第三章幂函数的微分运算

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第三章 幂函数的微分运算
幂函数是人类最为熟悉、也是应用最为方便的一类函数，更重要的是，任何数列都可以用幂函数进行绝对精确的描述。

这一章我们就来介绍幂函数的微分运算方法。

本章所指的微分运算包括
1） 求变量公式（即变量的公式是已知的）的变化速度（即导数）或速度公式（即导函数）；
2） 根据变量数据（即变量的公式是未知的，只能根据其测定数据进行运算）求变化速度（即导函数）。

现行高等数学将微分运算的目的值称之为“极限值”，简称为“极限”。

上世纪七十年代，我看到过一本北京清华大学微积分教研组编著的微积分教材，其中对“极限”作了这样的定义：“极限是能够无限接近，但永远无法达到，更不允许超过的那个数”（各种不同版本的高等数学，在叙述上有所出入，但实质是一样的）。

既然永远无法达到，且不高等数学中的“极限”值是估计或者猜测出来的（上述教材说是“扬弃高阶无穷小量”后得到的）？而我则认为，数学是一门严谨的科学，我们必须要达到“那个数”， 要用实实在在的数学方法计算出“那个数”来。

再者，变量运算较之于常量运算，其计算量要大得多，因此，尽可能的简化运算、减少计算量，这也是本章的重点。

这一章我们首先将传统的微分公式改造成微分运算的数学模型，然后导出幂函数微分运算的几种简捷方法。

3-1 微分公式的改善
懂点微积分的人都知道下面这个式子，
f '(x)=dx dy =0lim →∆X x
y ∆∆= 0lim →∆X x x x x f x x f -∆+-∆+)()()(。

（式3-1-1）
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它叫做微分表示式。

因为微积分互为逆运算，所以，它也是积分运算的基础。

只是这里为什么只是0→∆x ，而不是0=∆x 呢？从现行高等数学的角度来看，若dx ≠0，则x x x x f x x f -∆+-∆+)()()(作为原函数)(x f 的导数是有误差的，若dx=0，则又导至0
0的结果。

众所周知，在初等数学中，0
0是一个没有意义的数。

另外，微积分互为逆运算，如果dx=0，则积分运算就变成了名符其实
的“无中生有”。

所以给（式3-1-1）加了个满天过海的“0
lim →∆X ”符号。

虽然如此，穷根究底的人还是要问，“dx ”究境是个什么量？或说“dx ”是一个“无穷小量”；或说“dx ”是“不同层次”或“不同关节” 的量；1969年，美国数学家鲁滨逊“证明”：“dx ”是一个“大于0而又小于任何实数的非标准量”；…。

自牛顿创立微积分至今的300多年来，一代一代的数学家，不断有人提出新的说辞，而且，一个比一个说得玄乎。

其实，全都是些似是而非的歪理。

对此，看得最清的要算是英国大主教贝莱克，他在攻击微积分时，就曾尖刻的说：“dx 是一个逝出的量之鬼魂”。

这虽然是出于攻击，但对于（式3-1-1）中的“dx ”来说，实在是恰如其份。

如果把微分运算中的“dx ”看成是一个逝出的量之鬼魂，那么，积分运算就恰好是“转世还阳”。

对于一个歪理来说，如果你要证明它是真理，那么，你就只少要引进另一条歪理，这是一种恶性循环，是不可能成功的。

由于问题长期得不到解决，有的人又干趣说：“世界上没有纯粹的导函数可言”；或者说：“数学不能靠自已的力量从数学来证明这种从某数到某数的转化为基础的运算”； 甚至断言：“企图把微积分纳入到数理逻辑的演译体系中，最后都是要失败的”。

而我则认为，（式3-1-1）的确是面前着困难，但这种困
难仅仅是因为我们对变量运算的错误认识所造成的。

只要错误认识得以纠正，一切困难也就烟消云散。

0就是0，非0就是大于或者小于0的数，它们都是实数，似0而又非0的“极限”纯属子虚乌有。

所以，下面我们从纠正对变量运算的错误认识入手，然后对（式3-1-1）进行解善。

习惯上，我们把解决变量问题的数学称之为高等数学；而把解决常量问题的数学称之为初等数学。

许多人都认为，高等数学与初等数学有“天地之别”，是“格格不入”的；“企图把高等数学纳入到初等数学的框架中，永远是不可能的”。

其实不尽然，高等数学和初等数学的基本任务都是根据已知求未知，所使用的计算方法也完全相同；不同之处是在于初等数学的计算对象是常量（实际上，现行的初等数学中，包含了部分高等数学的内容。

