特殊四边形中的旋转、翻折问题

专题02 特殊四边形中的旋转、翻折问题
题型一 菱形中的旋转、翻折问题
1．如图，在菱形纸片ABCD 中，60A Ð=°，点E 在BC 边上，将菱形纸片ABCD 沿DE 折叠，点C 落在AB 边的垂直平分线上的点C ¢处，则DEC Ð的大小为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
【解答】解：连接BD ，如图所示：
Q 四边形ABCD 为菱形，
AB AD \=，
60A Ð=°Q ，
ABD \D 为等边三角形，120ADC Ð=°，60C Ð=°，
P Q 为AB 的中点，
DP \为ADB Ð的平分线，即30ADP BDP Ð=Ð=°，
90PDC \Ð=°，
\由折叠的性质得到45CDE PDE Ð=Ð=°，
在DEC D 中，180()75DEC CDE C Ð=°-Ð+Ð=°．
故选：D ．
2．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，120AOC Ð=°，点B 的坐标为(6,0)，点D 是边BC 的中点，现将菱形OABC 绕点O 顺时针旋转，每秒旋转60°，则第2021秒时，点D 的坐标为( )
A ．9(2
B ．9(2-，
C ．9(2，
D ．9(2-【解答】解：如图，连接OD ，过点C 作CH OB ^于H ，
Q 四边形OABC 是菱形，120AOC Ð=°，点B 的坐标为(6,0)，
6OB \=，OC BC =，60BOC Ð=°，
BOC \D 是等边三角形，
6OC OB BC \===，
Q 点D 是BC 中点，
OD BC \^，3BD =，
OD \==，
CH OB ^Q ，60COB Ð=°，
3OH BH \==，CH ==，
\点(3,C -，
Q 点D 是BC
\点9(2
D ，，Q 将菱形OABC 绕点O 顺时针旋转，每秒旋转60°，
\第1秒后，点1D 坐标为(0,-，第2秒后，点2D 坐标为9(2-，，第3秒后，点3D 坐标为9(2
-，
，第4秒后，点4D 坐标为(0，，第5秒后，点5D 坐标为9(2，第6秒后，点6D 坐标为
9(2
，，¼由上可知，点D 的坐标每6个为一组依次循环着，
202163715\¸=¼，
\第2021秒时，点D 的坐标为9(2，故选：A ．
3．如图，菱形OABC 的一边OA 在x 轴上，将菱形OABC 绕原点O 逆时针旋转105°至111OA B C 的位置，若
2OA =，120C Ð=°，则点1B 的坐标为( )
A ．(-
B ．(3,
C ．(
D ．【解答】解：连接AC 与OB 相交于点
E ，过点1B 作1B
F x ^轴，垂足为F ，
Q 四边形OABC 为菱形，120C Ð=°，OA OC =，
60AOC \Ð=°，2OC OA AC ===，
AC OB ^Q ，
\在Rt OAE D 中，2OA =，112
AE AC ==，
OE \===，
OB \=，又1302
AOB AOC Ð=Ð=°Q ，1105BOB Ð=°，111801803010545B OF AOB BOB \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，
在Rt △1B OF 中，1OB OB ==，1OF B F =，
22211OF B F OB \+=，
可得1OF B F ==，
Q 点1B 在第二象限，
\点1B 的坐标为(．
故选：C ．
4．如图，在正方形ABCD 中，顶点A ，B ，C ，D 在坐标轴上，且(4,0)B ，以AB 为边构造菱形ABEF ，将菱形ABEF 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转，每次旋转45°，则第164次旋转结束时，点164F 的坐标为( )
A ．(4-，
B ．(4,--
C ．，4)-
D ．(-，4)
-【解答】解：Q 点(4,0)B ，
4OB \=，
4OA \=，
AB \==，
Q 四边形ABEF 是菱形，
AF AB \==，
\点F ，4)，
由题意可得每次8旋转一个循环，
1648204\¸=¼，
\点164F 的坐标与点F 坐标关于原点对称，
\点164F 的坐标(-，4)-，
故选：D ．
5．如图，已知菱形ABCD 的边长2，60A Ð=°，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，若将AEF D 沿直线EF 折
