的对角线相交于O 点，BE 平分∠ABO 交AO 于E 点，CF ⊥BE 于F 点，交BO 于G 点，连接EG 、OF ．下列四个结论：①CE =CB ；②AE 2；③OF =12CG ．其中正确的结论只有( )A ．①②B ．②③教育选轻轻·家长更放心页 13C ．①③D ．①②③题五：如图，已知点E 为正方形ABCD的边BC 上一点，连接AE ，过点D 作DG ⊥AE ，垂足为G ，延长DG 交AB 于点F ．求证：BF =CE ．题六：如图，四边形ABCD 是正方形，G 是BC 上任意一点(点G 与B 、C 不重合)，AE ⊥DG 于E ，CF ∥AE 交DG 于F ．求证：AE =FC +EF ．第110讲四边形微课平行四边形的性质题一：D．详解：∵AO=OC，BO=OD，∴四边形的对角线互相平分所以D能判定四边形ABCD是平行四边形．故选D．题二：B．详解：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；故选：B．题三：12cm2．详解：∵AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，∴OA=OC，∵AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△AOE和△COF中，∠OAE=∠OCF，OA=OC，∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴△AOE的面积=△COF的面积，教育选轻轻·家长更放心页14∴阴影部分的面积=12平行四边形ABCD的面积，∵对角线AC、BD的长度分别为6cm和8cm，且AC⊥BD，∴平行四边形ABCD的面积=12×6×8=24cm2，∴阴影部分面积的和=12×24=12cm2．题四：12．详解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，AD∥BC，AB∥CD，∴∠OAN=∠OCM，在△AON和△COM中，∠OAN=∠OCM，∠AON=∠COM，OA=OC，∴△AO N≌△COM(AAS)，同理：△AOE≌△COF，△BOE≌△DOF，△BOG≌△DOH，∴OG=OH，OM=ON，在△GOM和△HON中，OG=OH，∠GPM=∠HON，OM=ON，∴△GOM≌△HON(SAS)，∴S阴影=12S平行四边形ABCD=12×6×4=12．题五：8．详解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD△AOB的周长为OA+OB+AB；教育选轻轻·家长更放心页15△BOC的周长为OB+OC+BC∴两周长之差为OA+OB+AB-(OB+OC+BC)=AB-BC=13-5=8cm．题六：12.6．详解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=4，OA=OC，AB∥CD，∴∠OAE=∠OCF，在△OAE和△OCF中，∠AOE=∠COF，OA=OC，∠OAE=∠OCF，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴CF=AE，OE=OF=1.8，∴EF=OE+OF=3.6，∴四边形BCFE的周长为：EF+BE+BC+CF=EF+BC+BE+AE=EF+BC+AB=3.6+4+5=12.6．题七：C．详解：A．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°，∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB+∠PBA=12(∠DAB+∠CBA)=90°，∴∠APB=90°，即AP⊥BP；故A正确；B．∵AB∥CD，∴∠DPA=∠PAQ，∵∠DAP=∠PAQ，∴∠DAP=∠DPA，∴AD=PD，故B正确；C．同理：PC=BC，但不能证得△PBC是等边三角形．故C错误；D．∵PQ∥AD，∴∠APQ=∠DAP，教育选轻轻·家长更放心页16∵∠DAP=∠PAQ，∴∠PAQ=∠APQ，∴AQ=PQ，同理：PQ=BQ，∴AQ=BQ，即Q是AB的中点，故D正确．故选C．题八：见详解．详解：(1)证明：∵AB∥CD，∴∠DFA=∠FAB，∵AF、BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，∴∠DAF=∠FAB，∴∠DAF=∠DFA，∴DA=DF，同理得出CE=CB，∴DF=EC，∴DF-EF=CE-EF，∴DE=CF；(2)由(1)得：AD=DF，∵AD=3，∴DF=3，同理：CE=3，∵AB=DC=5，∴EF=DF+EC-DC=2BC-DC=3+3-5=1．第111讲四边形微课平行四边形的判定题一：D．详解：A．符合条件AD∥BC，AB=DC，可能是等腰梯形，故本选项错误；B．根据∠1=∠2，推出AD∥BC，不能推出平行四边形，故本选项错误；C．根据AB=AD和AD∥BC不能推出平行四边形，故本选项错误；D．∵AD∥BC，∴∠1=∠2，∵∠B=∠D，∴∠BAC=∠DCA，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确．故选D．题二：OE=OF．教育选轻轻·家长更放心页17详解：OE=OF(答案多样，以此为例)．理由：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，∵OE=OF，∴四边形AECF为平行四边形．故答案为：OE=OF．题三：见详解．详解：∵AD∥BC，∴∠EAD=∠FCB，又∵ED∥BF，∴∠FED=∠EFB，∠AED=180°-∠FED，∠CFB=180°-∠EFB，∴∠AED=∠CFB，又已知AE=CF，∴△AED≌△CFB，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．题四：见详解．详解：∵AE⊥AD，CF⊥BC，∴∠EAD=∠FCB=90°，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，在Rt△AED和Rt△CFB中，∠ADE=∠CBF，∠EAD=∠FCB=90°，AE=CF，∴Rt△AED≌Rt△CFB(AAS)，∴AD=BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．题五：见详解．详解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．∵点E、F分别是OB、OD的中点，∴OE=OF．∴四边形AECF是平行四边形．教育选轻轻·家长更放心页18题六：见详解．详解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ABE=∠BFD，∵点E是AD的中点，∴AE=DE．在△ABE与△DFE中，∠ABE=∠EFD，AE=DE，∠AEB=∠DEF，∴△ABE≌△DFE(ASA)，∴AB=DF，∵AB∥DF，∴四边形ABDF为平行四边形．第112讲四边形微课矩形题一：B．详解：A．内角和为360°矩形与平行四边形都具有，故此选项错误；B．对角线相等只有矩形具有，而平行四边形不具有，故此选项正确；C．对角相等矩形与平行四边形都具有，故此选项错误；D．相邻两角互补矩形与平行四边形都具有，故此选项错误．故选B．题二：B．详解：A、矩形、平行四边形的对角线都互相平分，故本选项错误；B、矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不相等，故本选项正确；C、矩形、平行四边形的内角和都是360°，故本选项错误；D、矩形、平行四边形的对边都平行且相等，故本选项错误．教育选轻轻·家长更放心页19故选B．题三：B．详解：A．矩形的对角线互相平分，且相等，但不一定互相垂直，本选项错误；B．矩形的对角线相等且互相平分，本选项正确；C．对角线相等的四边形不一定为矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，本选项错误；D．对角线互相平分的四边形为平行四边形，不一定为矩形，本选项错误．故选B．题四：C．详解：两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形，故①③⑤错；有一个角为直角的平行四边形为矩形，故②④⑥正确．故选C．题五：30°．详解：∵∠DAE：∠BAE=1：2，∠DAB=90°，∴∠DAE=30°，∠BAE=60°，∴∠DBA=90°-∠BAE=90°-60°=30°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠CAE=∠BAE-∠OAB=60°-30°=30°．题六：75°．详解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，∴∠CDE=∠CED=45°，∴EC=DC，又∵∠BDE=15°，∴∠CDO=60°，又∵矩形的对角线互相平分且相等，∴OD=OC，∴△OCD是等边三角形，教育选轻轻·家长更放心页20∴∠DCO=60°，∠OCB=90° ∠DCO=30°，∵DE平分∠ADC，∠ECD=90°，∠CDE=∠CED=45°，∴CD=CE=CO，∴∠COE=∠CEO；∴∠COE=(180°-30°)÷2=75°．题七：见详解．详解：(1)四边形ABDE是平行四边形，理由：∵AB=AC，D是BC中点，F是AC中点，∴DF∥AB，∵AB=AC，D是BC中点，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥DC，∵AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线，∴∠MAE=∠CAE，∴∠NAD=90°，∴AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形；(2)CE∥AD，CE=AD；理由：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=12∠MAC，∵∠MAC=∠B+∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠MAE=∠B，∴AN∥BC，∵AB=AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，∵CE⊥AN，∴AD∥CE，∴四边形ADCE为平行四边形，∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，∴四边形ADCE为矩形，∴CE∥AD，CE=AD．教育选轻轻·家长更放心页21教育选轻轻·家长更放心页 22题八：见详解．详解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠4=∠C ，AD =CB ，AB =CD ，∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，∴AE =12AB ，CF =12CD ．∴AE =CF ，在△AED 与△CBF 中，AD =CB ，∠4=∠C ，AE =CF ，∴△ADE ≌△CBF (SAS)，(2)当四边形BEDF 是菱形时，四边形AGBD 是矩形；证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∵AG ∥BD ，∴四边形AGBD 是平行四边形，∵四边形BEDF 是菱形，∴DE =BE ，∵AE =BE ，∴AE =BE =DE ，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°，∴∠2+∠3=90°，即∠ADB =90°，∴四边形AGBD 是矩形．第113讲四边形微课菱形题一：24．教育选轻轻·家长更放心页 23详解：∵AC 是菱形ABCD 的对角线，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF =12BC =3， ∴BC =6，∴菱形ABCD 的周长是4×6=24．题二：B ．详解：连接AC ，已知∠A =120°，ABCD 为菱形，则∠B =60°，从而得出△ABC 为正三角形，以△ABC 的顶点所组成的小三角形也是正三角形，所以正六边形的边长是△ABC 边长的13，则种花部分图形共有10条边，所以它的周长为13×6×10=20m ，故选B ．题三：C ．详解：∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴A 、B 、D 都不正确；∵对角相等的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形是菱形，∴C 正确．故选C ．题四：D ．详解：A ．错误，可判定为矩形，而不一定是菱形；B ．错误，可判定为矩形，而不一定是菱形；C ．错误，可判定为等腰梯形，而不是菱形；D ．正确，有一组对边平行且相等可判定为平行四边形，有一条对角线平分一个内角，则可判定有一组邻边相等，而一组邻边相等的平行四边形是菱形．故选D ．题五：菱形．详解：如图，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为红丝带宽度相同，∴AB∥CD，AD∥BC，AE=AF，∴四边形ABCD是平行四边形．∵S□ABCD=BC •AE=CD •AF，又AE=AF，∴BC=CD，∴四边形ABCD是菱形．题六：菱形．详解：四边形AECF是菱形．证明：由折叠可知：AE=EC，∠AEF=∠CEF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CEF =∠AFE，∴∠AEF =∠AFE，∴AF=AE，∵AE=EC，∴AF=EC，又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AF=AE，∴平行四边形AECF是菱形．题七：见详解．详解：Rt△DEC是由Rt△ABC绕C点旋转60°得到，∴AC=DC，∠ACB=∠ACD=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AD=DC=AC，又∵Rt△ABF是由Rt△ABC沿AB所在直线翻转180°得到，∴AC=AF，∠ABF=∠ABC=90°，教育选轻轻·家长更放心页24∵∠ACB=∠ACD=60°，∴△AFC是等边三角形，∴AF=FC=AC，∴AD=DC=FC=AF，∴四边形AFCD是菱形．题八：见详解．详解：(1)证明：∵直线m∥AB，∴∠ECD=∠ADC，又∵∠ACB=90°，DE⊥BC，∴DE∥AC，∴∠EDC=∠ACD，CD为公共边，∴△EDC≌△ACD，∴CE=AD；(2)当D在AB中点时，四边形BECD是菱形．证明：D是AB中点，由(1)知DE∥AC，∴F为BC中点，即BF=CF，∵直线m∥AB，∴∠ECF=∠DBF，∠BFD=∠CFE，∴△BFD≌△CFE，∴DF=EF，已知DE⊥BC，∴BC和DE垂直且互相平分，故四边形BECD是菱形．第114讲四边形微课正方形题一：D．详解：A错误，四边相等的四边形是菱形；B错误，四角相等的四边形是矩形；C错误，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；D正确，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故选D．教育选轻轻·家长更放心页25教育选轻轻·家长更放心页 26题二：C ．详解：如图，连接AC 、BD ，交于O ，∵正方形ABCD ，∴AC =BD ，AC ⊥BD ，∵E 是AD 的中点，H 是CD 的中点，F 是AB 的中点，G 是BC 的中点，∴EH ∥AC ，FG ∥AC ，EF ∥BD ，GH ∥BD ，EF =12BD ，EH =12AC ， ∴EF =EH ，EF ⊥EH ，四边形EFGH 是平行四边形，∴平行四边形EFGH 是正方形．故选C ．题三：D ．详解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC =CD =AD ，∠B =∠BCD =90°，∵点E 、F 、H 分别是AB 、BC 、CD 的中点，∴△BCE ≌△CDF ，∴∠ECB =∠CDF ，∵∠BCE +∠ECD =90°，∴∠ECD +∠CDF =90°，∴∠CGD =90°，∴CE ⊥DF ，故①正确；在Rt △CGD 中，H 是CD 边的中点，∴HG =12CD =12AD ，故④正确；连接AH ，同理可得：AH ⊥DF ，∵HG =HD =12CD ，∴DK =GK ， ∴AH 垂直平分DG ，∴AG =AD ，故②正确；∴∠DAG =2∠DAH ，同理：△ADH ≌△DCF ，教育选轻轻·家长更放心页 27∴∠DAH =∠CDF ，∵GH =DH ，∴∠HDG =∠HGD ，∴∠GHC =∠HDG +∠HGD =2∠CDF ，∴∠CHG =∠DAG ，故③正确；故正确的结论有①②③④．故选D ．题四：D ．详解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABO =∠ACO =∠CBO = 45°，AB =BC ，OA =OB =OC ，BD ⊥AC ，∵BE 平分∠ABO ，∴∠OBE =12∠ABO =22.5°， ∴∠CBE =∠CBO +∠EBO =67.5°，在△BCE 中，∠CEB =180°-∠BCO -∠CBE =180°- 45°-67.5°=67.5°，∴∠CEB =∠CBE ，∴CE =CB ；故①正确；∵OA =OB ，AE =BG ，∴OE =OG ，∵∠AOB =90°，∴△OEG 是等腰直角三角形，∴EG 2，∵∠ECG =∠BCG ，EC =BC ，CG =CG ，∴△ECG ≌△BCG ，∴BG =EG ，∴AE =EG 2；故②正确；∵∠AOB =90°，EF =BF ，∵BE =CG ，∴OF=12BE=12CG．故③正确；故正确的结论有①②③．故选D．题五：见详解．详解：在正方形ABCD中，∠DAF=∠ABE=90°，DA=AB=BC，∵DG⊥AE，∴∠FDA+∠DAG=90°．又∵∠EAB+∠DAG=90°，∴∠FDA=∠EAB．在Rt△DAF与Rt△ABE中，DA=AB，∠FDA=∠EAB，∴Rt△DAF≌Rt△ABE．∴AF=BE．∵AB=BC，∴BF=CE．题六：见详解．详解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°，又∵AE⊥DG，CF∥AE，∴∠AED=∠DFC=90°，∴∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90°，∴∠EAD=∠FDC，∴△AED≌△DFC(AAS)，∴AE=DF，ED=FC，∵DF=DE+EF，∴AE=FC+EF．教育选轻轻·家长更放心页28。

特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形(单元知识点及典型题)

特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形【知识要点】一. 教学内容：几种特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形［教学目标］1. 理解矩形、菱形的定义与性质。

2. 掌握矩形、菱形的判定方法。

二. 教学重难点：1. 矩形、菱形性质的综合应用。

特别是菱形性质和直角三角形的知识的综合应用。

2. 矩形、菱形的判定方法的综合应用。

三. 知识要点： 1. 矩形（1）矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫矩形。

（2）矩形的特殊性质 ①矩形的对角线相等 ②矩形四个角都是直角（3）矩形性质的应用①矩形的一条对角线将矩形分成2个全等的直角三角形； ②矩形的2条对角线将矩形分成4个等腰三角形；③有关矩形的问题往往可以化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决； ④矩形的面积计算公式：宽长矩形⨯=S（4）矩形的判定条件①有三个角是直角的四边形是矩形 ②对角线相等的平行四边形是矩形注意：1）在判定四边形是矩形的条件中，平行四边形的概念是最基本的条件，其他的判定条件都是以它为基础的。

2）四边形只要有3个角是直角，那么根据多边形内角和性质，第四个角也一定是直角。

（在判定四边形是矩形的条件中，给出“有3个角是直角”的条件，是因为数学结论的表述中一般不给出多余条件。

）3）将两个判定条件比较，后者的条件中，除了“有3个角是直角”的条件外，只要求是“四边形”，而前者的条件却包括“平行四边形”和“两条对角线相等”两个方面。

4）矩形的判定与性质的区别【名师提醒】:1、矩形是_____对称图形，对称中心______。

又是______对称图形，对称轴有_____条。

2、矩形被它的对角线分成四个面积相等的_____三角形，其中相对的三角形全等。

3、矩形中常见题目是对角线相交成60°或120°角时，利用直角三角形、等边三角形等知识解决问题 2. 菱形（1）菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。

（2）菱形的特殊性质 ①菱形的四条边都相等②菱形的对角线相互垂直，且每一条对角线平分一组对角（3）菱形性质的应用由于菱形的对角线互相垂直平分，菱形的2条对角线就将菱形分成了四个全等的直角三角形，结合图形向学生介绍菱形的一个面积计算公式。

中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形(附参考答案)

中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形（附参考答案）1．下列命题正确的是( )A ．正方形的对角线相等且互相平分B ．对角互补的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线互相垂直D ．一组邻边相等的四边形是菱形2．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则以下说法错误的是( )A ．△BDE 和△DCF 的面积相等B ．四边形AEDF 是平行四边形C ．若AB ＝BC ，则四边形AEDF 是菱形D ．若∠A ＝90°，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，CE ，DF 交于点G ，连接AG .下列结论：①CE ＝DF ；②CE ⊥DF ；③∠AGE ＝∠CDF .其中正确的结论是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，∠ABC ＝60°，BC ＝2AB .下列结论：①AB ⊥AC ；②AD ＝4OE ；③四边形AECF 是菱形；④S △BOE ＝14S △ABC .其中正确结论的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝9 cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2 cm，BD，EF交于点G.若G是EF的中点，则BG的长为______cm.6．如图，在菱形ABCD中，AC，BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC的中点，则EF的长为_____．7．已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H.(1)如图1，求证：CE＝BH；(2)如图2，若AE＝AB，连接CF，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四个三角形(△AEG除外)，使写出的每个三角形都与△AEG全等．8．如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE ＝BF＝CG＝AH.若菱形的面积等于24，BD＝8，则EF＋GH＝_____．9．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F.(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；(3)若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．10．(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G.求证：△ADE∽△DCF.【问题解决】(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC 到点H，使CH＝DE，连接DH.求证：∠ADF＝∠H.【类比迁移】(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．参考答案1．A 2．C 3．A 4．D5．√13 6．5 7．(1)证明略 (2)略8．6解析：如图，连接AC ，交BD 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝8，∴AB ＝BC ＝AD ＝CD ，AC ⊥BD ，AO ＝OC ＝12AC ，BO ＝OD ＝12BD ＝4. ∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝24，∴AC ＝6，∴AO ＝3，∴AB ＝√AO 2+BO 2＝5＝AD .∵BE ＝BF ＝CG ＝AH ，∴AE ＝CF ＝DH ＝DG ，∴BE AE ＝BF CF ，∴EF ∥AC .同理可得GH ∥AC ，设BE ＝BF ＝CG ＝AH ＝a ，则有DH ＝5－a ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴BE AB ＝EF AC ，即a 5＝EF 6，∴EF ＝65a ，同理可得DH DA ＝GH CA ，即5−a 5＝GH 6，∴GH ＝6－65a ，∴EF ＋GH ＝6.9．(1)证明略(2)与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF，理由略(3)DE＝3＋√1910．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF＋∠DFC＝90°.∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°，∴∠CDF＋∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF.(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°.∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，∴DE＝CF.∵CH＝DE，∴CF＝CH.∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°.又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH(SAS)，∴∠DFC＝∠H.∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H.(3)解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG(SAS)，∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG. ∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形，∴FG＝DF＝11.∵CF＋CG＝FG，∴CF＝FG－CG＝11－8＝3，即CF的长为3.。

2017年中考数学解析分类汇编分类25_矩形菱形与正方形(含解析)

