2019-2020学年高中新创新一轮复习理数通用版：第三章导数及其应用Word版含解析.doc

第一节 导数的概念及运算
本节主要包括2个知识点： 1.导数的运算； 2.导数的几何意义.
突破点(一)导数的运算
［基本知识］
1. 函数y = f(x)在x = x o 处的导数
称函数y = f(x)在x = x 0处的瞬时变化率 Hm 0 ~^y= jj m 0 f "0+ :为函数y = f(x)在 x o 处的导数，记作f '(X o )或y ' |x = x o , 即 f '(x \ r 型 |im fx o + & f pj
即f (x o )=师&=竺- 空 .
2. 函数f(x)的导函数
称函数f ' (x)= lim f x +严 =
f x 为f(x)的导函数.
^x ^Q- A x
3.
4. 导数运算法则
(1) [f(x) ±(x)] ' = f ' (x) ±' (x)；
(2) [f(x) g(x)]' = f ' (x)g(x)土f(x)g ' (x); ⑶話'=話宀x (如0)- 5. 复合函数的导数
复合函数y = f(g(x))的导数和函数y = f(u), u = g(x)的导数间的关系为 y x '= yj %',
第三章
导数及其应用
x =
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
［基本能力］
1. 判断题
(1) f'(X0)与(f(x o))'的计算结果相同.()
(2) 求f' (x o)时，可先求f(x o)再求f' (x o).( )
(3) f‘(x o)是导函数f' (x)在x = x o处的函数值.()
(Q, n
(4) sin 3 = cos 3.( )
(5) 若(In x)' = x，贝V x ' = ln x.( )
(6) 函数f(x)= sin(-x)的导数为f' (x)= cosx.( )
(7) y= cos 3< 由函数y= cosu, u = 3x 复合而成.()
答案：(1)X (2)X (3) V (4) X (5) X (6) X (7) V
2. 填空题
(1) 已知f(x)= 13—8x + 2x , f'(X o)= 4，贝U x o= ______ .
解析：T f' (x)=—8+ 4x,.・.f' (x o) =—8 + 4x o= 4，解得x°= 3. 答案：3 ln x
(2) 函数y= --er的导函数为________________ .
1 —xln x
x
答案：y
xe
⑶已知f(x)= 2sin x+ X,贝y f' 4 = _________ .
解析：T f(x)= 2sin x + x,「. f' (x) = 2cosx + 1,贝U f'才=2cos 1 = 2+ 1.
答案：.2+ 1
研透高考*讲练区
［全析考法］
2
［典例］⑴函数f(x)= (x + 1) (x —3)，则其导函数f' (x)=( )
A. 3x2—2x
B. 3x2—2x — 5
2 2
C. 3x —x
D. 3x —x—5
(2)(2018钦州模拟)已知函数f(x) = xln x,则f' (1) + f(4)的值为( )
A . 1— 8ln 2
B . 1+ 8ln 2
D . — 8ln 2 — 1
n
n n 5 n
A ・3
B .6
C .4 咋
2
［解析］(1)法一：因为 f(x) = (x + 1) (x — 3) = (x + 1)(x + 1)(x — 3)，所以 f ' (x)= ［(x + 1)(x + 1)］' (x — 3) + (x + 1)(x + 1)(x — 3)' = 2(x + 1)(x — 3) + (x + 1)2= 3x 2— 2x — 5.
法二：f(x) = (x + 1)2(x — 3)= x 3— x 2— 5x — 3，贝y f ' (x) = 3x 2 — 2x — 5.
(2)因为 f ' (x)= ln x + 1,所以 f ' (1)= 0+ 1 = 1,所以 f ' (1) + f(4) = 1 + 4ln 4= 1 + 8ln 2. 故选B.
(3) 因为 f(x)= sin xcos $— cosxsin $— 1 ()<扌，所以 f ' (x) = cosxcos $+ sin xsin $=
［方法技巧］ 导数运算的常见形式及其求解方法
连乘积形式 先展开化为多项式的形式，再求导 分式形式 观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
对数形式 先化为和、差的形式，再求导 根式形式 先化为分数指数幕的形式，再求导
三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
含待定系数 如含f ' (X 0), a , b 等的形式，先将待定系数看成常数，再求导
复合函数
确定复合关系，由外向内逐层求导
［全练题点］
1.
下列函数中满足
f(x)= f ' (x)的是( ) A . f(x)= 3 + x B . f(x) =— x C . f(x)= ln x
D . f(x) = 0
解析：选 D 若 f(x) = 0,贝U f ' (x) = 0,从而有 f(x)= f ' (x).故选 D. 2. (2018 延安模拟)设函数 f(x) = ax + 3，若 f ' (1)= 3,贝U a =( )
A . 2
B . — 2
C . 3
D . — 3
解析：选C 由题意得，f ' (x)= a ，因为f ' (1) = 3,所以a = 3,故选C.
cos(x —妨，因为f '
［答案］(1)B (2)B
1,因为ov 幣n ，所以片n ，故选A .
2 3
C . 8ln 2— 1
(3)已知函数 f(x) = sin xcos cosxsin (— 1(0<((<-) ，若f '
n =1,贝y $的值为(
3. (2018南宁模拟)设f(x)在x= x o处可导，且\im°f乂卄3补一匚乞=1，贝卩f' (x°)
=( )
1
A. 1
B. 0
C. 3
D.3
解析：选D因为lim f(xo+ 3 &f)= 1,所以lim「3 x型0主上)L 1,即ZXF A x AXF _ 3 A x
1
3f' (x o)= 1，所以f' (x o) = 3.故选D.
4. (2018桂林模拟)已知函数y= xcosx —sin x,则其导函数y'=( )
A. xsin x
B. —xsin x
C. xcosx
D. —xcosx
解析：选 B 函数y= xcosx —sin x 的导函数y' = cosx—xsin x—cosx=—xsin x, 故
选B.
3 2
5. (2018九江一模)已知f(x)是(0,+s )上的可导函数，且f(x) = x + x f' (2) + 2ln x,
则函数f(x)的解析式为()
3 3 p
A. f(x)= x —?x + 2ln x
B. f(x)= x3—T^x2+ 2ln x
3 2
C. f(x)= x —3x + 2ln x
3 2
D. f(x)= x + 3x + 2ln x
2 解析：选 B •/ f(x) = x3+ x2f' (2) + 2ln x, /• f' (x)= 3x2+ 2xf' (2) + -，令x = 2，得f' (2)
13 13
=12+ 4f' (2) + 1, ••• f' (2) =——, ••• f(x) = x3——x2+ 2ln x,故选B.