叠，使得点A 恰好落在CD 边的中点G 处，则EF
【解答】解：延长CD ，过点F 作FM CD ^于点M ，连接GB 、BD ，作FH AE ^交于点H ，如图所示：60A Ð=°Q ，四边形ABCD 是菱形，
60MDF \Ð=°，
30MFD \Ð=°，
设MD x =，则2DF x =，FM =，
1DG =Q ，1MG x \=+，
222(1))(22)x x \++=-，
解得：0.3x =，
0.6DF \=， 1.4AF =，
10.72
AH AF \==，sin 1.4FH AF A =Ð==g ，CD BC =Q ，60C Ð=°，
DCB \D 是等边三角形，
G Q 是CD 的中点，
BG CD \^，
2BC =Q ，1GC =，
BG \=，
设BE y =，则2GE y =-，
222(2)y y \+=-，
解得：0.25y =，
1.75AE \=，
1.750.7 1.05EH AE AH \=-=-=，
EF \===．
6．已知菱形ABCD 中，120ABC Ð=°，12AB =，点E ，F 分别在边AD ，AB 上，将AEF D 沿着直线EF 折叠，使得点A 落在G 点．
（1）如图1，若点G 恰好落在AC 上，且3CG =，求DE 的长；
（2）如图2，若点G 恰好落在BD 上，且3BG =，求DE 的长．
【解答】解：（1）连接BD ，交AC 于点O ，
Q 四边形ABCD 是矩形，
1602
ABD ABC \Ð=Ð=°，90AOB Ð=°，2AC AO =，
在Rt AOB D 中易得到AO =，AC =Q 菱形ABCD 中，AD DC =，
DAC DCA \Ð=Ð，
Q 点A 与点G 关于EF 轴对称，
AE EG \=，
DAC EGA \Ð=Ð，
DCA EGA \Ð=Ð，
//EG DC \，\
DE CG AD AC =，
\12DE =，
DE \=．
（2）Q菱形ABCD中，120
ABC
Ð=°，
AD AB
\=，60
A
Ð=°，
ABD
\D是等边三角形，60
EDG FBG
Ð=Ð=°，又由翻折可得60
EGF A
Ð=Ð=°，
又EGB EGF FGB DEG EDG Ð=Ð+Ð=Ð+Ð，
FGB DEG
\Ð=Ð．
DEG BGF
\D D
∽，
\DE DG EG BG BF FG
==，
设DE x
=，则12
EG AE x
==-，
\
912
3
x x
BF FG
-
==，
27
BF
x
\=，
363x FG
x
-
=，
又12 AB AF BF FG BF
=+=+=，
\27363
12
x
x x
-
+=，
解得：
21
5
x=，
即
21
5 DE=．
7．四边形ABCD为菱形，BD为对角线，在对角线BD上任取一点E，连接CE，把线段CE绕点C顺时针旋转得到线段CF，使得ECF BCD
Ð=Ð，点E的对应点为点F，连接DF．
（1）如图1，求证：BE DF
=；
（2）如图2，若2
DFC DBC
Ð=Ð，在不添加任何辅助线的前提下，请直接写出五对线段，使每对线段的和等于(
BD BE和DE除外）．
【解答】（1）证明：Q 四边形ABCD 为菱形，
BC CD \=，
Q 把线段CE 绕点C 顺时针旋转得到线段CF ，
CE CF \=，
ECF BCD Ð=ÐQ ，
BCE DCF \Ð=Ð，
在BCE D 与DCF D 中，
BC CD BCE DCF CE CF =ìïÐ=Ðíï=î
，
()BCE DCF SAS \D @D ，
BE DF \=．
（2）解：BCE DCF D @D Q ，
BE DF \=，BEC DFC Ð=Ð，
CB CD =Q ，
CBD CDE \Ð=Ð，
2DFC CBD Ð=ÐQ ，
2BEC CDE \Ð=Ð，
CEB CDE ECD Ð=Ð+ÐQ ，
EDC ECD \Ð=Ð，
ED EC CF \==，
BD BE EC BE CF DF DE DF CE DF CF \=+=+=+=+=+
．
8．如图，平行四边形ABCD 中，AB AC ^，1AB =
，BC =，对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC ，AD 于点E ，F ．
（1）证明：当90AOF Ð=°时，四边形ABEF 是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，AF 与CE 总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AOF Ð度数．