25 矩形菱形与正方形(含解析)一、选择题1．（3分）（2017•东营）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH•PC其中正确的是（）A．①②③④B．②③C．①②④D．①③④【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质；LE：正方形的性质．【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．【解答】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，在正方形ABCD中，∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°∴∠ABE=∠DCF=30°，∴BE=2AE；故①正确；∵PC=CD，∠PCD=30°，∴∠PDC=75°，∴∠FDP=15°，∵∠DBA=45°，∴∠PBD=15°，∴∠FDP=∠PBD，∵∠DFP=∠BPC=60°，∴△DFP∽△BPH；故②正确；∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，∴∠PFD≠∠PDB，∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误；∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，∴△DPH∽△CPD，∴DP PH PC DP=，∴DP2=PH•PC，故④正确；故选C．【点评】本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理2．（3分）（2017•潍坊）点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为»AC的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（）A．5或22B．5或23C．6或22D．6或23【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系；L8：菱形的性质．【分析】过B作直径，连接AC交AO于E，①如图①，根据已知条件得到BD=13×2×3=2，如图②，BD=23×2×3=4，求得OD=1，OE=2，DE=1，连接OD，根据勾股定理得到结论，【解答】解：过B作直径，连接AC交AO于E，∵点B为»AC的中点，∴BD⊥AC，①如图①，∵点D恰在该圆直径的三等分点上，∴BD=13×2×3=2，∴OD=OB﹣BD=1，∵四边形ABCD是菱形，∴DE=12BD=1，∴OE=2，连接OD，∵CE=22-OC OE=5，∴边CD=22DE CE+=6；如图②，BD=23×2×3=4，同理可得，OD=1，OE=1，DE=2，连接OD ，∵CE=22-OC OE =8=22，∴边CD=22DE CE +=()22222+=23，故选D ．【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，勾股定理，菱形的性质，正确的作出图形是解题的关键．3．（4分）（2017•怀化）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠AOB=60°，AC=6cm ，则AB 的长是（）A ．3cmB ．6cmC ．10cmD ．12cm【考点】LB ：矩形的性质．【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB=OD=OC ，由∠AOB=60°，判断出△AOB 是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AB 即可．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA=OC=OB=OD=3，∵∠AOB=60°，∴△AOB 是等边三角形，∴AB=OA=3，故选A ．【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断出△AOB 是等边三角形是解题的关键．4．（3分）（2017•无锡）如图，菱形ABCD 的边AB=20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切，AO=10，则⊙O 的半径长等于（）A ．5B ．6C ．25D ．32【考点】切线的性质；菱形的性质．【分析】如图作DH ⊥AB 于H ，连接BD ，延长AO 交BD 于E ．利用菱形的面积公式求出DH ，再利用勾股定理求出AH ，BD ，由△AOF ∽△DBH ，可得BD OA =BHOF ，延长即可解决问题．【解答】解：如图作DH ⊥AB 于H ，连接BD ，延长AO 交BD 于E ．∵菱形ABCD 的边AB=20，面积为320，∴AB•DH=32O ，∴DH=16，在Rt △ADH 中，AH=22DH AD =12，∴HB=AB ﹣AH=8，在Rt △BDH 中，BD=22BH DH +=85，设⊙O 与AB 相切于F ，连接AF ．∵AD=AB ，OA 平分∠DAB ，∴AE ⊥BD ， ∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°，∴∠OAF=∠BDH ，∵∠AFO=∠DHB=90°，∴△AOF ∽△DBH ， ∴BHOF BD OA =， ∴85810OF =， ∴OF=25．故选C ．【点评】本题考查切线的性质、菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．5．（3分）（2017•内江）如图，在矩形AOBC 中，O 为坐标原点，OA 、OB 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为（0，33），∠ABO=30°，将△ABC 沿AB 所在直线对折后，点C 落在点D 处，则点D 的坐标为（）A ．（32，332）B ．（2，332）C ．（332，32）D ．（32，3﹣332）【考点】PB ：翻折变换（折叠问题）；D5：坐标与图形性质；LB ：矩形的性质．【分析】根据翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出对应线段长，进而得出D 点坐标．【解答】解：∵四边形AOBC 是矩形，∠ABO=30°，点B 的坐标为（0，33），∴AC=OB=33，∠CAB=30°，∴BC=AC•tan30°=33×33=3，∵将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，∴∠BAD=30°，AD=33，过点D作DM⊥x轴于点M，∵∠CAB=∠BAD=30°，∴∠DAM=30°，∴DM=12AD=332，∴AM=33×cos30°=92，∴MO=92﹣3=32，∴点D的坐标为（32，332）．故选：A．【点评】此题主要考查了翻折变换以及矩形的性质和锐角三角函数关系，正确得出∠DAM=30°是解题关键．6．（4分）（2017•宁波）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE=4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点．若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为（）A．3 B．32C．13 D．4【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形；LE：正方形的性质．【分析】作辅助线，构建全等三角形，证明△EMF ≌△CMD ，则EM=CM ，利用勾股定理得：BD=2266+=62，EC=2264+=213，可得△EBG 是等腰直角三角形，分别求EM=CM 的长，利用勾股定理的逆定理可得△EMC 是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质得MN 的长．【解答】解：连接FM 、EM 、CM ，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，BC=CD ，∵EF ∥BC ，∴∠GFD=∠BCD=90°，EF=BC ，∴EF=BC=DC ，∵∠BDC=21∠ADC=45°， ∴△GFD 是等腰直角三角形，∵M 是DG 的中点，∴FM=DM=MG ，FM ⊥DG ，∴∠GFM=∠CDM=45°，∴△EMF ≌△CMD ，∴EM=CM ，过M 作MH ⊥CD 于H ，由勾股定理得：BD=2266+=62， EC=2264+=213，∵∠EBG=45°，∴△EBG 是等腰直角三角形，∴EG=BE=4，∴BG=42，∴DM=2∴MH=DH=1，∴CH=6﹣1=5，∴CM=EM=2251 =26，∵CE 2=EM 2+CM 2，∴∠EMC=90°，∵N 是EC 的中点，∴MN=21EC=13；故选C ．【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理的逆定理，属于基础题，本题的关键是证明△EMC 是直角三角形．7．（3分）（2017•绵阳）如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，过点O 作BD 的垂线分别交AD ，BC 于E ，F 两点．若AC=23，∠AEO=120°，则FC 的长度为（）A ．1B ．2C ．2D ．3【考点】LB ：矩形的性质；KD ：全等三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．【分析】先根据矩形的性质，推理得到OF=CF ，再根据Rt △BOF 求得OF 的长，即可得到CF 的长．【解答】解：∵EF ⊥BD ，∠AEO=120°，∴∠EDO=30°，∠DEO=60°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠OBF=∠OCF=30°，∠BFO=60°，∴∠FOC=60°﹣30°=30°，∴OF=CF ，又∵Rt △BOF 中，BO=12BD=12AC=3， ∴OF=tan30°×BO=1，∴CF=1，故选：A ．【点评】本题主要考查了矩形的性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分．8．（3分）（2017•南充）已知菱形的周长为45，两条对角线的和为6，则菱形的面积为（）A ．2B ．5C ．3D ．4【考点】L8：菱形的性质．【分析】由菱形的性质和勾股定理得出AO+BO=3，AO 2+BO 2=AB 2，（AO+BO ）2=9，求出2AO•BO=4，即可得出答案．【解答】解：如图四边形ABCD 是菱形，AC+BD=6，∴AB=5，AC ⊥BD ，AO=21AC ，BO=21BD ， ∴AO+BO=3，∴AO 2+BO 2=AB 2，（AO+BO ）2=9，即AO 2+BO 2=5，AO 2+2AO•BO+BO 2=9，∴2AO•BO=4，∴菱形的面积=21AC•BD=2AO•BO=4；故选：D ．【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理；解题的关键是记住菱形的面积公式，记住菱形的对角线互相垂直，属于中考常考题型．9．（3分）（2017•宜宾）如图，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（）A．3 B．245C．5 D．8916【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；552：三角形．【分析】由ABCD为矩形，得到∠BAD为直角，且三角形BEF与三角形BAE全等，利用全等三角形对应角、对应边相等得到EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，利用勾股定理求出BD的长，由BD﹣BF求出DF的长，在Rt△EDF中，设EF=x，表示出ED，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出DE的长．【解答】解：∵矩形ABCD，∴∠BAD=90°，由折叠可得△BEF≌△BAE，∴EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，在Rt△ABD中，AB=CD=6，BC=AD=8，根据勾股定理得：BD=10，即FD=10﹣6=4，设EF=AE=x，则有ED=8﹣x，根据勾股定理得：x2+42=（8﹣x）2，解得：x=3（负值舍去），则DE=8﹣3=5，故选C【点评】此题考查了翻折变换，矩形的性质，以及勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．10．（3分）（2017•安顺）如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=5cm，则AB的长为（）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm【考点】PB ：翻折变换（折叠问题）；LB ：矩形的性质．【分析】根据折叠前后角相等可证AO=CO ，在直角三角形ADO 中，运用勾股定理求得DO ，再根据线段的和差关系求解即可．【解答】解：根据折叠前后角相等可知∠BAC=∠EAC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，∴∠BAC=∠ACD ，∴∠EAC=∠EAC ，∴AO=CO=5cm ，在直角三角形ADO 中，DO=22AO AD -=3cm ， AB=CD=DO+CO=3+5=8cm ．故选：C ．【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．11．（3分）（2017•毕节市）如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D 为AB 的中点，F 为CD 上一点，且CF=13CD ，过点B 作BE ∥DC 交AF 的延长线于点E ，则BE 的长为（）A ．6B ．4C ．7D ．12【考点】KX ：三角形中位线定理；KP ：直角三角形斜边上的中线．【分析】先根据直角三角形的性质求出CD 的长，再由三角形中位线定理即可得出结论．【解答】解：∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D 为AB 的中点，∴CD=12AB=4.5．∵CF=13 CD，∴DF=23CD=23×4.5=3．∵BE∥DC，∴DF是△ABE的中位线，∴BE=2DF=6．故选A．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．12．（3分）（2017•毕节市）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF=45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，则下列判断不正确的是（）A．△AEE′是等腰直角三角形B．AF垂直平分EE'C．△E′EC∽△AFD D．△AE′F是等腰三角形【考点】R2：旋转的性质；KG：线段垂直平分线的性质；KI：等腰三角形的判定；KW：等腰直角三角形；LE：正方形的性质；S8：相似三角形的判定．【分析】由旋转的性质得到AE′=AE，∠E′AE=90°，于是得到△AEE′是等腰直角三角形，故A正确；由旋转的性质得到∠E′AD=∠BAE，由正方形的性质得到∠DAB=90°，推出∠E′AF=∠EAF，于是得到AF垂直平分EE'，故B正确；根据余角的性质得到∠FE′E=∠DAF，于是得到△E′EC∽△AFD，故C正确；由于AD⊥E′F，但∠E′AD不一定等于∠DAE′，于是得到△AE′F不一定是等腰三角形，故D错误．【解答】解：∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，∴AE′=AE，∠E′AE=90°，∴△AEE′是等腰直角三角形，故A正确；∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，∴∠E′AD=∠BAE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=90°，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠E′AD+∠FAD=45°，∴∠E′AF=∠EAF，∵AE′=AE，∴AF垂直平分EE'，故B正确；∵AF⊥E′E，∠ADF=90°，∴∠FE′E+∠AFD=∠AFD+∠DAF，∴∠FE′E=∠DAF，∴△E′EC∽△AFD，故C正确；∵AD⊥E′F，但∠E′AD不一定等于∠DAE′，∴△AE′F不一定是等腰三角形，故D错误；故选D．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的判定，线段垂直平分线的判定，正确的识别图形是解题的关键．13．（4分）（2017•六盘水）矩形的两边长分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（）A．a=4，b=5+2 B．a=4，b=5﹣2 C．a=2，b=5+1 D．a=2，b=5﹣1【考点】S3：黄金分割；LB：矩形的性质．【分析】根据黄金矩形的定义判断即可．【解答】解：∵宽与长的比是512-的矩形叫做黄金矩形，∴512ab-=，∴a=2，b=5﹣1，故选D．【点评】本题主要考查了黄金矩形，记住定义是解题的关键．14．（4分）（2017•黔东南州）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（）A．60°B．67.5°C．75°D．54°【考点】LE：正方形的性质．【分析】如图，连接DF、BF．如图，连接DF、BF．首先证明∠FDB=12∠FAB=30°，再证明△FAD≌△FBC，推出∠ADF=∠FCB=15°，由此即可解决问题．【解答】解：如图，连接DF、BF．∵FE⊥AB，AE=EB，∴FA=FB，∵AF=2AE，∴AF=AB=FB，∴△AFB是等边三角形，∵AF=AD=AB，∴点A是△DBF的外接圆的圆心，∴∠FDB=12∠FAB=30°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∠ADB=∠DBC=45°，∴∠FAD=∠FBC，∴△FAD≌△FBC，∴∠ADF=∠FCB=15°，∴∠DOC=∠OBC+∠OCB=60°．故选A．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．15．（3分）（2017•海南）如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABC的周长是（）A．14 B．16 C．18 D．20【考点】L8：菱形的性质．【分析】利用菱形的性质结合勾股定理得出AB的长，进而得出答案．【解答】解：∵在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，∴AB=BC，∠AOB=90°，AO=4，BO=3，4+3=5，∴BC=AB=22∴△ABC的周长=AB+BC+AC=5+5+8=18．故选：C．【点评】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理，正确把握菱形的性质，由勾股定理求出AB是解题关键．16．（3分）（2017•河南）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（）A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2【考点】L9：菱形的判定；L5：平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．【解答】解：A 、正确．对角线垂直的平行四边形是菱形．B 、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．C 、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．D 、正确．可以证明平行四边形ABCD 的邻边相等，即可判定是菱形．故选C ．【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．17．（3分）（2017•河南）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 的中点是坐标原点O ，固定点A ，B ，把正方形沿箭头方向推，使点D 落在y 轴正半轴上点D′处，则点C 的对应点C′的坐标为（）A ．（3，1）B ．（2，1）C ．（1，3）D ．（2，3）【考点】LE ：正方形的性质；D5：坐标与图形性质；L1：多边形．【分析】由已知条件得到AD′=AD=2，AO=12AB=1，根据勾股定理得到OD ′='22AD OA -=3，于是得到结论．【解答】解：∵AD′=AD=2， AO=12AB=1， ∴OD′='22AD OA -=3，∵C′D′=2，C′D′∥AB ，∴C （2，3），故选D ．【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．18．（3分）（2017•东营）如图，在正方形ABCD 中，△BPC 是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH•PC其中正确的是（）A．①②③④B．②③C．①②④D．①③④【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质；LE：正方形的性质．【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．【解答】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，在正方形ABCD中，∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°∴∠ABE=∠DCF=30°，∴BE=2AE；故①正确；∵PC=CD，∠PCD=30°，∴∠PDC=75°，∴∠FDP=15°，∵∠DBA=45°，∴∠PBD=15°，∴∠FDP=∠PBD，∵∠DFP=∠BPC=60°，∴△DFP∽△BPH；故②正确；∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，∴∠PFD≠∠PDB，∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误；∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，∴△DPH∽△CPD，∴DP PH PC DP，∴DP2=PH•PC，故④正确；故选C．【点评】本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理19．（3分）（2017•十堰）下列命题错误的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形D．对角线互相垂直的矩形是正方形【考点】O1：命题与定理．【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不符合题意；C、一条对角线平分一组对角的四边形可能是菱形或者正方形，错误，符合题意；D、对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，不符合题意，故选C．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定定理，难度不大．20．（3分）（2017•随州10）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将△ADE 绕点E顺时针旋转180°，点D的对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME⊥AF交BC于点M，连接AM、BD交于点N，现有下列结论：①AM=AD+MC；②AM=DE+BM；③DE2=AD•CM；④点N为△ABM的外心．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LB：矩形的性质；MA：三角形的外接圆与外心；R2：旋转的性质．【分析】根据全等三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，即可得出AM=MC+AD；根据当AB=BC时，四边形ABCD为正方形进行判断，即可得出当AB＜BC时，AM=DE+BM 不成立；根据ME⊥FF，EC⊥MF，运用射影定理即可得出EC2=CM×CF，据此可得DE2=AD•CM成立；根据N不是AM的中点，可得点N不是△ABM的外心．【解答】解：∵E为CD边的中点，∴DE=CE，又∵∠D=∠ECF=90°，∠AED=∠FEC，∴△ADE≌△FCE，∴AD=CF，AE=FE，又∵ME⊥AF，∴ME垂直平分AF，∴AM=MF=MC+CF，∴AM=MC+AD，故①正确；当AB=BC时，即四边形ABCD为正方形时，设DE=EC=1，BM=a，则AB=2，BF=4，AM=FM=4﹣a，在Rt△ABM中，22+a2=（4﹣a）2，解得a=1.5，即BM=1.5，∴由勾股定理可得AM=2.5，∴DE+BM=2.5=AM，又∵AB＜BC，∴AM=DE+BM不成立，故②错误；∵ME⊥FF，EC⊥MF，∴EC2=CM×CF，又∵EC=DE，AD=CF，∴DE2=AD•CM，故③正确；∵∠ABM=90°，∴AM是△ABM的外接圆的直径，∵BM＜AD，∴当BM∥AD时，MN BMAN AD＜1，∴N不是AM的中点，∴点N 不是△ABM 的外心，故④错误．综上所述，正确的结论有2个，故选：B ．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质以及旋转的性质的综合应用，解决问题的关键是运用全等三角形的对应边相等以及相似三角形的对应边成比例，解题时注意：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，故外心到三角形三个顶点的距离相等．21．（3分）（2017•天门10）如图，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，CF 平分∠BCD ，交EA 的延长线于点F ，且BC=4，CD=2，给出下列结论：①∠BAE=∠CAD ；②∠DBC=30°；③AE=554；④AF=25，其中正确结论的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】S9：相似三角形的判定与性质；LB ：矩形的性质．【分析】根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB ，等量代换得到∠BAE=∠CAD ，故①正确；根据三角函数的定义得到tan ∠DBC=BC CD =21，于是得到∠DBC≠30°，故②错误；由勾股定理得到BD=22CD BC =25，根据相似三角形的性质得到AE=554；故③正确；根据角平分线的定义得到∠BCF=45°，求得∠ACF=45°﹣∠ACB ，推出∠EAC=2∠ACF ，根据外角的性质得到∠EAC=∠ACF+∠F ，得到∠ACF=∠F ，根据等腰三角形的判定得到AF=AC ，于是得到AF=25，故④正确．【解答】解：在矩形ABCD 中，∵∠BAD=90°，∵AE ⊥BD ，∴∠AED=90°，∴∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠ADB ，∵∠CAD=∠ADB ，∴∠BAE=∠CAD ，故①正确；∵BC=4，CD=2，∴tan ∠DBC=BC CD =21， ∴∠DBC≠30°，故②错误；∵BD=22CD BC +=25，∵AB=CD=2，AD=BC=4，∵△ABE ∽△DBA ， ∴BDAB AD AE =，即5224AE =， ∴AE=554；故③正确； ∵CF 平分∠BCD ，∴∠BCF=45°，∴∠ACF=45°﹣∠ACB ，∵AD ∥BC ，∴∠DAC=∠BAE=∠ACB ，∴∠EAC=90°﹣2∠ACB ，∴∠EAC=2∠ACF ，∵∠EAC=∠ACF+∠F ，∴∠ACF=∠F ，∴AF=AC，∵AC=BD=25，∴AF=25，故④正确；故选C．【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22．（3分）（2017•张家界5）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE 的周长是6，则△ABC的周长是（）A．6 B．12 C．18 D．24【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KX：三角形中位线定理．【分析】根据线段中点的性质求出AD=A 12B、AE=12AC的长，根据三角形中位线定理求出DE=12AB，根据三角形周长公式计算即可．【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴AD=12AB，AE=12AC，DE=12BC，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=2AD+2AE+2DE=2（AD+AE+DE）=2×6=12．故选B．【点评】本题考查的是三角形的中点的性质和三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．23．（3分）（2017•江西）如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形【考点】LN：中点四边形.【分析】连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断即可．【解答】解：A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；C．当E，F，G，H不是各边中点时，EF∥HG，EF=HG，故四边形EFGH为平行四边形，故C正确；D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可能为菱形，故D错误；故选：D．【点评】本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：中点四边形的形状与原四边形的对角线之间的关系有关．24．（3分）（2017•西宁）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD 于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（）A ．5B ．4C ．342D ．34 【考点】LB ：矩形的性质．【分析】已知OM 是△ADC 的中位线，再结合已知条件则DC 的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC 的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO 的长即可求出．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D=90°，∵O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB ，∴OM 是△ADC 的中位线，∴OM=3，∴DC=6，∵AD=BC=10，∴AC=22AD CD =234，∴BO=12AC=34，故选D ．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出AC 的长．25．（3分）（2017•衢州）如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，BC=6，将△ABC 沿AC 折叠，使点B 落在点E 处，CE 交AD 于点F ，则DF 的长等于（）A ．53B ．35C ．37D ．45 【考点】PB ：翻折变换（折叠问题）；LB ：矩形的性质．【分析】根据折叠的性质得到AE=AB ，∠E=∠B=90°，易证Rt △AEF ≌Rt △CDF ，即可得到结论EF=DF ；易得FC=FA ，设FA=x ，则FC=x ，FD=6﹣x ，在Rt △CDF 中利用勾股定理得到关于x 的方程x 2=42+（6﹣x ）2，解方程求出x ．【解答】解：∵矩形ABCD 沿对角线AC 对折，使△ABC 落在△ACE 的位置，∴AE=AB ，∠E=∠B=90°，又∵四边形ABCD 为矩形，∴AB=CD ，∴AE=DC ，而∠AFE=∠DFC ，∵在△AEF 与△CDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CD AE DE CFD AFE ， ∴△AEF ≌△CDF （AAS ），∴EF=DF ；∵四边形ABCD 为矩形，∴AD=BC=6，CD=AB=4，∵Rt △AEF ≌Rt △CDF ，∴FC=FA ，设FA=x ，则FC=x ，FD=6﹣x ，在Rt △CDF 中，CF 2=CD 2+DF 2，即x 2=42+（6﹣x ）2，解得x=313，则FD=6﹣x=35．故选：B ．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理．26．（4分）（2017•台州）如图，矩形EFGH 的四个顶点分别在菱形ABCD 的四条边上，BE=BF ，将△AEH，△CFG分别沿边EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的1 16时，则AEEB为（）A．53B．2 C．52D．4【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；L8：菱形的性质；LB：矩形的性质．【分析】设重叠的菱形边长为x，BE=BF=y，由矩形和菱形的对称性以及折叠的性质得：四边形AHME、四边形BENF是菱形，得出EN=BE=y，EM=x+y，由相似的性质得出AB=4MN=4x，求出AE=AB﹣BE=4x﹣y，得出方程4x﹣y=x+y，得出x=23y，AE=53y，即可得出结论．【解答】解：设重叠的菱形边长为x，BE=BF=y，由矩形和菱形的对称性以及折叠的性质得：四边形AHME、四边形BENF是菱形，∴AE=EM，EN=BE=y，EM=x+y，∵当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的116，且两个菱形相似，∴AB=4MN=4x，∴AE=AB﹣BE=4x﹣y，∴4x﹣y=x+y，解得：x=23y，∴AE=53 y，∴AEEB=53yy=53；故选：A．【点评】本题考查了折叠的性质、菱形的判定与性质、矩形的性质、相似多边形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解决问题的关键．27．（3分）（2017•贵港）如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是BC 边上的动点（点M 不与B ，C 重合），CN ⊥DM ，CN 与AB 交于点N ，连接OM ，ON ，MN ．下列五个结论：①△CNB ≌△DMC ；②△CON ≌△DOM ；③△OMN ∽△OAD ；④AN 2+CM 2=MN 2；⑤若AB=2，则S △OMN 的最小值是21，其中正确结论的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD ：全等三角形的判定与性质；LE ：正方形的性质．【分析】根据正方形的性质，依次判定△CNB ≌△DMC ，△OCM ≌△OBN ，△CON ≌△DOM ，△OMN ∽△OAD ，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．【解答】解：∵正方形ABCD 中，CD=BC ，∠BCD=90°，∴∠BCN+∠DCN=90°，又∵CN ⊥DM ，∴∠CDM+∠DCN=90°，∴∠BCN=∠CDM ，又∵∠CBN=∠DCM=90°，∴△CNB ≌△DMC （ASA ），故①正确；根据△CNB ≌△DMC ，可得CM=BN ，又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB ，∴△OCM ≌△OBN （SAS ），∴OM=ON ，∠COM=∠BON ，∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN ，即∠DOM=∠CON ，又∵DO=CO ，∴△CON ≌△DOM （SAS ），故②正确；∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°，∴∠MON=90°，即△MON 是等腰直角三角形，又∵△AOD 是等腰直角三角形，∴△OMN ∽△OAD ，故③正确；∵AB=BC ，CM=BN ，∴BM=AN ，又∵Rt △BMN 中，BM 2+BN 2=MN 2，∴AN 2+CM 2=MN 2，故④正确；∵△OCM ≌△OBN ，∴四边形BMON 的面积=△BOC 的面积=1，即四边形BMON 的面积是定值1，∴当△MNB 的面积最大时，△MNO 的面积最小，设BN=x=CM ，则BM=2﹣x ，∴△MNB 的面积=21x （2﹣x ）=﹣21x 2+x ， ∴当x=1时，△MNB 的面积有最大值21，此时S △OMN 的最小值是1﹣21=21，故⑤正确；综上所述，正确结论的个数是5个，故选：D ．【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定以及勾股定理的综合应用，解题时注意二次函数的最值的运用．28．（3分）（2017•株洲）如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为（）A．一定不是平行四边形B．一定不是中心对称图形C．可能是轴对称图形D．当AC=BD时它是矩形【考点】LN：中点四边形；L6：平行四边形的判定；LC：矩形的判定；P3：轴对称图形．【分析】先连接AC，BD，根据EF=HG=12AC，EH=FG=12BD，可得四边形EFGH是平行四边形，当AC⊥BD时，∠EFG=90°，此时四边形EFGH是矩形；当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，据此进行判断即可．【解答】解：连接AC，BD，∵点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，∴EF=HG=12AC，EH=FG=12BD，∴四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH一定是中心对称图形，当AC⊥BD时，∠EFG=90°，此时四边形EFGH是矩形，当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH可能是轴对称图形，故选：C．【点评】本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：平行四边形是中心对称图形．解决问题的关键是掌握三角形中位线定理．29．（3分）（2017•赤峰）小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB 为直径的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（）A．12B．14C．13D．18【考点】X5：几何概率．【分析】直接利用正方形的性质结合转化思想得出阴影部分面积=S△CEB，进而得出答案．【解答】解：如图所示：连接BE，可得，AE=BE，∠AEB=90°，且阴影部分面积=S△CEB=12S△BEC=14S正方形ABCD，故小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为：14．故选：B．【点评】此题主要考查了几何概率，正确利用正方形性质得出阴影部分面积=S△CEB是解题关键．30．（2017•赤峰）如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O 处，若折痕EF=23，则∠A=（）A ．120°B ．100°C ．60°D ．30°【考点】PB ：翻折变换（折叠问题）；L8：菱形的性质．【分析】连接AC ，根据菱形的性质得出AC ⊥BD ，根据折叠得出EF ⊥AC ，EF 平分AO ，得出EF ∥BD ，得出EF 为△ABD 的中位线，根据三角形中位线定理求出BD 的长，进而可得到BO 的长，由勾股定理可求出AO 的长，则∠ABO 可求出，继而∠BAO 的度数也可求出，再由菱形的性质可得∠A=2∠BAO ．【解答】解：连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∵A 沿EF 折叠与O 重合，∴EF ⊥AC ，EF 平分AO ，∵AC ⊥BD ，∴EF ∥BD ，∴E 、F 分别为AB 、AD 的中点，∴EF 为△ABD 的中位线，∴EF=BD ，∴BD=2EF=43，∴BO=23，∴AO=22AB BO =2，∴AO=12AB ，∴∠ABO=30°， ∴∠BAO=60°，∴∠BAD=120°．故选A ．【点评】本题考查了折叠的性质、菱形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理的运用；熟练掌握菱形的性质和翻折变换的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．31．（4分）（2017•乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD 中，点F 在AD 上，点E 在BC 上，把这个矩形沿EF 折叠后，使点D 恰好落在BC 边上的G 点处，若矩形面积为43且∠AFG=60°，GE=2BG ，则折痕EF 的长为（）。