3 3
突破点(二)导数的几何意义
抓牢双基自学区
［基本知识］
函数f(x)在点X0处的导数f'(X0)的几何意义是在曲线y= f(x)上点P(x0 , y0)处的切
线的斜率.相应地,切线方程为y—y0= f' (x o)(x—x0).特别地，如果曲线y= f(x)在点(X0 ,
y°)处的切线垂直于x轴，则此时导数f' (x o)不存在，由切线定义可知，切线方程为x= x o.
［基本能力］
1. 判断题
(1) 曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点. ()
(2) 求曲线过点P的切线时P点一定是切点.()
答案：⑴“(2)X
2. 填空题
(1) 曲线y= x3—x + 3在点(1,3)处的切线方程为 _______ .
答案：2x—y+ 1 = 0
1
(2) 已知直线y=—x+ 1是函数f(x) = —a e x图象的切线，则实数a= ____________ .
1
解析：设切点为(X o, y o),贝U f (x o)=—- J0=—1,
a
e x o= a,又—-e x)= —x°+ 1，- x°= 2, a = e2.
a
答案：e2
(3) 曲线f(x)= xln x在点M(1, f(1))处的切线方程为__________ .
解析：由题意，得f' (x)= In x+ 1，所以f' (1) = In 1+ 1= 1,即切线的斜率为
1.因为f(1) = 0，所以所求切线方程为y—0 = x—1,即卩x—y—1 = 0.
答案：x—y— 1 = 0
研透高考・讲练区
［全析考法］
3 2
［例1］已知函数f(x)= x —4x + 5x— 4.
(1) 求曲线f(x)在点(2, f(2))处的切线方程；
(2) 求经过点A(2,—2)的曲线f(x)的切线方程.
2
［解］(1) •/ f' (x)= 3x —8x+ 5,
••• f' (2) = 1,又f(2) = —2,
•••曲线f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y—(—2) = x —2,
即x —y—4= 0.
(2)设切点坐标为(X0, x3—4x0+ 5X0 —4),
f' (X D)= 3x0 —8x0 + 5,
•切线方程为y—(—2) = (3x0—8x0 + 5)(x —2),
又切线过点(x0, £—4x；J + 5x0—4),
X o — 4x o + 5x o — 2= (3x o — 8x o + 5)( x °— 2), 整理得(x o - 2)2(x o - 1)= 0, 解得X o = 2或x o = 1,
•经过 A(2, - 2)的曲线f(x)的切线方程为 x — y - 4 = 0或y + 2= 0. ［方法技巧］
求切线方程问题的两种类型及方法
'
(1)求“在”曲线y = f(x )上一点P(x o , y o )处的切线方程：点P(x o , y o )为切点，切线斜率 为k = f ' (X o ),有唯一的一条切线，对应的切线方程为 y -y o = f ' (x o )(x -x o ).
'
(2)求“过”曲线y = f(x)上一点P(x o , y o )的切线方程：切线经过点P ，点P 可能是切点, 也可能不是切点，这样的直线可能有多条. 解决问题的关键是设切点， 利用“待定切点法”
即:
①设切点A(X i , y i ),则以A 为切点的切线方程为 y -y i = f '(X i )(x — x i );
②根据题意知点 P(X ), y o )在切线上，点
A(x i , y i )在曲线 y = f(x)上，得到方程组
求出切点A(x i , y i ),代入方程y -y i = f ' (x i )(x -x i ),化简即得 所求的切线方程.
［例2］ (2oi8 •州模拟)设函数f(x)= x 3+ ax 2,若曲线y = f(x)在点P(x o , f(x o ))处的切线 方程为x + y = o ,则点P 的坐标为(
)
A . (o,o)
B . (i , - i)
C . (-i,i)
D . (i , - i)或(一i,i)
［解析］•/ f(x) = x 3 + ax 2,「. f ' (x) = 3x 2 + 2ax ,v 曲线 y = f(x)在点 P(x o , f(x o ))处的切 线方程为
x + y = o , • 3x o + 2ax o =- i , T X o + x 3+
aX = o ,解得 X o = ±i , •当 X o = i 时,f(x o )
=-
4,当 x o =-
i 时，f(x
o ) = i.故选 D.
i
［例3］ (i)(2oi8长沙一模)若曲线y = 2J X 2与曲线y = aln x 在它们的公共点 P(s , t)处具 有公共切线，则实数 a =(
)
A . - 2 B.1 C . 1
D . 2
(2)(2018南京调研)若函数f(x)= In x + ax 的图象存在与直线 2x - y = 0平行或重合的切
线，则实数a 的取值范围是 ___________ .
y i = f(X i , y o -y i = f '
X i x o - X i ,
［答案］D
的导数为y' = ,在点P(s, t)处的切线斜率为, y= aln x的导数为
2e e e
y' = ?,在点P(s, t)处的切线斜率为a，由题意知，S= a，且2"S2= aln s,解得In s=舟,s2
x s e s 2e 2
=e,故a= 1.
(2)函数f(x)= In x+ ax的图象存在与直线2x- y= 0平行或重合的切线，即f' (x)= 2在
11 1
(0,+^)上有解，而f' (x) = - + a,故- + a = 2,即卩a= 2--在(0, + )上有解，因为x>0, 1
所以2--<2，所以a的取值范围是(一R, 2).
［答案］(1)C (2)(―汽2)
［方法技巧］
根据导数的几何意义求参数值的思路
根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x o, y o)既在曲线上又在切线上
构造方程组求解.
［全练题点］
1. ［考点一］曲线y= sin x+ e x在点(0,1)处的切线方程是()
A. x- 3y+ 3= 0
B. x- 2y+ 2= 0
C. 2x-y+ 1 = 0
D. 3x —y+ 1 = 0
解析：选 C T y= sin x + e x,^ y' = cos x + e x,^ y' |x= 0 = cos 0 + e°= 2,.••曲线y
=sin x + e x在点(0,1)处的切线方程为y- 1 = 2(x —0)，即2x-y+ 1 = 0.
2. ［考点一］曲线y= xe x+ 2x- 1在点(0, - 1)处的切线方程为()
A. y= 3x- 1
B. y=- 3x - 1
C . y= 3x+ 1
D . y=- 2x —1
解析：选A 因为y' = e x+ xe x+ 2，所以曲线y= xe x+ 2x- 1在点(0, - 1)处的切线的斜率k= y' |x= 0 = 3,.切线方程为y= 3x- 1.
x 2
1
3.［考点二］已知曲线y= 4- 3ln x的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为()
A . 3
B . 2
C . 11
%
解析：选A
2
已知曲线y= :-3ln x(x>0)的一条切线的斜率为十，由y' = fx—3=号,
得x= 3，故选A.