【解答】（1）证明：当90AOF Ð=°时，//AB EF ，
//AF BE Q ，
\四边形ABEF 是平行四边形．
（2）证明：Q 四边形ABEF 是平行四边形，
AO CO \=，//AF EC ，
FAO ECO \Ð=Ð，
在AOF D 和COE D 中，
FAO OCE OA OC
AOF COE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî
，AOF COE \D @D ，
AF CE \=
．
（3）解：结论：四边形BEDF 可能是菱形．
AOF COE D @D Q ，
OE OF \=，
EF \与BD 互相平分，
\四边形BEDF 是平行四边形，
\当EF BD ^时，四边形BEDF 是菱形，
在Rt ABC D 中，2AC =，
1OA AB \==，
AB AC ^Q ，
45AOB \Ð=°，
45AOF \Ð=°，
\当四边形BEDF 是菱形时，45AOF Ð=°．
9．如图，在平面直角坐标系中，O 是菱形ABCD 对角线BD 的中点，//AD x 轴且4AD =，60A Ð=°，将菱形ABCD 绕点O 旋转，使点D 落在x 轴上，则旋转后点C 的对应点的坐标是( )
A ．(0，
B ．(2,4)-
C ．0)
D ．(0，或(0,-【解答】解：根据菱形的对称性可得：当点C 旋转到y 轴负半轴时，
A 、
B 、
C 均在坐标轴上，如图，
60BAD Ð=°Q ，4AD =，
30OAD \Ð=°，
2OD \=，
AO OC \====，
\点C 的坐标为(0,-，
同理：当点C 旋转到y 轴正半轴时，
点C 的坐标为，
\点C 的坐标为或(0,-，
故选：D ．
10．如图，在菱形ABCD 中，1AB =，60DAB Ð=°，把菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°得到菱形
AB C D ¢¢¢，其中点C 的运动路径为 CC ¢，则图中阴影部分的面积为　342
p +
【解答】解：连接CD ¢和BC ¢，
60DAB Ð=°Q ，
30DAC CAB \Ð=Ð=°，
30C AB Т¢=°Q ，
A \、D ¢、C 及A 、
B 、
C ¢分别共线．
AC \=
\扇形ACC ¢
4
p =，AC AC =¢Q ，AD AB
¢=\在OCD D ¢和△OC B ¢中，CD BC ACO AC D COD C OB ¢=¢ìïÐ=Т¢
íïТ=Тî
OCD \D ¢@△()OC B AAS ¢．
OB OD \=¢，CO C O
=¢60CBC Т=°Q ，30BC O Т=°
90COD \Т=
°
1
CD AC AD ¢=-¢=-Q 1
OB C O +¢=\在Rt BOC D ¢
中，222
(1)1)BO BO +-=
解得12BO =
，32C O ¢=-
，1324
OC B S BO C O ¢\=¢=-V g \
图中阴影部分的面积为：3242
OC B ACC S S p
¢¢-=+V 扇形．
故答案为：342
p
+-题型二 矩形中的旋转、翻折问题
11．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，并且5OA =，3OC =．若把矩形OABC 绕着点O 逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的1A 处，则点C 的对应点1C 的坐标为(
)
A ．9(5-，12)5
B ．12(5-，95
C ．16(5-，125
D ．12(5-，16)5
【解答】解：过点1C 作1C N x ^轴于点N ，过点1A 作1A M x ^轴于点M ，
由题意可得：1190C NO A MO Ð=Ð=°，
123Ð=Ð=Ð，
则△1A OM ∽△1OC N ，
5OA =Q ，3OC =，
15OA \=，13A M =，
4OM \=，
\设3NO x =，则14NC x =，13OC =，
则22(3)(4)9x x +=，解得：35
x =±（负数舍去），则95NO =，1125
NC =，故点C 的对应点1C 的坐标为：9(5-，12)5
．故选：A ．
12．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，将矩形ABCD 绕点C 旋转，点A 、B 、D 的对应点分别为A ¢、B ¢、D ¢，当A ¢落在边CD 的延长线上时，边A D ¢¢与边AD 的延长线交于点F ，联结CF ，那么线段CF