2017中考数学重要考点梳理：第二十讲矩形菱形、正方形(课件+2016真题演练+解析版)

【变式训练】
(2016·枣庄中考)如图,四边形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,
DH⊥AB于H,则DH等于
24 A. 5 12 B. 5 】选A.∵四边形ABCD是菱形,
∴AO=OC,BO=OD,AC⊥BD,
AD
∴tan∠CAD的值无法判断,故④错误.
考点二
菱形的性质与判定
【示范题2】(2016·聊城中考)如图,在
Rt△ABC中,∠B=90°,点E是AC的中点,AC= 2AB,∠BAC的平分线AD交BC于点D,作AF∥BC,连接DE并
延长交AF于点F,连接FC.
求证:四边形ADCF是菱形.
【思路点拨】先证明△AEF≌△CED,推出四边形ADCF是
形AFBD是矩形.
【自主解答】(1)∵点E是AD的中点,∴AE=DE.
∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE. ∴△EAF≌△EDC
∴AF=DC.
∵AF=BD,∴BD=DC,即D是BC的中点.
(2)四边形AFBD是矩形.证明如下:
∵AF∥BD,AF=BD,
∴四边形AFBD是平行四边形. ∵AB=AC,又由(1)可知D是BC的中点,
AF AE 1 所以CF=2AF,故②正确. ， CF BC 2
过D作DM∥BE交AC于N,
∵DE∥BM,BE∥DM, ∴四边形BMDE是平行四边形,
∴BM=DE= 1 BC,
2
∴BM=CM,∴CN=NF,
∵BE⊥AC于点F,DM∥BE,
∴DN⊥CF,∴DF=DC,故③正确;
∵tan∠CAD= CD ，而CD与AD的大小不知道,
C.2个
D.1个
【解析】选B.因为四边形ABCD是矩形,

中考数学一轮复习特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形专题培优、能力提升复习讲义(含答案)

）
A．若 AB⊥ BC，则 ABCD是菱形 B．若 AC⊥ BD，则 ABCD是正方形
C．若 AC=BD，则 ABCD是矩形 D．若 AB=AD，则 ABCD是正方形
【答案】 C.
【解析】
试题分析：根据矩形的判定可得 A、C 项应是矩形；根据菱形的判定可得 B、D 项应是菱形 , 故答案选 C.
考点：矩形、菱形的判定 .
主要考查学生运用定理进行推理的能力．
【举一反三】
如图，正方形 ABCD的边长为 1 , AC、BD是对角线，将 △DCB绕点 D顺时针旋转 450 得到 △DGH，
HG交 AB于点 E ，连接 DE交 AC于点 F ，连接 FG，则下列结论：
①四边形 AEGF是菱形
②△ AED≌△ GED见解析；（ 2）四边形 ABEF是菱形，理由详见解析 . 【解析】
（ 2）四边形 ABEF是菱形；理由如下： ∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴ AD∥ BC， ∴∠ DAE=∠ AEB， ∵ AE平分∠ BAD， ∴∠ BAE=∠ DAE， ∴∠ BAE=∠ AEB， ∴ BE=AB，由（ 1）得： AF=AB， ∴ BE=AF，又∵ BE∥ AF， ∴四边形 ABEF是平行四边形，
. 对于菱形的判定，若可证出四边形为平行
四边形，则可证一组邻边相等或对角线互相垂直；若相等的边较多，则可证四条边都相等
.
【举一反三】
1. 如图，四边形 ABCD是菱形， AC 8 ， DB 6 ， DH AB 于 H，则 DH等于
A． 24 5
B ． 12 5
C
．5 D ．4
D
C
【答案】 A. 【解析】
【答案】证明见解析 . 【解析】
考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质．

2017年全国中考数学真题分类矩形、菱形与正方形2017(填空题)

2017年全国中考数学真题分类矩形、菱形与正方形填空题二、填空题1.（2017山东滨州，16，4分）如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F．若AD＝8，AB＝6，AE＝4，则△EBF周长的大小为___________．AB CDHQGFE答案：8，解析：设DH＝x，则AH＝8－x，由折叠的对称性，可知EH＝DH＝x，在Rt△AEH中，应用勾股定理，得AE2＋AH2＝EH2，即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5．由∠GEF＝90°，可证明△AHE∽△BEF，因此AE AH EHBF BE EF==，即4352BF EF==，可以求得BF＝83，EF＝103．所以△EBF周长为83＋103＋2＝8．2.（2017重庆18，4分）如图，正方形ABCD中，AD＝4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将∆EFG沿EF翻折，得到∆EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则∆EMN的周长是 .答案：21025+解析：①连接GM交EF于点H，∵将∆EFG沿EF翻折，得到∆EFM，∴EM＝EG，EF垂直且平分GM，∵EF⊥ED，∴GM∥DE；②在正方形ABCD中，AD＝4，∴AB＝AD＝CD＝4，∠DAB＝∠ADC ＝90゜，AB ∥CD ，∴AC ＝244422=+，∵F 是AB 的中点，∴AF ＝2，∴DF ＝522422=+；又∵AF ∥CD ，∴21===CD AF CG AG DG GF ，∴DG ＝354，FG ＝352，AG ＝324；③∵∠DAF ＝∠DEF ＝90゜，∴A 、D 、E 、F 四点共圆，∴∠EDF ＝∠EAF ＝45゜，∴∆DEF 是等腰直角三角形，∴()22252=+FE DE ，∴10==EF DE ，∵GH ∥DE ，∴31===EF FH DE GH DF GF ，∴310=FH ，3102=EH ；又∵GH ＝HM ，HM ∥DE ，∴31===EN HN DN MN DE HM ，∴21043==EH EN ，∵∠DEN ＝90゜，DE ＝10，∴DN ＝()2252101022=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，∴MN ＝625；④∵∠DGE ＝∠AGF ，∠EDG ＝∠GAF ＝45゜，∴∆DGE ∽∆AGF ，∴DG FG EG AG ⋅=⋅，∵DG ＝354，FG ＝352，AG ＝324，∴EG ＝325＝EM ； ⑤∵210=EN ，MN ＝625， EM ＝325，∴∆EMN 的周长＝210+625+325＝21025+．3. （2017浙江衢州,14，4分）如图，从边长为（a ＋3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（无重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是．a +3（第14题）33a答案：a ＋6，解析：结合图形，长方形的另一边的长为3＋a ＋3＝a ＋6．4. （2017山东菏泽，11,3分）菱形ABCD 中，∠A ＝60°，其周长为24cm ，则菱形的面积为2cm ．答案：183，解析：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=CD=DA ，AC ⊥BD ，∵∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，又周长为24cm ，即BD=AB=6cm ，在Rt △AOB 中，OD=3cm ，∴AO=22226333AD OD -=-=,∴AC=2AO=63,菱形的面积=12AC BD ⋅=163618 3.2⨯⨯=5. 如图，正方形ABCD 中，BC =2，点M 是边AB 的中点，连接DM ，DM 与AC 交于点P ，点E 在DC 上，点F 在DP 上，且∠DFE =45°，若PF =65，则CE = .答案：67，解析：在Rt △ADM 中，AD =2，AM =1，由勾股定理，得DM ＝522=+AM AD ，由DC ∥AM ，得△DPC ～△MPA ，得2==AM DC MP DP ，∴DP ＝53232=DM . 又∵PF ＝65，所以DF ＝DP －PF ＝2565532=-.又因为∠DFE ＝∠DCP ＝45°，∠EDF ＝∠PDC ，所以△DFE ～△DCP ，所以DC DF DP DE =，即2521532=DE，解得DE ＝65. 所以CE ＝DC －DE ＝2－65=67.6. （2017山东潍坊，18，3分）如图，将一张矩形纸片ABCD 的边BC 斜着向AD 边对折，使点B 落在AD 上，记为B ′，折痕为CE ；再将CD 边斜向下对折，使点D 落在B ′C 上，记为D ′，折痕为CG ，B ′D ′=2，BE =31BC ．则矩形纸片ABCD 的面积为．2-1-c-n-j-y答案：15，解析：由折叠可知BC =B ′C ，CD =CD ′，又B ′D ′=2，故设BC =x ，则CD =x －2，EB ′=BE =31x ，∴AE =AB －BE =32x －2．由∠EB ′C =∠B =90°，易证△CDB ′∽△B ′AE ，∴CD :B ′A =B ′C :B ′E =3:1，∴B ′A =32-x ．在Rt △B ′AE 中，由勾股定理，得(32-x )2+(32x －2)2=(31x )2，整理，得x 2－7x +10=0，解得x 1=5，x 2=2(不合题意，舍去)．矩形纸片ABCD 的面积为BC ·CD =5×3=15．7. （2017四川宜宾，11，3分）如图，在菱形ABCD 中，若AC =8，BD =6，则菱形ABCD 的面积是．答案：24，解析：根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，由AC ＝8，BD ＝6，则S 等于24．DCA8. （2017湖南常德，15，3分）如图4，正方形EFGH 的顶点在边长为2的正方形的边上，若设AE＝x ，正方形EFGH 的面积为y ，则y 与x 的函数关系为_______________.答案：y ＝2x 2－4x ＋4，解析：由题中条件可知，图中的四个直角三角形是全等三角形，设AE＝x ，则BE ＝2x ，BF ＝x ，在Rt △EBF 中，由勾股定理可得EF 2＝(2－x)2＋x 2＝2x 2－4x ＋4，即正方形的面积为2x 2－4x ＋4.9. （2017江苏苏州，18，3分）如图，在矩形ABCD 中，将∠ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度后，BC 的对应边B C ''交CD 边于点G ．连接BB '、CC '，若AD =7，CG =4，AB B G ''=，则CC BB '='（结果保留根号）．答案：74解析：根据“旋转的性质、勾股定理”，连接AG ，设DG =x ，则4AB B G x ''==+．在Rt AB G ∆'中，x 2+49=2(x +4)2，∴x =1．则AB =5，BC =7，∴254974CC BB'+=='．10. 19.(2017甘肃兰州，19，4分）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与DB 相交于点O 。

最新中考数学总复习：特殊的四边形--知识讲解(基础)(含答案解析)

中考总复习：特殊的四边形 - 知识讲解（基础）
责编：常春芳【考纲要求】 1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形； 2. 掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题． 3. 掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题．【知识网络】
）.
A. 2 2 B. 2 3 1 C. 2.5 D.2.3
【答案】 D. 类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用
4. （2015?北京）在 ?ABCD中，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，点 F 在边 CD上， DF=BE，连接 AF，BF．（ 1）求证：四边形 BFDE是矩形；（ 2）若 CF=3，BF=4， DF=5，求证： AF 平分∠ DAB．
3、对角线相等的平行四边形是矩形
1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2、四条边都相等的四边形是菱形； 3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 1、邻边相等的矩形是正方形 2、对角线垂直的矩形是正方形 3、有一个角是直角的菱形是正方形 4、对角线相等的菱形是正方形
中心、轴对称图形中心、轴对称图形中心、轴对称图形
E、 G、F、 H 四点，连结 EG、 GF、FH、 HE.
（ 1）如图①，试判断四边形 EGFH的形状，并说明理由；
（ 2）如图②，当 EF⊥ GH时，四边形 EGFH的形状是
；
（ 3）如图③，在（ 2）的条件下，若 AC=BD，四边形 EGFH的形状是
；
（ 4）如图④，在（ 3）的条件下，若 AC⊥ BD，试判断四边形 EGFH的形状，并说明理由 .
若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；

2017年中考数学真题训练-矩形、菱形、正方形(带答案和解释)