4.［考点三］(2018东城期末)若直线y=- x+ 2与曲线y=- e x+ a相切，则a的值为()
C . — 1
D . — 4
解析：选A 由于y ' = (— e x +
a )' =— e x +
a ，令一e x +
a =— 1,得切点的横坐标为 x =— a ,所以切点为(一a , — 1)，进而有一(一a)+ 2=— 1,故a =— 3.
x a
y = e — (a>0)上任意一点处的切线的倾斜角的取值
e
范围是
1 B. 1
C .3
x a
y = e
ii iii iv v vi vii viii ix x xi
—飞在任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是
e
e x + a x >2 a 当且仅当e x =事时等号成立，故2 a = . 3,
a = 3，故选C.
4
1
1 解得 x 1= 2, x 2= — 2，二 b = ln x 1+ 1= 1 — ln 2.
答案：1— ln 2
3. (2016全国卷川)已知f(x)为偶函数，当 x<0时，f(x) = ln( — x) + 3x ,则曲线 y = f(x)
［全国卷5年真题集中演练一一明规律］
1.(2014全国卷n )设曲线y = ax — ln(x + 1)在点(0,0)处的切线方程为 y = 2x ，则a =( ) A . 0 B . 1
1
解析：选D y ' = a — ，由题意得y ' |x =0 = 2, 即卩a — 1= 2，所以a = 3.
x + 1
2. (2016全国卷n )若直线y = kx + b 是曲线y = ln x + 2的切线，也是曲线 y = ln(x + 1) 的切线，贝U b= _______ . 1 1 解析：易得(ln x + 2)' = -, ［ln(x + 1)］'==.设曲线y = ln x + 2上的切点横坐标为
xi x 十I 1
X 1,曲线y = ln(x + 1)上的切点横坐标为 X 2,则y = ln x + 2的切线方程为：y = — x + ln X 1+ 1,
X 1 1
y = ln(x 十1)的切线方程为：y =血十1 x 十ln(x 2+
5.［考点三］(2018西安一模)若曲线 解析：选 C y ' = e x + J,
n ，二 e x + ” 3,由 a>0 知,
x 2 1)
—齐.根据题意，有 X 2
X 2+ 1 ,
ln X 1 十 1= ln X 2+ 1 —
在点(1, - 3)处的切线方程是 __________ .
解析：因为f(x)为偶函数，
所以当 x>0 时，f(x)= f(— x)= In x — 3x , 所以当 x>0 时，f (x) =丄一3，贝U f f
(1) = — 2.
所以y = f(x)在点(1,— 3)处的切线方程为 y + 3=— 2(x — 1)，即y =— 2x — 1. 答案：y = — 2x — 1
则y' = a x ln a ,所以④正确.因此正确的结论个数是
4，故选D.
3.若函数y = x m 的导函数为y '= 6x xii ,则m =( )
A . 4
B . 5
C . 6
D . 7
解析：选C 因为y = x m ,所以y' = mx m — S 与y ' = 6x 5相比较，可得 m = 6. 4.已知函数f(x)= e x (e 是自然对数的底数)，则其导函数f ' (x)=(
)
④若y = a x (a>0)，则y '= a x ln a .其中正确的个数是
2_ 27；
解析：选D 根据求导公式可知①正确；若 1 y =—
x =— x
所以②正确；若心戶纟，则f ' (x)= — 2x —
3，所以
f ' (3)=—空，所以③正确；若y = a x (a>0),
x
解析：选B 函数f(x) = r,则其导函数
e 5.若
f (x)= x 2— 2x — 4ln x ,贝V f ' (x)<0
的解集为(
)
A . (0 ,+s )
C . (0,2) U ( — 3 — 1)
解析：选 B 函数 f(x) = x 2— 2x — 4ln x 的定义
域为 {x|x>0} , f ' (x) = 2x — 2 — 4 =
2
2x — 2x —
4
x
2
2x — 2x — 4
6.(2018信阳模拟)已知函数f(x) = ae xiii + x ,若1<f ' (0)<2 ,则实数a 的取值范围是(
B . (0,1)
C. (1,2)
D . (2,3)
解析：选 B 根据题意，f(x) = ae x + x ,则 f ' (x)=(ae x )' + x ' = ae x + 1,贝V f ' (0) = a + 1,若1<f ' (0)<2，贝U 1<a + 1<2，解得0va<1，所以实数a 的取值范围为(0,1).故选B.
对点练(二)导数的几何意义
1. (2018安徽八校联考)函数f(x)= tan 中在专，苛丿"处的切线的倾斜角
a 为( )
n
B.4
n
D . n
选B.
2.若函数f(x) = x 3— x + 3的图象在点P 处的切线平行于直线 y = 2x — 1，则点P 的坐标
为()
A. (1,3) B . (— 1,3) C . (1,3)或(—1,3)
D . (1, — 3)
解析：选 C f ' (x)= 3x 2— 1，令 f ' (x)= 2,即 3x 2— 1 = 2? x = 1 或一1,又 f(1) = 3, f(— 1)
xiii
A.
1+ x x
X
e —
xe 1 — x
f ' (x) = 2x-= 厂，故选 B.
e e B . (0,2) D . (2, +3 )
，由 f ' (x) = <0，得 0vxv2 ,••• f ' (x)<0 的解集为(0,2),故选 B.
得切线斜率
解析：选B
1
c 2 x 2cos -
= 3,所以P(1,3)或(—1,3),经检验，点(1,3), (—1,3)均不在直线y= 2x—1上，故点P 的坐标为(1,3)或(—1,3).
3. (2018福州质检)过点(—1,1)与曲线f(x)= x3—x2—2x+ 1相切的直线有()
C • 2条
D • 3条
解析：选 C 设切点 P(a , a 3-a 2-2a + 1)，由 f ' (x)= 3x 2— 2x — 2，当 a 丰一1 时，可
即(3a ?— 2a — 2)(a + 1) = a(a — 2)(a + 1)，所以 a = 1,此时 k = — 1.又(—1,1)是曲线上的点且 f ' （— 1） = 3工一1，故切线有2条.
4. （2018重庆一模）已知直线y = a 与函数f （x ）=装一x 2— 3x + 1的图象相切，则实数 a 的值为（
）
8 8
C . 8或—3
D • — 8 或？
解析：选D
8
令 f ' (x)= x 2— 2x — 3= 0，得 x =— 1 或 x = 3,••• f (— 1) = 3, f(3) = — 8,
3
a = 8或—8.
