2014-2015学年福建省泉州市永春县九年级上学期期中数学试卷与解析

2014-2015学年福建省泉州市永春县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（单项选择，每小题3分，共21分）
1．（3分）与是同类二次根式的是（）
A．2 B．C．3 D．
2．（3分）一元二次方程x2﹣9=0的根是（）
A．x=9 B．x=±9 C．x=3 D．x=±3
3．（3分）已知，则的值为（）
A．B．C．D．
4．（3分）下列计算正确的是（）
A．2+4=6B．=4C．÷=3 D．=±2
5．（3分）用配方法解方程x2+4x﹣1=0，下列配方结果正确的是（）A．（x+2）2=5 B．（x+2）2=1 C．（x﹣2）2=1 D．（x﹣2）2=5
6．（3分）如图，在一块长为20m，宽为15m的矩形绿化带的四周扩建一条宽度相等的小路（图中阴影部分），建成后绿化带与小路的总面积为546m2，如果设小路的宽度为x m，那么下列方程正确的是（）
A．（20﹣x）（15﹣x）=546 B．（20+x）（15+x）=546
C．（20﹣2x）（15﹣2x）=546 D．（20+2x）（15+2x）=546
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（）
A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2
二、填空题（每小题4分，供40分）
8．（4分）计算：=．
9．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是．
10．（4分）计算：=．
11．（4分）已知x=3是方程x2﹣mx=0的一个实数根，则m的值是．12．（4分）如图所示，DE是△ABC的中位线，若BC=8，则DE=．
13．（4分）地图上两点间的距离为3厘米，比例尺是1：1000000，那么两地的实际距离是千米．
14．（4分）若两个三角形的相似比为2：3，则这两个三角形周长的比为．15．（4分）已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则a+b=；ab=．16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，则图中相似的三角形有（写出一对即可）．
17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．
（1）四边形OBCD的周长为；
（2）当直线l运动的时间为秒时，直线l扫过正方形OBCD的面积为13．
三、解答题（共89分）
18．（12分）计算：
（1）﹣3﹣5；
（2）（3+）（3﹣）．
19．（12分）解方程：
（1）x2+6x=0
（2）3x2+7x﹣2=0．
20．（8分）如图，AD∥BE∥CF，直线L1，L2与直线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB=4，BC=5，DE=5，求EF的长．
21．（8分）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．
22．（8分）已知：关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣2=0．
（1）求证：无论a取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）当方程的一个根为﹣2时，求方程的另一个根．
23．（8分）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，1）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第四象限内画出△A2B2C2，并直接写出△A1B1C1与△A2B2C2的面积的比值．S：S=：．Ⅰ
24．（9分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，羊圈的边长AB为多少米？
25．（12分）在矩形ABCD中，AB=a，AD=8．
（1）填空：矩形ABCD的面积为；（用含a的代数式表示）
（2）将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处（如图1），折痕与边bc交与点O，连结AP、OP、OA．求证：△OCP∽△PDA；
（3）在（2）的条件下，若△OCP与△PDA的面积比为1：4．
①求a的值；
②擦去AO、OP，；连结BP（如图2）．动点M在线段AP上（与p、A）不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP 于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．
26．（12分）如图，A（4，0），B（2，4），C（0，4），直线y=x﹣3，与y轴、x
轴分别交与D、E两点，P是折线BC﹣CO上的动点．（1）直接写出D、E两点的坐标D（）、E（）；
（2）当P是线段BC的中点时，求△PDE的面积；
（3）若P在线段OC上，过P作直线y=x﹣3的垂线，垂足为F，若以P，F，O 为顶点的三角形是等腰三角形，求出所有满足条件的点P的坐标．
2014-2015学年福建省泉州市永春县九年级（上）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（单项选择，每小题3分，共21分）
1．（3分）与是同类二次根式的是（）
A．2 B．C．3 D．
【解答】解：A、2与被开方数相同，是同类二次根式，故本选项正确；
B、与被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误；
C、3不是二次根式，故本选项错误；
D、与被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误．
故选：A．
2．（3分）一元二次方程x2﹣9=0的根是（）
A．x=9 B．x=±9 C．x=3 D．x=±3
【解答】解：x2﹣9=0，
移项得：x2=9，
两边直接开平方得：x=±3，
故选：D．