按理说，这一部分内容应当归还给高等数学，以充实高等数学的基础），常量是可以用一个单独的数字来描述的，所以，初等数学的计算，只需一对一（数字或者公式）的计算（或+、或－、或×、或÷、…、等等）便可解决问题；而高等数学的计算对象是连续的变化过程（请读者注意，从物理的角度来看，现实世界中的变量有可能全都是不连续的。

但当我们用函数来描述它们时，应当把它们视为连续的，这是本文与传统数学的一个重大分歧），是不可能用一个单独的数字来对它进行描述的，而只能够用一组数字来“代表”它。

所以，变量的计算，是不能单纯依靠一对一的计算来解决问题的。

而只能提取一组能够代表该变化过程（当然还要考虑便于计算，如按自变量等差、方差、公比、…等等提取）的数，对它们进行互相关联的计算才能解决问题。

现在我们再回到（式3-1-1），它的至命错误就在于把变量运算当成了常量运算。

只要我们如实的把“x
”或“dx”当成是一个变量（即把它当成是一个函数的自变量）。

那么，一切问题也就不难解决了。

下面我们来看一看微分运算的实质。

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如微分运算示意图一所示，设原函数)(x f 所描述的是曲线与X 轴之间的面积，那么，X 轴与曲线之间的垂直距离即原函数的变化速度（又称导数），设我们要求自变量为x 时原函数的变化速度（即微分运算示意图一中x 轴的垂线x-y 的高度），我们给与自变量x 一个增量x ∆（即令x 增长到x2），于是，因变量亦隋之增长，其增长部分即（式3-1-1）中的y ∆，为图中的阴影部分。

（式3-1-1）中的x
y ∆∆所求得的，实际上是自变量x 增长到x2的平均速度（即微分运算示意图一中的阴影部分的平均高度x3-y3（请注意，x3-y3不一定在2
x ∆处，但它必定是在x-y 和x2-y2之间），如微分运算示图二所示）。

微分运算示意图一 微分运算示意图二
微分运算示意图三 微分运算示意图四
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微分运算示意图五
因为上述变量为正增长变量，所以，自变量越大，其变化的速度就越快（如果是负增长变量，正好相反，可以反向类推）。

所以，增量x ∆越大，从自变量x 变到x2的平均速度（即微分运算示意图一中阴影部分的平均高度x3-y3）较之于自变量为x 时的速度x-y 就大得越多。

反之，增量x ∆越小，从自变量x 变到x2的平均速度x3-y3就越接近自变量为x 时的速度x-y ，如微分运算示意图三中的增量x ∆比微分运算示意图二中的增量x ∆要小，所以，其阴影部分的平均高度x3-y3较之于微分运算示意图二，就更接近自变量为x 时的速度x-y 一些。

换句话说就是，当△x 变小时，x3-y3会向x-y 靠近。

当增量x ∆由正数变为负数时（如微分运算示意图四所示），从自变量x 变到x2的平均速度x3-y3就会比自变量为x 时的速度还要低。

非常明显，只有当增量x ∆正好等于0时，自变量x 变到x2的平均速度才会正好等于自变量为x 时的速度（即x 轴的三条垂线x-y 、x2-y2、x3-y3互相重迭）。

只是，此时的x ∆和y ∆都变成了0，计算的依据消失了，我们无法直接计算出此时x
y ∆∆的值。

但是，数学的基本任务是根据已知求未知，当x ∆非0时，x
y ∆∆的值是可以
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计算出来的。

所以，我们可以根据x ∆非0时
x y ∆∆的值来求0=∆x 时x
y ∆∆的值。

换一种说法，那就是我们可以令x ∆是一个变量，先求出以x ∆为自变量时x
y ∆∆的函数公式)(x f ∆，然后再根据)(x f ∆求x ∆=0的值。

因此，作为微分表示式的（式3-1-1）应
当改成： 0)()(=∆∆='x x f x f =x y
∆∆0=∆x =x x x x f x x f -∆+-∆+)()()(0=∆x 。