3
ln x
5 • （2018临川一模）函数f （x ）= x + 的图象在x = 1处的切线与两坐标轴围成的三角形 的面积为（
）
A -
2
C
3 C.2
Di
解析：选B
因为 f(x)= x +
, f (x) = 1 + ------ ，所以 f(1) = 1, f ' (1) = 2,故切
9
—a 2 — 2a + 1 — 1
a
—
―1 所以(3 a 2— 2a — 2)(a + 1) = a 3— a 2 — 2a , 得切线的斜率
数a 的取值范围是［0,+ g ).
7. (2017 柳州二模)已知函数 f(x)= x 2+ bx + c(b , c € R ), F(x)= ，若 F(x)的图象 e 在x = 0处的切线方程为 y = — 2x + c ,则函数f(x)的最小值是(
)
x = 0处的切线方程为y — 2x + c ,.・.F
— 0
一 2，得b = C ，
|F(0 尸 c , |b = C ,
=0.
8. (2018唐山模拟)已知函数f(x)= x 2— 1, g(x)= ln x ，则下列说法中正确的为 ( )
A. f(x), g(x)的图象在点(1,0)处有公切线
B.
存在f(x)的图象的某条切线与 g(x)的图象的某条切线平行
C. f(x), g(x)的图象有且只有一个交点
D. f(x), g(x)的图象有且只有三个交点
解析：选B 对于A , f(x)的图象在点(1,0)处的切线为y = 2x — 2,函数g(x)的图象在点 (1,0)处
的切线为y = x — 1,故A 错误；对于B ,函数g(x)的图象在(1,0)处的切线为y = x — 1, 设函数f(x)的图象在点(a , b)处的切线与y = x — 1平行，则f ' (a)= 2a = 1, a =舟，故b =；
2
— 1 =—学，即g(x)的图象在(1,0)处的切线与f(x)的图象在 号，一3处 的
切线平行，B 正确；如图作出两函数的图象，可知两函数的图象有 两个交点，C , D 错误.故选B.
9. (2018包头一模)已知函数f(x)= x 3+ ax + 1的图象在点(1, f(1))处的切线过点(2,7), 则 a= ____________ .
解析：函数 f(x)= x 3 + ax +1 的导数为 f ' (x)= 3x 2 + a , f ' (1) = 3 + a ,又 f(1) = a + 2, 所以切线方程为 y — a — 2 = (3 + a)(x — 1),因为切线经过点(2,7),所以7— a — 2= (3 + a)(2 — 1),解得 a = 1.
答案：1
［大题综合练一一迁移贯通］
2
1 3
1. (2018兰州双基过关考试)定义在实数集上的函数 f(x)= x + x , g(x) = -x — 2x + m.
(1)求函数f(x)的图象在x = 1处的切线方程；
⑵若f(x)> g(x)对任意的x € ［— 4,4］恒成立，求实数 m 的取值范围. 解：(1) •/ f(x)= x 2 + x ,.・. f(1) = 2.
解析：选C
•/f — (x) = 2x + b ,「. F(x)= ^^,
2— 2x — b
F — (x)= -x ，又F(x)的图象在
e ••• f(x) = (x + 2)2》0,
f (x)min
•/ f (x) = 2x + 1 ,••• f (1) = 3.
•••所求切线方程为 y — 2= 3(x — 1)，即3x — y — 1 = 0.
(2)令 h(x)= g(x)— f(x)= 3X — X — 3x + m, 则 h ' (x)= (x — 3)(x + 1). •当一4W x < — 1 时，h ' (x)> 0; 当一1v x < 3 时，h ' (x) w 0; 当 3v x < 4时，h ' (x)>0.
要使 f(x)> g(x)恒成立，即 h(X)max W 0, 由上知h(x)的最大值在 x =— 1或x = 4处取得， 而 h(— 1) = m + 5, h(4) = m —詈， 5
5
5
• h(x)的最大值为 m + 3，二 m + 0，即 m w — §.
•实数m 的取值范围为
—a,—5 .
2. (2018青岛期末 股函数f(x)= ax — -，曲线y = f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为 7x
—4y — 12= 0.
(1)求f(x)的解析式；
⑵证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线 x = 0和直线y = x 所围成的三角形面积为定
值，并求此定值.
解：(1)方程 7x — 4y — 12 = 0 可化为 y = 7x — 3，当 x = 2 时，y =
4 丿 2 又因为f ' (x)= a +乌,
令x =°，得y =-
x 0,所以切线与直线x =0的交点坐标为0, =2x 0,所以切线与直线 y = x 的交点坐标为(2x o,2x o ).
b 1
2a
—2=1， 所以 丄b 7 a
+ 4= 4.
解得F=1,
b = 3,
所以 f(x)= x — 3.
(2)证明：设P(x o , y 0)为曲线y = f(x)上任一点，由y ' = 1 +負知曲线在点 P(X 0, y 。

)处的 切线方程为 y — y 0= 1 + 3 (x — X 0),
即y —
x0-
x =
―x 0 .令 y = x ，得 y = x 1 +
—x ).
所以曲线y= f(x)在点P(x o, y o)处的切线与直线x = 0, y= x所围成的三角形的面积S = 1 6
厂xo- |2斫 6.
故曲线y= f(x)上任一点处的切线与直线x= 0, y= x所围成的三角形面积为定值，且此
定值为6.
3.已知函数f(x) = 1x3—2x2+ 3x(x€ R)的图象为曲线 C.
3
(1) 求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2) 若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标
的取值范围.
⑶证明：不存在与曲线C同时切于两个不同点的直线.
解：⑴由题意得f' (x)= x2—4x+ 3,
贝y f' (x)= (x—2)2—1> —1,
即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[—1, + ).
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k,
[k》—1,
则由题意，及(1)可知，1
i—r—1，
解得一K k v 0或k> 1,
故由—K x2—4x+ 3 v 0 或x2—4x+ 3> 1,
得x € (—a, 2—2] U (1,3) U [2 + .2,+^ ).
⑶证明：设存在直线与曲线C同时切于不同的两点A(X1, y1), B(X2, y2), X1^ X2,则点
A(X1, y1)处的切线方程为y—3x3—&1+ 3x1 = (x f—4x1 + 3)(x —x“，化简得y= (x1—4捲
+ 3)x+ —|x?+2x1，而点B(X2, y?)处的切线方程是y= (xj4x2 + 3)x+ —fx3+2x；.
由于两切线是同一直线，则有x1 —4x1 + 3= x2—4x2+ 3，即X1 + X2= 4;又有—fx：+ 2x1 3(X1 —x2) (X2+ X1X2+ x2) + 2(X1 —X2)(X1 + x2)= 0,则一1(X2+ X1X2+£)
=一事3+ 2x2，即一
=0,贝U x1 (x1+ x2) +
x2 —12= 0，即(4 —x2)x 4+ X2—12= 0, 即卩x2- 4x2+ 4= 0,解得x2= 2. 但当x2= 2时，由x1+ x2= 4得x1= 2，这与x1 x2矛盾.