2017年中考数学真题训练-矩形、菱形、正方形（带答案和解释）第五章四边形第25课时矩形、菱形、正方形江苏近4年中考真题精选命题点1 矩形的性质与判定(2016年9次，2015年12次，2014年8次，2013年6次), 1. (2014南京6题3分)如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是(－2，1)，点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是( ) A. (32，3)，(－23，4) B. (32，3)，(－12，4) C. (74，72)，(－23，4) D. (74，72)，(－12，4) 第1题图第2题图 2. (2016扬州8题3分)如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是( ) A. 6 B. 3 C. 2.5 D. 2 3. (2015无锡14题3分)如图，已知矩形ABCD的对角线长为8 cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于________cm. 第3题图第4题图 4. (2015泰州16题3分)如图，矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE 与CD相交于点O，且OE＝OD，则AP的长为________． 5. (2014苏州17题3分)如图，在矩形ABCD中，ABBC＝35，以点B为圆心，BC 长为半径画弧，交边AD于点E.若AE•ED＝43，则矩形ABCD的面积为________．第5题图 6. (2015淮安21题8分)已知：如图，在矩形ABCD中，点E、F在边AD上，且AE＝DF.求证：BF＝CE.7. (2016南通25题8分)如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE ＝AB，连接DE，交边BC于点F. (1)求证：△BEF≌△CDF； (2)连接BD、CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．8. (2016扬州23题10分)如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB 沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D 落在AC上的点N处． (1)求证：四边形AECF是平行四边形； (2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．命题点2 菱形的性质与判定(2016年8次，2015年7次，2014年9次，2013年9次) 9. (2014徐州7题3分)若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是( ) A. 矩形 B. 等腰梯形 C. 对角线相等的四边形 D. 对角线互相垂直的四边形 10. (2015徐州7题3分)如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于( ) A. 3.5 B. 4 C. 7 D. 14 第10题图第11题图 11. (2013扬州7题3分)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于( ) A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 12. (2013淮安17题3分)若菱形的两条对角线长分别为2和3，则此菱形的面积是________． 13. (2014宿迁13题3分)如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(－3，0)，(2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是________．第13题图第14题图 14. (2016南京16题3分)如图，菱形ABCD的面积为120 cm2，正方形AECF的面积为50 cm2，则菱形的边长为________cm. 15. (2015南京24(2)题4分)如图，AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，连接EF.∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H. 第15题图小明在证明四边形EGFH是矩形后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB、CD于点M、N，过H作PQ∥EF，分别交AB、CD于点P、Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框图中补全他的证明思路．小明的证明思路由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证▱MNQP是菱形，只要证NM＝NQ.由已知条件________，MN∥EF，可证NG＝NF，故只要证GM＝FQ，即证△MGE≌△QFH，易证______，______，故只要证∠MGE＝∠QFH，易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，______，即可得证．16. (2014淮安21题8分)如图，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF.求证：四边形AEDF是菱形．17. (2014镇江20题6分)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC、BD相交于点O，点E在AO上，且OE＝OC. (1)求证：∠1＝∠2； (2)连接BE、DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由．18. (2015徐州23题8分)如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC. (1)求证：四边形BFCE是平行四边形； (2)若AD＝10，DC＝3，∠EBD＝60°，则BE＝________时，四边形BFCE是菱形．19. (2014连云港21题10分)如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD. (1)求证：四边形OCED为菱形； (2)连接AE、BE.AE与BE相等吗？请说明理由．20. (2014盐城25题10分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF. (1)求证：四边形BFDE是平行四边形； (2)若EF⊥AB，垂足为M，tan∠MBO＝12，求EM∶MF的值．命题点3 正方形的性质与判定(2016年9次，2015年5次，2014年10次，2013年5次) 21. (2015连云港5题3分)已知四边形ABCD，下列说法正确的是( ) A. 当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形 B. 当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形 C. 当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形 D. 当AC＝BD，AC⊥BD 时，四边形ABCD是正方形 22. (2013连云港8题3分)如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为( ) A. 1 B. 2 C. 4－22 D. 32－4 23. (2014泰州16题3分)如图，正方形ABCD的边长为3 cm，E为CD边上一点．∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q，若PQ＝AE，则AP等于________cm. 24. (2013南京19题8分)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N. (1)求证：∠ADB＝∠CDB； (2)若∠AD C＝90°，求证：四边形MPND是正方形． 25. (2015泰州25题12分)如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH. (1)求证：四边形EFGH是正方形； (2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由； (3)求四边形EFGH面积的最小值．答案 1. B 【解析】如解图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥y轴于点E，并延长交FB的延长线于点M ，根据题意可得△AOD≌△BCM, OD＝MC＝2，BM＝AD＝1，点C的纵坐标是4，可得点B的纵坐标为3，再由△AOD∽△OBF得，ADOD＝OFBF，代入数据即可求得OF＝32，CE＝CM－OF＝2－32＝12，故点B的坐标为(32，3)，点C的坐标为(－12，4)．第1题解图第2题解图 2. C 【解析】所有剪法中剩余部分面积的值最小时，如解图，S△ABG＝12AB•BG ＝12×4×4＝8，∵AD＝6，∴AE＝ED＝32，∴EF＝DF＝3，∴S△AED＝12AE•ED＝12×32×32＝9，S△EDF＝12EF•DF＝12×3×3＝4.5，∴S 剩余部分＝S矩形ABCD－S△ABG－S△AED－S△EDF＝4×6－8－9－4.5＝2.5. 3. 16 【解析】如解图，连接AC，BD，∵在△ABC中，E、F分别为AB、BC的中点，∴EF＝12AC＝4，同理可得，HG＝12AC＝4，EH＝FG＝12BD＝4，∴四边形EFGH的周长等于16 cm. 第3题解图 4. 245 【解析】如解图，根据题意得，AP＝EP，∵OD＝OE，∠E＝∠D，∠DOP＝∠EOF，∴△ODP≌△OEF(ASA)，则OP＝OF，DP＝EF，设OE＝a，OP＝b，∴BF＝8－(6－a－b)＝2＋a＋b，FC＝8－(a＋b)，在Rt△BCF中，根据勾股定理得，BF2＝CF2＋BC2，即(2＋a＋b)2＝[8－(a＋b)]2＋62，解得a＋b＝245，∴AP的长为245. 第4题解图 5.5 【解析】如解图，连接BE，则BE＝BC.设AB＝3x，BC＝5x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3x，AD＝BC＝5x，∠A＝90°，由勾股定理得AE＝4x，则DE＝5x－4x＝x，∵AE•ED＝43，∴4x•x＝43，解得x1＝33，x2＝－33(舍去)，则AB＝3x＝3，BC＝5x＝533，∴矩形ABCD的面积是3×533＝5. 第5题解图 6. 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD, ∠A＝∠D＝90°，∵AE＝DF，∴AF＝DE，(5分) ∴△ABF≌△DCE(SAS)，∴BF＝CE. 7. 证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴ AB CD ∵BE＝AB，BE在AB的延长线上，∴BE CD. ∴∠BEF＝∠FDC，∠FBE＝∠FCD，∴△BEF≌△CDF(ASA)． (2)由(1)证得，∴四边形BECD为平行四边形，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠FCD＝∠A，∵∠BFD＝∠FCD＋∠FDC，∠BFD＝2∠A，∴∠FDC＝∠A，∴∠FDC＝∠FCD，∴FD＝FC. 由(1)知，△BEF≌△CDF，∴BC＝DE. ∴四边形BECD是矩形． 8. (1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AB∥CD.∴∠BAC＝∠DCA，由折叠的性质知，∠EAC＝12∠BAC, ∠FCA＝12∠DCA，∴∠EAC＝∠FCA，∴AE∥CF，又∵AD∥BC，∴四边形AECF为平行四边形； (2)解：在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝10，由勾股定理得， BC＝102－62＝8，由折叠的性质知，∠ABC＝∠AME＝90°，BE＝EM，在Rt△CEM中，CM＝AC－AM＝10－6＝4，设CE＝x，则BE＝EM＝8－x，由勾股定理得，ME2＋CM2＝EC2，即(8－x)2＋16＝x2，解得x＝5，∵由(1)得，四边形AECF为平行四边形，∴S四边形AECF＝EC•CD＝5×6＝30. 9. C 【解析】如解图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，∴EF＝FG＝GH＝EH，BD＝2EF，AC＝2FG，∴BD＝AC.∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选C. 第9题解图 10. A 【解析】由于菱形的周长是28，而它的四条边都相等，∴每条边都是7，而菱形的对角线互相垂直，E为AD的中点，由直角三角形斜边的中线等于斜边上的一半可得OE＝12×7＝3.5. 11. B 【解析】如解图，连接BF，在菱形ABCD中，∠BAC＝12∠BAD＝12×80°＝40°，∠BCF＝∠DCF，BC＝CD，∠ABC＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∠ABF＝∠BAC＝40°，∴∠CBF＝∠ABC －∠ABF＝100°－40°＝60°，∵在△BCF和△DCF中，BC＝DC∠BCF ＝∠DCFCF＝CF，∴△BCF≌△DCF(SAS)，∴∠CDF＝∠CBF＝60°. 第11题解图 12. 3 【解析】由题意知S菱形＝12×2×3＝3. 13. (5，4) 【解析】∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(－3，0)，(2，0)，点D在y轴上，∴AB＝5，∴DO＝AD2－AO2＝4，∴点C的坐标是(5，4)． 14. 13 【解析】如解图，连接AC，BD交于点O，∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，∴S菱形ABCD＝12AC•BD＝120，∴AC•BD＝240，又∵菱形的对角线互相垂直平分，∴2OA•2OB＝240，∴ OA•OB＝60，∵正方形AECF的面积等于边长的平方，∴AE2＝50, 又∵OA2＋OE2＝AE2，OA＝OE，∴OA＝5，∴OB＝12，∴AB＝OA2＋OB2＝52＋122＝13 cm. 第14题解图 15. 解：本题答案不唯一，下列答案仅供参考： FG平分∠CFE; GE＝FH；∠GME＝∠FQH；∠GEF＝∠EFH.16. 证明：设EF与AD交于点O，如解图．第16题解图∵AD平分∠BAC，∴∠EAO＝∠FAO，由折叠性质可知AO＝DO，EF⊥AD，∴∠AOE ＝∠AOF＝90°，在△AEO和△AFO中，∠EAO＝∠FAOAO＝AO∠AOE ＝∠AOF，∴△AEO≌△AFO(ASA)，∴EO＝FO，即EF、AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形，又∵EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形． 17. (1)证明：在△ABC与△ADC中， AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠1＝∠2； (2)解：如解图，连接BE、DE，四边形BCDE为菱形，理由如下：第17题解图∵BC＝DC，∠1＝∠2，OC＝OC，∴△COD≌△COB(SAS)，∴OD＝OB，OC⊥BD，又∵OE＝OC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵OC⊥BD，∴四边形BCDE是菱形． 18. (1)证明：∵AB＝DC，∴AC＝DB，在△AEC和△DFB 中， AC＝DB∠A＝∠DAE＝DF，∴△AEC≌△DFB(SAS)，∴BF＝CE，∠ACE＝∠DBF，∴EC∥BF，∴四边形BFCE是平行四边形； (2)解：4. 【解法提示】当四边形BFCE是菱形时，BE＝CE，∵AD＝10，DC ＝3，AB＝CD＝3，∴BC＝10－3－3＝4，∵∠EBD＝60°，∴△EBC 为等边三角形，BE＝BC＝4，∴当BE＝4时，四边形BFCE是菱形． 19.(1)证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵在矩形ABCD中，AC＝BD，且AC、BD互相平分，∴OC＝12AC＝12BD＝OD，∴平行四边形OCED是菱形； (2)解：相等．理由如下：在菱形OCED中，ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，又∵在矩形ABCD中，AD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ADC＋∠EDC ＝∠BCD＋∠ECD，∴∠ADE＝∠BCE，在△ADE和△BCE中， AD＝BC∠ADE＝∠BCEDE＝CE，∴△ADE≌△BCE(SAS)，∴AE＝BE. 20. (1)证明：在菱形ABCD 中，AD∥BC，OA＝OC，OB＝OD，∴∠AEO＝∠CFO，在△AEO和△CFO 中，∠AEO＝∠CFO∠AOE＝∠COFOA＝OC，∴△AEO≌△CFO(AAS)，∴OE＝OF，又∵O B＝OD，∴四边形BFDE是平行四边形； (2)解：设OM＝x，∵EF⊥AB，tan∠MBO＝12，∴BM＝2x，又∵AC⊥BD，∴△AOM∽△OBM，∴AMOM＝OMBM，∴AM＝OM2BM＝12x，∵AD∥BC，∴△AEM∽△BFM，∴EM∶MF＝AM∶BM＝12x∶2x＝1∶4. 21. B【解析】本题考查平行四边形、矩形、正方形的判定，逐项分析如下：选项逐项分析正误 A 一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形才是平行四边形× B 两组对边分别相等的四边形是平行四边形√ C 只有两条对角线相等且互相平分的四边形才是矩形× D 只有两条对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形× 22. C【解析】在正方形ABCD 中，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵∠BAE＝22.5°，∴∠DAE＝90°－∠BAE ＝90°－22.5°＝67.5°，在△ADE中，∠AED＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE＝4，∵正方形的边长为4，∴BD＝42，∴BE＝BD－DE＝42－4，∵EF⊥AB，∠ABD＝45°，∴△BEF 是等腰直角三角形，∴EF＝22BE＝22×(42－4)＝4－22. 23. 1或2 【解析】根据题意画出图形，过点P作PN⊥BC交BC于点N，如解图，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝DC＝PN，在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，AD＝3 cm，∴tan30°＝DEAD，∴DE＝3 cm，根据勾股定理得AE＝32＋（3）2＝23 cm，∵M为AE的中点，∴AM＝12AE＝3 cm，在Rt△ADE 和Rt△PNQ中，AD＝PNAE＝PQ，∴Rt△ADE≌Rt△PNQ(HL)，∴DE＝NQ，∠DA E＝∠NPQ＝30°，∵PN∥DC，∴∠PFA＝∠DEA＝60°，∴∠PMF ＝90°，即PM⊥AF，在Rt△AMP中，∠MAP＝30°，cos30°＝AMAP，∴AP＝AMcos30°＝332＝2 cm；由对称性得到AP′＝DP＝AD－AP＝3－2＝1 cm.综上，AP等于1 cm或 2 cm. 第23题解图 24. 证明：(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD. 又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD(SAS)．∴∠ADB＝∠CDB；(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°. 又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形．由(1)知，∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN. ∴四边形MPND是正方形． 25. (1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD ＝DC，∵AE＝DH＝CG，∴AH＝DG，∵∠A＝∠D，∴△AHE≌△DGH(SAS)，∴EH＝HG，∠AHE＝∠DGH，∵∠DGH＋∠DHG ＝90°，∴∠AHE＋∠DHG＝90°，∴∠EHG＝90°，同理，EH＝EF ＝FG，则EH＝GH＝GF＝FE，∴四边形EFGH是正方形； (2)解：是，直线EG经过正方形ABCD的中心．理由如下：如解图，连接BD，EG，DE，BG，第25题解图∵BE＝DG，BE∥DG，∴四边形BGDE是平行四边形，∴OB＝OD，OE＝OG，∴点O为正方形ABCD的对角线AC、BD的交点，∴直线EG经过正方形ABCD的中心； (3)解：设正方形EFGH的面积为y，AE＝x，则AH＝8－x，在Rt△AEH中，EH2＝AE2＋AH2，而正方形EFGH的面积＝EH2，∴y＝x2＋(8－x)2＝2(x－4)2＋32，∴当x＝4时，y有最小值为32. 即四边形EFGH面积的最小值是32 cm2.。

中考数学复习专题特殊平行四边形

2017---2018学年中考数学复习专题--《特殊平行四边形》评卷人得分一．选择题（共12小题）1．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．对边平行且相等 B．对角线互相平分C．对角线互相垂直 D．对角互补2．能判定一个四边形是菱形的条件是（）A．对角线互相平分且相等B．对角线互相垂直且相等C．对角线互相垂直且对角相等D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对边分别相等B．对角分别相等C．对角线互相平分 D．对角线相等4．以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，∠A=90°B．OA=OB=OC=ODC．AB=CD，AB∥CD，AC=BD D．AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD5．顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD的对角线AC和BD只需满足的条件是（）A．相等B．互相垂直C．相等且互相垂直 D．相等且互相平分6．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是（）A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm7．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A．16 B．15 C．14 D．138．如图，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，若AB=2，BC=3，则EF：GH=（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．无法确定9．如图：点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，BC=15，AC=20，则线段EF的最小值为（）A．12 B．6 C．12.5 D．2510．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（）A．80°B．70°C．65°D．60°11．如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．35°12．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB：OE=3：2．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4评卷人得分二．填空题（共6小题）13．如图，菱形纸片ABCD，∠A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC等于度．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为．15．如图：在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O 作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是．16．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是．17．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，∠1=15°，则∠2= ．18．如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF ⊥BD于F，则PE+PF的值为．评卷人得分三．解答题（共6小题）19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．（1）证明：四边形ADCE为菱形．（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．20．已知，如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD 于点O，与AD、BC分别交于点E、F．试判断四边形BFDE的形状，并证明你的结论．21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，DG⊥AB 于点G，EK⊥AB于点K，GH⊥AC于点H、EK和GH相交于点F．求证：GE与FD互相垂直平分．22．如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE 于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．23．如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．（1）判断△BEC的形状，并说明理由？（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；（3）求四边形EFPH的面积．24．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．2017---2018学年中考数学复习专题--《特殊平行四边形》参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．对边平行且相等 B．对角线互相平分C．对角线互相垂直 D．对角互补【解答】解：A、平行四边形的对边平行且相等，所以A选项错误；B、平行四边形的对角线互相平分，所以B选项错误；C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，所以C选项正确；D、平行四边形的对角相等，所以D选项错误．故选C．2．能判定一个四边形是菱形的条件是（）A．对角线互相平分且相等B．对角线互相垂直且相等C．对角线互相垂直且对角相等D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角【解答】解：∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形．∴A、B、D都不正确．∵对角相等的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形．故C正确．故选C．3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对边分别相等B．对角分别相等C．对角线互相平分 D．对角线相等【解答】解：矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，②矩形的对角相等，且都是直角，③矩形的对角线互相平分、相等；菱形的性质有：①菱形的四条边都相等，且对边平行，②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角；∴矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，故选D．4．以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，∠A=90°B．OA=OB=OC=ODC．AB=CD，AB∥CD，AC=BD D．AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD【解答】解：如图：A、∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠BAD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；B、∵OA=OB=OC=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；C、∵AB=CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；D、∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，根据OA=OC，OB=OD不能推出平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；故选D．5．顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD的对角线AC和BD只需满足的条件是（）A．相等B．互相垂直C．相等且互相垂直 D．相等且互相平分【解答】解：因为原四边形的对角线与连接各边中点得到的四边形的关系：①原四边形对角线相等，所得的四边形是菱形；②原四边形对角线互相垂直，所得的四边形是矩形；③原四边形对角线既相等又垂直，所得的四边形是正方形；④原四边形对角线既不相等又不垂直，所得的四边形是平行四边形．因为顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，所以四边形ABCD的对角线AC和BD相等．故选A．6．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是（）A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm【解答】解：如图：∵菱形ABCD中BD=8cm，AC=6cm，∴OD=BD=4cm，OA=AC=3cm，在直角三角形AOD中AD===5cm．故选D．7．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A．16 B．15 C．14 D．13【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，∵AO平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AB=EB，同理：AF=BE，又∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA===8，∴AE=2OA=16．故选：A．8．如图，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，若AB=2，BC=3，则EF：GH=（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．无法确定【解答】解：过F作FM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，则∠4=∠5=90°=∠AMF∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠A=∠D=90°=∠AMF，∴四边形AMFD是矩形，∴FM∥AD，FM=AD=BC=3，同理HN=AB=2，HN∥AB，∴∠1=∠2，∵HG⊥EF，∴∠HOE=90°，∴∠1+∠GHN=90°，∵∠3+∠GHN=90°，∴∠1=∠3=∠2，即∠2=∠3，∠4=∠5，∴△FME∽△HNG，∴==∴EF：GH=AD：CD=3：2．故选B．9．如图：点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，BC=15，AC=20，则线段EF的最小值为（）A．12 B．6 C．12.5 D．25【解答】解：如图，连接CP．∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB===25，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，∴四边形CFPE是矩形，∴EF=CP，由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，=BC•AC=AB•CP，此时，S△ABC即×20×15=×25•CP，解得CP=12．故选A．10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（）A．80°B．70°C．65°D．60°【解答】解：如图，连接BF，在△BCF和△DCF中，∵CD=CB，∠DCF=∠BCF，CF=CF∴△BCF≌△DCF∴∠CBF=∠CDF∵FE垂直平分AB，∠BAF=×80°=40°∴∠ABF=∠BAF=40°∵∠ABC=180°﹣80°=100°，∠CBF=100°﹣40°=60°∴∠CDF=60°．故选D．11．如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．35°【解答】解：延长PF交AB的延长线于点G．如图所示：在△BGF与△CPF中，，∴△BGF≌△CPF（ASA），∴GF=PF，∴F为PG中点．又∵由题可知，∠BEP=90°，∴EF=PG，∵PF=PG，∴EF=PF，∴∠FEP=∠EPF，∵∠BEP=∠EPC=90°，∴∠BEP﹣∠FEP=∠EPC﹣∠EPF，即∠BEF=∠FPC，∴AB=BC，∠ABC=180°﹣∠A=70°，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴BE=BF，∠BEF=∠BFE=（180°﹣70°）=55°，∴∠FPC=55°；故选：A．12．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB：OE=3：2．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：连接BD，∴AC=BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，在△OBF与△CBF中∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，∴FB⊥OC，OM=CM；∴①正确，∵∠OBC=60°，∴∠ABO=30°，∵△OBF≌△CBF，∴∠OBM=∠CBM=30°，∴∠ABO=∠OBF，∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∵OA=OC，易证△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴OB⊥EF，∴四边形EBFD是菱形，∴③正确，∵△EOB≌△FOB≌△FCB，∴△EOB≌△CMB错误．∴②错误，∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°，∴MB=，OF=，∵OE=OF，∴MB：OE=3：2，∴④正确；故选：C．二．填空题（共6小题）13．如图，菱形纸片ABCD，∠A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC等于75 度．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，∴∠PDC=90°，∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，在△DEC中，∠DEC=180°﹣（∠CDE+∠C）=75°．故答案为：75．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为4．【解答】解：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，∵A，B两点在反比例函数y=的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A，B横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴AB=2，=底×高=2×2=4，S菱形ABCD故答案为4．15．如图：在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O 作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是 3 ．【解答】解：如图，连接CE，，设DE=x，则AE=8﹣x，∵OE⊥AC，且点O是AC的中点，∴OE是AC的垂直平分线，∴CE=AE=8﹣x，在Rt△CDE中，x2+42=（8﹣x）2解得x=3，∴DE的长是3．故答案为：3．16．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是①②④．【解答】解：令GF和AC的交点为点P，如图所示：∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF∥CD，且EF=CD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，且AB=CD，∴∠FEG=∠BGE（两直线平行，内错角相等），∵点G为AB的中点，∴BG=AB=CD=FE，在△EFG和△GBE中，，∴△EFG≌△GBE（SAS），即②成立，∴∠EGF=∠GEB，∴GF∥BE（内错角相等，两直线平行），∵BD=2BC，点O为平行四边形对角线交点，∴BO=BD=BC，∵E为OC中点，∴BE⊥OC，∴GP⊥AC，∴∠APG=∠EPG=90°∵GP∥BE，G为AB中点，∴P为AE中点，即AP=PE，且GP=BE，在△APG和△EGP中，，∴△APG≌△EPG（SAS），∴AG=EG=AB，∴EG=EF，即①成立，∵EF∥BG，GF∥BE，∴四边形BGFE为平行四边形，∴GF=BE，∵GP=BE=GF，∴GP=FP，∵GF⊥AC，∴∠GPE=∠FPE=90°在△GPE和△FPE中，，∴△GPE≌△FPE（SAS），∴∠GEP=∠FEP，∴EA平分∠GEF，即④成立．故答案为：①②④．17．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，∠1=15°，则∠2= 30°．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OB=OC，OB=OA，∴∠OCB=∠OBC，∵AB=BE，∠ABE=90°，∴∠BAE=∠AEB=45°，∵∠1=15°，∴∠OCB=∠AEB﹣∠EAC=45°﹣15°=30°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴∠AOB=30°+30°=60°，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OB，∵∠BAE=∠AEB=45°，∴AB=BE，∴OB=BE，∴∠OEB=∠EOB，∵∠OBE=30°，∠OBE+∠OEB+∠BEO=180°，∴∠OEB=75°，∵∠AEB=45°，∴∠2=∠OEB﹣∠AEB=30°，故答案为：30°．18．如图所示，在矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，P 是AD 上的动点，PE ⊥AC ，PF ⊥BD 于F ，则PE+PF 的值为．【解答】解：连接OP ，∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠DAB=90°，AC=2AO=2OC ，BD=2BO=2DO ，AC=BD ，∴OA=OD=OC=OB ，∴S △AOD =S △DOC =S △AOB =S △BOC =S 矩形ABCD =×6×8=12，在Rt △BAD 中，由勾股定理得：BD===10， ∴AO=OD=5，∵S △APO +S △DPO =S △AOD ，∴×AO ×PE+×DO ×PF=12， ∴5PE+5PF=24，PE+PF=，故答案为：．三．解答题（共6小题）19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．（1）证明：四边形ADCE为菱形．（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．【解答】证明：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=AB=AD，又∵AE∥CD，CE∥AB∴四边形ADCE是平行四边形，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）在Rt△ABC中，AC===8．∵平行四边形ADCE是菱形，∴CO=OA，又∵BD=DA，∴DO是△ABC的中位线，∴BC=2DO．又∵DE=2DO，∴BC=DE=6，∴S===24．菱形ADCE20．已知，如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD 于点O，与AD、BC分别交于点E、F．试判断四边形BFDE的形状，并证明你的结论．【解答】答：四边形BFDE的形状是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB=OD，∵∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，∴△OED≌△OFB，∴DE=BF，又∵ED∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴▱BEDF是菱形．21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，DG⊥AB 于点G，EK⊥AB于点K，GH⊥AC于点H、EK和GH相交于点F．求证：GE与FD互相垂直平分．【解答】证明：∵DE⊥AC，DG⊥AB，EK⊥AB，GH⊥AC，∴∠DGB=∠DEC=90°，EK∥DG，DE∥GH，∴四边形DEFG是平行四边形，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△DGB和△DEC中，，∴△DGB≌△DEC（AAS），∴DG=DE，∵四边形DEFG是平行四边形，∴四边形DEFG是菱形，∴GE与FD互相垂直平分．22．如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE 于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．【解答】（1）证明：∵AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，∴∠AEC=∠AFC=90°，又∵CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF，∴∠ACE+∠ACF=（∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF）=×180°=90°，∴三个角为直角的四边形AECF为矩形．（2）结论：MN∥BC且MN=BC．证明：∵四边形AECF为矩形，∴对角线相等且互相平分，∴NE=NC，∴∠NEC=∠ACE=∠BCE，∴MN∥BC，又∵AN=CN（矩形的对角线相等且互相平分），∴N是AC的中点，若M不是AB的中点，则可在AB取中点M1，连接M1N，则MN是△ABC的中位线，MN∥BC，1而MN∥BC，M即为点M，1所以MN是△ABC的中位线（也可以用平行线等分线段定理，证明AM=BM）∴MN=BC；法二：延长MN至K，使NK=MN，因为对角线互相平分，所以AMCK是平行四边形，KC∥MA，KC=AM因为MN∥BC，所以MBCK是平行四边形，MK=BC，所以MN=BC（3）解：△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）．理由：∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥EF，∵EF∥AC，∴AC⊥CB，∴∠ACB=90°．即△ABC是直角三角形．23．如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．（1）判断△BEC的形状，并说明理由？（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；（3）求四边形EFPH的面积．【解答】（1）△BEC是直角三角形：理由是：∵矩形ABCD，∴∠ADC=∠ABP=90°，AD=BC=5，AB=CD=2，由勾股定理得：CE===，同理BE=2，∴CE2+BE2=5+20=25，∵BC2=52=25，∴BE2+CE2=BC2，∴∠BEC=90°，∴△BEC是直角三角形．（2）解：四边形EFPH为矩形，证明：∵矩形ABCD，∴AD=BC，AD∥BC，∵DE=BP，∴四边形DEBP是平行四边形，∴BE∥DP，∵AD=BC，AD∥BC，DE=BP，∴AE=CP，∴四边形AECP是平行四边形，∴AP∥CE，∴四边形EFPH是平行四边形，∵∠BEC=90°，∴平行四边形EFPH是矩形．（3）解：在Rt△PCD中FC⊥PD，由三角形的面积公式得：PD•CF=PC•CD，∴CF==，∴EF=CE﹣CF=﹣=，∵PF==，∴S=EF•PF=，矩形EFPH答：四边形EFPH的面积是．24．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°，BD为AC的中线，∴BD=AC，∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴DF=AC，∴BD=DF；（2）证明：∵BD=DF，∴四边形BGFD是菱形，（3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，∴四边形BDFG的周长=4GF=20．。