(式3-1-2)
)(x f '数学上称之为导函数，它是原函数)(x f 的速度函数；)(x f ∆是我们为了求原函数的导函数而创造的一个以增量x ∆为自变量的新函数。

我们不防将其称之为预先函数。

既然是一个函数，那么，其自变量x ∆当然就可以是任何实数（传统数学称之为“定义域”，但我认为“定义域”只能是针对具体事物而言，若以函数本身而言它的定义域应当是-∞～∞），只是，当x ∆＞0时，其函数值会大于导数（见上述微分运算示意图二、
三）；当x ∆＜0时，其函数值又会小于导数（见上述微分运算示意图四）；只有当x ∆正好等于0时，其函数值才会正好等于导数，所以，我们在预先函数)(x f ∆的后面添加了一个下限符号0=∆x ，以强调只有当x ∆=0时，预先函数)(x f ∆的函数值才会正好等于导数。

因为x ∆可以取正值，也可以取负值，还可以跨计算点（x ）取值（如微分运算示意图五所示。

图中的x ∆为x 1～x2之间的量，y ∆为x 1～x2之间曲线与x 轴之间的面积）。

所以，在该表示式中，传统意义上的“极限”已经不再存在，
极限符号0
lim →∆X 也就被取消了。

该新微分表示式，实际上就是我
们用来进行微分运算的数学模型。

所以，下面我们将其简称为微分模型。

3-2 幂函数的微分运算方法所谓微分运算，即求变量（原函数）的变化速度（导数）或者速度公式（导函数）的运算。

根据本节所介绍的方法进行微分运算必须满足如下两个条件之一：
1 变量的幂函数公式是已知的；
2 变量的变化量是可以测定或者计算出来的。

否则，其运算无法进行。

对于满足条件1的，可以采用代数推导法法；对于满足条件2的，可以采用本节将要介绍的自变量变换法、增量递减法。

下面分别与以介绍。

3-2-1 代数推导法
当变量的幂函数公式为已知时，利用微分模型求导数的计算过程与传统方法完全一样。

只是，从理论上讲，它已经是一种实实在在的代数推导，无须利用“极限理论”或者“辩证法”来进行任何方面的遮遮掩掩。

现在我们来计算一个例题：设原函数为
f=x3,
)
(x
求X=5时的导数？
解：
第一步，我们首先给予自变量x一个增量x
∆，于是，根据二项式定理我们有：
+=x3+3x2x
f∆
)
(x
x
∆+3x2x∆+3x∆
因此：
y∆=)
(x
f=（x3+3x2x
+－)
f∆
x
(x
∆+3x2x∆+x∆3）－
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x 3=3x 2x ∆+3x 2x ∆+x ∆3
； 所以预先函数
)(x f ∆=x y ∆∆=x x x x f x x f -∆+-∆+)()()(=x x x x x x ∆∆+∆+∆3
2233 =3x 2+3x x ∆+x ∆2。

第二步，将x ∆=0代入上式得
f '(x) =3x 2。

这样我们就求得原函数)(x f =x 3的导函数f '(x)=3x 2。

这里需要特别强调的是，我们是将“x ∆=0代入上式”，这是一种实实在在的代数运算，无需使用“极限理论”或者“辩证法”来进行任何方面的遮遮掩掩。

记得年轻时，我曾通过一个熟人，将一编相关内容的文章寄给一位数学教授，想请他指教一下。

谁知他在给我那个熟人的回信中却说：“年轻人底子薄，不懂得辩证法的精髓，…”。

现在我虽然底子乃薄，但无论按何种标准计算，都早已不能算是年轻人，不过，我还是坚持我年轻时的观点：“按极限理论所进行的推导，其实只是一种似是而非的诡辩”。

第三步，求x=5时的导数。

设x=5时的导数为h,将x=5代入上式，得
h=3×52=75。

答：)(x f =x 3，x=5时的导数为75。

下面将幂函数的导函数（速度）公式立于下表，读者可以直
幂函数的导函数公式表
接应用。

这些导函数公式的推导过程和应用方法，任何一本《高等数学》或《微积分学》中都有介绍，这里就不予介绍了。

3-2-2 自变量变换法
这里所说的自变量是指原函数的自变量。

对于不能使用上一节所介绍的方法解决的求导数问题；或者虽能解决，但其运算过于复杂，不管它们的函数公式是否是已知的，只要我们能够设法确定（测定或者计算出）我们所要求的数据，我们都可以求出它的幂通式（如果它原本不是幂函数，可以认为我们是将它转换成幂函数，就象我们将非十进制数字转换成十进制数字一样），这样，我们就可以根据求出的幂通式，利用上节所介绍的方法求出其导数。

