《多元函数微分学》练习题参考答案

解：在 L 上任取一点 P ( x, y ),
f (x , y ) = 0
考虑 d = ( x − x0 ) + ( y − y0 ) 在条件 f ( x, y ) = 0 下的极值问题 作 F = ( x − x 0 ) + ( y − y 0 ) + λ f ( x , y ) ，则
' ⎧ ⎪ F x = 2(x − x 0 ) + λ f 'x ( x , y ) = 0 ， ⎨ ' ⎪ ⎩F y = 2( y − y 0 ) + λ f 'y (x , y ) = 0 2 2 2 2 2
P87-练习 4 设 z = f ( xy,
x y ) + g ( ) ，其中 f 有二阶连续偏导数， g 有二阶导数，求 y x
∂2z ． （2000） ∂x∂y
解: 根据复合函数求偏导公式
∂z 1 y = f1′ ⋅ y + f 2′ ⋅ + g ′ ⋅ (− 2 ) , ∂x y x
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∂2 z ∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ ⎛ 1 y ⎞ = ⎜ ⎟ = ⎜ f1′ ⋅ y + f 2′ ⋅ + g ′ ⋅ ( − 2 ) ⎟ ∂x∂y ∂y ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ y x ⎠ x 1 1 x y 1 = f1′ + y[ f11′′ x + f12′′ ⋅ (− 2 )] − 2 f 2′ + [ f 21′′ x + f 22′′ ⋅ (− 2 )] − g ′′ ⋅ 3 − g ′ ⋅ 2 y y y y x x 1 x y 1 = f1′ + xyf11′′ − 2 f 2′ − 3 f 22′′ − 3 g ′′ − 2 g ′ y y x x
2
2
∂2z ∂2 z ， ． （2006） ∂x 2 ∂y 2
∂z x 解： ； = f ′⋅ 2 ∂x x + y2
同理可求
∂2 z x2 y2 ′′ ′ = f ⋅ 2 +f ⋅ . 3 ∂x 2 x + y2 ( x2 + y2 ) 2
∂2 z y2 x2 ′′ ′ . = f ⋅ + f ⋅ ∂y 2 x2 + y2 ( x 2 + y 2 )2
而
∂z = y x 2 = x 2 y + C ′( y ) ，知 C ( y ) = C ∂y
所以 f ( x, y ) =
1 2 2 x y + C. 2
⎧x = t, ⎪ 2 P98-练习 12 求曲线 ⎨ y = −t , 与平面 x + 2 y + z = 4 平行的切线方程． ⎪z = t 3 ⎩
切线方程为
x−
1 1 1 y+ z− 3= 9= 27 2 1 1 − 3 3
2 2
P101- 练 习 13 试 证 ： 抛 物 面 ∑ 1 : z = x + y + 1 上 任 意 点 处 的 切 平 面 与 抛 物 面
∑ 2 : z = x 2 + y 2 所围成的立体体积与切点坐标无关．
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证明：设 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 是 ∑1 上的任意一点， ∑1 在 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 处的切平面 π 的方 程为
z = 2 x0 x + 2 y0 y − z0 + 2
由⎨
⎧ z = x2 + y2 ⎩ z = 2 x0 x + 2 y0 y − z0 + 2
∂F y sin xy = , ∂x 1 + x 2 y 2 ∂2F ∂x 2 =4
x=0 y =2
∂2F y cos xy (1 + x 2 y 2 ) − 2 xy 2 sin xy ， = y ⋅ ∂x 2 (1 + x 2 y 2 ) 2
故
P86-练习 3 设 z = f ( x + y ) ，其中 f 有二阶导数，求
由题意知 n ⊥ s ,
�
� t0 = 1 对应的切点为 P0 (1, −1,1) ， s = {1, −2,3} ，
切线方程为
x −1 y + 1 z −1 = = 1 −2 3