专题24 特殊四边形(归纳与讲解)(原卷版)

专题24 特殊四边形【专题目录】技巧1：利用矩形的性质巧解折叠问题技巧2：利用特殊四边形的性质巧解动点问题【题型】一、矩形的性质【考点总结】二、正方形1、菱形具有平行四边形的所有性质；2、菱形的四条边都相等；几何描述：∵四边形ABCD是菱形∵AB=BC=CD=AD3、菱形的两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。

几何描述：∵四边形ABCD是菱形∵AC∵BD,AC平分∵BAD, CA平分∵BCD，BD平分∵CBA，DB平分∵ADC3、菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心。

【技巧归纳】技巧1：利用矩形的性质巧解折叠问题【类型】一、利用矩形的性质巧求折叠中的角1．当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形纸片ABCD(矩形纸片要足够长)，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：(1)以点A 所在直线为折痕，折叠纸片，使点B 落在边AD 上，折痕与BC 交于点E ； (2)将纸片展平后，再一次折叠纸片，以点E 所在直线为折痕，使点A 落在BC 上，折痕EF 交AD 于F ，求∠AFE 的度数．【类型】二、利用矩形的性质巧求折叠中线段的长2．图①为长方形纸片ABCD ，AD ＝26，AB ＝22，直线L ，M 皆为长方形的对称轴．今将长方形纸片沿着L 对折后，再沿着M 对折，并将对折后的纸片左上角剪下直角三角形，形成一个五边形EFGHI ，如图②，最后将图②的五边形展开后形成一个八边形，如图③，且八边形的每一边长恰好均相等．(1)若图②中的HI 长度为x ，请用x 分别表示剪下的直角三角形的勾长和股长． (2)请求出图③中八边形的一边长的数值，并写出完整的解题过程．【类型】三、利用矩形的性质巧证折叠中线段的关系3．如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 交AD 于F ，连接AE.求证：(1)BF ＝DF ；(2)AE ∥BD.【类型】四、利用矩形的性质巧求折叠中线段的比4．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为31，求MN DN的值．技巧2：利用特殊四边形的性质巧解动点问题【类型】一、平行四边形中的动点问题1．如图，在▱ABCD 中，E ，F 两点在对角线BD 上运动(E ，F 不重合)，且保持BE ＝DF ，连接AE ，CF.请你猜想AE 与CF 有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由．【类型】二、菱形中的动点问题2．如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，动点E 在边BC 上，动点F 在边CD 上．(1)如图①，若E 是BC 的中点，∠AEF ＝60°，求证：BE ＝DF ； (2)如图②，若∠EAF ＝60°，求证：△AEF 是等边三角形．【类型】三、矩形中的动点问题3．在矩形ABCD 中，AB ＝4 cm ，BC ＝8 cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD ，BC 于点E ，F ，垂足为O.(1)如图①，连接AF ，CE.试说明四边形AFCE 为菱形，并求AF 的长．(2)如图②，动点P ，Q 分别从A ，C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周，即点P 自A→F→B→A 停止，点Q 自C→D→E→C 停止．在运动过程中，已知点P 的速度为5 cm /s ，点Q 的速度为4 cm /s ，运动时间为t s ，当以A ，C ，P ，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．【类型】四、正方形中的动点问题4．如图，正方形ABCD 的边长为8 cm ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的动点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH.(1)求证：四边形EFGH 是正方形；(2)判断直线EG 是否经过一个定点，并说明理由．【题型讲解】【题型】一、矩形的性质例1、如图，矩形ABCD 中，AB 3=，BC 4=，EB//DF 且BE 与DF 之间的距离为3，则AE 的长是( )AB ．38C ．78D ．58【题型】二、证明四边形是矩形例2、如图，在∵ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别是线段BC 、AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求证：∵BDE∵∵F AE；（2）求证：四边形ADCF为矩形．例交A例A【题型】五、证明四边形是正方形例5、已知：如图，四边形ABCD中，AD∵BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果BE=BC，且∵CBE：∵BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．【题型】六、探索菱形的性质例121824A例28A例8、如图，在Rt∵ABC中，∵ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F 为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（）A．2B．2.5C．3D．4特殊四边形（达标训练）一、单选题1．如图，四边形ABCD为菱形，O为对角线AC的中点，OA=30∠=︒，则菱形的周长为BAC（A2，A3A4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC于点F，连接AF．若CD=AF的长为（）A ．3BCD 5．如图，在ABCD 中，AD AB >，按以下步骤作图：（1）以点A 为圆心，AB 的长为半径作弧，交AD 于点E ；（2）分别以点B 、E 为圆心，大于12BE 的长为半径作弧，两弧在∵BAD 的内部交于点G ，连接AG并延长交BC 于点F ．若AB ＝5，BE ＝6，则AF 的长是（）A ．4B ．6C ．8D ．10二、填空题6．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点．且BE CF =，连接BF 、DE ，则BF DE +的最小值为______．7．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，=6AC ，=4BC ．点F 为射线CB 上一动点，过点C 作CM AF ⊥于M ，交AB 于E ，D 是AB 的中点，则DM 长度的最小值是______三、解答题8．如图所示，BEF 的顶点E 在矩形ABCD 对角线AC 的延长线上，1BC AB AE ==，与FB 交于点G ，连接AF ，满足ABF ∵CEB ，其中A 对应C B ，对应E F ，对应B(1)(2)1AC2，则A3A．12AE BC⋅B．12AF CD⋅C．AC BD⋅D．BC DG⋅4．菱形两条对角线的长分别为2和4，则该菱形的边长为（）AB C．D．55．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在F处，BF交AD于点E．若62BDC∠=°，则DBF∠的度数为（）A．31︒B．28︒C．62︒D．56︒二、填空题6．如图，将一张正方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∵BAC的内部，若∵CAD'=33°，则∵CAE的度数为_____7．如图，在菱形ABCD中，已知BD＝8，AC＝6，则菱形ABCD的边长为______．三、解答题8．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE DF=，连接AE和BF相交于点M．求证：AE BF=．∠，EF//AB．求证：9．已知：如图，在□ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分ABC四边形ABFE是菱形．。

2017年中考数学备考专题复习矩形菱形正方形含解析

2017年中考数学备考专题复习矩形菱形正方形含解析2矩形、菱形、正方形一、单选题（共12题；共24分）1、下列命题中，正确的命题是( ) A 、两条对角线相等的四边形是矩形B 、两条角线互相垂直且相等的四边形是正方形C 、两条对角线相互垂直的四边形是菱形D 、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 2、平面直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点坐标分别是A （－3，0）、B （0，2）、C （3，0）、D （0，－2），四边形ABCD 是（）. A 、矩形 B 、菱形 C 、正方形 D 、梯形3、如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=70°∠C=40°，DE//AB 交BC 于点E ．若AD=3，BC=10，则CD 的长是( )A 、7B 、10C 、13D 、144、如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，P为边BC 上一动点，PE⊥AB 于E ，PF⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为( )A 、2B 、2.4C 、2.6D 、35、如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD⊥DC，BD=DC ，CE 平分∠BCD，交AB于点E，交BD于点H，EN∥DC交BD于点N．下列结论：①BH=DH；②CH=(+1)EH ；③＝．其中正确的是（）A、①②B、②③C、①③D、①②③6、如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，则tanB=（）A、2B、2C 、D 、7、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC ，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF ．若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（）.A、2B、4C、6D、88、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D ，交AB于点E ，且BE＝34④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是（）A、1B、2C、3D、412、（2016•苏州）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA 的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A、（3，1）B、（3，）C、（3，）D、（3，2）二、填空题（共5题；共5分）13、已知梯形的上底长为a ，中位线长为m ，那么这个梯形的下底长为________.14、如图，在等腰梯形ABCD中，AC⊥BD，AC=6cm，则等腰梯形ABCD的面积为________cm2．15、（2016•昆明）如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB=6，BC=8，则四边形EFGH的面积是________．516、（2016•义乌）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E是AB的中点，直线l平行于直线EC，且直线l与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD边上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点A恰好落在直线l 上，则DF的长为________．17、（2016•张家界）如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是________cm ．三、解答题（共2题；共15分）18、已知：如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是∠ABC 的平分线，DE⊥AB于点E ，DF⊥BC于点F ．求证：四边形DEBF是正方形．19、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD=AC．(1)求证：AD=BC；(2)若E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．四、综合题（共3题；共35分）620、（2016•泰安）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，AC⊥AB，E是BC的中点，AD⊥AE．(1)求证：AC2=CD•BC；(2)过E作EG⊥AB，并延长EG至点K，使EK=EB．①若点H是点D关于AC的对称点，点F为AC的中点，求证：FH⊥GH；②若∠B=30°，求证：四边形AKEC是菱形．21、（2016•毕节市）如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F ．(1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB=2，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．22、（2016•包头）如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分别是AC、AB边上点，连接EF．(1)图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF=3S△EDF，求AE的长；(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA．①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长；(3)如图③，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN=1，CE= ，求的值．7答案解析部分一、单选题【答案】D【考点】平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，命题与定理【解析】【解答】A.两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故本选项错误；B.两条角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项错误；C.两条对角线相互垂直平分的四边形是菱形，故本选项错误；D.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，本选项正确；故选D.【分析】解答本题的关键是熟练掌握通过对角线判定四边形是平行四边形或特殊平行四边形，必需具备互相平分的前提。

2017年中考数学总复习训练特殊的四边形矩形菱形含解析

特殊的四边形（矩形、菱形）一、选择题1．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．B．C．D．不确定2．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是（）A．20° B．40° C．80° D．100°3．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC上的三等分点，则S△BEF为（）A．8 B．12 C．16 D．244．把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上，那么∠EMF的度数是（）A．85° B．90° C．95° D．100°5．如图，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的四边形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对6．如图，矩形ABCD的周长为68，它被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）A．98 B．196 C．280 D．2847．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）A． B．C．D．68．如图所示，把一长方形纸片沿MN折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AMD′=36°，则∠NFD′等于（）A．144°B．126°C．108°D．72°9．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为（）A．1 B．2 C．D．10．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＞60°．现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1D分别落在矩形ABCD外部的点A′、D′处，则整个阴影部分图形的周长为（）A．18cm B．36cm C．40cm D．72cm12．下列识别图形不正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．有三个角是直角的四边形是矩形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形13．四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定它是矩形的是（）A．AB=CD，AB∥CD，∠BAD=90°B．AO=CO，BO=DO，AC=BDC．∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°D．∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°14．直角三角形中，两条直角边边长分别为12和5，则斜边中线的长是（）A．26 B．13 C．30 D．6.515．将一个矩形的纸对折两次，沿图中虚线将一角剪掉再打开后，得到的图形为（）A．B．C．D．16．菱形一条对角线长为8m，周长为20m，则其面积为（）A．40m2B．20m2C．48m2D．24m217．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形A．AD平分∠BAC B．AB=AC且BD=CD C．AD为中线D．EF⊥AD二、填空题19．矩形ABCD中，对角线AC=10cm，AB：BC=3：4，则它的周长是cm．20．矩形ABCD的两条对角线相交于点O，如果矩形的周长是34cm，又△AOB的周长比△ABC的周长少7cm，则AB= cm，BC= cm．21．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=110°，则∠OAB= 度．22．如图所示，把两个大小完全一样的矩形拼成“L”形图案，则∠FAC= 度，∠FCA= 度．23．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F，线段DF与图中的哪一条线段相等？先将猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明．即DF= ．（写出一条线段即可）24．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形．若∠CED′=56°，则∠AED的大小是°．25．菱形ABCD的周长为36，其相邻两内角的度数比为1：5，则此菱形的面积为．26．已知菱形的两条对角线长为6cm和8cm，菱形的周长是cm，面积是cm2．27．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是．28．已知菱形的两条对角线的长分别是4cm和8cm，则它的边长为cm．30．已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=2，那么AP的长为．31．已知四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，E为AD中点，AB=6cm，P为AC上任一点．求PE+PD的最小值是．32．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是．33．已知四边形ABCD为平行四边形，要使四边形ABCD为菱形，还应添加条件．34．用两张对边平行的纸条交叉重叠放在一起，则四边形ABCD为；两张纸条互相垂直时，四边形ABCD 为；若两张纸条的宽度相同，则四边形ABCD为．三、解答题35．如图1中的矩形ABCD，沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平行移动，得到图2．在图2中，△ADC ≌△C′BA′，AC∥A′C′，A′B∥DC．除△DAC与△C′BA′外，指出有哪几对全等的三角形（不能添加辅助线和字母）？选择其中一对加以证明．36．如图，在▱ABCD的纸片中，AC⊥AB，AC与BD相交于点O，将△ABC沿对角线AC翻转180°，得到△AB′C．（1）以A，C，D，B′为顶点的四边形是矩形吗（请填“是”、“不是”或“不能确定”）；（2）若四边形ABCD的面积S=12cm2，求翻转后纸片重叠部分的面积，即S△ACE= cm2．37．如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，那么MN⊥BD成立吗？试说明理由．38．如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2010厘米后停下，则这只蚂蚁停在点．39．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．特殊的四边形（矩形、菱形）参考答案与试题解析一、选择题1．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．B．C．D．不确定【考点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】过P点作PE⊥AC，PF⊥BD，由矩形的性质可证△PEA∽△CDA和△PFD∽△BAD，根据和，即和，两式相加得PE+PF=，即为点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和．【解答】解：法1：过P点作PE⊥AC，PF⊥BD∵矩形ABCD∴AD⊥CD∴△PEA∽△CDA∴∵AC=BD==5∴…①同理：△PFD∽△BAD∴∴…②∴①+②得：∴PE+PF=即点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是．法2：连结OP．∵AD=4，CD=3，∴AC==5，又∵矩形的对角线相等且互相平分，∴AO=OD=2.5cm，∴S△APO+S△POD=×2.5•PE+×2.5•PF=×2.5（PE+PF）=×3×4，∴PE+PF=．故选：A．【点评】根据矩形的性质，结合相似三角形求解．2．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是（）A．20° B．40° C．80° D．100°【考点】矩形的性质．【专题】计算题．【分析】根据矩形的性质，得△BOC是等腰三角形，再由等腰三角形的性质进行答题．【解答】解：图形中∠1=40°，∵矩形的性质对角线相等且互相平分，∴OB=OC，∴△BOC是等腰三角形，∴∠OBC=∠1，则∠AOB=2∠1=80°．故选C．【点评】本题主要考查了矩形的性质，对角线相等且互相平分，矩形被对角线分成四个等腰三角形．3．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC上的三等分点，则S△BEF为（）A．8 B．12 C．16 D．24【考点】矩形的性质．【专题】压轴题．【分析】要求S△BEF只要求出底边EF以及EF边上的高就可以，高可以根据△ABC的面积得到，EF=AC，根据勾股定理得到AC，就可以求出EF的长，从而求出△EFG的面积．又E、F是AC上的三等分点．∴S△BEF=S△ABC=8．故选A．【点评】本题运用了勾股定理，已知直角三角形的两直角边，求斜边上的高，这类题的解决方法是需要熟记的内容．4．把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上，那么∠EMF的度数是（）A．85° B．90° C．95° D．100°【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠的性质：对应角相等，对应的线段相等，可得．【解答】解：根据图形，可得：∠EMB′=∠EMB，∠FMB′=∠FMC，∵∠FMC+∠FMB′+∠EMB′+∠BME=180°，∴2（∠EMB′+∠FMB′）=180°，∵∠EMB′+∠FMB′=∠FME，∴∠EMF=90°．故选B．【点评】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．5．如图，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的四边形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对【考点】矩形的性质．【专题】压轴题．【分析】本题考查了矩形的性质，得出△EPD≌△HDP，则S△EPD=S△HDP，通过对各图形的拼凑，得到的结论．∵EF∥AB，AB∥DC，∴EF∥DC，则EP∥DH；故∠PED=∠DHP；同理∠DPH=∠PDE；又PD=DP；所以△EPD≌△HDP；则S△EPD=S△HDP；同理，S△GBP=S△FPB；则（1）S 梯形BPHC=S△BDC﹣S△HDP=S△ABD﹣S△EDP=S梯形ABPE；（2）S□AGPE=S梯形ABPE﹣S△GBP=S梯形BPHC﹣S△FPB=S□FPHC；（3）S梯形FPDC=S□FPHC+S△HDP=S□AGPE+S△EDP=S梯形GPDA；（4）S□AGHD=S□AGPE+S□HDPE=S□PFCH+S□PHDE=S□EFCD；（5）S□ABFE=S□AGPE+S□GBFP=S□PFCH+S□GBFP=S□GBCH故选C．【点评】本题是一道结论开放题，掌握矩形的性质，很容易得到答案．6．如图，矩形ABCD的周长为68，它被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）A．98 B．196 C．280 D．284【考点】矩形的性质．【专题】计算题．【分析】等量关系为：5个小矩形的宽等于2个小矩形的长；6个小矩形的宽加一个小矩形的长等于大长方形周长的一半．【解答】解：设小矩形宽为x，长为y．则大矩形长为5x或2y，宽为x+y．依题意有x+y+5x==34；5x=2y．解得：x=4，y=10．则大矩形长为20，宽为14．所以大矩形面积为280．故选C．【点评】本题考查了矩形的面积和一种很重要的思想：方程思想．7．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）A． B．C．D．6【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．【分析】先根据图形翻折变换的性质求出AC的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论．【解答】解：∵△CEO是△CEB翻折而成，∴BC=OC，BE=OE，∠B=∠COE=90°，∴EO⊥AC，∵O是矩形ABCD的中心，∴OE是AC的垂直平分线，AC=2BC=2×3=6，∴AE=CE，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即62=AB2+32，解得AB=3，在Rt△AOE中，设OE=x，则AE=3﹣x，AE2=AO2+OE2，即（3﹣x）2=32+x2，解得x=，∴AE=EC=3﹣=2．故选：A．【点评】本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．8．如图所示，把一长方形纸片沿MN折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AMD′=36°，则∠NFD′等于（）A．144°B．126°C．108°D．72°【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】计算题．【分析】根据∠AMD′=36°和折叠的性质，得∠NMD=∠NMD′=72°；根据平行线的性质，得∠BNM=∠NMD=72°；根据折叠的性质，得∠D′=∠D=90°；根据四边形的内角和定理即可求得∠NFD′的值．【解答】解：∵∠AMD′=36°，∴∠NMD=∠NMD′=72°．∵AD∥BC，∴∠BNM=∠NMD=72°．又∵∠D′=∠D=90°，∴∠NFD′=360°﹣72°×2﹣90°=126°．故选B．【点评】此题综合运用了折叠的性质、平行线的性质、四边形的内角和定理．9．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为（）A．1 B．2 C．D．【考点】菱形的性质；勾股定理．【专题】计算题．【分析】根据题意可知，AC=2BC，∠B=90°，所以根据勾股定理可知AC2=AB2+BC2，即（2BC）2=32+BC2，从而可求得BC的长．【解答】解：∵AC=2BC，∠B=90°，∴AC2=AB2+BC2，∴（2BC）2=32+BC2，∴BC=．故选：D．【点评】此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．10．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＞60°．现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】连BH，根据折叠的性质得到∠1=∠2，EB=EH，BH⊥EG，则∠EBH=∠EHB，又点E是AB的中点，得EH=EB=EA，于是判断△AHB为直角三角形，且∠3=∠4，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，因此有∠1=∠2=∠3=∠4．【解答】解：连BH，如图，∵沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，∴∠1=∠2，EB=EH，BH⊥EG，而∠1＞60°，∴∠1≠∠AEH，∵EB=EH，∴∠EBH=∠EHB，又∵点E是AB的中点，∴EH=EB=EA，∴△AHB为直角三角形，∠AHB=90°，∠3=∠4，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2=∠3=∠4．故选B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后的两个图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了若三角形一边上的中线等于这边的一半，则此三角形为直角三角形．11．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A′、D′处，则整个阴影部分图形的周长为（）A．18cm B．36cm C．40cm D．72cm【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题．【分析】延长A1E交CD于点G，由题意知GE=EH，FH=GF，则阴影部分的周长与原矩形的周长相等．【解答】解：延长A1E交CD于点G，由题意知，GE=EH，FH=GF，四边形EHD1A1≌四边形EGDA，∴AD=A1D1，AE=A1E，DG=D1H，FH=FG，∴阴影部分的周长=矩形的周长=（12+6）×2=36cm．故选：B．【点评】本题利用了翻折的性质：对应图形全等，对应边相等．12．下列识别图形不正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．有三个角是直角的四边形是矩形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形【考点】矩形的判定．【专题】证明题．【分析】矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形，据此判定．【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；B、有三个角是直角的四边形是矩形，正确；C、对角线相等的四边形不一定是矩形，对角线相等的平行四边形才是矩形，错误；D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确．故选C．【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形，据此判定．13．四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定它是矩形的是（）A．AB=CD，AB∥CD，∠BAD=90°B．AO=CO，BO=DO，AC=BDC．∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°D．∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°【考点】矩形的判定．【分析】矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断．【解答】解：A、一个角为直角的平行四边形为矩形，故A正确．B、矩形的对角线平分且相等，故B正确．C、∠BCD+∠ADC=180°，但∠BCD不一定与∠ADC相等，根据矩形的判定定理，故C不正确．D、因为∠BAD=∠BCD，故AB∥CD，又因为，∠ABC=∠ADC=90°，根据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形），故D正确．故选C．【点评】本题考查的是矩形的判定定理，但考生应注意的是由矩形的判定引申出来的各图形的判定．难度一般．14．直角三角形中，两条直角边边长分别为12和5，则斜边中线的长是（）A．26 B．13 C．30 D．6.5【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．【分析】由勾股定理可以求出斜边，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可以求出斜边中线的长．【解答】解：由勾股定理知，斜边c==13，∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半知，∴斜边中线的长=×13=6.5．故选D．【点评】本题考查了勾股定理和直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半．15．将一个矩形的纸对折两次，沿图中虚线将一角剪掉再打开后，得到的图形为（）A．B．C．D．【考点】剪纸问题．【分析】根据题意知，对折实际上就是对称，对折两次的话，剪下应有4条边，并且这4条边还相等，从而可以得到剪下的图形展开后一定是菱形．【解答】解：根据题意折叠剪图可得，剪下的四边形四条边相等，根据四边形等的四边形是菱形可得剪下的图形是菱形，故选：A．【点评】此题考查了剪纸问题，关键是掌握菱形的判定方法：四边形等的四边形是菱形．16．菱形一条对角线长为8m，周长为20m，则其面积为（）A．40m2B．20m2C．48m2D．24m2【考点】菱形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】菱形对角线互相垂直平分，所以OA2+OB2=AB2，根据已知可得AB=5，BO=4，利用勾股定理求得AO，即可求得AC的长，根据AC、BD即可求菱形ABCD的面积，即可解题．【解答】解：根据题意可得：BD=8m，则BO=DO=4m，∵菱形周长为20m，∴AB=5m，∵菱形对角线互相垂直平分，∴OA2+OB2=AB2，∴AO==3（m），∴AC=6（m），故菱形的面积S=×6×8=24（m2）．故选D．．【点评】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，菱形面积的计算，本题中根据勾股定理求AO的值是解题的关键．17．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形【考点】菱形的判定；作图—复杂作图．【分析】关键菱形的判定定理（有四边都相等的四边形是菱形）判断即可．【解答】解：由图形作法可知：AD=AB=DC=BC，∴四边形ABCD是菱形，故选：B．【点评】本题主要考查对作图﹣复杂作图，菱形的判定等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．18．已知DE∥AC、DF∥AB，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是（）A．AD平分∠BAC B．AB=AC且BD=CD C．AD为中线D．EF⊥AD【考点】菱形的判定．【专题】几何图形问题．【分析】首先根据题意画出图形，然后由DE∥AC、DF∥AB，判定四边形DEAF为平行四边形，再由菱形的判定定理求解即可求得答案；注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：如图，∵DE∥AC、DF∥AB，∴四边形DEAF为平行四边形，A、∵AD平分∠BAC，DF∥AB，∴∠BAD=∠CAD，∠BAD=∠ADF，∴∠CAD=∠ADF，∴AF=DF，∴四边形DEAF为菱形；B、∵AB=AC且BD=CD，∴AD平分∠BAC，同理可得：四边形DEAF为菱形；C、∵由AD为中线，得不到AD平分∠BAC，证不出四边形DEAF的邻边相等，∴不能判断四边形DEAF为菱形；D、∵AD⊥EF，∴▱DEAF是菱形．故选C．【点评】此题考查了菱形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题19．矩形ABCD中，对角线AC=10cm，AB：BC=3：4，则它的周长是28 cm．【考点】矩形的性质；勾股定理．【专题】计算题．【分析】根据矩形的一组邻边和一条对角线组成一个直角三角形，解题即可．【解答】解：根据矩形的性质得到△ABC是直角三角形，因为对角线AC=10cm，AB：BC=3：4，根据勾股定理得到BC2=AC2﹣（BC）2=100﹣BC2解得BC=8，AB=6，故它的周长=2×8+2×6=28cm．故答案为28．【点评】本题考查对矩形的性质以及勾股定理的运用．20．矩形ABCD的两条对角线相交于点O，如果矩形的周长是34cm，又△AOB的周长比△ABC的周长少7cm，则AB= 10 cm，BC= 7 cm．【考点】矩形的性质；勾股定理．【专题】计算题．【分析】根据矩形的对边相等以及所给的三角形的周长可得到和所求线段相关的两个式子，进而求解．【解答】解：设AB=a，BC=b．∴2OA=2OB=AC=，2a+2b=34，即a+b=17．由题意可知△AOB的周长+7=△ABC的周长．∴AB+OA+OB+7=AB+BC+AC．∴a++7=a+b+．即b=7，a=17﹣7=10．即AB=10，BC=7．故答案为，10，7．【点评】本题综合考查了矩形的性质及勾股定理的运用．21．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=110°，则∠OAB= 35 度．【考点】矩形的性质；三角形内角和定理．【专题】计算题．【分析】根据矩形对角线的性质得到△OAB的形状，进而求得底角的度数．【解答】解：∵矩形的对角线相等且互相平分．∴OA=OC．∴△AOB是等腰三角形．∴∠OAB=∠OBA．∵∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°．∴2∠OAB+110°=180°．∴∠OAB=35°．故答案为35．【点评】本题考查矩形的性质以及三角形内角和定理．22．如图所示，把两个大小完全一样的矩形拼成“L”形图案，则∠FAC= 90 度，∠FCA= 45 度．【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】两个大小完全一样的矩形拼成“L”形图案所构成的△AFG≌△CAB，所以AF=AC，∠FAC=90°，∠FCA=45度．【解答】解：由已知△AFG≌△CAB，∴∠AFG=∠CAB，AF=AC∵∠AFG+∠FAG=90°，∴∠CAB+∠FAG=90°，∴∠FAC=90°．又∵AF=AC，∴∠FCA=（180°﹣90°）×=45°．故答案为：90；45．【点评】根据矩形的性质得到全等三角形，进而求得△AFC是等腰直角三角形．23．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F，线段DF与图中的哪一条线段相等？先将猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明．即DF= BE ．（写出一条线段即可）【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据矩形的性质得出AD∥BC，推出∠AFD=∠B，推出∠DAF=∠AEB，根据全等三角形的判定推出△AFD ≌△EBA即可．【解答】解：DF=BE，理由是：∵四边形ABCD是矩形，DF⊥AE，∴∠B=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠DAF=∠AEB，在△AFD和△EBA中∴△AFD≌△EBA（AAS），∴DF=BE，故答案为：DF=BE．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出△AFD≌△EBA，注意：矩形的四个角都是直角，矩形的对边平行．24．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形．若∠CED′=56°，则∠AED的大小是62 °．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题；操作型．【分析】易得∠DED′的度数，除以2即为所求角的度数．【解答】解：∵∠CED′=56°，∴∠DED′=180°﹣56°=124°，∵∠AED=∠AED′，∴∠AED=∠DED′=62°．故答案为：62．【点评】考查翻折变换问题；用到的知识点为：翻折前后得到的角相等．25．菱形ABCD的周长为36，其相邻两内角的度数比为1：5，则此菱形的面积为40.5 ．【考点】菱形的性质．【分析】根据相邻两内角的度数比为1：5，可求出一个30°角，根据周长为36，求出菱形的边长，根据直角三角形里30°角的性质求出高，从而求出面积．【解答】解：作AE⊥BC于E点，∵其相邻两内角的度数比为1：5，∴∠B=180°×=30°，∵菱形ABCD的周长为36，∴AB=BC=×36=9．∴AE=×9=．∴菱形的面积为：BC•AE=9×=40.5．故答案为：40.5．【点评】本题考查菱形的性质，菱形的邻角互补，四边相等．26．已知菱形的两条对角线长为6cm和8cm，菱形的周长是20 cm，面积是24 cm2．【考点】菱形的性质；勾股定理．【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半可得到其面积，根据菱形的性质可求得其边长，从而可得到其周长．【解答】解：如图，四边形ABCD是菱形，BD，AC分别是其对角线且BD=6，AC=8，求其面积和周长．∵四边形ABCD是菱形，BD，AC分别是其对角线，∴BD⊥AC，BO=OD=3cm，AO=CO=4cm，∴AB=5cm，∴菱形的周长=5×4=20cm；S菱形=×6×8=24cm2．故本题答案为：20cm；24cm2．【点评】此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．27．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是AC⊥BD ．【考点】中点四边形．【分析】根据三角形的中位线定理，可以证明所得四边形的两组对边分别和两条对角线平行，所得四边形的两组对边分别是两条对角线的一半，再根据平行四边形的判定就可证明该四边形是一个平行四边形；所得四边形要成为矩形，则需有一个角是直角，故对角线应满足互相垂直．【解答】解：如图，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC，∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形；要使四边形EFGH是矩形，则需EF⊥FG，即AC⊥BD；故答案为：AC⊥BD．【点评】此题主要考查了三角形的中位线定理的运用．同时熟记此题中的结论：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形．28．已知菱形的两条对角线的长分别是4cm和8cm，则它的边长为2cm．【考点】菱形的性质．【专题】计算题．【分析】根据菱形的性质及勾股定理即可求得其边长的值．【解答】解：菱形的两条对角线分别是4cm，8cm，得到两条对角线相交所构成的直角三角形的两直角边是×4=2和×8=4，那么根据勾股定理得到它的斜边即菱形的边长=2cm．故答案为2【点评】本题考查菱形的性质以及勾股定理．29．若四边形ABCD是平行四边形，使四边形ABCD是菱形，请补充条件此题答案不唯一，如AC⊥BD或AB=AD 等（写一个即可）．【考点】菱形的判定．【专题】开放型．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定定理求解即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AC⊥BD或AB=AD时，四边形ABCD是菱形．故答案为：此题答案不唯一，如AC⊥BD或AB=AD等．【点评】此题考查了菱形的判定．此题难度不大，注意熟记定理是解此题的关键．30．已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=2，那么AP的长为或．【考点】菱形的性质．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】根据题意得，应分P与A在BD的同侧与异侧两种情况进行讨论．【解答】解：当P与A在BD的异侧时：连接AP交BD于M，∵AD=AB，DP=BP，∴AP⊥BD（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上），在直角△ABM中，∠BAM=30°，∴AM=AB•cos30°=3，BM=AB•sin30°=3，∴PM==，∴AP=AM+PM=4；当P与A在BD的同侧时：连接AP并延长AP交BD于点MAP=AM﹣PM=2；当P与M重合时，PD=PB=3，与PB=PD=2矛盾，舍去．AP的长为4或2．故答案为4或2．【点评】本题注意到应分两种情况讨论，并且注意两种情况都存在关系AP⊥BD，这是解决本题的关键．31．已知四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，E为AD中点，AB=6cm，P为AC上任一点．求PE+PD的最小值是3．【考点】轴对称﹣最短路线问题；菱形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据菱形的性质，可得AC是BD的垂直平分线，可得AC上的点到D、B点的距离相等，连接BE交AC 与P，可得答案．【解答】解：∵菱形的性质，∴AC是BD的垂直平分线，AC上的点到B、D的距离相等．连接BE交AC于P点，PD=PB，PE+PD=PE+PB=BE，在Rt△ABE中，由勾股定理得BE==3，故答案为：3．【点评】本题考查了轴对称，对称轴上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．32．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是 5 ．【考点】轴对称﹣最短路线问题；勾股定理；菱形的性质．【专题】计算题．【分析】AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，根据菱形的性质推出N是AD中点，P与O重合，推出PE+PF=NF=AB，根据勾股定理求出AB的长即可．【解答】解：AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，∴PN=PE，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAB=∠BCD，AD=AB=BC=CD，OA=OC，OB=OD，AD∥BC，∵E为AB的中点，∴N在AD上，且N为AD的中点，∵AD∥CB，∴∠ANP=∠CFP，∠NAP=∠FCP，∵AD=BC，N为AD中点，F为BC中点，∴AN=CF，在△ANP和△CFP中，∴△ANP≌△CFP（ASA），∴AP=CP，即P为AC中点，∵O为AC中点，∴P、O重合，即NF过O点，∵AN∥BF，AN=BF，∴四边形ANFB是平行四边形，∴NF=AB，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，OA=AC=3，BO=BD=4，由勾股定理得：AB==5，故答案为：5．【点评】本题考查了轴对称﹣最短问题，勾股定理，菱形的性质等知识点的应用，关键是理解题意确定出P。

