四川大学931高等代数2009年(回忆版)考研专业课真题试卷

X ′M
+ MX
= 0},∀X
∈ M 2r+1(F ), eX
=
∞ k =0
Xk k!
,
(1)求B的维数和一组基
（2）证明det(eX ) = 1
i
(3)设(,
)是F上的一个双线性型，ε = i
(0,...,1,...0),
i
=
1,
2,
..,
2r
+ 1.
M 是这个双线性型在上述基下的一个度量矩阵，证明对任意的α，β
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证明Ax=β 在F中有解当且仅当它在K中有解
2 2 −2
3.
A
=

2 −2
−1 4
−41 大概数字是这样吧，具体忘了
（1）A在F上是否相似与对角矩阵，说明理由 （2）求A的最小多项式 （3)f (X)=X′AX,求f (X)的一个标准形
4.好像是前几年的一个类似题吧，说明 A 与 B 在任何数域上都不相似，另一问忘记了，这 些忘记的题一般都不难，掌握方法都很简单的。呵呵
有(eXα, eXβ ) = (α , β )
五、证明数域 F 上的任意一个 n 元多项式都可以表示成一次齐次多项式幂的线性组合。
f (x)使得f (A) = 0
4.设 f (x) = 3x2 + 2x +1,α1，α2，α3是f (x)的三个根，求值
(α12
+
α
2α
3
)(α
2 2
+
α1α
3
)(α

2 3
+
α1α2
)
二、1.叙述并证明线性方程组的 Grammer 法则
F ⊆ K , A是F中矩阵，β是F中向量，
2.F,K 是数域且
三、设TA = {X ∈ M n (F ) A−1XA = X },V = ∩ T A∈Mn (F ): A ≠0 A ，即 V 是所有可逆矩阵构造出来
的TA 的交，求 dimV 和 V 的一组基。
四
、
2
M
=

0 0
0 0 Er
∑ 0
Er 0

,
B
=
{X
∈ M 2r+1(F )
09 川大高代
一、1. f (x)是数域F上的2008次多项式，证明2009 2不可能是f (x)的根
2. 用 代 数 基 本 定 理 证 明 R 上 的 不 可 约 多 项 式 只 有 一 次 多 项 式 或 者 满 足
b2 − 4ac < 0的二次多项式 : ax2 + bx + c
3. 不 用 hamilton-calay 定 理 证 明 对 数 域 F 上 的 n 阶 矩 阵 A ， 存 在 F 上 的 多 项 式