只是，这里还有一个计算繁简的问题。

现在，请读者回忆一下上一节我们根据预先函数
(x
f∆求导数的过程，当我们令x∆=0时，除常数项外，)
f∆(x
)
的其它所有项都等于0，成为无效项，显然，这里减少了大量的计算。

再者，根据第二章中的介绍，求幂通式时，如果变量的自变数列的首项不为0，是允许我们将其调整为0的。

现在的问题是，当我们要求导数的点的自变量不为0时，我们是否可以将其调整为0呢？下面我们来考察一个例题：
设我们测得某变量的自变量依次为
0、1、2、3、4、5、6、7
时，其因变量依次为
2、0.5、2、5.5、14、30.5、58、99.5，
求x=3时的导数？
解：
因为解这个例题我们是为了考察、比较自变量不调整与调整时运算的繁简，所以，下面我们同时用两种方法解题。

第一步：求出该变量自变量不调整与调整的两个幂通式。

根据题意，我们要求的是自变量x=3时的导数，所以，在这一步的运算中，我们将求出不调整自变量的幂通式（即按原
142
143 自变量求的幂通式），和将自变量3调整为0后的幂通式。

不调整自变量时，我们将以上述自变数列与因变数列的前5个数项作为计算依据（实际运算中，后面的三个数项无须测出），即，自变量不调整时，通式的计算依据为
⎩⎨⎧==--145.525.024********y x ；
将自变量3调整为0时，我们将以上述自变数列与因变数列的后5个数项作为计算依据（实际运算中，前面的三个数项无须测出），即，即将自变量3调整为0时，通式的计算依据为
⎩⎨⎧==--5.99585.30145.5765434
040y x ， 将自变量3调整为0后变为 ⎩⎨⎧==--5.99585.30145.5432104040y x 。

经立阵、分离运算（略去），自变量不调整时，变量的通式为
)(x f =0.5x 3－2x 2＋4x －2；
（式3-2-2-1）
将自变量3调整为0后的通式为
)(x f =0.5x 3＋2.5x 2＋5.5x ＋5.5。

（式3-2-2-2）
从这第一步的运算来看，自变量调整与不调整相比较，其运算的繁简区别不大。

第二步：求自变量不调整与调整后的导函数公式。

根据上一节中的《幂函数的导函数公式表》，当原函数为
(x
f=ax n
)
（式3-2-2-3）
时，其导函数为
()x
f'=anx n-1。

（式3-2-2-4）
现在我们先求不调整自变量时的导函数。

因为通式的每一个项都可以看成是一个单项函数。

所以，不调整自变量时，通式的最高项为
f1=0.5x3，
(x
)
即它的系数a=0.5、指数n=3，代入（式3-2-2-4）得
()x
f'1=0.5×3x3-1=1.5x2。

这就是不调整自变量时，通式最高项的导函数。

不调整自变量时，通式的次高项为
f2=-2x2，
)
(x
即它的系数a=-2、指数n=2，代入（式3-2-2-4）得
()x
f'2=-2×2x2-1=-4x。

这就是不调整自变量时，通式次高项的导函数。

不调整自变量时，通式的三高项为
f3=4x，
)
(x
即它的系数a=4、指数n=1，代入（式3-2-2-4）得
144
()x
f'3=4×1x1-1=4x0=4。

这就是不调整自变量时，通式三高项的导函数。

不调整自变量时，通式的第四项（最低项）为
()x
f'4=-2=-2x0，
它是一个0次项，根据上节中的《幂函数的导函数公式表》，它的导函数为0。

即
()x
f'4=0。

至此，我们求得不调整自变量时变量的导函数为
()x
f'4=1.5x2-4x+4+0
f'3+()x
f'=()x
f'1+()x
f'2+()x
（式3-2-2-5）
现在我们再来求将自变量3调整为0后的导函数。

因为通式最高项乃为
f1=0.5x3，
(x
)
即它的系数a=0.5、指数n=3，代入（式3-2-2-4）得
()x
f'1=0.5×3x3-1=1.5x2。

将自变量3调整为0后，通式的次高项为
f2=2.5x2，
(x
)
即它的系数a=2.5、指数n=2，代入（式3-2-2-4）得
()x
f'2=2.5×2x2-1=5x。