所以不存在与曲线C同时切于两个不同点的直线.
第二节导数与函数的单调性
本节主要包括2个知识点:
1. 利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间;
2•利用导数解决函数单调性的应用问题.
突破点(一)利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间
抓牢双基*自学区
［基本知识］
1. 函数的单调性与导数的关系
函数y= f(x)在某个区间内可导：
⑴若f' (x)>0,则f(x)在这个区间内单调递增；
⑵若f' (x)<0 ,则f(x)在这个区间内单调递减；
⑶若f' (x)= 0,贝y f(x)在这个区间内是常数函数.
2. 由函数的单调性与导数的关系可得的结论
(1) 函数f(x)在(a, b)内可导，且f' (x)在(a, b)任意子区间内都不恒等于0.当x€ (a, b)
时,
f' (x)> 0?函数f(x)在(a, b)上单调递增；
f' (x)w 0?函数f(x)在(a, b)上单调递减.
(2) f' (x)>0(<0)在(a, b)上成立是f(x)在(a, b)上单调递增(减)的充分条件.
［基本能力］
1. 判断题
(1) 若函数f(x)在区间(a, b)上单调递增，那么在区间(a, b)上一定有f' (x)>0.( )
(2) 如果函数在某个区间内恒有f' (x)= 0,则函数f(x)在此区间上没有单调性.()
(3) f' (x)>0是f(x)为增函数的充要条件.()
答案：(1)X (2)V (3) X
2. 填空题
(1)函数f(x) = e%—x的减区间为________ .
答案：(—R, 0)
⑵函数f(x)= 1 + x —sin x在(0,2 n)勺单调情况是___________ .
答案：单调递增
⑶已知f(x)= x3—ax在［1, +m)上是增函数，则a的最大值是____________ .
答案：3
研透高考・讲练区
［全析考法］
证明或讨论函数的单调性
定义法
在定义域内(或定义域的某个区间内)任取X 1, X 2,且X 1VX 2，通过判断f(x° — f(x 2) 与0的大小关系来确定函数
f(x)的单调性
图象法
利用函数图象的变化趋势直观判断，若函数图象在某个区间内呈上升趋势，则函 数在这个
区间内是增函数；若函数图象在某个区间内呈下降趋势，则函数在这个 区间内是减函数
导数法
利用导数判断可导函数 f(x)在定义域内(或定义域的某个区间内)的单调性
［例1］ (2016山东高考节选)已知f(x)= a(x — In x) +勺宁，a € R .讨论f(x)的单调性. ［解］f(x)的定义域为(0 , + O a 2
2 (ax 2—2 (x
— 1
)
f (x)= a —
x —
7+ 严
x 3
.
当 a < 0, x € (0,1)时, f ' (x)> 0, f(x)单调递增; x € (1, + ^)时, f ' (x)v 0, f(x)单调递减. 当 a > 0 时，f ' (x) = a ：3 1 x
f ' (x)> 0, f(x)单调递增; ),
-k OO
③若a > 2,贝U 0 v
=1,在 x € (0,+ O )内，f ' (x)>0, f(x)单调递增.
x € (1, + O )时,
f ' (x)> 0, f(x)单调递增;
2x +
①若
0 v a v 2,则 当 x € (0,1)或 x €
? 1
当 x €
1, I 寸,f ' (x)v 0, f(x)单调递减.
②若a = 2,则 1,
当 x € 0,
当x €
2, 1 时，f ' (x)v 0, f(x)单调递减.
综上所述，当a w 0时，f(x)在(0,1)内单调递增, 在(1, + g )内单调递减;
当0 v a v 2时，f(x)在 (0,1)内单调递增，在 1, “ .2内单调递减，在
单调递增;
调递增.
［方法技巧］
(1)求 f ' (x);
(2)确定f ' (x)在(a , b)内的符号;
求函数的单调区间
1 3 2
(2018 山东德州期中)已知函数 f(x) = "x — (2m + 1)x + 3m(m + 2)x + 1，其中 m
为实数.
(1)当m =— 1时，求函数f(x)在［—4,4］上的最大值和最小值; ⑵求函数f(x)的单调递增区间.
［解］(1)当 m =— 1 时，f(x)= ^x 3 + x 2— 3x + 1,
2
f ' (x)= x + 2x — 3 = (x + 3)(x — 1). 当x<— 3或x>1时，f ' (x)>0, f(x)单调递增; 当—3<x<1 时，f ' (x)<0 , f(x)单调递减. ••当x = — 3时，f(x)极大值=10;
2
当x = 1时，f(x)极小值=—；・
3 又••• f(—4)=23, f(4)=79,
当a = 2时, f(x)在(0 ,+^)内单调递增; 当a > 2时, ,1内单调递减，在(1,+^)内单
导数法研究函数 f(x)在(a ，b)内单调性的步骤
⑶作出结论：f ' (x) >0时为增函数; f ' (x)v 0时为减函数.
［提醒］
研究含参数函数的单调性时,
需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分
［例2］ f(x)在 0,
单调递增，在
79 2
•••函数f(x)在［—4,4］上的最大值为79，最小值为一-.
(2) f‘(x) = x2—2(2m+ 1)x+ 3m(m+ 2)
=(x —3m)(x—m—2).
当3m= m+ 2,即卩m= 1 时，f' (x)= (x—3)2> 0,
• f(x)单调递增，即f(x)的单调递增区间为(—8,+^ ).
当3m>m+ 2，即m>1 时，由f' (x) = (x—3m)(x—m—2)>0 可得x<m+ 2 或x>3m,此时f(x)的单调递增区间为(一8, m+ 2), (3m,+8).
当3m<m+ 2，即m<1 时，由f' (x) = (x—3m)(x—m—2)>0 可得x<3m 或x>m+ 2,此时f(x)的单调递增区间为(一8, 3m), (m+ 2, + 8).
综上所述：当m= 1时，f(x)的单调递增区间为(―8,+8)；
当m>1时，f(x)的单调递增区间为(一8, m+ 2), (3m, + 8)；
当m<1时，f(x)的单调递增区间为(一8, 3m), (m+ 2, + 8).