【解答】解：Q 四边形ABCD 是矩形，
3AB CD \==，4AD BC ==，90ADC Ð=°，
90A DF CDF ¢\Ð=Ð=°，
由旋转的性质得：3CD CD ¢==，4A D AD ¢¢==，90ADC A D C ¢¢Ð=Ð=°，
5A C ¢\==，
532A D A C CD ¢¢\=-=-=，
在Rt CDF D 和Rt △CD F ¢中，CF CF CD CD =ìí¢=î
，Rt CDF Rt \D @△()CD F HL ¢，
DF D F ¢\=，
设DF D F x ¢==，则4A F x ¢=-，
在Rt △A DF ¢中，由勾股定理得：2222(4)x x +=-，解得：32x =，32
DF \=，
CF \===
．13．如图，矩形纸片ABCD 中，6AD =，E 是CD 上一点，连结AE ，ADE D 沿直线AE 翻折后点D 落到点F ，过点F 作FG AD ^，垂足为G ．若3AD GD =，则DE 的值为( )
A B ．5
2C D 【解答】解：过点E 作EH FG ^，交FG 于点H ，如图，
由题意：AEF AED D @D ，则6AF AD ==，DE EF =．
6AD =Q ，3AD GD =，
2GD \=．
624AG AD DG \=-=-=．
FG AD ^Q ，
FG \===．
Q 四边形ABCD 是矩形，
90D \Ð=°，
FG AD ^Q ，EH FG ^，
\四边形GHED 为矩形．
GH DE \=，2HE GD ==．
设DE x =，则GH EF x ==，HF x =，
在Rt HEF D 中，
222HF HE EF +=Q ，
\222)2x x -+=．
解得：x =
DE \=故选：C ．
14．如图，点E 在矩形ABCD 边CD 上，将ADE D 沿AE 翻折，点D 恰好落在BC 上的点F 处，若
2AB CF =，3CE =，连接DF ，与AE 交于H 点，连接BH ，则点F 到BH 的距离为
【解答】解：根据折叠的性质知：AD AF BC ==，DE EF =，
AE 是线段DF 的垂直平分线，H 是DF 的中点，
设DE EF x ==，则3DC AB x ==+，11(3)22
FC AB x =
=+，在Rt EFC D 中，222FC EC EF +=，
即2221[(3)]32
x x ++=，解得：5x =或3x =-（舍去），
538DC AB \==+=，4FC =，
设AD AF BC y ===，则4BF y =-，
在Rt ABF D 中，
222AB BF AF +=，
即2228(4)y y +-=，
解得：10y =，
6BF \=，
过H 作HN BC ^于N ，过F 作FM BH ^于M ，
Q 四边形ABCD 是矩形，
//HN CD \，
142HN CD \==，122
FN FC ==，8BN BF FN \=+=，
由勾股定理得：BH ==，
1122
BHF S BF HN BH FM D =´=´Q ，
BF HN FM BH ´\===
15．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，6OA =，将ABC D 沿直线AC 翻折，使点B 落在点D 处，AD 交x 轴于点E ，若30BAC Ð=°，则点D 的坐标为( )
A ．2)-
B ．3)-
C ．3)-
D ．(3,-【解答】解：过D 点作DF x ^轴，垂足为F ，则//DF y 轴，
Q 四边形AOCB 为矩形，
90OAB AOC B \Ð=Ð=Ð=°，6BC AO ==，AB OC =，
\=，OC AB
12
AC
==，
由折叠可知：30
Ð=Ð=°，AD AB
DAC BAC
==，
\Ð=°，
OAE
30
OE
\=，AE=，
\=，
ED
//
Q轴，
DF y
\Ð=Ð=°，
30
EDF EAO
DF=，
\=，3
EF
\=+=，
OF OE EF
-，
\点坐标为，3)
D
故选：B．
16．如图，四边形ABCD中，//
AD BC，AB BC
BCD
Ð=°，将CD绕点D逆时针旋转90°至ED，
^，45
延长AD交EC于点F．
（1）求证：四边形ABCF是矩形；
AD=，3
（2）若2
BC=，求AE的长．
【解答】（1）证明：//
BCD
Ð=°，
^，45
Q，AB BC
AD BC
BCD FDC
Ð=Ð=°，
\Ð=Ð=°，45
90
B BAF
Q将CD绕点D逆时针旋转90°至ED，
Ð=°，
EDC