这就是将自变量3调整为0后，通式次高项的导函数。

将自变量3调整为0后，通式的三高项为
145
f3=5.5x，
(x
)
即它的系数a=5.5、指数n=1，代入（式3-2-2-4）得
()x
f'3=5.5×1x1-1=5.5x0=5.5。

这就是，通式三高项的导函数。

将自变量3调整为0后，通式的第四项（最低项）为
()x
f'4=5.5，
它是一个0次项，根据上节中的《幂函数的导函数公式表》，它的导函数为0。

即
()x
f'4=0。

至此，我们求得将自变量3调整为0后变量的导函数为
()x
f'3+()x
f'4=1.5x2+5x+5.5+0
f'2+()x
f'=()x
f'1+()x
（式3-2-2-6）
这第二步的运算，自变量不调整与调整相比较，其运算的繁简区别也不大。

第三步：求自变量x=3（调整前的值）时的导数。

首先按自变量不调整时的通式进行计算，将自变量x=3代入（式3-2-2-5）得
()3
f'4=1.5×32-4×3+4+0
f'3+()3
f'=()3
f'2+()3
f'1+()3
具体计算须逐项求其函数值，最后求和。

最高项的函数值为：
()3
f'1=1.5×3×3=13.5。

次高项的函数值为：
146
()3
f'2=-4×3=-12。

三高项的函数值为：
()3
f'3=4。

四高项的函数值为0，可以略去。

各项相加得
()3
f'=13.5－12＋4=5.5。

这就是例题要求的导数。

现在，我们再按将自变量3调整为0后的通式进行计算。

将x=0代入（式3-2-2-6）
()0
f'3+()0
f'2+()0
f' 4
f'1+()0
f'=()0
=1.5×02+5×0+5.5+0=5.5。

因为0的1次以上幂都等于0，0与任何数的乘积都等于0。

所以，在上式中除常数项外，其它项都等于0。

所以根据上式求例题的导数根本无须进行计算，直接将常数项作为导数就可以了。

实际上，可以省略的计算还不只此。

因为导函数的常数项是原函数一次项的导函数；因为一次幂函数的导函数就等于它的系数，（请参阅上节中的《幂函数的导函数公式表》）。

所以，我们可以直接将例题一次项的系数作为例题的导数。

根据幂函数高阶增长定理，一次项只有一阶增长数列，且是一个常数列，所以，在自变数列符合标准时，一次项的首数为
a111!=a
式中a即一次项的系数。

这也就是说，我们可以直接将一次项的首数作为例题要求的导数。

这样一来，上述所立三步运算中的后两步全都可以省略掉，就连第一步也可以省略少许。

上述我们考察的还只是一个特例，对于一般来说我们有幂函数导数定理：
147
设
f=a0x n+a1x n-1+a2x n-2+…+a n-2x2+a n-1x+a n x0
)
(x
为任意幂函数，a0、a1、a2、…、a n-2、a n-1、a n均为任意实数，n 为＞1的任意正整数，当自变量x=0时，其导数即一次项的系数。

证：
因为当幂函数为
f=ax n
)
(x
时，其导函数为
()x
f'=anx n-1。

当幂函数为
f=ax0
(x
)
时，其导函数为
()x
f'=0；
因为原函数
(x
f=a0x n+a1x n-1+a2x n-2+…+a n-2x2+a n-1x+a n x0
)
的各项均可视为独立函数，故原函数的导函数为
f'=a0nx n-1+a1(n-1)x n-2+a2(n-2)x n-3+…+a n-22x2-1+a n-11x1-1+0 )
(x
= a0nx n-1+a1(n-1)x n-2+a2(n-2)x n-3+…+ a n-22x+a n-1x0；
因为0的1次及其以上幂都等于0，因为0与任何数的乘积都
f'除等于0，因此，当自变量x=0时，原函数)
(x
f的导函数()x
0次项外，其它各项均为0；因为任何数的0次幂都等于1，因为任何数与1的乘积都等于它本数，所以，0次项是一个常数项，其常数值就等于它的系数a n-2；因为导函数的0次项是原函数1次项的导函数，因为导函数0次项的系数也就是原函数1次项的系数，所以，当自变量x=0时，原函数的导数就等于
148
它的一次项的系数。