［方法技巧］用导数求函数单调区间的三种类型及方法
f' (x)>0(<0)可解
先确定函数的定义域，解不等式f' (x) > 0或f' (x)< 0求出单调
区间
f' (x)= 0可解
先确定函数的定义域，解方程f' (x)= 0,求出实数根，把函数f(x)
的间断点(即f(x)的无疋义点)的横坐标和头根按从大到小的顺序排列起
来，把定义域分成若干个小区间，确定f'(X)在各个区间
内的符号，从而确定单调区间
f' (x)>0(<0)及f' (x)= 0
不可解
先确定函数的定义域，当不等式f' (x) > 0或f' (x)< 0及方程
f' (x)= 0均不可解时，求导并化简，根据f' (x)的结构特征，选
择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定f'(X)的符号，得
单调区间
［全练题点］
1.［考点二1(2018江西金溪一中等校联考)已知函数f(x)与f' (x)的图象如图所示，贝U函数
g(x)= -5T的单调递减区间为()
e
—，4 D • (0,1), (4,+^ ) A. (0,4) B . ( — 8, 1),
,+ a 上单调递增.
4.［考点二］已知函数 f(x)= ax 2+ 1(a > 0), g(x) = x 3+ bx.
(1)若曲线y = f(x)与曲线y = g(x)在它们的交点(1, c)处具有公共切线，求 a , b 的值;
⑵当a 2 = 4b 时，求函数f(x) + g(x)的单调区间. 解：(1)f ' (x)= 2ax , g ' (x)= 3x 2+ b ,
f 1 = a + 1 = c ,
由已知可得 g 1 = 1 + b = c ,
解得a = b = 3.
2a = 3 + b ,
2 2
3
2 a
2
a
(2)令 F(x)= f(x) + g(x)= x + ax + ~x + 1, F ' (x) = 3x + 2ax + ;,
解析：选 D g' (x) =f ' x 叮"I f ' x —fx , 令 g ' (x)<0 ,即 f '
e e
(x) — f(x)vo ,
由题图可得x € (0,1) U (4, + a ).故函数g(x)的单调递减区间为(0,1), (4, +
a ).故选D.
2.［考点二］(2018芜湖一模)函数f(x)= e x — ex , x € R 的单调递增区间是( A.(0,
) B.( —m
, 0)
C.( —m
, 1) D.(1, )
解析：选D 由题意知，f ' (x)= e x — e ,令f ' (x)>0，解得x > 1,故选D. 2
3.［考点一］已知函数f(x)= x — 2 + 1— aln x , a > 0.讨论f(x)的单调解：由题意知，f(x)的定义域是(0,+^)，导函数f ' (x) = 1
+x 2—x =x — x x +
2•设 g(x) =x 2— ax + 2, 二次方程 g(x)= 0的判别式 △= a 2— 8.①当A< 0, > 0都有f '(X)》0.此时f(x)是 (0,+ a )上的单调递增函数.②当 即O v a w 2 2时，对一切x △>0,即卩a >2 . 2时，方
程 g(x)= 0 有两个不同的实根 X 1= 2 ，X 2= 2
, 0 v X 1< X 2.所以 f(x) , f ' (x)
随x 的变化情况如下表:
此时f(x)在
a -
、广8上单调递增,
a — a 2 — 8 < 2 ，
a + 广8上单调递减,
—，4 D • (0,1), (4,+^ )
令 F (x)= 0,得X1 = —£,x2= —?
2 6
•••a>0,「. X i<x2，由F ' (x)>0 得，x<—a或x>—6；
由 F ' (x)<0 得，—a<xv- a.
2 6
• ••函数f(x) + g(x)的单调递增区间是 [-a ,— 2 j, l_ a
,+ a ；单调递减区间为
匚 a —a)
I 2，6/
突破点(二)利用导数解决函数单调性的应用问题
' 利用导数解决函数单调性的应用问题主要有：
' (1)已知函数的单调性求参数范围问题：此类问题是近几年高考的热点，一般为解答题
的第二问，难度中档•有时也以选择题、填空题的形式出现，难度中高档•解决此类问题的关键是
转化为恒成立问题，再参变分离，转化为最值问题求解.
' (2)比较大小或解不等式问题：利用导数方法解决此类问题的主要技巧就是灵活地构造
函数，通过函数的性质求解.
［全析考法］
3
［例1］已知函数f(x)= x —ax— 1.
(1)若f(x)在区间(1,+^ )上为增函数，求a的取值范围；⑵若f(x)在区间(—1,1)上为减函数，
求a的取值范围；⑶若f(x)的单调递减区间为(一1,1),求a的值.
［解］(1)因为f' (x)= 3x2—a,且f(x)在区间(1, + a)上为增函数, 所以f' (x)> 0在(1, + a)上恒成立，
即3x2—a> 0在(1, + a)上恒成立, 所以a< 3x2在(1, + a)上恒成立，所以a < 3,即a的取值范围为(一a, 3］.
⑵因为f(x)在区间(一1,1)上为减函数，
所以f' (x)= 3x2—a< 0在(—1,1)上恒成立，即a>3x2在(—1,1)上恒成立.
因为一1v x v 1,所以3X2V 3，所以a> 3. 即a的取值范围为［3, + a).
3
(3)因为f(x)= x 一ax—1,
所以f' (x)= 3x2— a.由f' (x)= 0，得x = ±3^(a> 0).
3
因为f(x)的单调递减区间为(一1,1), 所以呼=1，即a= 3.
［方法技巧］
由函数的单调性求参数取值范围的方法
(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f' (x) > 0(或f' (x)< 0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围，注意检验等号成立时导数是否在(a, b)上恒为0.
⑵可导函数在区间(a, b)上存在单调区间，实际上就是f' (x)>0(或f' (x)<0)在该区间
上存在解集，即f' (X)max>0(或f' (X)min V0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围.
(3) 若已知f(x)在区间I 上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，
令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围.
[例2] (1)(2017吉林长春三模)定义在R上的函数f(x)满足：f' (x) > f(x)恒成立，若X1
v X2,贝V exf(x2)与ex2f(X1)的大小关系为()
A. ex1f(x2) > ex2f(x1)
B. ex1f(x2)v ex2f(x1)
C. ex1f(x2)= ex2f(x1)
D. ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系不确定
1 x
2 1
(2)已知函数f(x)(x € R)满足f(1)= 1，且f(x)的导数f' (x)v?，则不等式f(x2)<2 +1的解集为.
［解析］⑴设g(x)=器，
则g-(x)=1- ^e x—f_ 宁乂，
由题意得g' (x) > 0，所以g(x)单调递增，
当X1< X2 时，g(x1)v g(x2)，即(黃v(黃，所以e X1f(x2)>e X2f(x1).
