高考数学总复习考点知识讲解与提升练习19 导数与函数的单调性

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习
专题19 导数与函数的单调性
考点知识
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用．
知识梳理
1．函数的单调性与导数的关系
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区
间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
常用结论
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(√)
(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．(√)
(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增．(×)
(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数．(√)
教材改编题
1．f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()
答案C
解析由f′(x)的图象知，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增；
当x∈(0，x1)时，f′(x)<0，∴f(x)单调递减；
当x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )单调递增． 2．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是() A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－1,1) 答案A
解析∵f ′(x )＝2x －2
x
＝
2(x ＋1)(x －1)
x
(x >0)，
令f ′(x )＝0，得x ＝1(负值舍去)，
∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．
3．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3的大小关系为
________________．(用“<”连接) 答案f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π5<f (1)<f
⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3 解析因为f (x )＝x sin x ，当x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，又因为0<π5<1<π3<π2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5<f (1)<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3.
题型一不含参函数的单调性
例1(1)函数f (x )＝x ln x －3x ＋2的单调递减区间为________． 答案(0，e 2)
解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x－2，
当x∈(0，e2)时，f′(x)<0，
当x∈(e2，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递减区间为(0，e2)．
(2)若函数f(x)＝ln x＋1
e x
，则函数f(x)的单调递增区间为________．
答案(0,1)
解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝1
x
－ln x－1
e x
，
令φ(x)＝1
x
－ln x－1(x>0)，
φ′(x)＝－1
x2
－
1
x
<0，
φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，
∴当x∈(0,1)时，φ(x)>0，
当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)．
思维升华确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
跟踪训练1已知函数f (x )＝x －ln x －e x
x
.判断函数f (x )的单调性．
解因为f (x )＝x －ln x －e x
x
，
所以f ′(x )＝1－1
x －
(x －1)e x
x 2
＝
(x －1)(x －e x )
x 2
(x >0)．
令g (x )＝x －e x ，则g ′(x )＝1－e x ， 可得g (x )在(0，＋∞)上单调递减， 所以g (x )<g (0)＝－1<0.
所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0， 所以f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 题型二含参数的函数的单调性
例2已知函数f (x )＝(2－a )x －ln x －1，a ∈R . (1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的单调递增区间；
(2)若a <0，设g (x )＝f (x )＋ax 2，求函数g (x )的单调区间．
解(1)当a ＝1时，f (x )＝x －ln x －1，则f ′(x )＝1－1
x ＝x －1
x
(x >0)，
当x >1时，f ′(x )>0，∴f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)． (2)g (x )＝ax 2＋(2－a )x －ln x －1(a <0)，其定义域为(0，＋∞)， ∴g ′(x )＝2ax ＋2－a －1
x ＝
2ax 2＋(2－a )x －1
x ＝
(2x －1)(ax ＋1)
x
(a <0)，
令g ′(x )＝0，可得x 1＝12，x 2＝－1
a >0，
①若－1a >1
2
，即－2<a <0，
当0<x <12或x >－1a 时，g ′(x )<0；当12<x <－1
a
时，g ′(x )>0，
∴g (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2
，－1a ；
②若－1a ＝1
2，即a ＝－2，则g ′(x )≤0，∴g (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调
递增区间；
③若0<－1a <1
2，即a <－2，
当0<x <－1a 或x >1
2时，g ′(x )<0；
当－1a <x <1
2
时，g ′(x )>0，
∴g (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调递增区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－1a ，12.
综上，当－2<a <0时，g (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫
－1a ，＋∞，单调递增区间为
⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2
，－1a ；
当a ＝－2时，g (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；
当a <－2时，g (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，12.