证毕。

有了该定理，上述“可以直接将一次项的首数作为例题的导数”的结论就可以推广为一般了。

所以，求一般变量的变化速度时，可以首先将计算点的自变量调整为0，然后按求幂通式的《首数列分离法》，将通式各项的首数列，由高至低逐项消去，直到只剩下一次项的首数，它就是我们要求的导数。

具体可按如下步骤进行。

第一步：将所要求变化速度的点的自变量作为自变数列的首项，按求幂通式的要求提取计算依据。

第二步：假定自变数列符合标准，将自变数列的首项调整为0。

第三步：建立因变数列的高阶增长数阵，以确定其首数列。

第四步：将通式各项的首数列由高至低逐项消去，直至求出1次项的首数（即所要求的点的导数）。

下面我们再计算两个例题。

例题3-2-2-1：
求某变量自变量x=4时的导数？
解：
第一步：将所要求导数的点的自变量作为自变数列的首项，按求幂通式的要求提取计算依据。

根据题意，我们要求的是自变量为x=4时的导数，所以我们将自变量4作为自变数列的首项，按自变量等差提取计算依据。

因为自变数列公差的大小、数项的多少不能一概而论（请参阅2-1节），所以，这里我们暂按自变数列的公差为2、数项为6项提取，如有问题再作调整。

根据这一安排，我们将自变数列确定为
x0-5=4、6、8、10、12、14。

经测定，对应的因变数列为
149
150
y 0-5=-2.8、-8.3、-8.8、6.5、53.2、151.7。

即为解题所提取的计算依据为
⎩⎨⎧---==--7
.1512.535.68.83.88.21412108645050y x 。

第二步：假定自变数列符合标准，将自变数列的首项调整为0。

计算依据变为
⎩⎨⎧---==--7
.1512.535.68.83.88.25432105050y x 。

第三步：建立因变数列的高阶增长数阵，以确定其首数列。

因 变 数 列：-2.8、-8.3、-8.8、 6.5、53.2、151.7。

第一阶增长数列：-5.5、-0.5、15.3、46.7、98.5。

第二阶增长数列： 5、15.8、31.4、51.8。

第三阶增长数列：10.8、15.6、20.4。

第四阶增长数列： 4.8、 4.8。

该高阶增长数阵所确定的首数列为
-5.5、5、10.8、4.8。

第四步：将通式各项的首数列由高至低逐项消去，直至求出1次项的首数（即所要求的点的导数）。

1 消去最高项的首数列。

因为最高首数4.8为第4阶。

所以，通式最高项的指数为4。

即通式的最高项为
A 0X 6。

（A 0为待定常数）
因为 A=
标准幂数列的最高首数因变数列的最高首数；
151
标准幂数列的最高首数=N ！。

因为通式最高项的指数为4，最高首数为4.8，所以最高项的系数
A 0=!48.4=24
8.4=0.2。

现在，我们已经求出假定条件下，例题通式的最高项为：
0.2X 4。

根据2-5节（式2-5-7），若因变数列可以由一个单项幂函数所给定，则
因变数列的首数列=A ×同次标准幂数列的首数列。

通式的最高项当然是一个单项幂函数。

因为A 0=0.2，所以，我们有
通式最高项的首数列=0.2×同次标准幂数列的首数列。

因为该最高项的幂指数是4，根据《标准幂数列首数表》4行，其标准幂数列的首数列为
1、14、36、24。

所以：
通式最高项的首数列= 0.2 (1、14、36、24)。

因为：
0.2×1=0.2；
0.2×14=2.8；
0.2×36=7.2；
0.2×24=4.8。

所以最高顶的首数列为：
0.2、2.8、7.2、4.8。

将上述高阶增长数阵所确定的因变数列的首数列减去该最高项的首数列：
(-5.5、5、10.8、4.8)－(0.2、2.8、7.2、4.8)。

-5.5－0.2=-5.7；
5－2.8=2.2；
10.8－7.2=3.6；
4.8－4.8=0。

其剩余首数列为
-5.7、2.2、3.6。

2 消去次高项的首数列。

因为上述剩余首数列的最高首数3.6是第三阶，所以，它是分离出去例题最高项后，第三阶增长数列的首数，所以，通式次高项的指数为3。

即通式的次高项为