3．（3分）已知，则的值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵=，
∴设a=3k，b=5k，
则==．
故选：C．
4．（3分）下列计算正确的是（）
A．2+4=6B．=4C．÷=3 D．=±2
【解答】解：A、2与4不能合并，所以A选项错误；
B、原式==2，所以B选项错误；
C、原式==3，所以C选项正确；
D、原式=2，所以D选项错误．
故选：C．
5．（3分）用配方法解方程x2+4x﹣1=0，下列配方结果正确的是（）A．（x+2）2=5 B．（x+2）2=1 C．（x﹣2）2=1 D．（x﹣2）2=5
【解答】解：把方程x2+4x﹣1=0的常数项移到等号的右边，得到x2+4x=1
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+4x+4=1+4
配方得（x+2）2=5．
故选：A．
6．（3分）如图，在一块长为20m，宽为15m的矩形绿化带的四周扩建一条宽度相等的小路（图中阴影部分），建成后绿化带与小路的总面积为546m2，如果设小路的宽度为x m，那么下列方程正确的是（）
A．（20﹣x）（15﹣x）=546 B．（20+x）（15+x）=546
C．（20﹣2x）（15﹣2x）=546 D．（20+2x）（15+2x）=546
【解答】解：依题意得：（20+2x）（15+2x）=546．
故选：D．
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（）
A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，
∴b2﹣ab+b=0，
∵﹣b≠0，
∴b≠0，
方程两边同时除以b，得b﹣a+1=0，
∴a﹣b=1．
故选：A．
二、填空题（每小题4分，供40分）
8．（4分）计算：=4．
【解答】解：原式=
=
=4．
故答案为：4．
9．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥2．
【解答】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
10．（4分）计算：=4﹣．
【解答】解：原式=×2﹣×
=4﹣．
故答案为．
11．（4分）已知x=3是方程x2﹣mx=0的一个实数根，则m的值是3．【解答】解：把x=3代入已知方程，得
32﹣3m=0，
解得m=3．
故答案是：3．
12．（4分）如图所示，DE是△ABC的中位线，若BC=8，则DE=4．
【解答】解：根据三角形的中位线定理，得：DE=BC=4．
故答案为4．
13．（4分）地图上两点间的距离为3厘米，比例尺是1：1000000，那么两地的实际距离是30千米．
【解答】解：根据题意，3÷=3000000厘米=30千米．
即实际距离是30千米．
14．（4分）若两个三角形的相似比为2：3，则这两个三角形周长的比为2：3．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的周长比为：2：3．
故答案为：2：3．
15．（4分）已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则a+b=1；ab=﹣3．【解答】解：根据题意得a+b=1，ab=﹣3．
故答案为1，﹣3．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，则图中相似的三角形有△BAD∽△ACD（写出一对即可）．
【解答】解：∵∠B+∠C=90°，∠B+∠BAD=90°，
∴∠C=∠BAD，
又∵∠BAC=∠BDA=∠ADC=90°，
∴△BAD∽△ACD∽△BCA．
故答案可为：△BAD∽△ACD．
17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．
（1）四边形OBCD的周长为16；
（2）当直线l运动的时间为8﹣秒时，直线l扫过正方形OBCD的面积为13．
【解答】解：（1）∵四边形OBCD是边长为4的正方形，
∴四边形OBCD的周长为：4×4=16；
（2）如图，设直线l与BC、CD分别相交于点M、N，与x轴相交于点E，
∵直线l平行于正方形的对角线BD，
∴△MNC和△BME都是等腰直角三角形，
∵直线l扫过正方形OBCD的面积为13，
∴△MNC的面积=42﹣13=3，
∴CM2=3，
解得CM=，
∴BE=BM=4﹣，
OE=4+（4﹣）=8﹣，
∵直线l沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，
∴运动时间t=（8﹣）÷1=8﹣．
故答案为：16；8﹣．
三、解答题（共89分）
18．（12分）计算：
（1）﹣3﹣5；
（2）（3+）（3﹣）．
【解答】解：（1）﹣3﹣5
=2﹣8
=﹣6；
（2）（3+）（3﹣）
=9﹣2
=7．
19．（12分）解方程：
（1）x2+6x=0
（2）3x2+7x﹣2=0．
【解答】解：（1）x2+6x=0，
x（x+6）=0，
解得：x1=0，x2=﹣6；
（2）3x2+7x﹣2=0，
∵△=b2﹣4ac=49﹣4×3×（﹣2）=73＞0，∴x=，
解得：x1=，x2=．
20．（8分）如图，AD∥BE∥CF，直线L1，L2与直线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB=4，BC=5，DE=5，求EF的长．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴=，即=，
∴EF=．
21．（8分）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．
【解答】证明：∵DE∥BC，
∴∠AED=∠C．
又∵EF∥AB，
∴∠A=∠FEC．
∴△ADE∽△EFC．
22．（8分）已知：关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣2=0．
（1）求证：无论a取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）当方程的一个根为﹣2时，求方程的另一个根．
【解答】（1）证明：△=a2﹣4×1×（a﹣2）=a2﹣4a+8=（a﹣2）2+4