思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
跟踪训练2已知函数g (x )＝(x －a －1)e x －(x －a )2，讨论函数g (x )的单调性．
解g(x)的定义域为R，
g′(x)＝(x－a)e x－2(x－a)＝(x－a)(e x－2)，
令g′(x)＝0，得x＝a或x＝ln2，
①若a>ln2，
则当x∈(－∞，ln2)∪(a，＋∞)时，g′(x)>0，
当x∈(ln2，a)时，g′(x)<0，
∴g(x)在(－∞，ln2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln2，a)上单调递减．
②若a＝ln2，则g′(x)≥0恒成立，
∴g(x)在R上单调递增，
③若a<ln2，
则当x∈(－∞，a)∪(ln2，＋∞)时，g′(x)>0，
当x∈(a，ln2)时，g′(x)<0，
∴g(x)在(－∞，a)，(ln2，＋∞)上单调递增，在(a，ln2)上单调递减．
综上，当a>ln2时，g(x)在(－∞，ln2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln2，a)上单调递减；
当a＝ln2时，g(x)在R上单调递增；
当a<ln2时，g(x)在(－∞，a)，(ln2，＋∞)上单调递增，在(a，ln2)上单调递减．题型三函数单调性的应用
命题点1比较大小或解不等式
例3(1)(多选)下列不等式成立的是()
A．2ln 3
2
<
3
2
ln2B.2ln 3<3ln 2
C．5ln4<4ln5D．π>elnπ
答案AD 解析设f (x )＝
ln x x
(x >0)，
则f ′(x )＝1－ln x
x
2
， 所以当0<x <e 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x >e 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 因为3
2<2<e ，
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
32<f (2)，
即2ln
32<3
2
ln2，故选项A 正确； 因为2<3<e ， 所以f (2)<f (3)， 即2ln
3>3ln
2，故选项B 不正确；
因为e<4<5，
所以f (4)>f (5)，即5ln4>4ln5， 故选项C 不正确； 因为e<π，
所以f (e)>f (π)，即π>eln π，故选项D 正确．
(2)已知函数f (x )＝cos x ＋e x ＋e －x －1
2x 2，则关于x 的不等式f (2x －1)<f (3＋x )的解集为
() A ．(－1,2)
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，4 C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D.⎝
⎛
⎭⎪⎫－∞，－23∪(4，＋∞) 答案B
解析f ′(x )＝e x －e －x －sin x －x ，
令g (x )＝e x －e －x －sin x －x ，则g ′(x )＝e x ＋e －x －cos x －1≥2e x ·e －x －cos x －1＝1－cos x ≥0，
当且仅当x ＝0时等号成立， ∴函数g (x )在R 上单调递增， 又g (0)＝0，
∴当x ∈[0，＋∞)时，g (x )≥g (0)＝0， ∴f ′(x )≥0，
∴当x ∈(－∞，0)时，g (x )<g (0)＝0， ∴f ′(x )<0，
∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增， 又f (－x )＝f (x )， ∴f (x )为偶函数，
∴关于x 的不等式f (2x －1)<f (3＋x )可转化为|3＋x |>|2x －1|，解得－2
3<x <4.
即关于x 的不等式f (2x －1)<f (3＋x )的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－23，4.
命题点2根据函数的单调性求参数
例4已知函数f (x )＝ln x －12
ax 2
－2x (a ≠0)．
(1)若f (x )在[1,4]上单调递减，求实数a 的取值范围；
(2)若f (x )在[1,4]上存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．
解(1)因为f (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，f ′(x )＝1
x
－ax －2≤0恒成立，
即a ≥1x 2－2x 恒成立．设G (x )＝1x 2－2x ，x ∈[1,4]，所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x －12－1，
因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716，
又因为a ≠0，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫
－716，0∪(0，＋∞)．
(2)因为f (x )在[1,4]上存在单调递减区间，
则f ′(x )<0在[1,4]上有解，所以当x ∈[1,4]时，a >1
x 2－2
x
有解，
又当x ∈[1,4]时，⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)，
所以a >－1，又因为a ≠0，所以实数a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． 思维升华 由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立． (2)函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0 (或f ′(x )<0)在该区间上存在解集．
跟踪训练3(1)已知函数f (x )＝1e x －e x ＋2x －1
3x 3，若f (3a 2)＋f (2a －1)≥0，则实数a 的
取值范围是________． 答案－1≤a ≤1
3
解析由题意得f ′(x )＝－1e x －e x ＋2－x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x ＋2－x 2
，
因为e x
＋1
e
x ≥2
e x
·1
e
x ＝2，当且仅当x ＝0时等号成立，所以f ′(x )≤0，所以函数
f (x )在R 上单调递减，
又f (x )＝－f (－x )，所以f (x )为奇函数，
所以f (3a 2)＋f (2a －1)≥0⇒f (3a 2)≥－f (2a －1)＝f (1－2a )， 即3a 2
≤1－2a ，解得－1≤a ≤1
3
.
