2012届高考数学第一轮复习强化训练 15.1《椭圆》新人教版选修1-1

15.1椭圆
【考纲要求】
1、了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2、掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.
3、了解椭圆的简单应用.
4、理解数形结合的思想. 【基础知识】 1、 椭圆的定义
平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆 （).ellipse 这两个定点12,F F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 1.2F F 叫做椭圆的焦距。

当平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F =的点的轨迹是线段
12F F ;
当平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F <的点的轨迹不存在. 2、 椭圆的标准方程
⑴设(,)x y 是椭圆上任意一点，椭圆焦点12,F F 的坐标分别为(,0),(,0)c c -又点M 与点
12,F F 的距离的和等于常数2(220),a a c >>则椭圆的标准方程是：22
221x y a b
+=（其中
222,0).b a c a b =->>
（2）设(,)x y 是椭圆上任意一点，椭圆焦点12,F F 的坐标分别为(0,),(0,)c c -又点M 与
点12,F F 的距离的和等于常数2(220),a a c >>则椭圆的标准方程是：22
221y x a b
+=（其中
222,0).b a c a b =->>
3、 椭圆的简单几何性质 标准方程
22
221(0)x y a b a b +=>> 22
22
1(0)y x a b a b +=>>
图形
范围 ,a x a b y b -≤≤-≤≤
,a y a b x b -≤≤-≤≤
对称性 既是中心对称，又是轴对称，原点是椭圆的对称中心，x 轴和y 轴是椭圆的
对称轴
顶点 (,0),(,0),(0,),(0,)a a b b --
(,0),(,0),(0,),(0,)b b a a --
离心率 (0,1)c
e a
=
∈， 焦点 (,0),(,0)c c -
(0,),(0,)c c -
焦距
222c a b =-）
长轴长 2a 短轴长 2b
准线方程 2
a x c
=±
2
a y c
=±
通径
2
2b d a
= 4、点00(,)p x y 和椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的位置关系
（1）点00(,)p x y 在椭圆外22
00221
x y a b ⇔+>
（2）点00(,)p x y 在椭圆上22
00221
x y a b ⇔+=
（3）点00(,)p x y 在椭圆内22
00221
x y a b
⇔+<
5、求椭圆的方程，用待定系数法，先定位，后定量。

如果不能确定，要分类讨论。

注意椭圆的一般方程为2
2
1(0,0.)mx ny m n m n +=>>≠，有时使用它很简单，可以优化计算。

6、椭圆的弦长公式：2
AB a
∆= 弦长公式对有斜率的直线才能使用，斜率不存在的直线A B AB y y =-;公式中k 表示直线的斜率，a 是直线和椭圆的方程组消去y 后化简后20ax bx c ++=中2x 的系数，
∆24b ac =-是20ax bx c ++=的判别式；20ax bx c ++=不一定是一元二次方程；如果是
先消去x ，则弦长公式变为2AB a
∆=，其中k 是直线的斜率，a 是2
0ay by c ++=中2
y 的系数，∆是2
0ay by c ++=的判别式。