1 1 1 1 � ⎧ 2 1⎫ t0 = 对应的切点为 P0 ( , − , ) ， s = ⎨1, − , ⎬ ， 3 3 9 27 ⎩ 3 3⎭
1 ⎡ ⎤ = e2 x ⎢ 2 cos( x3 + x + 1) − (3x 2 + ) sin( x 3 + x + 1) ⎥ 2 x +1 ⎣ ⎦
sin t ∂2 F ，则 dt 1+ t2 ∂x 2
P86-练习 2 设函数 F ( x, y ) =
∫
xy
0
=
x=0 y=2
． （2011）
解：
∂Q ∂P = ∂x ∂y
ϕ ′( x) = 2 x ⇒ ϕ ( x) = x 2 + C 2 由 ϕ (0) = 0 得 C = 0 ⇒ ϕ ( x) = x ∂z ∂z 且 = xy 2 , = y ϕ ( x) ， ∂x ∂y
即 yϕ ′( x) = 2 xy ⇒
⇒ z=
1 2 2 x y + C ( y ), 2
S = xy + 2( xz + yz ), 而 V = xyz ，
考虑
S = xy + 2( xz + yz ) 在 V = xyz 条件下的条件极值， 作 F = xy + 2( xz + yz ) + λ ( xyz − V )
⎧ y + 2 z + λ yz = 0 ⎪ x + 2 z + λ xz = 0 1 ⎪ 令⎨ ，得驻点为 ( 3 2V , 3 2V , 3 2V ) ， 2 ⎪2( x + y ) + λ xy = 0 ⎪ ⎩ xyz = V 1 故当水箱的长、宽、高分别为 3 2V , 3 2V , 3 2V 时，所用材料最省. 2
x =1 y =1
P88-练习 6 设 z = f ( x + y, x − y, xy ) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 dz ， （2009） 解：
∂2z ． ∂x∂y
∂z = f 1′ + f 2′ + yf 3′ , ∂x
∂z = f 1′ − f 2′ + xf 3′ ∂y
dz =
∂z ∂z dx + dy = (f 1′ + f 2′ + yf 3′ )dx + (f 1′ − f 2′ + xf 3′ )dy ∂x ∂y
则 x
∂z yF1′ + zF2′ ； = ∂x xF2′
∂z F′ =− 1 ∂y F2′
∂z ∂z +y =z ∂x ∂y
P92- 练 习 8 设 函 数 f ( x ) 具 有 二 阶 连 续 导 数 ， 且 f ( x ) > 0 ， f ′(0) = 0 ， 则 函 数
z = f ( x ) ln f ( y ) 在点 (0, 0) 处取得极小值的一个充分条件是
∂2 z = f1′ + y ⎡ xf11′′ + g ( x) f12′′ ⎤ + g ′( x) f 2′ + yg ′( x) ⎡ xf 21′′ + g ( x) f 22′′ ⎤ ， ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∂ x∂ y
所以
∂2 z ∂ x∂ y
′′ (1,1) + f12 ′′ (1,1) + f1′(1,1) = f11
P97-练习 11 设向量 xy , y ϕ ( x) 是某函数 z = f ( x , y ) 的梯度，其中 ϕ ( x) 有连续 导数且 ϕ (0) = 0 ．求 ϕ ( x ) 及 f ( x , y ) ．
{
2
}
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解：取 P = xy , 有
2
Q = yϕ ( x) ，若向量 { xy 2 , y ϕ ( x)} 是某函数 z = f ( x , y ) 的梯度，则
解：设切点为 P0 ( x0 , y0 , z0 ) ， P0 对应于 t0 ， 则切线向量 s
�
� = {1, −2t0 ,3t0 2 } ， 平面的法向量 n = {1, 2,1} ，
� � � 1 n ⋅ s = 0 ，即 1 − 4t0 + 3t0 2 = 0 ，解得 t0 = 1 或 t0 = 3
2
f ′′( y ) f ( y ) − [ f ′( y )] ∂2 z = f ( x) ⋅ . 2 ∂y f 2 ( y)
在点 (0, 0) 处，
∂2 z ∂2 z 2 ∂2 z ∂2 z 2 ′′ = f (0) ln f (0), ( ) − 2 ⋅ 2 = − [ f ′′(0)] ln f (0) 2 ∂x ∂x∂y ∂x ∂y