DE DC
\=，90
EDF FDC
\Ð=°=Ð，
45
\^，
DF CE
\Ð=°，
AFC
90
即90
Ð=Ð=Ð=°，
B BAF AFC
\四边形ABCF是矩形；
（2）解：Q四边形ABCF是矩形，
\==，
AF BC
3
\=-=，
321
DF
Q，90
Ð=°，
DFE
Ð=°
45
EDF
\Ð=Ð=°，
45
DEF EDF
\==，
1
DF EF
在Rt AFE
D中，由勾股定理得：AE===．
AB=，2
17．如图，矩形OABC中，1
¢¢，则
AO=，将矩形OABC绕点O按顺时针转90°，得到矩形OA B C
BB¢
【解答】解：如图所示：
Q矩形OABC中，1
AB=，2
AO=，将矩形OABC绕点O按顺时针转90°，得到矩形OA B C
¢¢，
B D¢=，
\=，1
3
BD
则BB¢==．
．
AB=，6
18．如图，在矩形ABCD中，4
D沿AE折叠，使点B落在矩形
BC=，点E为BC的中点，将ABE
内点F处，连接CF，则CF的长为( )
A ．9
5B ．12
5C ．16
5D ．18
5
【解答】解：连接BF ，
6BC =Q ，点E 为BC 的中点，
3BE \=，
又4AB =Q ，
5AE \==，
由折叠知，BF AE ^（对应点的连线必垂直于对称轴）
125
AB BE BH AE ´\==，则245BF =
，FE BE EC ==Q ，
90BFC \Ð=°，
185
CF \==．故选：D ．
19．已知，如图，四边形ABCD 中，90D Ð=°，AB AC =，DAC B Ð=Ð，点E 是BC 的中点．
（1）求证：四边形AECD 是矩形；
（2）若8AD =，6CD =，点F 是AD 上的点，连接CF ，把D Ð沿CF 折叠，使点D 落在点G 处．当AFG D 为直角三角形时，求CF 的长度．
【解答】解：（1）证明：AB AC =Q ,
B ACB \Ð=Ð．
DAC B Ð=ÐQ ,
DAC ACB \Ð=Ð．
//AD EC \．
AB AC =Q ,E 是BC 的中点，
AE BC \^．
90AEC \Ð=°．
18090EAD AEC \Ð=°-Ð=°．
90D Ð=°Q ,
\四边形AECD 为矩形．
(2)当90AGF Ð=°时，G 在AC 上，如图，
8AD =Q ,6CD =,
10AC \==．
CG CD =Q ,
4AG AC CG \=-=．
设DF x =,则8AF x =-,GF DF x ==,
由勾股定理得：222AG GF AF +=．
2224(8)x x \+=-．
解得：3x =．
\CF ===当90AFC Ð=°时，G 在CE 上，此时四边形CDFG 为正方形，如图：
CF \=；
当90FAG Ð=°时，G 在AB 上，此时6CG CD ==,而8CE AD ==,
Q斜边大于直角边，
\不可能在AB边上．
G
综上，CF=．
20．矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形AEFG，使B点正好落在CD上的点E处，连BE．
（1）求证：2
Ð=Ð；
BAE CBE
（2）如图2，连BG交AE于M，点N为BE的中点，连MN、AF，试探究AF与MN的数量关系，并证明你的结论．
【解答】（1）证明：Q四边形ABCD是矩形，
\Ð=Ð=°，
C CBA
90
CBE ABE
\Ð+Ð=°，
90
Q将矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形A点正好落在CD上的点E处，
=，
Ð=°，AE AB
\=，90
BC AG
EAG
\Ð=Ð，
ABE AEB
Q，
Ð+Ð+Ð=°
BAE ABE AEB
180
\Ð+Ð=°，
ABE BAE
2180
Q，
Ð+Ð=°
CBE ABE
90
\Ð+Ð=°，
CBE ABE
22180
\Ð=Ð．
BAE CBE
2
（2）2
=，
AF MN
证明：过B作BO AE
^于O，连接EG，
Q四边形AEFG是矩形，
Ð=Ð=°，
MAG BOM
\=，90
AF EG
90C CBA Ð=Ð=°Q ，
90AEB ABE CBE \Ð=Ð=°-Ð，90CEB CBE Ð=°-Ð，
CEB OEB \Ð=Ð，
在CBE D 和OBE D 中，
90CBE OBE C BOE BE BE Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î
，
()CBE OBE AAS \D @D ，