7、点差法
在圆锥曲线中，如果已知弦的中点常利用点差法来构造方程组。

其基本步骤是设两点→代两点→作差。

使用点差法一般会得到直线的斜率和弦的中点的方程。

8、椭圆中涉及焦点时，注意运用椭圆的定义来解题。

【例题精讲】
例1 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝2
2
，点A 是椭圆上的一点，且点A
到椭圆C 两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆C 的方程；
(2)椭圆C 上一动点P (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为P 1(x 1，y 1)，求3x 1－4y 1
的取值范围．
解：(1)依题意知，2a ＝4，∴a ＝2. ∵e ＝c
a ＝
22
，∴c ＝2，b ＝a 2－c 2
＝ 2. ∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 2
2
＝1.
(2)∵点P (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为P 1(x 1，y 1)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
y 0－y 1x 0
－x 1
×2＝－1，y 0
＋y 1
2＝2×x 0
＋x
1
2
.
解得：x 1＝
4y 0－3x 05，y 1＝3y 0＋4x 0
5
. ∴3x 1－4y 1＝－5x 0.
∵点P (x 0，y 0)在椭圆C ：x 24＋y 2
2＝1上，
∴－2≤x 0≤2，则－10≤－5x 0≤10. ∴3x 1－4y 1的取值范围为[-10,10]．
例2 已知中心在原点的椭圆C 的一个焦点F (4,0)，长轴端点到较近焦点的距离为1，
A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)为椭圆上不同的两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若x 1＋x 2＝8，在x 轴上是否存在一点D ，使|DA |＝|DB |？若存在，求出D 点的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)由题设知c ＝4，a －c ＝1，∴a ＝5，b ＝3. ∴所求方程为x 225＋y 2
9
＝1.
(2)假设存在点D (x 0,0)，由|DA |＝|DB |， 则点D 在线段AB 的中垂线上， 又线段AB 的中点为⎝
⎛⎭
⎪⎫
4，
y 1＋y 22
， ∴线段AB 的中垂线方程为：
y －
y 1＋y 2
2
＝－
x 1－x 2
y 1－y 2
(x －4)． ① 又2125x ＋219y ＝1，2225x ＋229y ＝1， ∴22221212259
x x y y --+
＝0. ∴
x 1－x 2y 1－y 2＝－259·y 1＋y 2
8
. 在①中令y ＝0，∴－y 1＋y 22
＝
25(y 1＋y 2)
72
(x 0－4)．
∴x 0＝
6425，∴存在点D 为⎝ ⎛⎭
⎪⎫6425，0.
15.1椭圆强化训练
【基础精练】
1．椭圆x 24＋y 2
3
＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是 ( )
A.12
B.3
2
C ．1 D. 3 2．椭圆x 2a
2＋y 2
＝1(a ＞4)的离心率的取值范围是 ( )
A ．(0，
1516) B ．(0，154) C ．(1516，1) D ．(154
，1) 3．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2
－2x －15＝0的半
径，则椭圆的标准方程是 ( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 2
4＋y 2
＝1 D.x 216＋y 2
4
＝1 4.如图，A 、B 、C 分别为22
22x y a b
=1(a ＞b ＞0)的顶点与焦点，若∠
ABC =90°，则该椭圆的离心率为 ( )
A.
－1＋52 B ．1－22 C.2－1 D.2
2
5．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足1MF ·2MF ＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 ( ) A ．(0,1) B ．(0，12]
C ．(0，
22) D ．[2
2
，1) 6．已知椭圆x 29＋y 2
5＝1，过右焦点F 作不垂直于x 轴的弦交椭圆于A 、B 两点，AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则|NF |∶|AB |等于 ( ) A.12 B.13 C.23 D.14
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为1
2，焦距为8，则该椭圆的方程是
____________．
8．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心
率等于________．
9.如图Rt △ABC 中，AB =AC =1，以点C 为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在
AB 边上，且这个椭圆过A 、B 两点，则这个椭圆的焦距长为 .
