递推数列求通项公式方法技巧大全

数列专题之（一）递推公式求通项
1、 累加法
适应于-1a -a n n = f(n), f(n)可为关于n 的一次函数、指数函数或分式函数（裂项）
-1-1-2211a =(a -a )+(a -a )++(a -a )+a n n n n n ……
2、累积法
-121-1
-2
1
a a a a =
a a a a n n n n n ∙∙∙
∙……
3、最简单的类型+1a =ca +d n n
当c ≠0且c ≠1且 d ≠0时，通过待定系数法配凑为+1d d a +=c(a +
)-1
-1
n n c c
（也可直接用迭代，得-12-21a =c a +(1+c+c ++c )n n n d ） 4、+1a =pa +f(n)n n ，f(n)为关于n 的一次函数
例1、在数列{a n }中，1a =1，+1a =3a +2n n n ，求通项a n .
（方法一）解： +1a =3a +2n n n ，∴2n ≥时，-1a =3a +2(n-1)n n
两式相减得
令n b =，则n b =3-1n b +2，利用类型3的方法得n-1
=53+2n b ∙
即
=n-1
53
+2∙
再用类型一的累加法得a n =
n-1
513
--
2
2
n ∙（2n ≥）经检验1a 也满足
（方法二，待定系数法）解：令+1a +x(n+1)+y=3(a ++)n n xn y （注意，3为a n 的系数），
展开得+1a =3a +2+2-x n n xn y ，与+1a =3a +2n n n 比较系数得x=1，y=
于是令n b =1a ++2n n ，则+1n b =3n b 1b = 故n b =n-1
53
2
∙
所以a n =
n-1
513
--
22
n ∙
5、+1a =pa +f(n)n n ，f(n)为关于n 的指数函数 不妨令f(n)= q n
方法一（待定系数法）：令+1
+1a +q
=p(a +q )n n
n n λλ，整理，比较系数得λ值，转化为等比
数列求之
例2、在数列{a n }中，1a =1，-1-1a =3-2a n n n ，求通项a n 设-1-1a +3=-2(a +3)n n n n λλ∙∙整理得a n =n-1-1-2-53n a λ∙ 比较系数得λ=1-5
于是令n b = 1a -35
n
n ∙，下略
方法二： +1a =pa +q n n n 等式两边同时除以+1
p
n ，得到
+1+1
a a 1=
+
(
)p
n
n n n n
q p
p
p
∙ 令n b =
a p
n n
，
则+1n b -n b =
1(
)n
q p
p
∙，结合类型一的累加得到n b 、a n
方法三：+1a =pa +q n n n 等式两边同时除以+1
n q
，得到
+1+1
a a p 1=
+
n n n n
q
q
q
p
∙
令n b =
a n n
q
，则
+1n b =
1+
n p b q
q
结合类型三的配凑得到n b 、a n
6、分式类型()+1pa +a =
0,-0ra +n n n q r ps rq s
≠≠
常用方法：直接取倒数
例4、在数列{a n }中，1a =1，+1a a =
a +1
n n n 求通项a n
+1
a +111==1+a a a n n n
n
，于是
+11
1-=1a a n n
，下略
不动点辅助方法：先令
pa +ra +n n q s
=a n ，若有两重根a ，则a n —a 后取倒数（实际上，例4中
a=0），若有两相异根a 、b ，则
a -a -n n a b
为等比数列
例5、在数列{a n }中，1a =1，+11a =
2-a n n
求通项a n
令
1=a 2-a n n
得两重根1，则+1a -1a -1=
2-a n n n
，
+12-a 11=
=
-1a -1
a -1
a -1
n n n n ，下略
例6、在数列{a
n }中，
1
a=0，
+1
2
a=
3-a
n
n
求通项a
n
令
2
a=
3-a
n
n
得两根1、2，则+1
+1
2
-1
a-13-a a-1
1
==
2
a-22a-2
-2
3-a
n n n
n n
n
∙故
a-11
=
a-22
n
n
n
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，下略。