A1X3。

（A1为待定常数）
与上述同理
A1=3.6÷3！=3.6÷6=0.6。

例题通式的次高项为
0.6X3。

与上述同理，
通式次高项的首数列=0.6×同次标准幂数列的首数列。

因为该次高项的幂指数是3，根据《标准幂数列首数表》3行，其标准幂数列的首数列为
1、6、6。

所以：
通式次高项的首数列=0.6（1、6、6）。

因为：
0.6×1=0.6；
0.6×6=3.6；
0.6×6=3.6。

所以次高顶的首数列为：
0.6、3.6、3.6。

将上述剩余首数列减去该次高项的首数列：
152
（-5.7、2.2、3.6）－（0.6、3.6、3.6）。

因为
-5.7－0.6=-6.3；
2.2－
3.6=-1.4；
3.6－3.6=0
其剩余首数列为
-6.3、-1.4。

3 消去三高项的首数列。

因为上述剩余首数列的最高首数-1.4是第二阶，所以，它是分离出去通式的最高项和次高项后，第二阶增长数列的首数，所以，通式第三项的指数为2。

即通式的第三项为
A2X2。

（A2为待定常数）
与上述同理
A2=-1.4÷2！=-1.4÷2=-0.7。

例题通式的第三项为
-0.7X2。

与上述同理，
通式第三项的首数列=-0.7×同次标准幂数列的首数列。

因为该第三项的幂指数是2，根据《标准幂数列首数表》2行，其标准幂数列的首数列为
1、2。

所以：
通式第三项的首数列=-0.7(1、2)。

因为：
-0.7×1=-0.7；
-0.7×2=-1.4。

所以第三顶的首数列为：
-0.7、-1.4。

153
154
将上述剩余首数列再减去该第三项的首数列：
（-6.3、-1.4）－（-0.7、-1.4）
-6.3－-0.7=-5.6
-1.4－-1.4=0
其剩余首数列为
-5.6。

因为该剩余首数列的最高首数-5.6是第一阶，所以，它是第一阶增长数列的首数，所以，通式第四项的指数为1。

所以，-5.6就是假定条件下通式一次项的系数。

只是，因为例题的自变数列并不符合标准，所以，-5.6也并不是一次项的真正系数。

所以，下面我们还要进行一步运算。

4 给上述假定条件下通式一次项的系数添加一个分母H ，使系数与原题相符。

因为当自变数列的公差H ≠1时，系数 A=N ！
H N 因变数列的最高首数。

因为本例题自变数列的公差H=2；因为一次项的指数n=1,因变数列的最高首数=-5.6。

代入上式得 A=！
126.51-=26.5-=-2.8。

这就是将自变量4调整为0后，例题通式一次项的系数，即我们所要求的导数。

答：x=4时该变量的导数为-2.8。

例题3-2-2-2：如下图所示，变量在平面坐标系内的曲线图
像是一条1800的园弧。

其直径为180，求其正对园心（即x=90
时）的弧顶的导数（即弧顶切线j 的斜率）？
解：
第一步：将所要求导数的点的自变量作为自变数列的首项，按求幂通式的要求提取计算依据。

例题3-2-2-2示意图
这一步我们需要确定3个问题：
1 自变数列的首项；
2 自变数列的公差；
3 计算依据数项的多少。

根据题意，我们要求的是正对园心的弧顶的导数（即弧顶切线j的斜率），因为园弧的直径为180，所以园心所在位置的自变量为90，即我们要求的是自变量x=90时的导数，所以我们将自变量90作为自变数列的首项；对于自变数列的公差和计算依据（数项）的多少来说，因为园弧不属于典型的幂函数，当我们用幂函数来描述它时，它是一个无穷多项式，所以，这里我们只能根据它的近似幂通式来求例题的近似值，在这种情况下，自变数列的公差越小，计算依据的数项越多，其计算结果的近似程度就越高；但是，因为本例题的计算依据只能用计算或者测量的方法来获取，所以，必定会有舍入的误差，所以，自变数列的公差太小，将导至因变数列项与项之间的差变小，误差的比重加大，也会引响精确度；而参加计算的数项越多，其计算的工作量也越大。

所以，这里我们将自变数列的公差定为1、计算依据的数项定为7。

所以，我们将自变数列确定为
90、91、92、93、94、95、96。

因为园弧的直径为180，其半径为90，所以，园心到园弧任何
155。