(2)已知函数f (x )＝－1
2x 2－3x ＋4ln x 在(t ，t ＋2)上不单调，则实数t 的取值范围是
________． 答案[0,1)
解析由题意，f ′(x )＝－x －3＋4
x ＝－x 2＋3x －4
x
，x ∈(0，＋∞)，
当f ′(x )＝0时，有x 2＋3x －4＝0，得x ＝－4或x ＝1， ∵f (x )在(t ，t ＋2)上不单调，且(t ，t ＋2)⊆(0，＋∞)， ∴⎩⎨
⎧
t <1<t ＋2，
t ≥0，
解得t ∈[0,1)．
课时精练
1．函数f (x )＝x ln x ＋1的单调递减区间是() A.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，1e B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，＋∞
C.⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，1e D ．(e ，＋∞)
答案C
解析f (x )的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x )＝1＋ln x ， 令f ′(x )<0，得0<x <1e
，
所以f (x )的单调递减区间为⎝
⎛
⎭⎪⎫0，1e .
2．已知f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，且y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )函数的图象可能是()
答案D
解析根据导函数的图象可得，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0，则f (x )单调递减； 当x ∈(0,2)时，f ′(x )>0，则f (x )单调递增；
当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )<0，则f (x )单调递减， 所以只有D 选项符合．
3．(2023·邯郸模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ln x ，且a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，b ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
45，c ＝1
2(e )f -，
则()
A ．a >b >c
B ．c >a >b
C ．a >c >b
D ．c >b >a 答案B
解析由f (x )＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －1x ln x ，
得f ′(x )＝ln x ⎝
⎛
⎭⎪⎫1＋1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2，
当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 因为c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1e ，
0<1e <23<4
5<1，
所以f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1e >f
⎝ ⎛⎭
⎪⎫23>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
45，故c >a >b . 4．已知a ∈R ，则“a ≤2”是“f (x )＝ln x ＋x 2－ax 在(0，＋∞)上单调递增”的() A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案A
解析因为f(x)＝ln x＋x2－ax在(0，＋∞)上单调递增，
则f′(x)＝1
x
＋2x－a≥0对任意的x>0恒成立，即a≤2x＋
1
x
，
当x>0时，由基本不等式可得2x＋1
x
≥22x·
1
x
＝22，当且仅当x＝
2
2
时，等号成立，
所以a≤2 2.