EC OE \=，BO BC AD AG ===，
在BOM D 和GAM D 中，
AMG BME BOM GAM BO AG Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î
，
()BOM GAM AAS \D @D ，
BM GM \=，
Q 点N 为BE 的中点，
12
MN EG \=，EG AF =Q ，
2AF MN \=．
题型三 正方形中的旋转、翻折问题
21．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，将正方形边AB 沿AE 折叠到AF ，延长EF 交DC
于
G ，连接AG ，则EAG Ð=　45　度．
【解答】解：Q 四边形ABCD 是正方形，
AB AD \=，90ABE BAD ADG Ð=Ð=Ð=°，
由翻折可知：AB AF =，90ABE AFE AFG Ð=Ð=Ð=°，BAE EAF Ð=Ð，90AFG ADG Ð=Ð=°Q ，AG AG =，AD AF =，
Rt AGD Rt AGF(HL)\D @D ，
GAF GAD Ð=Ð，
1()452
EAG EAF GAF BAF DAF \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°．故答案为：45．
22．如图，正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 按逆时针方向旋转一定角度到如图所示的位置，使得点
B 落在对角线CF 1-　．
【解答】解：方法一：正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 按逆时针方向旋转一定角度到CEFG 位置，使得点B 落在对角线CF 上，
1EF CE \==，
CF \=，
1BF \=-，
45BFE Ð=°Q ，
\阴影部分的面积211111)122
=´´-´=-；方法二：Q 过E 点作//MN BC 交AB 、CD 于M 、N 点，设AB 与EF 交于点P 点，连接CP ，如下图所示，
B Q 在对角线CF 上，
45DCE ECF \Ð=Ð=°，1EC =，
ENC \D 为等腰直角三角形，
MB CN \===，又BC AD CD CE ===，且CP CP =，PEC D 和PBC D 均为直角三角形，Rt PEC Rt PBC(HL)\D @D ，
PB PE \=，
又45PFB Ð=°，
45FPB MPE \Ð=°=Ð，
MPE \D 为等腰直角三角形，
设MP x =，则EP BP ==，
MP BP MB +=Q ，
\x +=x =，
1BP \==-，
\阴影部分的面积12211)12
PBC S BC BP D ==´´´=´-=-．
1．
23．如图，将边长为3的正方形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转30°后得到正方形AB C D ¢¢¢，则图中阴影部分
面积为　9-
【解答】解：连接AE ，如图所示：
由旋转的性质可知：AB AB =¢．
在Rt △AB E ¢和Rt ADE D 中，AE AE AB AD =ìí¢=î
，Rt \△Rt ADE(HL)AB E ¢@D ．
DAE B AE \Ð=Т，ADE AB E S S D ¢=V ．
30BAB Т=°Q ，
1(9030)302
DAE \Ð=´°-°=°．又3AB =Q ，
DE AB \==
132ADE S D \=
=，又239ABCD S ==Q 正方形，
929S \=-=-阴影．
故答案为：9-．
24．如图是一张正方形纸片ABCD ，将其对折使AB 与DC 重合，折痕EF 分别与BC ，AD 交于点E ，F ，
再将点D 对折到线段AE 上，折痕AG 交DC 于点G ，则DC GC
【解答】解：如图，连接EG ，设DG D G x ¢==，2AB a =，
由折叠得：BE EC a ==，2AD AD a ¢==，
2CG a x \=-，
由勾股定理得：AE ==，
2D E a ¢\=-，
在Rt EGD ¢D 和Rt EGC D 中，2222(2)2)a a x x a +-=+-，
解得1)x a =-，
\DC GC =．
．25．如图，将边长为12的正方形纸片ABCD 折叠，点A 与CD 边中点M 重合，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，边AB 折叠后与BC 交于点G ，则DE 长度为 92　，BG 与BC 的数量关系为 ．
