交通工程学课件-第八章--交通流理论

m 1)!
Pk
•时间t内到达车辆数小于k的概率P(K<k) •时间t内到达车辆数大于等于k的概率P(K≥k) •时间t内到达车辆数大于等于x但不超过y的概率
P(x≤K≤y)
第八章 交通流理论
• 该分布的均值M和方差D都等于m＝λt。
• 实际应用中，均值M=E(X)和方差D(X)可分别由其样本 均值和样本方差S2分别进行估计：
1、负指数分布
• 交通流到达服从泊松分布，则交通流到达的车头时距 服从负指数分布， 反之亦然
• 已知到达某交叉口的车流车头时距（单位：s）服从负
指数分布，且 P(h 10) 0.2
• 试求任意10s到达车辆数不小于2辆的概率
P0 0.2 et P1 t et P( X 2) 1 P0 P1
交通工程中，另一个用于描述车辆到达随机特性的度量 就是车头时距的分布，常用的分布有负指数分布、移位的 负指数分布、M3分布和爱尔朗分布
1、负指数分布（Exponential Distribution）
由泊松分布知 P( X 0) (T )0 eT eT
0!
四、连续性分布（continuous distribution)
第八章 交通流理论
一、概述
• 交通流理论是运用物理学与数学的定律来描述交 通特征的一门科学，是交通工程学的基础理论。 它用分析的方法阐述交通现象及其机理，从而使 我们能更好地掌握交通现象及其本质，并使城市 道路与公路的规划设计和营运管理发挥最大的功 效。
第八章 交通流理论
一、概述 当前交通流理论的主要内容： • 1、交通流量、速度和密度的相互关系及测量方法 • 2、交通流的统计分布特性 • 3、排队论的应用 • 4、跟驰理论 • 5、驾驶员处理信息的特性 • 6、交通流的流体力学模拟理论 • 7、交通流模拟
1、负指数分布（Exponential Distribution）
• 适用条件：用于描述有充分超车机会的单列车 流和密度不大的多列车流的车头时距分布
• 基本公式：到达的车头时距h大于t秒的概率
P(h＞t) et
1 平均车头时距
• 泊松分布t 内无车辆到达的概率
P0 et
四、连续性分布（continuous distribution)
出现的可能性愈大。这在一般情况下是不 符合驾驶员的心理习惯和行车特点的。
车头时距分布的概率密度曲线一般总是 先升后降。
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二、排队论的基本概念
• “排队”与“排队系统”
➢ 当一队车辆通过收费站，等待服务（收费）的车 辆和正在被服务（收费）的车辆与收费站构成一 个“排队系统”。
➢ 等候的车辆自行排列成一个等待服务的队列，这 个队列则称为“排队”。
Qt
3607.5
P(h7.5) e 3600 e 3600 0.4724
对于 Q=360辆/h的车流，1h车头时距次数为360， 其中h≥7.5s的车头时距为可以安全横穿的次数：
360 0.4724 170 （次）
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连续性分布
当Q = 900辆/h时，车头时距大于7.5s的概
• 再求发生两次排队的概率
第八章 交通流理论
说明 • 本例中虽然在每个信号周期中平均到车数只有9.9辆小
于一个信号周期有效绿灯时间内的通过的车辆数11辆， 但仍有可能出现车辆两次排队的现象，因为平均到车 数并不表示车流是均匀到达的，可能会出现某一周期 到达的车辆数很少（小于10），使绿灯时间不能充分 利用，当某些周期到达的车辆数很大（大于11）时就 出现了二次排队。
第八章 交通流理论
适用条件：车流比较拥挤、自由行驶机会不多 的车流用二项分布拟合较好，由于二项分布的 均值M大于方差D，当观测数据表明S2/m显著 大于1时就不适合用二项分布拟合。
第八章 交通流理论
例： 在某条公路上，上午高峰期间，以15s间隔观测 到达车辆数，结果如下，试用二项分布拟合之
车辆到达 数
第八章 交通流理论