因为{a|a≤2}{a|a≤22}，
因此，“a≤2”是“f(x)＝ln x＋x2－ax在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件．5．(多选)(2023·深圳模拟)若0<x1<x2<1，则()
A．2e x－1e x>ln x
2
＋1
x
1
＋1
B．2e x－1e x<ln
x
2
＋1
x
1
＋1
C．x21e x>x12e x D．x21e x<x12e x
答案AC
解析令f(x)＝e x－ln(x＋1)且x∈(0,1)，
则f′(x)＝e x－
1
x＋1
>0，
故f(x)在区间(0,1)上单调递增，因为0<x1<x2<1，
所以f(x1)<f(x2)，
即1e x－ln(x1＋1)<2e x－ln(x2＋1)，
故2e x－1e x>ln x
2
＋1
x
1
＋1
，
所以A正确，B错误；
令f(x)＝e x
x
且x∈(0,1)，
则f ′(x )＝e x (x －1)
x
2
<0， 故f (x )在区间(0,1)上单调递减， 因为0<x 1<x 2<1， 所以f (x 1)>f (x 2)，
即11e x x >22e x x ， 故x 21e x >x 12e x ， 所以C 正确，D 错误．
6．(多选)如果函数f (x )对定义域内的任意两实数x 1，x 2(x 1≠x 2)都有x 1f (x 1)－x 2f (x 2)
x 1－x 2
>0，
则称函数y ＝f (x )为“F 函数”．下列函数不是“F 函数”的是() A ．f (x )＝e x B ．f (x )＝x 2 C ．f (x )＝ln x D ．f (x )＝sin x 答案ACD
解析依题意，函数g (x )＝xf (x )为定义域上的增函数． 对于A ，g (x )＝x e x ，g ′(x )＝(x ＋1)e x ， 当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )<0，
∴g (x )在(－∞，－1)上单调递减，故A 中函数不是“F 函数”； 对于B ，g (x )＝x 3在R 上单调递增，故B 中函数为“F 函数”； 对于C ，g (x )＝x ln x ，g ′(x )＝1＋ln x ，x >0， 当x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0， ∴g (x )在⎝
⎛
⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，
故C 中函数不是“F 函数”；
对于D ，g (x )＝x sin x ，g ′(x )＝sin x ＋x cos x ， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，0时，g ′(x )<0，
∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，0上单调递减，
故D 中函数不是“F 函数”．
7．函数f (x )＝e －x
cos x (x ∈(0，π))的单调递增区间为________． 答案⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π4，π 解析f ′(x )＝－e －x cos x －e －x sin x ＝－e －x (cos x ＋sin x )＝－2e －x sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋π4，
当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π4时，e －x >0，sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋π4>0，则f ′(x )<0；
当x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫3π4，π时，e －x >0，sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋π4<0，则f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，π)上的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫
3π4，π. 8．已知函数f (x )＝
3x
a
－2x 2＋ln x (a >0)，若函数f (x )在[1,2]上不单调，则实数a 的取
值范围是________． 答案2
5
<a <1
解析f ′(x )＝3a －4x ＋1
x
，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，
即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1
x
≤0在[1,2]上恒成立，
即3
a
≥4x－
1
x
或
3
a
≤4x－
1
x
在[1,2]上恒成立．
令h(x)＝4x－1
x
，则h(x)在[1,2]上单调递增，
所以3
a
≥h(2)或
3
a
≤h(1)，
即3
a
≥
15
2
或
3
a
≤3，
又a>0，所以0<a≤2
5
或a≥1.
因为f(x)在[1,2]上不单调，故2
5
<a<1.
9．已知函数f(x)＝a e x－x，a∈R.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)试讨论函数f(x)的单调性．
解(1)因为a＝1，
所以f(x)＝e x－x，则f′(x)＝e x－1，
所以f′(1)＝e－1，f(1)＝e－1，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是y－(e－1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x.
(2)因为f(x)＝a e x－x，a∈R，x∈R，
所以f′(x)＝a e x－1，
当a≤0时，f′(x)＝a e x－1<0，则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝－ln a，
当x<－ln a时，f′(x)<0，当x>－ln a时，f′(x)>0，
所以f (x )在(－∞，－ln a )上单调递减， 在(－ln a ，＋∞)上单调递增，
综上，当a ≤0时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减；
当a >0时，f (x )在(－∞，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增． 10．已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x ，x ∈R . (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；
(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求实数a 的取值范围． 解(1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，f ′(x )＝－(x 2－2)e x ， 令f ′(x )>0，即x 2－2<0，解得－2<x <2， ∴f (x )的单调递增区间是(－2，2)．
(2)f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，若f (x )在(－1,1)上单调递增， 即当－1<x <1时，f ′(x )≥0，
即－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1,1)恒成立， 即a ≥x ＋1－
1
x ＋1
对x ∈(－1,1)恒成立， 令y ＝x ＋1－
1x ＋1，则y ′＝1＋1(x ＋1)2
>0， ∴y ＝x ＋1－
1
x ＋1
在(－1,1)上单调递增， ∴y <1＋1－11＋1＝3
2，
∴a ≥32
，
∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
32，＋∞.