【解答】解：过A 作AH MG ^于H ，连接AG ，如图：
设DE x =，则12AE ME x ==-，
Rt DME D 中，162DM DC ==，222
DM DE ME +=，
2226(12)x x \+=-，解得9
2x =，
9
2DE \=，
Q 正方形纸片ABCD 折叠，点A 与CD 边中点M 重合，MAB AMG \Ð=Ð，
//DC AB Q ，
DMA MAB \Ð=Ð，
DMA AMG \Ð=Ð，
在ADM D 和AHM D 中，
90,
D AHM DMA AMG AM AM
Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，
()ADM AHM AAS \D @D ，
AD AH \=，6MH MD ==，
AH AD AB \==，
在Rt AHG D 和Rt ABG D 中，
AH AB
AG AG =ìí=î，
Rt AHG Rt ABG(HL)\D @D ，
HG BG \=，
设BG y =，则HG y =，12CG y =-，
Rt CMG D 中，1
62CM DC ==，6MG MH HG y =+=+，
222CM CG MG +=，
2226(12)(6)y y \+-=+，解得24
5y =，
24
5BG \=，
\
24
2
5
125 BG
BC
==，
2
5
BG BC
\=．
故答案为：9
2
，
2
5
BG BC
=．
26．如图，已知正方形ABCD的边长为6，以点C为直角顶点的等腰Rt CEF
D绕C旋转一圈，且保持
2
CE=，过点C作CH DE
^于H交直线BF于M，连AM，则AM的最小值为　1
-　．
【解答】解：如图1中，作//
BT CF交CM分延长线于T．
//
BT CF
Q，
T FCM
\Ð=Ð，
CH DE
^
Q，ECF
D是等腰直角三角形，
90
CHE ECF
\Ð=Ð=°，
90
FCM ECH
\Ð+Ð=°，90
ECH DEC
Ð+Ð=°，
DEC FCM T
\Ð=Ð=Ð，
90
DCB DHC
Ð=Ð=°
Q，
90BCT DCH \Ð+Ð=°，90DCH CDE Ð+Ð=°，
TCB CDE \Ð=Ð，
CB CD =Q ，
()BCT DCE AAS \D @D ，
BT EC CF \==，
TMB CMF Ð=ÐQ ，T MCF Ð=Ð，
()TBM CFM AAS \D @D ，
BM FM \=，
如图2中，取BC 的中点N ，连接AN ，MN ．
Q 四边形ABCD 是正方形，
6AB BC \==，90ABN Ð=°，
3BN NC ==Q ，
AN \===，
BM MF =Q ，BN NC =，
112
MN CF \==，AM AN MN -Q …，
1AM \…，
AM \的最小值为1-．
故答案为：1-．
27．在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，AE 与BF 相交于点G ．
（1）如图1，求证：AE BF ^；
（2）如图2，将BCF D 沿BF 折叠，得到BPF D ，延长FP 交BA 的延长线于点Q ，若4AB =，求QF 的值
【解答】（1）证明：
E Q ，
F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点，
CF BE \=，
在ABE D 和BCF D 中，
AB BC ABE BCF
BE CF =ìïÐ=Ðíï=î
Rt ABE Rt BCF(SAS)\D @D ，
BAE CBF \Ð=Ð，
又90BAE BEA Ð+Ð=°Q ，
90CBF BEA \Ð+Ð=°，
90BGE \Ð=°，
AE BF \^；
（2）解：
Q 将BCF D 沿BF 折叠，得到BPF D ，
FP FC \=，PFB BFC Ð=Ð，90FPB Ð=°，
//CD AB Q ，
CFB ABF \Ð=Ð，
ABF PFB \Ð=Ð，
QF QB \=，
设QF x =，4PB BC AB ===，2CF PF ==，
QB x \=，2PQ x =-，
在Rt BPQ D 中，
222(2)4x x \=-+
，
解得：5
x=，
QF=．
即5
28．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上的动点（不与点B、C重合），将射线AE绕点A按逆时针方向旋转45°后交CD边于点F，AE、AF分别交BD于G、H两点．