初二数学菱形、矩形复习题(含答案)(K12教育文档)

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初二数学菱形、矩形复习题矩形：定义:有一个是直角的平行四边形是矩形性质：判定：菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形性质：判定:1．如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于E，F点，连接CE，则△CDE的周长为____________2．如图,在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AB上，PE⊥AC于E,PF⊥BD于F，则PE+PF等于________3．如图,在矩形ABCD中，DE⊥AC于E,∠EDC：∠EDA=1：3,且AC=8，则DE的长度是_______________4．如图,E,F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且△ABG,△DCH的面积分别为15和20,则图中阴影部分的面积为________________5．若菱形两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的面积为________________6．若菱形的周长为16，两邻角度数之比为1：2，则该菱形的面积为_________________7．如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点,E、F分别是OA、OC的中点．下列结论:①S△=S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF ADE是轴对称图形．其中正确的结论有________________8．如果矩形一条较短的边是5，两条对角线的夹角是60°，则对角线长是．9．Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M 为EF中点，则AM的最小值为．10．如图，四边形ABCD为矩形，H、F分别为AD、BC边的中点,四边形EFGH为矩形,E、G分别在AB、CD边上，则图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比为．11．如图，在矩形ABCD中,AD=5,AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上,且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于．12．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点,若BE=1,AG=4，则AB的长为．13．如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动,运动过程中，点P到原点的最大距离是;若将△ABP的PA边长改为,另两边长度不变,则点P到原点的最大距离变为．14．如图,在菱形ABCD中,AD=8，∠ABC=120°，E是BC的中点,P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．15．如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC的中线,过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则BG= ．16．下列命题：①矩形的对角线互相平分且相等；②对角线相等的四边形是矩形；③菱形的每一条对角线平分一组对角；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的命题为（注:把你认为正确的命题序号都填上）17．如图，在矩形ABCD中，AE=AF,过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于G，当AD、AB满足（关系)时,四边形EFGH为矩形．18．如图，△ABC中，AC的中垂线交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF延长线于点E，若∠A=30°,BC=6,AF=BF，则四边形BCDE的面积是．19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=6，BC=8，点D是斜边AB上任意一点，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是点E、F，点Q是EF的中点，则线段DQ长的最小值等于．20．如图，矩形ABCD中,AB=20cm，BC=4cm，点P从A 开始沿折线A﹣B﹣C﹣D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s)，当t= 时，四边形APQD 也为矩形．21．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°,AC与BC交于点O,E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是．(把所有正确结论的序号都填在横线上)①OG=AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形CDGF＞S△ABF; ④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．22．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F,连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是．23．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，并且∠A=∠D．（1)求证：四边形ABCD为矩形;(2）点E是AB边的中点,F为AD边上一点,∠1=2∠2，若CE=4，CF=5，求DF的长．24．已知：如图，在△ABC中,D是BC边上的一点，连接AD，取AD的中点E，过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F，连接DF．（1）求证：AF=DC；(2）请问：AD与CF满足什么条件时,四边形AFDC是矩形，并说明理由．25．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD,点 E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．（1）求证：四边形DEBF是菱形;（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．26．如图，四边形ABCD中,AB=AC=AD，BC=CD，锐角∠BAC的角平分线AE交BC于点E，AF是CD边上的中线,且PC⊥CD与AE交于点P，QC⊥BC与AF交于点Q．求证：四边形APCQ是菱形．27．矩形ABCD中，E是CD上一点，且AE=CE,F是AC上一点FH⊥AE于H，FG⊥CD于G,求证:FH+FG=AD．28．如图，在△ABC中,AC=9，AB=12,BC=15,P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H．（1）求证：四边形AGPH是矩形；（2)在点P在运动过程中,GH是否存在最小值？若存在，请求出,若不存在,请说明理由．29．如图,等腰三角形ABC中,AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P（点A除外)，过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E和点F,作PQ∥AC，交AB于点Q，连接QE．（1)求证：四边形AEPQ为菱形；（2）当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？30．在△ABC中,∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC交AD于E,交AC于G，GF⊥BC于F，连接EF．（1)如图1，求证：四边形AEFG是菱形；（2)如图2，若E为BG的中点，过点E作EM∥BC交AC于M，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中是CM长倍的所有线段．31．阅读下面短文:如图①,△ABC是直角三角形,∠C=90°,现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图②）解答问题:(1)设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1S2（填“＞"“="或“＜"）．(2）如图③,△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画个,利用图③把它画出来．（3)如图④,△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出个，利用图④把它画出来．（4)在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？32．如图1,菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF．（1）求证:CE=CF;(2）如图2，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB．33．如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由．34．将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG，（1）试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；（2）若AB=8，AD=4，求四边形DHBG的面积．35．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB,E为AD上一点，EC 交AF于点G．（1）求证:四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC．36．如图1，平行四边形ABCD,DE⊥AB．垂足E在BA的延长线上，BF⊥DC，垂足F在DC的延长线上．(1)求证:四边形BEDF是矩形；（2)如图2，若M、N分别为AD、BC的中点,连接EM、EN、FM、FN,求证：四边形EMFN是平行四边形．37．如图1，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是边AB的中点，点E在边BC上,AE=BE,点M是AE的中点，联结CM，点G在线段CM上，作∠GDN=∠AEB交边BC于N．(1）如图2,当点G和点M重合时，求证:四边形DMEN是菱形;（2）如图1，当点G和点M、C不重合时，求证：DG=DN．参考答案矩形：定义：有一个是直角的平行四边形是矩形性质:判定：菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形性质：1．如图，矩形ABCD的周长为20cm,两条对角线相交于O点,过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于E，F点，连接CE，则△CDE的周长为__________【解答】解:∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，BC=AD,OA=OC=OB=OD,AD∥BC，∴∠EDO=∠FBO,．∵矩形ABCD的周长为20cm，∴BC+DC=10cm，∵EF⊥AC,∴CE=CF，在△ODE和△OBF中，,∴△ODE≌△OBF(ASA)，∴DE=BF，∴△CDE的周长=DE+CE+DC=BF+CF+DC=BC+DC=10cm．2．如图，在矩形ABCD中,AB=3，AD=4,点P在AB上,PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于______【解答】解：方法一：设AP=x，PB=3﹣x．∵∠EAP=∠EAP，∠AEP=∠ABC；∴△AEP∽△ABC，故=①;同理可得△BFP∽△DAB，故=②．①+②得=，∴PE+PF=．方法二：（面积法）如图,作BM⊥AC于M，则BM==，∵S△AOB=S△AOP+S△POB,∴•AO•BM=•AO•PE+•OB•PF，∵OA=OB,∴PE+PF=BM=．3．如图，在矩形ABCD中,DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1:3，且AC=8，则DE的长度是______________【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，AC=BD=8,OA=OC=AC=4，OB=OD=BD=4，∴OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∵∠EDC:∠EDA=1：3，∠EDC+∠EDA=90°，∴∠EDC=22.5°，∠EDA=67。