10.如图，已知椭圆22
22x y a b
=1(a ＞b ＞0)，F 1
、F
2
分别为椭
圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另 一 点B .
(1)若∠F 1AB =90°，求椭圆的离心率；
(2)若2AF ＝22F B ，1AF ·AB ＝3
2，求椭圆的方程．
11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，离心率为1
2
，点P 是椭圆上异于顶点的任意
一点，过点P 作椭圆的切线l ，交y 轴于点A ，直线l ′过点P 且垂直于l ，交y 轴于点
B .
(1)求椭圆的方程．
(2)试判断以AB 为直径的圆能否经过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由．
12．已知直线l ：y ＝kx ＋2(k 为常数)过椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点B 和左焦点F ，直
线l 被圆x 2
＋y 2
＝4截得的弦长为d . (1)若d ＝23，求k 的值；
(2)若d ≥4
55，求椭圆离心率e 的取值范围．
【拓展提高】
1.设椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ，b ＞0)过M (2，2)，N (6，1)两点，O 为坐标原点．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，
B ，且OA ⊥OB ？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围；若不存在，说明
理由．
2.已知椭圆C ： x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为6
3
，短轴一个端点到右焦点的距离为 3.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为3
2
，求△AOB 面积的最大值．
【基础精练参考答案】
1.B 【解析】：右焦点F (1,0)，∴d ＝
32
. 2.D 【解析】：∵e ＝1－1a 2，a ＞4，∴154
＜e ＜1. 3.A 【解析】：由x 2＋y 2
－2x －15＝0， 知r ＝4＝2a ⇒a ＝2.
又e ＝c a ＝1
2
，c ＝1.
4.A 【解析】：|AB |2
＝a 2
＋b 2
，|BC |2
＝b 2
＋c 2
， |AC |2
＝(a ＋c )2
. ∵∠ABC ＝90°，
∴|AC |2
＝|AB |2
＋|BC |2
，即(a ＋c )2
＝a 2
＋2b 2
＋c 2
， ∴2ac ＝2b 2
，即b 2
＝ac . ∴a 2
－c 2
＝ac .
∴a c －c a
＝1，即1
e
－e ＝1. 解之得e ＝－1±5
2
，又∵e ＞0，
∴e ＝
－1＋5
2
. 5.C 【解析】：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a 、b 、c ， ∵1MF ·2MF ＝0，
∴M 点的轨迹是以原点O 为圆心，半焦距c 为半径的圆 又M 点总在椭圆内部，
∴该圆内含于椭圆，即c ＜b ，c 2
＜b 2
＝a 2
－c 2
.
∴e 2
＝c 2a 2＜12，∴0＜e ＜22
.
6.B 【解析】：本题适合于特值法．不妨取直线的斜率为1.右焦点F (2, 0)．直线AB 的方程为y ＝x －2.进而得AB 中点坐标，建立AB 的中垂线方程，令y ＝0，得到点N 的坐标，然后分别得到|NF |和|AB |的值．
7.
y 2
64
＋x 2
48
＝1解析：由题意知，2c ＝8，c ＝4， ∴e ＝c a ＝4a ＝1
2
，∴a ＝8，
从而b 2
＝a 2
－c 2
＝48， ∴方程是y 264＋x 2
48＝1.
8.
25
5
【解析】：由题意知椭圆的焦点在x 轴上，又直线x ＋2y －2＝0与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以b ＝1，c ＝2， 从而a ＝5，e ＝c a ＝25
5
.
9.
6【解析】：设另一焦点为D ，则由定义可知2∵AC +AD =2a ，
AC +AB +BC =4a ，又∵AC =1，
∴AD 2在Rt △ACD 中焦距CD 610解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝
22
.
(2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 其中，c ＝a 2
－b 2
，设B (x ，y )．
由2AF ＝22F B ⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c
2
，
y ＝－b 2
，即B (3c 2
，－b 2
)．
将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2
b 2＝1，得94
c 2a 2＋b 2
4b 2＝1，
即9c 2
4a 2＋1
4＝1， 解得a 2
＝3c 2
.①
又由1AF ·AB ＝(－c ，－b )·(3c 2，－3b 2)＝3
2
⇒b 2
－c 2＝1，
即有a 2－2c 2
＝1.②
由①，②解得c 2
＝1，a 2
＝3，从而有b 2
＝2. 所以椭圆方程为x 23＋y 2
2
＝1.
11.解：(1)∵2a ＝4，c a ＝1
2
，∴a ＝2，c ＝1，b ＝ 3.