二、交通流的统计分布特性
描述交通流随机到达的统计规律方法 ✓ 以概率论中的离散型分布工具，考察在一段固定
长度的时间内到达某场所的交通数量的波动性 ✓ 以概率论的连续型分布为工具，研究交通到达的
间隔时间的统计特性
第八章 交通流理论
三、离散型(discrete)分布：常用于描述一定的时间 间隔内事件的发生数
Equations to be remembered
Number of headway no less than T
M (h T ) V P(h T ) V eT
num ber of headw ay w hose value is betw een T 1 and T2
M (T1 h T2 ) Volume (eT1 eT2 )
次干路车辆穿越主 干路所要求的最小
时间间隔
Q次
( 1
e e
0
)
次干路横穿车辆连 续通过时的最小车
头时距
连续性分布
2、移位负指数分布
P(h t) e(t），t
均值和方差
M
1
，D
1
2
• 不足：车头时距越接近τ，其出现的概率越大；此时的
不是安全车头时距
连续性分布
• 移位负指数分布的局限性： 服从移位负指数分布的车头时距愈接近τ
泊松输入、定长输入、爱尔朗输入
➢ 排队规则：是指到达的顾客按怎样的次序接受服 务。排队规则包括：
等待制、损失制、混合制
➢ 服务方式： 指同一时刻多少服务台可接纳顾客， 每一顾客服务了多少时间。服务时间分布包括：
定长分布、负指数分布、爱尔朗分布
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二、排队论的基本概念
• 排队系统的主要数量指标： ➢ 等待时间 ：即从顾客到达时起到他开始接受服务
率为：
Qt
9007.5
P(h7.5) e 3600 e 3600 0.1534
1h内车头时距次数为900，其中h≥7.5s的 车头时距为可以安全横穿的次数：
900 0.1534 138 （次）
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连续性分布
负指数分布在次要车流通行能力研究中的应用
主干路车辆平 均达到率
• 满足以下条件的称为负二项分布
•
1. 实验包含一系列独立的实验。
•
2. 每个实验都有成功、失败两种结果。
•
3. 成功的概率是恒定的。
•
4. 实验持续到r次成功，r为正整数。
• 已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p ，在一连串伯努利试验中，一件事件刚好在第
k+x次试验出现第k次的概率。
递推公式 • P(0)=pk
第八章 交通流理论
例3 某信号灯交叉口周期C=97s，有效绿灯时间g=44s， 在有效绿灯时间内排队的车流以s=900辆/h的流量通 过交叉口，在有效绿灯时间外到达的车辆要停车排队。 设信号灯交叉口上游车辆的到达率q=369辆/h，服从 泊松分布，求使到达车辆不致两次排队的周期能占的 最大比例。
• 先分析发生两次排队的条件 即一个周期内到达的车辆数大于有效绿灯时间内通过 交叉口的车辆数；
Cnk P k (1 P)nk
• 0<P<1,n、p为二项分布的参数
第八章 交通流理论
递推公式：
Pk 1
n k
k 1
p 1 p
pk
• 二项分布的均值 M=np,方差D＝np(1-p);M>D
• 通过对观测数据的计算样本的均值、方差S2来 代替M、D;然后估算p、n的值。
m s2 p
m
n m m2 p m s2
Hale Waihona Puke 第八章 交通流理论二、交通流的统计分布(statistical distribution)特性 交通流统计分布的研究内容与意义 • 1、把交通流到达看作是相互独立的随机变量，交
通流到达是一种概率变化的过程，符合概率论与数 理统计.
• 2、交通流的统计分布特性为设计新的交通设施和确 定新的交通管理方案，提供交通流的某些具体特性 的预测，并且能利用现有的和假设的数据，作出预 报.