【数学】中考数学专题复习23特殊四边形

【关键字】数学2017年中考数学专题练习23《特殊四边形》【知识归纳】一、矩形1.定义：有一个角是的平行四边形叫做矩形2.性质(1)矩形的四个角都是；(2)矩形的对角线互相平分并且(3)矩形是一个轴对称图形，它有条对称轴3.判定(1)根据矩形的定义；(2)有个角是直角的平行四边形是矩形；(3)对角线的平行四边形是矩形二．菱形1.定义有一组邻边相等的平行四边形是菱形2.性质(1)菱形的四条边；(2)菱形的对角线互相平分；(3)每条对角线平分(4)菱形是对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴，菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点3.判定(1)根据菱形的定义；(2)四条边的四边形是菱形；(3)对角线互相的平行四边形是菱形三．正方形1.定义有一组邻边相等，且有一个角是直角的叫做正方形2.性质①正方形对边平行；②正方形四边；③正方形四个角都是；④正方形对角线相等，互相笔直平分，每条对角线平分；⑤正方形既是轴对称图形也是图形，对称轴有条，对称中心是对角线的交点3.判定(1)根据正方形的定义；(2)有一组邻边相等的是正方形；(3)有一个角是直角的是正方形【基础检测】1．（2016•舟山）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是（）A．B．C．1 D．2．（2016•兰州）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED的面积（）A．2B．．4D．83. （2016·云南昆明）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若=，则3S△EDH=13S△DHC，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2016·黑龙江齐齐哈尔）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件使其成为菱形（只填一个即可）．5. (2013山东烟台)如图，□ABCD的周长为36．对角线AC，BD相交于点O．点E是CD 的中点．BO=12．则△DOE的周长为___________.6. （2013四川雅安）在□ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE＝CF．(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若DF＝BF，求证：四边形DEBF为菱形．7.（2016·贵州安顺·10分）如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．8．（2016广西南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．【达标检测】一．选择题1.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE. AC，BE相交于点F，则∠BFC为( )A．45° B．55° C．60° D．75°2．（2016·四川攀枝花）下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分3.（2016·四川内江）下列命题中，真命题是( )A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形4．（2016·四川南充）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°5．（2016·四川泸州）如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（）A．B．C．D．6．（2016·湖北荆门）如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF二．填空题7. （2016·内蒙古包头）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=度．8. （2016·陕西）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为．9. 如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为．10. 如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=7. 点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D 的对应点D'落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为 .11. 如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=13a，在边A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分别取点A2、B2、C2、D2，使A1A2=B1B2=C1C2=D1D2=13A1B2，…．依次规律继续下去，则正方形A n B n C n D n的面积为．三．解答题12.（2016·黑龙江哈尔滨）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．（1）求证：AP=BQ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．13．（2016广西南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．14．（2016河南）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E．（1）求证：MD=ME；（2）填空：①若AB=6，当AD=2DM时，DE= ；②连接OD，OE，当∠A的度数为时，四边形ODME是菱形．15．（2016·陕西）问题提出（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．【知识归纳答案】一、矩形1.定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2.性质(1)矩形的四个角都是直角；(2)矩形的对角线互相平分并且相等(3)矩形是一个轴对称图形，它有 2 条对称轴3.判定(1)根据矩形的定义；(2)有 1 个角是直角的平行四边形是矩形；(3)对角线相等的平行四边形是矩形二．菱形1.定义有一组邻边相等的平行四边形是菱形2.性质(1)菱形的四条边相等；(2)菱形的对角线互相垂直平分；(3)每条对角线平分一组对角(4)菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴，菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点3.判定(1)根据菱形的定义；(2)四条边相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形三．正方形1.定义有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2.性质①正方形对边平行；②正方形四边相等；③正方形四个角都是直角；④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；⑤正方形既是轴对称图形也是中心图形，对称轴有四条，对称中心是对角线的交点3.判定(1)根据正方形的定义；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形；(3)有一个角是直角的菱形是正方形【基础检测答案】1．（2016•舟山）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是（）A．B．C．1 D．【分析】过F作FH⊥AE于H，根据矩形的性质得到AB=CD，AB∥CD，推出四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AF=CE，根据相似三角形的性质得到，于是得到AE=AF，列方程即可得到结论．【解答】解：过F作FH⊥AE于H，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE，∴DE=BF，∴AF=3﹣DE，∴AE=，∵∠FHA=∠D=∠DAF=90°，∴∠AFH+∠HAF=∠DAE+∠FAH=90°，∴∠DAE=∠AFH，∴△ADE∽△AFH，∴，∴AE=AF，∴=3﹣DE，∴DE=，故选D．【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．2．（2016•兰州）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED的面积（）A．2B．4 C．4D．8【分析】连接OE，与DC交于点F，由四边形ABCD为矩形得到对角线互相平分且相等，进而得到OD=OC，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到ODEC为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形ODEC 为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出菱形OCEF的面积即可．【解答】解：连接OE，与DC交于点F，∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD，∵OD∥CE，OC∥DE，∴四边形ODEC为平行四边形，∵OD=OC，∴四边形ODEC为菱形，∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE，∵DE∥OA，且DE=OA，∴四边形ADEO为平行四边形，∵AD=2，DE=2，∴OE=2，即OF=EF=，在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DF==1，即DC=2，则S菱形O D E C=OE•DC=×2×2=2．故选A【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．3. （2016·云南省昆明市·4分）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若=，则3S△EDH=13S△DHC，其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】①根据题意可知∠ACD=45°，则GF=FC，则EG=EF﹣GF=CD﹣FC=DF；②由SAS证明△EHF≌△DHC，得到∠HEF=∠HDC，从而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=180°；③同②证明△EHF≌△DHC即可；④若=，则AE=2BE，可以证明△EGH≌△DFH，则∠EHG=∠DHF且EH=DH，则∠DHE=90°，△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，设HM=x，则DM=5x，DH=x，CD=6x，则S△DHC=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2．【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，∴△CFG为等腰直角三角形，∴GF=FC，∵EG=EF﹣GF，DF=CD﹣FC，∴EG=DF，故①正确；②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，在△EHF和△DHC中，，∴△EHF≌△DHC（SAS），∴∠HEF=∠HDC，∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故②正确；③∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，在△EHF和△DHC中，，∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正确；④∵=，∴AE=2BE，∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=GH，∠FHG=90°，∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，在△EGH和△DFH中，，∴△EGH≌△DFH（SAS），∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，∴△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示：设HM=x，则DM=5x，DH=x，CD=6x，则S△DHC=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2，∴3S△EDH=13S△DHC，故④正确；故选：D．4．（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件AC⊥BC或∠AOB=90°或AB=BC 使其成为菱形（只填一个即可）．【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．【分析】利用菱形的判定方法确定出适当的条件即可．【解答】解：如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加一个适当的条件为：AC⊥BC或∠AOB=90°或AB=BC使其成为菱形．故答案为：AC⊥BC或∠AOB=90°或AB=BC5. (2013山东烟台)如图，□ABCD的周长为36．对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点．BO=12．则△DOE的周长为__________________.【答案】15【解题思路】根据平行四边形的性质，对角线互相平分，两组对边分别相等，可以分别求出OD、OE+DE的长，即可求解.∵□ABCD的周长为36，∴BC+CD=18，∵四边形ABCD为平行四边形，∴O是BD的中点，∴OD=6,又∵E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE+DE=9，∴△DOE的周长=OD+OE+DE=6+9=15【方法指导】本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理以及整体思想的运用.求三角形的周长可以分别求出三边的长，但是本题较新颖，根据对角线的交点是对角线的中点，可以求出其中一边的长，而另外两边运用整体思想，求出这两边的长度和后即可求解.在平行四边形中，由于对角线的交点即为中点，再加上另一中点，所以中位线定理是我们的首选.6.（2013四川雅安）在□ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE＝CF．(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若DF＝BF，求证：四边形DEBF为菱形．【答案】 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，又∵AE＝CF，∴△ADE≌△CBF．(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD．∵AE＝CF，∴BE＝DF，BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵DF＝BF，∴□DEBF是菱形．【解析】（1）首先根据平行四边形的性质可得AD＝BC，∠A＝∠C，再加上条件AE＝CF可利用SAS证明△ADE≌△CBF；（2）首先证明DF＝BE，再加上条件AB∥CD可得四边形DEBF是平行四边形，又DF＝FB，可根据邻边相等的平行四边形为菱形证出结论．【方法指导】此题主要考查了全等三角形的判定，以及菱形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理，以及菱形的判定定理，平行四边形的性质．7.（2016·贵州安顺）如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．【分析】第（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等．第（2）要求菱形的面积，在第（1）问的基础上很快知道△ABE为等边三角形．这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得．【解答】（1）证明：∵在▱ABCD中，AB=CD，∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，∴BE=DF．∴△ABE≌△CDF．（2）解：∵四边形AECF为菱形时，∴AE=EC．又∵点E是边BC的中点，∴BE=EC，即BE=AE．又BC=2AB=4，∴AB=BC=BE，∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，（6分）▱ABCD的BC边上的高为2×sin60°=，（7分）∴菱形AECF的面积为2．（8分）【点评】考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力．（1）用SAS证全等；（2）若四边形AECF为菱形，则AE=EC=BE=AB，所以△ABE为等边三角形．8．（2016广西南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．【考点】四边形综合题．【分析】（1）结论AE=EF=AF．只要证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形．（2）欲证明BE=CF，只要证明△BAE≌△CAF即可．（3）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH=CF•cos30°，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题．【解答】（1）解：结论AE=EF=AF．理由：如图1中，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，△ADC是等边三角形，∴∠BAC=∠DAC=60°∵BE=EC，∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，∵∠EAF=60°，∴∠CAF=∠DAF=30°，∴AF⊥CD，∴AE=AF（菱形的高相等），∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF．（2）证明：如图2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAE，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF．（3）解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在R T△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，∴BG=2，AG=2，在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=2，∴EB=EG﹣BG=2﹣2，∵△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF=2﹣2，∠AEB=∠AFC=45°，∵∠EAF=60°，AE=AF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF=∠AFE=60°∵∠AEB=45°，∠AEF=60°，∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°，在RT△EFH中，∠CEF=15°，∴∠EFH=75°，∵∠AFE=60°，∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°，∵∠AFC=45°，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°，在RT△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=2﹣2，∴FH=CF•cos30°=（2﹣2）•=3﹣．∴点F到BC的距离为3﹣．【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．【达标检测答案】一．选择题（每小题4分，满分40分）1.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE. AC，BE相交于点F，则∠BFC为( )A．45° B．55° C．60° D．75°【答案】C．【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB= AD，∠ABC=∠BAD=90°，∠BAC=∠BCA=45°．∵△ADE是等边三角形，∴AE=AD，∠BCA=45°．∴∠BCE=135°，AB=AD.∴∠ABE=15°．∴∠CBF=75°．∴∠BFC=60°．故选C．2．（2016·四川攀枝花）下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分【考点】矩形的判定与性质．【分析】根据矩形的性质和判定定理逐个判断即可．【解答】解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；故选B．【点评】本题考查了矩形的性质和判定的应用，能熟记矩形的性质和判定定理是解此题的关键．3.（2016·四川内江）下列命题中，真命题是( )A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形[答案]C[考点]特殊四边形的判定。

【精品】初中数学中考专题《四边形—矩形、菱形、正方形》真题汇编

专题17 四边形—矩形、菱形、正方形真题汇编总分数 100分时长:不限题型单选题填空题简答题综合题题量 5 2 1 9总分10 6 6 781(2分)（2017怀化中考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=6 cm，则AB的长是（）A. 3 cmB. 6 cmC. 10 cmD. 12 cm2(2分)（2017长沙中考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为（）A. 5 cmB. 10 cmC. 14 cmD. 20 cm3(2分)（2017衡阳中考）菱形的两条对角线长分别是12和16，则此菱形的边长是（）A. 10B. 8C. 6D. 54(2分)（2017益阳中考）下列性质中菱形不一定具有的性质是（）A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直C. 对角线相等D. 既是轴对称图形又是中心对称图形5(2分)（2017邵阳中考）如图所示，边长为a的正方形中阴影部分的面积为（）A.B.C.D.6(3分)（2017怀化中考）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10 cm，点P是这个菱形内部或边上的一点.若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P，A两点不重合)两点间的最短距离为____1____ cm.7(3分)（2017张家界中考）如图，在正方形ABCD中，，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为____1____.8(6分)（2017岳阳中考）求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程.已知：如图，在中，对角线AC，BD交于点O，.求证：.9(6分)（2017邵阳中考）如图所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC=∠OCB.(1)(4分)求证：平行四边形ABCD是矩形；(2)(2分)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形.10(12分)（2017娄底中考）如图，在中，各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.(1)(4分)求证：；(2)(4分)猜一猜：四边形EFGH是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；(3)(4分)若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积.11(8分)（2017邵阳中考）如图所示，顶点为的抛物线过点M(2，0).(1)(4分)求抛物线的解析式；(2)(4分)点A是抛物线与x轴的交点(不与点M重合)，点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y=x+1上一点(处于x轴下方)，点D是反比例函数(k>0)图象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值.12(8分)（2017永州中考）如图，已知四边形ABCD是菱形，DF⊥AB于点F，BE⊥CD于点E.(1)(3分)求证：AF=CE；(2)(3分)若DE=2，BE=4，求sin∠DAF的值.13(8分)（2017张家界中考）如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE.(1)(8分)求证：；(2)(8分)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由.14(12分)（2017衡阳中考）如图，正方形ABCD的边长为1，点E为边AB上一动点，连接CE并将其绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接DF，以CE，CF为邻边作矩形CFGE，GE与AD，AC分别交于点H，M，GF交CD延长线于点N.(1)(3分)证明：点A，D，F在同一条直线上；(2)(3分)随着点E的移动，线段DH是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由；(3)(4分)连接EF，MN，当时，求AE的长.15(6分)（2017株洲中考）如图，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF 上，EF与BC交于点G，连接CF.(1)(3分)求证：；(2)(3分)求证：.16(12分)（2017永州中考）已知点O是正方形ABCD对角线BD的中点.(1)(4分)如图3，若E是OD上的动点(不与O，D重合)，连接CE，过E点作EF⊥CE，交AB于点F，当时，请猜想的值(请直接写出结论).(2)(4分)如图1，若点E是OD的中点，点F是AB上一点，且使得∠CEF=90°，过点E作，交AB于点M，交CD于点N.求证：④∠AEM=∠FEM；②点F是AB的中点；(3)(4分)如图2，若点E是OD上一点，点F是AB上一点，且使，请判断△EFC的形状，并说明理由；17(6分)（2017怀化中考）如图，四边形ABCD是正方形，是等边三角形.(1)(3分)求证：：(2)(3分)求∠AED的度数.专题17 四边形—矩形、菱形、正方形真题汇编参考答案与试题解析1(2分)（2017怀化中考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=6 cm，则AB的长是（）A. 3 cmB. 6 cmC. 10 cmD. 12 cm【解析】本题考查矩形的性质.由矩形的对角线相等且互相平分可得AO=OB=OD=OC，由∠AOB=60°，得是等边三角形，所以，故选A.【答案】A2(2分)（2017长沙中考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为（）A. 5 cmB. 10 cmC. 14 cmD. 20 cm【解析】本题考查棱形的性质、勾股定理.因为四边形ABCD为菱形，所以对角线AC与BD互相垂直且平分，所以AO⊥DO，且AO=3 cm，DO=4 cm，所以，则菱形ABCD的周长为4AD=20 cm，故选D.【答案】D3(2分)（2017衡阳中考）菱形的两条对角线长分别是12和16，则此菱形的边长是（）A. 10B. 8C. 6D. 5【解析】本题考查菱形的性质、勾股定理.如图，菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=16，BD=12，根据菱形的对角线互相垂直平分，可得AO=8，DO=6，在中，由勾股定理得AD=10，即菱形的边长是10，故选A.【方法指导】菱形的性质：菱形的对边平行，四条边相等；菱形的对角相等，邻角互补；菱形的对角线互相垂直且平分，每地条对角线平分一组对角.【答案】A4(2分)（2017益阳中考）下列性质中菱形不一定具有的性质是（）A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直C. 对角线相等D. 既是轴对称图形又是中心对称图形【解析】本题考查菱形的性质.对角线相等不是菱形的性质，菱形的对角线不一定相等，故选C.菱形的四条边相等；两条对角线互相垂直平分；每条对角线平分一组对角；既是轴对称图形又是中心对称图形.【答案】C5(2分)（2017邵阳中考）如图所示，边长为a的正方形中阴影部分的面积为（）A.B.C.D.【解析】本题考查不规则图形面积的计算.，故选A.【答案】A6(3分)（2017怀化中考）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10 cm，点P是这个菱形内部或边上的一点.若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P，A两点不重合)两点间的最短距离为____1____ cm.【解析】本题以菱形为背景考查等腰三角形的存在问题.(1)当PB=PC时，如图1.P在BC的垂直平分线上，∴PA的最小值为AD的长，即10 cm；(2)当PC=BC时，如图2，点P在以C 为圆心，BC长为半径的圆弧BD上，设弧BD和AC的交点为E，则由∠ABC=120°，AB=10 cm，可得.∴AP的最小值为；(3)当PB=BC时，如图3，点P在以B为圆心，BC长为半径的弧ADC上，又∵点P在四边形的内部或边上，P，A两点不重合，∴点P只能是在点C或D的位置，而AD<AC，∴此时AP的最小值为AD的长，即10 cm.综上讨论可知，P，A两点的最短距离为.【答案】7(3分)（2017张家界中考）如图，在正方形ABCD中，，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为____1____.【解析】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、三角形面积的计算.∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，又BC=BP，∠CBP=30°，∴AB=BP，∠ABP=60°.∴是等边三角形，∴，∠DAE=30°.，AE=2DE=2×2=4，，.过点P作PF⊥CD，垂足为F，则∠EPF=∠DAE=30°，，∴.【答案】8(6分)（2017岳阳中考）求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程.已知：如图，在中，对角线AC，BD交于点O，.求证：.【解析】【名师指导】本题考查文字命题的证明过程、菱形的判定. 【答案】解已知：AC⊥BD，求证：是菱形.证法一：在中，AC⊥BD，OA=OC，∴BD所在直线是AC的垂直平分线，∴DA=CD，∴是菱形.证法二：在中，AC⊥BD，OA=OC，∴∠AOD=∠COD=90°，在和中，∵∴，∴DA=DC，∴.9(6分)（2017邵阳中考）如图所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC=∠OCB.(1)(4分)求证：平行四边形ABCD是矩形；(2)(2分)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形.【解析】(1)【名师指导】本题考查矩形、正方形的判定和性质.由对角线相等的平行四边形是矩形证明即可；(2)据正方形的判定方法添加一个条件即可，答案不唯一.【答案】(1)解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴.∴∠DAO=∠OCB，∠ADO=∠OBC.又∵∠OBC=∠OCB，∴∠DAO=∠ADO.∴OB=OC，OA=OD.∴OB+OD=OA+OC，即AC=BD.∴平行四边形ABCD是矩形.(2)AB=AD(答案不唯一)10(12分)（2017娄底中考）如图，在中，各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.(1)(4分)求证：；(2)(4分)猜一猜：四边形EFGH是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；(3)(4分)若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积.【解析】(1)【名师指导】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定、三角形的内角和定理、矩形的面积.根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得线段和角相等，从而证明两个三角形全等；(2)根据平行四边形、角平分线的定义、三角形内角和定理可求得三具直角，即可判定四边形EFGH是矩形；(3)在直角三角形中利用锐角三角函数可求出相关线段的长，然后可求出矩形的面积.【答案】(1)解：证明：在中，∵∠DAB=∠DCB.又∵AG，CE分别平分∠DAB，∠DCB，∴.同理可证∠3=∠4.又∵CD=AB，∴.(2)四边形EFGH是矩形.证明：在▱ABCD中，∵，∴∠DAB+∠ABC=180°.又∵AG，BG分别平分∠DAB，∠ABC，∴，∴∠G=90°.同理可证∠GHE=90°，∠E=90°，∴四边形EFGH是矩形，(3)在中，∵，∴.在中，∵∠1=∠5=30°，∴，∴，GF=GB-BF=3-2=1.∴.11(8分)（2017邵阳中考）如图所示，顶点为的抛物线过点M(2，0).(1)(4分)求抛物线的解析式；(2)(4分)点A是抛物线与x轴的交点(不与点M重合)，点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y=x+1上一点(处于x轴下方)，点D是反比例函数(k>0)图象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值.【解析】(1)【名师指导】本题考查二次函数的性质、反比例函数及菱形的性质.由顶点式求得解析式；(2)根据点C在直线y=x+1且在x轴下方，点D只能在一、三象限，确定符合条件的菱形有两种情况进行分类求解.【答案】(1)解：依题意可设抛物线为，将点M(2，0)代入可得，，解得a=1，∴抛物线的解析式为.(2)当y=0时，，解得x1=-1，x2=2，∴A(-1，0).当 x=0时，，∴B(0，-2).在Rt△OAB中，OA=1，OB=2，∴.设直线y=x+1与y轴的交点为点G，易求G(0，1)，∴为等腰直角三角形，∴∠AGO=45°.∵点C在y=x+1上且在x轴下方，而k>0，∴的图象位于第一、三象限，故点D只能在一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下两种情况：①此菱形以AB为边且AC也为边，如图1所示，过点D作DN⊥y轴于点N，在中，∵∠DBN=∠AGO=45°，又∴，∴.∵点D在(k>0)的图象上，∴.②此菱形以AB为对角线，如图2所示，作AB的垂直平分线CD交直线y=x+1于点C，交在第一象限的图象于点D.再分别过点D，B作DE⊥x轴于点F，BE⊥y轴，DE与BE相交于点E.在中，同①可证∠AGO=∠DBO=∠BDE=45°.∴BE=DE.可设点D的坐标为(x，x-2).∵，∴.∵四边形ACBD是菱形，∴.∴在中，，即，解得.∴点D的坐标为.∵点D在(k>0)的图象上，∴.综上所述，k的值为.12(8分)（2017永州中考）如图，已知四边形ABCD是菱形，DF⊥AB于点F，BE⊥CD于点E.(1)(3分)求证：AF=CE；(2)(3分)若DE=2，BE=4，求sin∠DAF的值.【解析】(1)【名师指导】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质和解直角三角形.根据菱形的性质可证△AFD≌△CEB后得到AF=CE；(2)利用勾股定理求出AF和AD，然后利用正弦函数的定义求解即可.【答案】(1)解：证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CB，∠A=∠C.又∵BE⊥CD，DF⊥AB，∠AFD=∠CEB=90°，∴，∴AF=CF.(2)设AF=x，则AD=AB=2+x.由勾股定理得，解得x=3，∴AD=5，∴.13(8分)（2017张家界中考）如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE.(1)(8分)求证：；(2)(8分)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由.【解析】(1)【名师指导】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定.根据ASA证明；(2)根据一组邻边相等的平行四边形是菱形判断及证明.【答案】(1)解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴∠EAG=∠FBG，∵EF是AB的垂直平分线，∴AG=BG，在和中，∵∴.(2)四边形AFBE是菱形.理由：由(1)得，∴AE=BF，又，∴四边形AFBE是平行四边形，∵EF是AB的垂直平分线，∴AF=BF，∵平行四边形AFBE是菱形.14(12分)（2017衡阳中考）如图，正方形ABCD的边长为1，点E为边AB上一动点，连接CE并将其绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接DF，以CE，CF为邻边作矩形CFGE，GE与AD，AC分别交于点H，M，GF交CD延长线于点N.(1)(3分)证明：点A，D，F在同一条直线上；(2)(3分)随着点E的移动，线段DH是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由；(3)(4分)连接EF，MN，当时，求AE的长.【解析】(1)本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定的性质、勾股定理、角平分线的性质，综合性较强.由正方形的性质和已知条件可判定两个三角形全等，再根据平角定义得三点共线；(2)根据已知条件可证得两个三角形相似，再根据比例式或等量关系得二次函数解析式，化为顶点式即可求出最值；(3)先判定矩形为正方形，则可得等腰直角三角形，再结合已知条件证得两三角形全等，做垂线利用角平分线的性质可证得线段相等，然后设未知数，根据勾股定理列出方程，解出即可.【答案】(1)解：证明：∵四边形ABCD是正方形，∠BCD=90°.BC=DC.∵∠ECF=90°，∴∠BCE=∠DCF.在和中，BC=DC，∠BCE=∠DCF，CE=CF，∴.∴∠CDF=∠B=90°.∵∠CDA=90°，∴∠ADF=∠CDF+∠CDA=180°，∴点A，D，F在同一直线上.(2)解法一：∵∠GEC=90°，∴∠AEH+∠BEC=90°.∴∠BCE+∠BEC=90°，∠AEH=∠BCE.∵∠B=∠HAE=90°，∴.∴.设AE=x(0≤x≤1)，则BE=1-x，∴AH=x(1-x)，∴=，∴当x=时DH有最小值，最小值为.解法二：由∠GFH=∠FCN.∠FGH=∠FDC=90°，FG=CF，得.∴FH=CN.设BE=x，由(1)知FD=BE，∴FD=x.由得.∴DH=FH-FD=CN-FD=CD+DN-FD=.以下同解法一.(3)∵CE=CF，∴矩形CFGE为正方形，∴△GEF为等腰直角三角形。