(2)设 F(x) = f(x) — 1x ,A F ' (x)= f ' (x)— 1，: f (x)<1,^ F ' (x)= f ' (x)—1<0,即函数 F(x)
二F(x 2)<F(1),而函数F(x)在 R 上单调递减,
2
…x >1，即 x € (— °° , — 1) U (1,+ 00). [答案](1)A
(2)( —o,— 1) U (1,+o )
［方法技巧］ 利用导数比较大小或解不等式的常用技巧
禾U 用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研 究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式.常见构造的辅助函数形式有：
(1) f(x)>g(x)i F (x)= f(x) — g(x); (2)xf ' (x) + f(x )T [xf(x)]'; x
(4) f ' (x) + f(x)Tef(x)]';
［全练题点］
1.［考点一］若函数f(x)= x 3— ax 2+ 4在区间［0,2］上单调递减，则( )
A . a > 3
B . a = 3
C . a < 3
D . 0<a<3
解析：选A 因为函数f(x) = x 3— ax 2+ 4在区间［0,2］上单调递减，所以
f ' (x)= 3x 2 —
2ax w 0在［0,2］上恒成立.当 x = 0时，显然成立，当 x 丰0时，a >［在(0,2］上恒成立.因为
3,所以 a > 3.综上，a > 3.
2.［考点一］已知函数f(x)= 1x 2— tcos x ，若其导函数f ' (x)在 R 上单调递增，则实数 t 的 取值范围为(
)
A. — 1,
C . [— 1,1]
解析：选 C 因为 f(x)= ,2— tcosx ，所以 f ' (x)= x + tsin x .令 g(x)= f ' (x),因为 f ' (x)
在R 上单调递减.
i
2,
2
…f (
x
) - 2<f ⑴— (3)xf ' (x)—f(x)i
(5)f ' (x) — f(x)T
B.匚 1,
在R 上单调递增，所以 g ' (x)= 1 + tcos x > 0恒成立，所以tcos x > - 1恒成立，因为cos x —t 》一1,
€ ［ — 1,1］,所以* 所以一K t w 1,即实数t 的取值范围为［—1,1］.
— 1,
1 一 x
3.［考点二］对于R 上可导的任意函数 f(x)，若满足f 一 w 0，则必有(
)
f
(x) A . f(0) + f(2) > 2f(1) B . f(0) + f(2)W 2f(1) C . f(0) + f(2) V 2f(1)
D . f(0) + f(2) > 2f(1)
解析：选A 当x v 1时，f ' (x) V 0,此时函数f(x)单调递减，当x > 1时，f ' (x)> 0, 此时函数f(x)单调递增，.••当 x = 1时，函数f(x)取得极小值同时也取得最小值，所以 f(0)
> f(1), f(2) > f(1)，贝U f(0) + f(2) > 2f(1).
4.［考点二］(2018 •西赣州联考)定义在R 上的函数f(x)满足：f(x)>1 — f ' (x), f(0) = 0, f ' (x)是 f(x)的导函数，则不等式
e x f(x)>e x — 1(其中e 为自然对数的底数)的解集为(
)
A . (0, +m
)
B . ( — m,— 1)U (0 ,+s )
C . ( — 8, 0) U (1,+m )
D . (—1,+m )
解析：选 A 设 g(x)= e x
f(x)— e x
,则 g ' (x)= e x
f(x) + e x
f ' x
(x)— e.由已知 f(x)>1 — f '
(x)
,
可得g ' (x)>0在R 上恒成立，即 g(x)是R 上的增函数•因为 f(0) = 0，所以 g(0) = — 1, 则不 等式e x f(x)>e x — 1可化为g(x)> g(0)，所以原不等式的解集为 (0, + ).
1 2
5.［考点一 ］(2018四川成都模拟)已知函数f(x) = — + 4x — 3ln x 在区间［t , t + 1］上不
单
调，则t 的取值范围是 __________ .
解析：由题意知f ' (x) = — x + 4— 3=— —一3 ,由f ' (x) = 0得函数f(x)的两个极
值点为1和3,则只要这两个极值点有一个在区间 (t , t + 1)内，函数f(x)在区间［t , t + 1］上
就不单调，
tv 1,
tv 3,
••• 1 € (t , t + 1)或 3 € (t , t + 1)? 或*
? 0V t v 1 或 2 V t v 3.
t+ 1 > 1 t + 1> 3 答案：(0,1) U (2,3)
(1)若函数f(x)在区间(0,4)上单调递增，求 a 的取值范围;
⑵若函数y = f(x)的图象与直线y = 2x 相切，求a 的值.
6.［考点一 ］(2018 •宁大连双基测试
)已知函数f(x)= In x + ax
x + 1
(a € R ).
1 解: (1)f' (x)= + a x + 1 —
ax
2
(x + 1 ) + ax
x(x+ 1 )
•••函数f(x)在区间(0,4)上单调递增,
• f ' (x) > 0 在(0,4)上恒成立，• (x + 1)2+ ax > 0, 州 x 2 + 2X + 1 即a > —
代入②，得 2x 0= ln
x °+(2x 0— 1)(x °+ 1), 即 In x °+ 2x 0— x °— 1 = 0. 令 F (x)= In x + 2x 2— x — 1, x>0,则 , 1「， * 4x —
x +14 F ' (x)=十 4x — 1 =
>0,
x x
'
••• F(x)在(0, + )上单调递增.
••• F(1) = 0 ,• x o = 1，代入③式得 a = 4.
C.
14 (2014全国卷n )若函数f(x) = kx — ln x 在区间(1,+° )单调递增，则 k 的取值范围 是()
B . (— °°, — 1]
C . [2,+° )
1 解析：选 D 因为 f(x)= kx — ln x ，
所以 f ' (x)= k — 一.
因为f(x)在区间(1, + °)上单调递增, 所以当x>1时，f ' (x) = k — -> 0恒成立, 即k >1在区间(1, + °)上恒成立.
因为x>1，所以0<〕<1，所以k > 1.故选D.
1
x +1 2 — 2在(0,4)上恒成立.
1
•/ x + -> 2,当且仅当 x
x = 1时取等号，• a € [— 4,十°).
(2)设切点为(x o , y o ). ax 。

则 y 0= 2x 0, f (X 0) = 2, y 0= ln x ° + , 1 a
•dr 严2
,① ax 。

且 2x 0= ln x °+ -
X 十1 ［全国卷5年真题集中演练
明规律］
A . ( — rn,— 2]
D . [1,+° ) +1)2,③
由①得a = 2 —
1 2
解析：选 C 法一：取 a =— 1,贝V f(x) = x — §sin 2x — sin x , f ' (x)= 1 —§cos 2x — cosx .
2 2
但f ' (0) = 1 — - — 1 = — -< 0,不具备在(—s,+s )单调递增的条件，故排除
A 、
B 、D.故
3 3 选C.