第八章 交通流理论
• 由于泊松分布的均值 M 和方差 D均等于λt；
而观测数据的均值 m和 S2均为无偏估计，因此， 当观测数据表明S2/m显著不等于1时，就是泊 松分布不合适的表征，所以，应选择其他分布 形式。
第八章 交通流理论
例1 设60辆车随机分布在4km长的道路上，求任意400m路 段上有4辆及4辆车以上的概率
• 关键是把t理解为空间间隔（m）,λ为单位长度上分
布的车辆数（辆/m） • 求λ=60/4=15辆/km • 求泊松参数m=15×0.4=6
Pk
6k k!
e6
第八章 交通流理论
例2 已知某公路断面流量q＝720辆/h，试问该断面5s内有 2辆车以上（包括2辆车）通过的概率（假设车辆达到 服从泊松分布）。
第八章 交通流理论
• 负二项分布的期望值和方差 • E(x)=k(1-p)/p • D(x)=k(1-p)/p2
• 用负二项拟合数据时，其参数的估计值用下式计 算
• p’=m/s2 • k’=m2/(s2-m) • 适用条件： S2/m.>1
四、连续性分布（continuous distribution)
提供给行人安全横过单向车道的次数是增加还是 减少 。
Q=360辆/h
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7.5m
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连续性分布
解：行人横过单向行车道所需要的时间：
t =7.5/1=7.5s
因此，只有当h≥7.5s时，行人才能安全穿越，由 于双车道道路可以充分超车，车头时距符合负指 数分布，对于任意前后两辆车而言，车头时距大 于7.5s的概率为：
连续性分布
负指数分布：车头时距愈短，其出现的概率越大；对于不能 超车的单列车流是不合适的。此时可用移位负指数分布 来描述
例5 ：在一条有隔离带的双向四车道道路上，单向 流量为360辆/h，该方向路宽7.5m，设行人步行 速度为1m/s，求1h中提供给行人安全横过单向车 道的次数，如果单向流量增加到900辆/h， 1h中
＜3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ＞12
包含n的间 隔出现的 次数fi
0 3 0 8 10 11 10 11 9 1 1 0
12
xi fi
m
i 1 n
7.469
fi
s2
1
12
（
N 1 i1
xi2
fi
Nm2 )
3.999
i 1
求出P=0.465，n=16.08取16
• 3、负二项分布negative binomial distribution
Pk
(t ) k
k!
e t
• λ：平均到车率或平均分布率（辆/s、辆/m），
•
t：每个计数时间或空间间隔（s、m）
•
• 注意单位的一致性！注意平均不等于均匀
第八章 交通流理论
• 令m＝λt：在计数间隔t内平均到达的车辆数；
又称泊松分布的参数
•
Pk
mk k!
em
• 递推公式：P0 e m
Pk 1
(k
第八章 交通流理论
2、二项分布（Binomial distribution） ：
基本公式：在计数间隔t内 到达k辆车的概率
Pk
Cnk
(
t
n
)
k
(1
t
n
)
nk
• λ：平均到车率或平均分布率（辆/s、辆/m）
• t：每个计数时间或空间间隔（s、m）
• n: 正整数，二项分布参数
•
通常记
P t
n
则 ：Pk
✓ 在一定的时间间隔内到达的车辆数，或在一定 的路段上分布的车辆数，是所谓的随机变量， 描述这类随机变量的统计规律用的是离散型分 布
第八章 交通流理论
1、泊松分布(Poisson Distribution)
适用条件：交通流量小，驾驶员随意选择车速，车
辆到达是随机的。 • 基本公式： 在计数间隔t内到达k辆车的概率
时止这段时间。
➢ 忙期：即服务台连续繁忙的时期，这关系到服务 台的工作强度。
➢ 队长（cháng）：有排队顾客数与排队系统中顾 客之分，这是排队系统提供服务水平的一种衡量 指标。
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M/M/1排队系统（单通道服务系统）
S 2
1 N 1
N i 1
( xi
m)2
1 N 1
n
(x j m)2 f j
j 1
•
1
N
（
N 1 i1
xi2
Nm2 )
• n: 观测数据分组数
•
数f i的:频在率全（部即的对观应测的时计间数内间,在隔计的数次间数隔）t内事件K发生次
•
N: 观测的总周期（观测的间隔总数），此时观测的
总时间为T＝Nt
➢ “排队车辆”或“排队（等待）时间”都是指 排队的本身。
➢ “排队系统中的车辆”或“排队系统消耗时间 ”则是在指排队系统中正在接受服务（收费）和 排队的统称。
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二、排队论的基本概念
• 排队系统的三个组成部分: ➢ 输入过程：是指各种类型的“顾客(车辆或行人)”
按怎样的规律到达。输入方式包括：