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特殊的四边形（矩形、菱形）一、选择题1．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．B．C．D．不确定2．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是（）A．20° B．40° C．80° D．100°3．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC上的三等分点，则S△BEF为（）A．8 B．12 C．16 D．244．把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M 的延长线上，那么∠EMF的度数是（）A．85° B．90° C．95° D．100°5．如图，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的四边形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对6．如图，矩形ABCD的周长为68，它被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）A．98 B．196 C．280 D．2847．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）A． B．C．D．68．如图所示，把一长方形纸片沿MN折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AMD′=36°，则∠NFD′等于（）A．144°B．126°C．108°D．72°9．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为（）A．1 B．2 C．D．10．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＞60°．现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．111．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A′、D′处，则整个阴影部分图形的周长为（）A．18cm B．36cm C．40cm D．72cm12．下列识别图形不正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．有三个角是直角的四边形是矩形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形13．四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定它是矩形的是（）A．AB=CD，AB∥CD，∠BAD=90°B．AO=CO，BO=DO，AC=BDC．∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°D．∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°14．直角三角形中，两条直角边边长分别为12和5，则斜边中线的长是（）A．26 B．13 C．30 D．6.515．将一个矩形的纸对折两次，沿图中虚线将一角剪掉再打开后，得到的图形为（）A ．B ．C ．D ．16．菱形一条对角线长为8m ，周长为20m ，则其面积为（）A ．40m 2B ．20m 2C ．48m 2D ．24m 217．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD 是菱形的依据是（）A ．一组邻边相等的四边形是菱形B ．四边相等的四边形是菱形C ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D ．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形18．已知DE ∥AC 、DF ∥AB ，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF 为菱形的是（）A ．AD 平分∠BACB ．AB=AC 且BD=CDC ．AD 为中线 D ．EF ⊥AD二、填空题19．矩形ABCD 中，对角线AC=10cm ，AB ：BC=3：4，则它的周长是 cm ．20．矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，如果矩形的周长是34cm ，又△AOB 的周长比△ABC 的周长少7cm ，则AB= cm ，BC= cm ．21．在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若∠AOB=110°，则∠OAB= 度．22．如图所示，把两个大小完全一样的矩形拼成“L”形图案，则∠FAC= 度，∠FCA= 度．23．如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE=AD ，DF ⊥AE ，垂足为F ，线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明．即DF= ．（写出一条线段即可）24．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形．若∠CED′=56°，则∠AED的大小是°．25．菱形ABCD的周长为36，其相邻两内角的度数比为1：5，则此菱形的面积为．26．已知菱形的两条对角线长为6cm和8cm，菱形的周长是cm，面积是cm2．27．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是．28．已知菱形的两条对角线的长分别是4cm和8cm，则它的边长为cm．29．若四边形ABCD是平行四边形，使四边形ABCD是菱形，请补充条件（写一个即可）．30．已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=2，那么AP的长为．31．已知四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，E为AD中点，AB=6cm，P为AC上任一点．求PE+PD的最小值是．32．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是．33．已知四边形ABCD为平行四边形，要使四边形ABCD为菱形，还应添加条件．34．用两张对边平行的纸条交叉重叠放在一起，则四边形ABCD为；两张纸条互相垂直时，四边形ABCD为；若两张纸条的宽度相同，则四边形ABCD为．三、解答题35．如图1中的矩形ABCD，沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平行移动，得到图2．在图2中，△ADC≌△C′BA′，AC∥A′C′，A′B∥DC．除△DAC与△C′BA′外，指出有哪几对全等的三角形（不能添加辅助线和字母）？选择其中一对加以证明．36．如图，在▱ABCD的纸片中，AC⊥AB，AC与BD相交于点O，将△ABC沿对角线AC翻转180°，得到△AB′C．（1）以A，C，D，B′为顶点的四边形是矩形吗（请填“是”、“不是”或“不能确定”）；（2）若四边形ABCD的面积S=12cm2，求翻转后纸片重叠部分的面积，即S△ACE= cm2．37．如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，那么MN⊥BD成立吗？试说明理由．38．如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2010厘米后停下，则这只蚂蚁停在点．39．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．特殊的四边形（矩形、菱形）参考答案与试题解析一、选择题1．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．B．C．D．不确定【考点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题；动点型．【分析】过P点作PE⊥AC，PF⊥BD，由矩形的性质可证△PEA∽△CDA和△PFD∽△BAD，根据和，即和，两式相加得PE+PF=，即为点P到矩形的两条对角线AC和BD 的距离之和．【解答】解：法1：过P点作PE⊥AC，PF⊥BD∵矩形ABCD∴AD⊥CD∴△PEA∽△CDA∴∵AC=BD==5∴…①同理：△PFD∽△BAD∴∴…②∴①+②得：∴PE+PF=即点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是．法2：连结OP．∵AD=4，CD=3，∴AC==5，又∵矩形的对角线相等且互相平分，∴AO=OD=2.5cm，∴S△APO+S△POD=×2.5•PE+×2.5•PF=×2.5（PE+PF）=×3×4，∴PE+PF=．故选：A．【点评】根据矩形的性质，结合相似三角形求解．2．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是（）A．20° B．40° C．80° D．100°【考点】矩形的性质．【专题】计算题．【分析】根据矩形的性质，得△BOC是等腰三角形，再由等腰三角形的性质进行答题．【解答】解：图形中∠1=40°，∵矩形的性质对角线相等且互相平分，∴OB=OC，∴△BOC是等腰三角形，∴∠OBC=∠1，则∠AOB=2∠1=80°．故选C．【点评】本题主要考查了矩形的性质，对角线相等且互相平分，矩形被对角线分成四个等腰三角形．3．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC上的三等分点，则S△BEF为（）A．8 B．12 C．16 D．24【考点】矩形的性质．【专题】压轴题．【分析】要求S△BEF只要求出底边EF以及EF边上的高就可以，高可以根据△ABC的面积得到，EF= AC，根据勾股定理得到AC，就可以求出EF的长，从而求出△EFG的面积．【解答】解：S△ABC=×8×6=24．又E、F是AC上的三等分点．∴S△BEF=S△ABC=8．故选A．【点评】本题运用了勾股定理，已知直角三角形的两直角边，求斜边上的高，这类题的解决方法是需要熟记的内容．4．把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M 的延长线上，那么∠EMF的度数是（）A．85° B．90° C．95° D．100°【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠的性质：对应角相等，对应的线段相等，可得．【解答】解：根据图形，可得：∠EMB′=∠EMB，∠FMB′=∠FMC，∵∠FMC+∠FMB′+∠EMB′+∠BME=180°，∴2（∠EMB′+∠FMB′）=180°，∵∠EMB′+∠FMB′=∠FME，∴∠EMF=90°．故选B．【点评】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．5．如图，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的四边形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对【考点】矩形的性质．【专题】压轴题．【分析】本题考查了矩形的性质，得出△EPD≌△HDP，则S△EPD=S△HDP，通过对各图形的拼凑，得到的结论．【解答】解：在矩形ABCD中，∵EF∥AB，AB∥DC，∴EF∥DC，则EP∥DH；故∠PED=∠DHP；同理∠DPH=∠PDE；又PD=DP；所以△EPD≌△HDP；则S△EPD=S△HDP；同理，S△GBP=S△FPB；则（1）S梯形BPHC=S△BDC﹣S△HDP=S△ABD﹣S△EDP=S梯形ABPE；（2）S□AGPE=S梯形ABPE﹣S△GBP=S梯形BPHC﹣S△FPB=S□FPHC；（3）S梯形FPDC=S□FPHC+S△HDP=S□AGPE+S△EDP=S梯形GPDA；（4）S□AGHD=S□AGPE+S□HDPE=S□PFCH+S□PHDE=S□EFCD；（5）S□ABFE=S□AGPE+S□GBFP=S□PFCH+S□GBFP=S□GBCH故选C．【点评】本题是一道结论开放题，掌握矩形的性质，很容易得到答案．6．如图，矩形ABCD的周长为68，它被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）A．98 B．196 C．280 D．284【考点】矩形的性质．【专题】计算题．【分析】等量关系为：5个小矩形的宽等于2个小矩形的长；6个小矩形的宽加一个小矩形的长等于大长方形周长的一半．【解答】解：设小矩形宽为x，长为y．则大矩形长为5x或2y，宽为x+y．依题意有x+y+5x==34；5x=2y．解得：x=4，y=10．则大矩形长为20，宽为14．所以大矩形面积为280．故选C．【点评】本题考查了矩形的面积和一种很重要的思想：方程思想．7．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）A． B．C．D．6【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．【分析】先根据图形翻折变换的性质求出AC的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论．【解答】解：∵△CEO是△CEB翻折而成，∴BC=OC，BE=OE，∠B=∠COE=90°，∴EO⊥AC，∵O是矩形ABCD的中心，∴OE是AC的垂直平分线，AC=2BC=2×3=6，∴AE=CE，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即62=AB2+32，解得AB=3，在Rt△AOE中，设OE=x，则AE=3﹣x，AE2=AO2+OE2，即（3﹣x）2=32+x2，解得x=，∴AE=EC=3﹣=2．故选：A．【点评】本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．8．如图所示，把一长方形纸片沿MN折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AMD′=36°，则∠NFD′等于（）A．144°B．126°C．108°D．72°【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】计算题．【分析】根据∠AMD′=36°和折叠的性质，得∠NMD=∠NMD′=72°；根据平行线的性质，得∠BNM=∠NMD=72°；根据折叠的性质，得∠D′=∠D=90°；根据四边形的内角和定理即可求得∠NFD′的值．【解答】解：∵∠AMD′=36°，∴∠NMD=∠NMD′=72°．∵AD∥BC，∴∠BNM=∠NMD=72°．又∵∠D′=∠D=90°，∴∠NFD′=360°﹣72°×2﹣90°=126°．故选B．【点评】此题综合运用了折叠的性质、平行线的性质、四边形的内角和定理．9．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为（）A．1 B．2 C．D．【考点】菱形的性质；勾股定理．【专题】计算题．【分析】根据题意可知，AC=2BC，∠B=90°，所以根据勾股定理可知AC2=AB2+BC2，即（2BC）2=32+BC2，从而可求得BC的长．【解答】解：∵AC=2BC，∠B=90°，∴AC2=AB2+BC2，∴（2BC）2=32+BC2，∴BC=．故选：D．【点评】此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．10．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＞60°．现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】连BH，根据折叠的性质得到∠1=∠2，EB=EH，BH⊥EG，则∠EBH=∠EHB，又点E是AB的中点，得EH=EB=EA，于是判断△AHB为直角三角形，且∠3=∠4，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，因此有∠1=∠2=∠3=∠4．【解答】解：连BH，如图，∵沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，∴∠1=∠2，EB=EH，BH⊥EG，而∠1＞60°，∴∠1≠∠AEH，∵EB=EH，∴∠EBH=∠EHB，又∵点E是AB的中点，∴EH=EB=EA，∴△AHB为直角三角形，∠AHB=90°，∠3=∠4，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2=∠3=∠4．故选B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后的两个图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了若三角形一边上的中线等于这边的一半，则此三角形为直角三角形．11．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A′、D′处，则整个阴影部分图形的周长为（）A．18cm B．36cm C．40cm D．72cm【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题．【分析】延长A1E交CD于点G，由题意知GE=EH，FH=GF，则阴影部分的周长与原矩形的周长相等．【解答】解：延长A1E交CD于点G，由题意知，GE=EH，FH=GF，四边形EHD1A1≌四边形EGDA，∴AD=A1D1，AE=A1E，DG=D1H，FH=FG，∴阴影部分的周长=矩形的周长=（12+6）×2=36cm．故选：B．【点评】本题利用了翻折的性质：对应图形全等，对应边相等．12．下列识别图形不正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．有三个角是直角的四边形是矩形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形【考点】矩形的判定．【专题】证明题．【分析】矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形，据此判定．【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；B、有三个角是直角的四边形是矩形，正确；C、对角线相等的四边形不一定是矩形，对角线相等的平行四边形才是矩形，错误；D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确．故选C．【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形，据此判定．13．四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定它是矩形的是（）A．AB=CD，AB∥CD，∠BAD=90°B．AO=CO，BO=DO，AC=BDC．∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°D．∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°【考点】矩形的判定．【分析】矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断．【解答】解：A、一个角为直角的平行四边形为矩形，故A正确．B、矩形的对角线平分且相等，故B正确．C、∠BCD+∠ADC=180°，但∠BCD不一定与∠ADC相等，根据矩形的判定定理，故C不正确．D、因为∠BAD=∠BCD，故AB∥CD，又因为，∠ABC=∠ADC=90°，根据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形），故D正确．故选C．【点评】本题考查的是矩形的判定定理，但考生应注意的是由矩形的判定引申出来的各图形的判定．难度一般．14．直角三角形中，两条直角边边长分别为12和5，则斜边中线的长是（）A．26 B．13 C．30 D．6.5【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．【分析】由勾股定理可以求出斜边，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可以求出斜边中线的长．【解答】解：由勾股定理知，斜边c==13，∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半知，∴斜边中线的长=×13=6.5．故选D．【点评】本题考查了勾股定理和直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半．15．将一个矩形的纸对折两次，沿图中虚线将一角剪掉再打开后，得到的图形为（）A．B．C．D．【考点】剪纸问题．【分析】根据题意知，对折实际上就是对称，对折两次的话，剪下应有4条边，并且这4条边还相等，从而可以得到剪下的图形展开后一定是菱形．【解答】解：根据题意折叠剪图可得，剪下的四边形四条边相等，根据四边形等的四边形是菱形可得剪下的图形是菱形，故选：A．【点评】此题考查了剪纸问题，关键是掌握菱形的判定方法：四边形等的四边形是菱形．16．菱形一条对角线长为8m，周长为20m，则其面积为（）A．40m2B．20m2C．48m2D．24m2【考点】菱形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】菱形对角线互相垂直平分，所以OA2+OB2=AB2，根据已知可得AB=5，BO=4，利用勾股定理求得AO，即可求得AC的长，根据AC、BD即可求菱形ABCD的面积，即可解题．【解答】解：根据题意可得：BD=8m，则BO=DO=4m，∵菱形周长为20m，∴AB=5m，∵菱形对角线互相垂直平分，∴OA2+OB2=AB2，∴AO==3（m），∴AC=6（m），故菱形的面积S=×6×8=24（m2）．故选D．．【点评】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，菱形面积的计算，本题中根据勾股定理求AO 的值是解题的关键．17．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形【考点】菱形的判定；作图—复杂作图．【分析】关键菱形的判定定理（有四边都相等的四边形是菱形）判断即可．【解答】解：由图形作法可知：AD=AB=DC=BC，∴四边形ABCD是菱形，故选：B．【点评】本题主要考查对作图﹣复杂作图，菱形的判定等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．18．已知DE∥AC、DF∥AB，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是（）A．AD平分∠BAC B．AB=AC且BD=CD C．AD为中线D．EF⊥AD【考点】菱形的判定．【专题】几何图形问题．【分析】首先根据题意画出图形，然后由DE∥AC、DF∥AB，判定四边形DEAF为平行四边形，再由菱形的判定定理求解即可求得答案；注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：如图，∵DE∥AC、DF∥AB，∴四边形DEAF为平行四边形，A、∵AD平分∠BAC，DF∥AB，∴∠BAD=∠CAD，∠BAD=∠ADF，∴∠CAD=∠ADF，∴AF=DF，∴四边形DEAF为菱形；B、∵AB=AC且BD=CD，∴AD平分∠BAC，同理可得：四边形DEAF为菱形；C、∵由AD为中线，得不到AD平分∠BAC，证不出四边形DEAF的邻边相等，∴不能判断四边形DEAF为菱形；D、∵AD⊥EF，∴▱DEAF是菱形．故选C．【点评】此题考查了菱形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题19．矩形ABCD中，对角线AC=10cm，AB：BC=3：4，则它的周长是28 cm．【考点】矩形的性质；勾股定理．【专题】计算题．【分析】根据矩形的一组邻边和一条对角线组成一个直角三角形，解题即可．【解答】解：根据矩形的性质得到△ABC是直角三角形，因为对角线AC=10cm，AB：BC=3：4，根据勾股定理得到BC2=AC2﹣（BC）2=100﹣BC2解得BC=8，AB=6，故它的周长=2×8+2×6=28cm．故答案为28．【点评】本题考查对矩形的性质以及勾股定理的运用．20．矩形ABCD的两条对角线相交于点O，如果矩形的周长是34cm，又△AOB的周长比△ABC的周长少7cm，则AB= 10 cm，BC= 7 cm．【考点】矩形的性质；勾股定理．【专题】计算题．【分析】根据矩形的对边相等以及所给的三角形的周长可得到和所求线段相关的两个式子，进而求解．【解答】解：设AB=a，BC=b．∴2OA=2OB=AC=，2a+2b=34，即a+b=17．由题意可知△AOB的周长+7=△ABC的周长．∴AB+OA+OB+7=AB+BC+AC．∴a++7=a+b+．即b=7，a=17﹣7=10．即AB=10，BC=7．故答案为，10，7．【点评】本题综合考查了矩形的性质及勾股定理的运用．21．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=110°，则∠OAB= 35 度．【考点】矩形的性质；三角形内角和定理．【专题】计算题．【分析】根据矩形对角线的性质得到△OAB的形状，进而求得底角的度数．【解答】解：∵矩形的对角线相等且互相平分．∴OA=OC．∴△AOB是等腰三角形．∴∠OAB=∠OBA．∵∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°．∴2∠OAB+110°=180°．∴∠OAB=35°．故答案为35．【点评】本题考查矩形的性质以及三角形内角和定理．22．如图所示，把两个大小完全一样的矩形拼成“L”形图案，则∠FAC= 90 度，∠FCA= 45 度．【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】两个大小完全一样的矩形拼成“L”形图案所构成的△AFG≌△CAB，所以AF=AC，∠FAC=90°，∠FCA=45度．【解答】解：由已知△AFG≌△CAB，∴∠AFG=∠CAB，AF=AC∵∠AFG+∠FAG=90°，∴∠CAB+∠FAG=90°，∴∠FAC=90°．又∵AF=AC，∴∠FCA=（180°﹣90°）×=45°．故答案为：90；45．【点评】根据矩形的性质得到全等三角形，进而求得△AFC是等腰直角三角形．23．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F，线段DF与图中的哪一条线段相等？先将猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明．即DF= BE ．（写出一条线段即可）【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据矩形的性质得出AD∥BC，推出∠AFD=∠B，推出∠DAF=∠AEB，根据全等三角形的判定推出△AFD≌△EBA即可．【解答】解：DF=BE，理由是：∵四边形ABCD是矩形，DF⊥AE，∴∠B=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠DAF=∠AEB，在△AFD和△EBA中∴△AFD≌△EBA（AAS），∴DF=BE，故答案为：DF=BE．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出△AFD≌△EBA，注意：矩形的四个角都是直角，矩形的对边平行．24．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形．若∠CED′=56°，则∠AED的大小是62 °．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题；操作型．【分析】易得∠DED′的度数，除以2即为所求角的度数．【解答】解：∵∠CED′=56°，∴∠DED′=180°﹣56°=124°，∵∠AED=∠AED′，∴∠AED=∠DED′=62°．故答案为：62．【点评】考查翻折变换问题；用到的知识点为：翻折前后得到的角相等．25．菱形ABCD的周长为36，其相邻两内角的度数比为1：5，则此菱形的面积为40.5 ．【考点】菱形的性质．【分析】根据相邻两内角的度数比为1：5，可求出一个30°角，根据周长为36，求出菱形的边长，根据直角三角形里30°角的性质求出高，从而求出面积．【解答】解：作AE⊥BC于E点，∵其相邻两内角的度数比为1：5，∴∠B=180°×=30°，∵菱形ABCD的周长为36，∴AB=BC=×36=9．∴AE=×9=．∴菱形的面积为：BC•AE=9×=40.5．故答案为：40.5．【点评】本题考查菱形的性质，菱形的邻角互补，四边相等．26．已知菱形的两条对角线长为6cm和8cm，菱形的周长是20 cm，面积是24 cm2．【考点】菱形的性质；勾股定理．【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半可得到其面积，根据菱形的性质可求得其边长，从而可得到其周长．【解答】解：如图，四边形ABCD是菱形，BD，AC分别是其对角线且BD=6，AC=8，求其面积和周长．∵四边形ABCD是菱形，BD，AC分别是其对角线，∴BD⊥AC，BO=OD=3cm，AO=CO=4cm，∴AB=5cm，∴菱形的周长=5×4=20cm；S菱形=×6×8=24cm2．故本题答案为：20cm；24cm2．【点评】此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．27．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是AC⊥BD ．【考点】中点四边形．【分析】根据三角形的中位线定理，可以证明所得四边形的两组对边分别和两条对角线平行，所得四边形的两组对边分别是两条对角线的一半，再根据平行四边形的判定就可证明该四边形是一个平行四边形；所得四边形要成为矩形，则需有一个角是直角，故对角线应满足互相垂直．【解答】解：如图，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC，∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形；要使四边形EFGH是矩形，则需EF⊥FG，即AC⊥BD；故答案为：AC⊥BD．【点评】此题主要考查了三角形的中位线定理的运用．同时熟记此题中的结论：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形．28．已知菱形的两条对角线的长分别是4cm和8cm，则它的边长为2cm．【考点】菱形的性质．【专题】计算题．【分析】根据菱形的性质及勾股定理即可求得其边长的值．【解答】解：菱形的两条对角线分别是4cm，8cm，得到两条对角线相交所构成的直角三角形的两直角边是×4=2和×8=4，那么根据勾股定理得到它的斜边即菱形的边长=2cm．故答案为2【点评】本题考查菱形的性质以及勾股定理．29．若四边形ABCD是平行四边形，使四边形ABCD是菱形，请补充条件此题答案不唯一，如AC⊥BD或AB=AD等（写一个即可）．【考点】菱形的判定．【专题】开放型．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定定理求解即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AC⊥BD或AB=AD时，四边形ABCD是菱形．故答案为：此题答案不唯一，如AC⊥BD或AB=AD等．【点评】此题考查了菱形的判定．此题难度不大，注意熟记定理是解此题的关键．30．已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=2，那么AP的长为或．【考点】菱形的性质．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】根据题意得，应分P与A在BD的同侧与异侧两种情况进行讨论．【解答】解：当P与A在BD的异侧时：连接AP交BD于M，∵AD=AB，DP=BP，∴AP⊥BD（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上），在直角△ABM中，∠BAM=30°，∴AM=AB•cos30°=3，BM=AB•sin30°=3，∴PM==，∴AP=AM+PM=4；当P与A在BD的同侧时：连接AP并延长AP交BD于点MAP=AM﹣PM=2；当P与M重合时，PD=PB=3，与PB=PD=2矛盾，舍去．AP的长为4或2．故答案为4或2．【点评】本题注意到应分两种情况讨论，并且注意两种情况都存在关系AP⊥BD，这是解决本题的关键．31．已知四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，E为AD中点，AB=6cm，P为AC上任一点．求PE+PD的最小值是3．【考点】轴对称﹣最短路线问题；菱形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据菱形的性质，可得AC是BD的垂直平分线，可得AC上的点到D、B点的距离相等，连接BE交AC与P，可得答案．【解答】解：∵菱形的性质，∴AC是BD的垂直平分线，AC上的点到B、D的距离相等．连接BE交AC于P点，PD=PB，PE+PD=PE+PB=BE，在Rt△ABE中，由勾股定理得BE==3，故答案为：3．【点评】本题考查了轴对称，对称轴上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．32．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是 5 ．【考点】轴对称﹣最短路线问题；勾股定理；菱形的性质．【专题】计算题．【分析】AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，根据菱形的性质推出N是AD中点，P与O重合，推出PE+PF=NF=AB，根据勾股定理求出AB的长即可．【解答】解：AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，∴PN=PE，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAB=∠BCD，AD=AB=BC=CD，OA=OC，OB=OD，AD∥BC，∵E为AB的中点，∴N在AD上，且N为AD的中点，。