1 2 法二：函数 f(x) = x — §sin 2x + asin x 在(—m ,+ m )单调递增，等价于 f ' (x) = 1 —
§cos
2x + acos x = — §cosx + acos x + 3》0在(一m,+m )恒成立•设 cos x = t ,贝U g(t)= —
+
『 4 5
5
g 1 一 3+a +5》0
at + 5>0在［—1,1］恒成立，所以
3
4 5 g — 1 一 4—a +
3》°,
3. (2015全国卷n )设函数f ' (x)是奇函数f(x)(x € R )的导函数, xf ' (x) — f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是(
)
A. ( — m,— 1) U (0,1)
B. (— 1,0) U (1,+m ) C . ( — m,— 1) U (— 1,0) D . (0,1) U (1,+m ) 解析：选A 设y = g(x) =
0)，贝V g ' (x)= xf_
x ?
，当
x>0 时，xf ' (x)— f(x)<0,「. g ' (x)v0,「. g(x)在(0, + m)上为减函数， 且 g(1) = f(1) = — f( — 1) = 0.： f(x)为奇函数，••• g(x)为偶函数，••• g(x)的 图象的示意图如图所示. 当x>0时，由f(x)>0,得g(x)>0 ,由图知0vxv1, 当x<0时，由f(x)>0，得 g(x)<0，由图知x<— 1 ,•使得f(x)>0成立的 x 的取值范围是(―m,— 1) U (0,1)，故选 A.
2x
x
4. (2017 全国卷 I )已知函数 f(x)= ae + (a — 2)e — x. (1)讨论f(x)的单调性；
⑵若f(x)有两个零点，求a 的取值范围. 解：(1)f(x)的定义域为(一m,+m ),
f ' (x)= 2ae 2x + (a — 2)e x — 1 = (ae x — 1)(2e x + 1). (i )若 a w 0,则 f ' (x)<0,
所以f(x)在(—m ,+ m )上单调递减.
(ii )若 a>0，则由 f ' (x)= 0,得 x =— In a. 当 x € (— m ,— in a)时，f ' (x)<0;
1 1
解得—a W ?.故选C.
f(— 1) = 0,当 x>0 时,
当 x € (— In a ,+)时，f ' (x)>0.
所以f(x)在(—m,— in a)上单调递减，在(—In a ,+^)上单调递增. (2)( i )若a w 0，由 ⑴知，f(x)至多有一个零点.
1
(ii )若a>0,由⑴知，当x =— In a 时，f(x)取得最小值，最小值为f( — In a)= 1 — ；+ In a. a ① 当a = 1时，由于f(— In a) = 0, 故f(x)只有一个零点；
1
② 当 a € (1, + m )时，由于 1— ； + In a>0, 即f( — In a)>0，故f(x)没有零点；
1
③当 a € (0,1)时，1 —-+ In a<0,即卩 f(— In a)<0. a
一
一4
—
2 — 2
又 f( — 2) = ae 4
+ (a — 2)e 2
+ 2> — 2e 2+ 2>0,
故f(x)在(—m , — In a)有一个零点. 设正整数n o 满足n o >In 学一 1， 则 f(n o ) = e n o
(ae °o
+ a — 2) — n o >e n )
—
— n °>o.
由于1n 3-"
> —In a ,
因此f(x)在(—In
a
,+ <m
)有一个零点.
综上，a 的取值范围为(0,1). ［课时达标检测］
［小题对点练一一点点落实］
对点练(一)利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间
1.(2018福建龙岩期中)函数f(x)= x 3+ bx 2 + cx + d 的图象如图，则函 数y = Iog 2 x 2 + 2bx + C 的单调递减区间为(
)
A . ( — m,— 2) C . [— 2,3]
解析：选A 由题图可以看出一2,3是函数f(x)= x 3+ bx 2 + cx + d 的两个极值点，即方
程 f ' (x) = 3X 2+ 2bx +
c = 0 的两根，所以-2^= 1, C =-
6,即 2b =-
3，c =
- 18
,所以函
bx + c 可化为 y = log 2(x 2— x — 6).解 x 2
— x — 6>0 得 x<— 2 或 x>3.因为二次 函数y = x 2— x — 6的图象开口向上， 对称轴为直线x = 1，所以函数y = log/2 — x — 6)的单调 递减区间为(一m,— 2).故选A.
B . [3 ,+m ) D.； ,+m
数 y = Iog 2 x 2
+ 3
2. (2017焦作二模)设函数f(x)= 2(x 2— x)ln x — x 2+ 2x ，则函数f(x)的单调递减区间为 ( ) A i 0 n
B (i 「 A. 0，2 B. 2，'
C . (1 ,+s )
D . (0 ,+s )
解析：选B 由题意可得f(x)的定义域为(0, +s ), f ' (x)= 2(2x — 1)ln x + 2(x 2— x) •—
4x — 2>0,
2x + 2= (4x — 2)ln x . 由 f ' (x)<0 可得(4x — 2)ln x<0 ,所以* In x<0,
2<x<1，故函数f(x)的单调递减区间为
2，1 ,故选B.
3. (2018湖北荆州质检)函数f(x)= ln x — *x 2— x + 5的单调递增区间为 __________
解析：函数f(x)的定义域为(0 ,+^)，再由f ' (x) =1— x — 1>0可解得0<x< 5
— 1
x 2
对点练(二)利用导数解决函数单调性的应用问题
1. (2018河南洛阳模拟)已知函数f(x)=— x 3 + ax 2— x — 1在R 上是单调函数，则实数 a
的取值范围是(
)
A. (―汽一3 ]U [ 3,+s )
B. [— -3, 3 ]
C. (―汽一 3) U (• 3,+^ )
D. (— 3,
3)
解析：选B f ' (x)=— 3x 2+ 2ax — 1，由题意知，f ' (x)< 0在R 上恒成立，则 △= (2a)2 —4X (— 1) x (— 3)< 0 恒成立，解得一.3W a w 3.
2. (2018河北正定中学月考)函数f(x)在定义域R 内可导，若f(x)= f(2 — x)，且当x € (— 汽 1)时，(x — 1)f ' (x)<0，设 a = f(0)，b = f 1，c = f(3)，则(
)
A . a<b<c
B . c<a<b C. c<b<a
D . b<c<a
解析：选B 由f(x)= f(2 — x)可知，f(x)的图象关于直线 x = 1对称.根据题意知当x € (— a ，1)时，f ' (x)>0，f(x)为增函数，当 x € (1，+^)时，f ' (x)<0, f(x)为减函数，所以 f(3) =f(— 1)<f(0)<f
，即 c<a<b.故选 B.
3. (2018河北唐山期末)已知函数f(x)= ln(e x + e —
x ) + x 2,则使得f(2x)>f(x + 3)成立的x 的取值范围是(
)
或4x -
2<0，解得 ln x>0,
答案:。