∂2 z ∂ = f1′ + f 2′ + yf3′ ∂x∂y ∂y
(
)
= f11′′ + f12′′ ⋅ (−1) + f13′′ ⋅ x + f 21′′ + f 22′′ ⋅ (−1) + f 23′′ ⋅ x + f 3′ + y ⎡ f 31′′ + f 32′′ ⋅ ( −1) + f 33′′ ⋅ x ⎤ ⎣ ⎦ = f11′′ + ( x + y ) f13′′ − f 22′′ + ( x − y) f 23′′ + xyf33′′ + f3′
P87-练习 5 设函数 z = f ( xy, yg ( x)) ，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g ( x ) 可导且 在 x = 1 处取得极值 g (1) = 1 ，求
∂2 z ∂ x∂ y
． （2011）
x =1 y =1
解：由题意 g ′(1) = 0 。因为
∂z = yf1′+ yg ′( x ) f 2′ ， ∂x
A( x0 , y 0 ) 是曲线 L 外一个固定点．试证：如果点 B(α , β ) 在曲线 L 上且是 L 到 A 的最近
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或最远的点，则
α − x0 f ′ (α , β ) ． = x β − y0 f y′ (α , β ) d = AP ，则 d = (x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 ， 约束条件
（A） f (0) > 1 ， f ′′(0) > 0 （C） f (0) < 1 ， f ′′(0) > 0 解： （B） f (0) > 1 ， f ′′(0) < 0 （D） f (0) < 1 ， f ′′(0) < 0 （2011）
∂z ∂z f ′( y ) = f ′( x ) ln f ( y ), = f (x) , ∂x ∂y f ( y) ∂2 z = f ′′( x) ln f ( y ), ∂x 2 ∂2 z f ′( y ) ， = f ′( x ) ∂x∂y f ( y)
多元微分学
P85-练习 1 设 w = e 解：
2x
cos( y + z ) ，而 y = x 3 ， z = x + 1 ，求
dw ． dx
dw ∂w ∂w dy ∂w dz = + ⋅ + ⋅ dx ∂x ∂y dx ∂z dx
= 2e 2 x cos( y + z ) + e 2 x [− sin( y + z ) ⋅ (3 x 2 + 1 )] 2 x +1
P89-练习 7 设函数 z = z ( x, y ) 由方程 F ( , ) = 0 确定，其中 F 为可微函数，且 F2′ ≠ 0 ， 则x
y z x x
∂z ∂z +y = ∂x ∂y
． （2010）
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⎛ ∂z ⎞ ⎜ ∂x ⋅ x − z ⎟ y 解： F1′ ⋅ ( − 2 ) + F2′ ⋅ ⎜ ⎟=0 ⇒ 2 x x ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 ∂z F1′ ⋅ + F2′ ⋅ ⋅ = 0 ⇒ x x ∂y
∵ AB 取极值 ∴ B(α , β ) 为驻点， 故有 ⎧ 2(α − x0 ) + λ f 'x (α , β ) = 0 ⇒ ⎨ ⎩2( β − y0 ) + λ f ' y (α , β ) = 0
α − x0 f x′(α , β ) = β − y0 f y′(α , β )
P94-练习 10 某工厂要利用钢板做一个容积为定值 V 的无盖长方体水箱，问该水长、 宽、高分别为多少时，所用材料最省？ 解 设该水箱的长、宽、高分别为 x, y, z ，长方体水箱的表面积为 S . 由条件知
2
，
当 f ′′(0) ln f (0) > 0 且 − [Байду номын сангаасf ′′(0) ] ln f (0) < 0 时 ， 即 f (0) > 1 ， f ′′(0) > 0 时 ，
z = f ( x ) ln f ( y ) 在点 (0, 0) 处取得极小值。 故选 (A)
P93-练习 9 已知平面曲线 L : f ( x, y ) = 0 ，其中 f ( x, y ) 可微分，且 f y′( x, y ) ≠ 0 ．