11．(多选)已知函数f(x)＝ln(e2x＋1)－x，则下列说法正确的是()
A．f(ln2)＝ln 5
2
B．f(x)是奇函数
C．f(x)在(0，＋∞)上单调递增D．f(x)的最小值为ln2 答案ACD
解析f(ln2)＝ln(e2ln2＋1)－ln2＝ln5－ln2＝ln 5
2
，A正确；
f(x)＝ln(e2x＋1)－x＝ln(e x＋e－x)定义域为R，其中f(－x)＝ln(e－x＋e x)＝f(x)，故f(x)是偶函数，B错误；
f′(x)＝e x－e－x
e x＋e－x
，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＝
e x－e－x
e x＋e－x
>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调
递增，C正确；
根据f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)是偶函数，可得f(x)在(－∞，0)上单调递减，故f(x)的最小值为f(0)＝ln2，D正确．
12．已知函数f(x)＝e x－e－x＋1
2
sin
π
2
x＋1，实数a，b满足不等式f(3a＋b)＋f(a－
1)<2，则下列不等式成立的是() A．2a＋b<－1B．2a＋b>－1 C．4a＋b<1D．4a＋b>1
答案C
解析设g(x)＝e x－e－x＋1
2
sin
π
2
x，则g(x)＝f(x)－1，
f(3a＋b)＋f(a－1)<2，即g(3a＋b)＋g(a－1)<0，
∵g (－x )＝e －x －e x
－12sin π2
x ＝－g (x )，∴函数g (x )是奇函数，
∵g ′(x )＝e x
＋e －x
＋π4cos π2x ≥2e x ·e －x
＋π4cos π2x ＝2＋π4cos π2
x >0，
∴g (x )是增函数，
∵g (3a ＋b )＋g (a －1)<0，∴g (3a ＋b )<－g (a －1)＝g (1－a )， 则3a ＋b <1－a ，即4a ＋b <1.
13．(多选)(2023·杭州模拟)已知f (x )＝(a 2－1)e x －1－12x 2，若不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x >f ⎝
⎛⎭⎪⎫
1x －1在(1，＋∞)上恒成立，则a 的值可以为() A ．－2B ．－1C ．1D. 2 答案AD
解析设y ＝x －1－ln x (x >1)， 则y ′＝1－1
x
>0，
∴y ＝x －1－ln x 在(1，＋∞)上单调递增， ∴x －1－ln x >0，
∴ln x <x －1，x ∈(1，＋∞)， ∴0<ln x <x －1， ∴
1ln x >1x －1
>0. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x >f ⎝
⎛⎭⎪⎫
1x －1在(1，＋∞)上恒成立， ∴f (x )在(1，＋∞)上单调递增，
∴f′(x)＝(a2－1)e x－1－x≥0对∀x∈(1，＋∞)恒成立，
即a2－1≥
x
e x－1
在x∈(1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝
x
e x－1
，x∈(1，＋∞)，g′(x)＝
1－x
e x－1
，
当x>1时，g′(x)<0，故g(x)<g(1)＝1，
∴a2－1≥1，
解得a≥2或a≤－2，
∴a的值可以为－2，
2.
14．(2023·蚌埠模拟)若x1·12x＝x2·log2x2＝2024，则x1x2的值为________．答案2024
解析因为x1·12x＝x2·log2x2＝2024，
所以12x log212x＝x2·log2x2＝2024，
则12x>1，x1>0，x2>1，
设f(x)＝x log2x(x>1)，则f′(x)＝log2x＋
1
ln2
>0，
即f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以12x＝x2，所以x1x2＝x1·12x＝2024.
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