∵（a﹣2）2≥0
∴（a﹣2）2+4＞0
∴△＞0
∴无论a取任何实数时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵此方程的一个根为﹣2
∴4﹣2a+a﹣2=0
∴a=2
∴一元二次方程为：x2+2x=0
∴方程的根为：x1=﹣2，x2=0
∴方程的另一个根为0．
23．（8分）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，1）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第四象限内画出△A2B2C2，并直接写出△A1B1C1与△A2B2C2的面积的比值．S：S=1：4．Ⅰ
【解答】解；（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求；
S：S=1：4．
故答案为：1：4．
24．（9分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，羊圈的边长AB为多少米？
【解答】解：设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米．
根据题意得（100﹣4x）x=400，
解得x1=20，x2=5．
则100﹣4x=20或100﹣4x=80．
∵80＞25，
∴x2=5舍去．
即AB=20，BC=20．
答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．
25．（12分）在矩形ABCD中，AB=a，AD=8．
（1）填空：矩形ABCD的面积为8a；（用含a的代数式表示）
（2）将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处（如图1），折痕与边bc交与点O，连结AP、OP、OA．求证：△OCP∽△PDA；
（3）在（2）的条件下，若△OCP与△PDA的面积比为1：4．
①求a的值；
②擦去AO、OP，；连结BP（如图2）．动点M在线段AP上（与p、A）不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP 于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．
=AB•AD=8a；
【解答】解：（1）S
矩形ABCD
故答案为：8a；
（2）如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．
由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B．
∴∠APO=90°．
∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC．
∵∠D=∠C，∠APD=∠POC．
∴△OCP∽△PDA．
（3）①∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，
∴====．
∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．
∵AD=8，
∴CP=4，BC=8．
设OP=x，则OB=x，CO=8﹣x．
在Rt△PCO中，
∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，
∴x2=（8﹣x）2+42．
解得：x=5．
∴AB=AP=2OP=10．
∴边AB的长为10，
∴a=10；
②作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2．
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．
∴∠APB=∠MQP．
∴MP=MQ．
∵MP=MQ，ME⊥PQ，
∴PE=EQ=PQ．
∵BN=PM，MP=MQ，
∴BN=QM．
∵MQ∥AN，
∴∠QMF=∠BNF．
在△MFQ和△NFB中，
，
∴△MFQ≌△NFB．
∴QF=BF．
∴QF=QB．
∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB．
由（1）中的结论可得：
PC=4，BC=8，∠C=90°．
∴PB==4．
∴EF=PB=2．
∴当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为2．
26．（12分）如图，A（4，0），B（2，4），C（0，4），直线y=x﹣3，与y轴、x 轴分别交与D、E两点，P是折线BC﹣CO上的动点．（1）直接写出D、E两点的坐标D（0，﹣3）、E（0，3）；
（2）当P是线段BC的中点时，求△PDE的面积；
（3）若P在线段OC上，过P作直线y=x﹣3的垂线，垂足为F，若以P，F，O 为顶点的三角形是等腰三角形，求出所有满足条件的点P的坐标．
【解答】解：（1）∵直线y=x﹣3，与y轴、x轴分别交与D、E两点，
∴D（0，﹣3），E（3，0）；
故答案为0，﹣3、3，0．
（2）如图1，设直线PD的解析式为y=kx+b，
∵P是线段BC的中点，B（2，4），C（0，4），
∴P（1，4），
∵D（0，﹣3），
∴，解得k=7，
∴PD的解析式为y=7x﹣3，
∴直线PD与x轴的交点为（，0），
∴△PDE的面积=×（3﹣）×4+×（3﹣）×3=9；
（3）如图2，设P（0，a）（0≤a≤4），F（b，b﹣3），
过F作FH⊥y轴于H，
∵OD=OE，
∴∠ODE=45°，
∴∠HPF=45°，
∴PH=FH，
即a﹣（b﹣3）=b，解得b=，
∴OF2=b2+（b﹣3）2=（）2+（﹣3）2=，PF2=b2+（a﹣b+3）2=（）2+（a﹣+3）2=（）2，
当OP=OF时，a2=，解得a=±3，∴P（0，3）；
当OP=PF时，a2=（）2，解得a=3±3，不合题意舍去；
当PF=OF时，（）2=，解得a=0，不合题意舍去；
∴以P，F，O为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为（0，3）．。

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………。