（1）当55
Ð的度数；
BEA
Ð=°时，求HAD
Ð的大小；
（2）设BEA a
Ð=，试用含a的代数式表示DFA
Ð有怎样的数量关系，并说明理由．
（3）点E运动的过程中，试探究BEA
Ð与FEA
【解答】解：（1）Q四边形ABCD是正方形，
90
\Ð=Ð=°，
EBA BAD
\Ð=°-Ð=°-°=°，
90905535
EAB BAE
\Ð=Ð-Ð-Ð=°-°-°=°；
90453510
HAD BAD EAF EAB
（2）Q四边形ABCD是正方形，
\Ð=Ð=Ð=°，
90
EBA BAD ADF
\Ð=°-Ð=°-，
9090
EAB BAE a
\Ð=Ð-Ð-Ð=°-°-°-=-°，
DAF BAD EAF EAB a a
9045(90)45
\Ð=°-Ð=°--°=°-；
9090(45)135
DFA DAF a a
Ð=Ð，理由如下：
（3）BEA FEA
=，连接AI．
延长CB至I，使BI DF
Q四边形ABCD是正方形，
\=，90
AD AB
Ð=Ð=°，
ADF ABC
90
\Ð=°，
ABI
Q，
又BI DF
=
\D@D，
()
DAF BAI SAS
Ð=Ð，
\=，DAF BAI
AF AI
EAI BAI BAE DAF BAE EAF
\Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°=Ð，
45
D的公共边，
D与EAF
Q是EAI
又AE
EAI EAF SAS
\D@D，
()
\Ð=Ð．
BEA FEA
=，过D作DG EF
29．在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，DE EF
^于点H，交AB边于点G．
（1）如图1，求证：DE DG
=；
（2）如图2，将EF绕点E逆时针旋转90°得到EK，点F对应点K，连接KG，EG，若H为DG中点，
EG．
在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有与EG长度相等的线段（不包括)
【解答】解：（1）Q四边形ABCD是正方形，
DAG DCE
Ð=Ð=°，
AD BC，90
AD DC
\=，//
\Ð=Ð，
DEC EDF
Q，
DE EF
=
\Ð=Ð，
EFD EDF
\Ð=Ð，
EFD DEC
Q于H，
DG EF
^
\Ð=°，
GHF
90
AGH AFH
\Ð+Ð=°，
180
Q，
Ð+Ð=°
AFH EFD
180
DGA EFD DEC \Ð=Ð=Ð，
在DAG D 和DCE D 中：
DGA DEC DAG DCE
DA DC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î
()DAG DCE AAS \D @D ，
DG DE \=．
（2）KE EF ^Q ，DG EF ^，
//KE DG \，且DG EF KE DE ===，
\四边形KEDG 是平行四边形，且DG DE =，
\四边形KEDG 是菱形，
GK DG KE DE \===，
DG EF ^Q ，H 是DG 的中点，
EG DE \=，
EG DE DG GK KE EF \=====．
30．如图，已知正方形ABCD 的边长是2，EAF m Ð=°，将EAF Ð绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交BC 、CD 于点E 、F ，G 是CB 延长线上一点，且始终保持BG DF =．
（1）求证：ABG ADF D @D ；
（2）求证：AG AF ^；
（3）当EF BE DF =+时：
①求m 的值；
②若F 是CD 的中点，求BE
的长．
【解答】
解：（1）证明：在正方形ABCD 中，2AB AD BC CD ====，
90BAD C D ABC ABG Ð=Ð=Ð=Ð=Ð=°．BG DF =Q ，
在ABG D 和ADF D 中，
AB AD ABG ADF BG DF =ìïÐ=Ðíï=î
，
()ABG ADF SAS \D @D ；
（2）证明：ABG ADF D @D Q ，GAB FAD \Ð=Ð，
GAF GAB BAF
\Ð=Ð+Ð90FAD BAF BAD =Ð+Ð=Ð=°，AG AF \^；
（3）①解：ABG ADF D @D ，AG AF \=，BG DF =．
EF BE DF =+Q ，
EF BE BG EG \=+=．
AE AE =Q
，。