∴椭圆的方程为x 24＋y 2
3＝1.
(2)设点P (x 0，y 0)(x 0≠0，y 0≠0)，
直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，代入x 24＋y 2
3＝1，
整理，得(3＋4k 2
)x 2
＋8k (y 0－kx 0)x ＋4(y 0－kx 0)2
－12＝0. ∵x ＝x 0是方程的两个相等实根， ∴2x 0＝－8k (y 0－kx 0)3＋4k 2
，解得k ＝－3x 0
4y 0. ∴直线l 的方程为y －y 0＝－3x 0
4y 0
(x －x 0)．
令x ＝0，得点A 的坐标为(0，2
200
434y x y )．
又∵x 204＋y 20
3
＝1，∴4y 20＋3x 2
0＝12.
∴点A 的坐标为(0，3
y 0
)
．
又直线l ′的方程为y －y 0＝4y 0
3x 0(x －x 0)，
令x ＝0，得点B 的坐标为(0，－y 0
3
)．
∴以AB 为直径的圆的方程为x ·x ＋(y －3y 0)·(y ＋y 03)＝0.整理，得x 2＋y 2
＋(y 03－3y 0
)y
－1＝0.
令y ＝0，得x ＝±1，
∴以AB 为直径的圆恒过定点(1,0)和(－1,0)．
12.解：(1)取弦的中点为M ，连结OM 由平面几何知识，OM ＝1，
OM 2
1
k +解得k 2=3，k =3∵直线过F 、B ，∴k ＞0， 则k 3(2)设弦的中点为M ，连结OM ， 则OM 2
=
24
1k +，
d 2=4(4-
241k +)≥45
)2
， 解得k 2
≥
14
. e 2
=2222
22()142154()c k a k k
==≤++， ∴0＜e 25
【拓展提高参考答案】
当直线AB 的斜率存在时， 令直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ， ①
将其代入椭圆E 的方程并整理得 (2k 2
＋1)x 2
＋4kmx ＋2m 2
－8＝0. 由根与系数的关系得
x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2
－8
2k 2＋1
.
②
因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.
③
把①代入③并整理得
(1＋k 2
)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2
＝0. 联立②得m 2＝83
(1＋k 2
)．
④
因为直线AB 和圆相切，因此R ＝|m |1＋k
2
，
由④得R ＝26
3
，
所以存在圆x 2＋y 2
＝83
满足题意．
当切线AB 的斜率不存在时，易得21x ＝2
2x ＝83，
由椭圆E 的方程得21y ＝2
2y ＝83，显然OA ⊥OB .
综上所述，存在圆x 2＋y 2
＝83满足题意．
法一：当切线AB 的斜率存在时，由①②④得
|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2
(x 1－x 2)2
＝1＋k
2
(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2
＝1＋k 2
(－4km 2k 2＋1)2－4×2m 2
－82k 2＋1
＝4 2
k 2＋12k 2
＋1 1－23×k 2
＋12k 2＋1
. 令t ＝k 2＋12k 2＋1，则12
＜t ≤1，
因此|AB |2
＝32t (1－23t )＝－643(t －34)2＋12.
所以323≤|AB |2
≤12，
即463
≤|AB |≤2 3.
当切线AB 的斜率不存在时，易得|AB |＝46
3
， 所以
46
3
≤|AB |≤2 3. 综上所述，存在圆心在原点的圆x 2＋y 2
＝83满足题意，且463≤|AB |≤2 3.
法二：过原点O 作OD ⊥AB ，垂足为D ，则D 为切点， 设∠OAB ＝θ，则θ为锐角， 且|AD |＝
263tan θ，|BD |＝26
3
tan θ.
所以|AB |＝263(tan θ＋1
tan θ)．
因为2≤|OA |≤22，所以
2
2
≤tan θ≤ 2. 令x ＝tan θ，易证：当x ∈[
2
2
，1]时， |AB |＝263(x ＋1x
)单调递减．
当x ∈时，|AB |＝263(x ＋1
x
)单调递增． 所以
46
3
≤|AB |≤2 3. 2.解：(1)设椭圆的半焦距为c
，依题意c a a ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
∴b ＝1.∴所求椭圆方程为x 2
3＋y 2
＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ①当AB ⊥x 轴时，|AB |＝3，
②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .由已知|m |1＋k
2
＝32，得m 2
＝34
(k 2＋1)，把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理得
(3k 2
＋1)x 2
＋6kmx ＋3m 2
－3＝0 ∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2
－1)3k 2＋1.
∴|AB |2
＝(1＋k 2
)(x 2－x 1)2
＝(1＋k 2
)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤36k 2m 2
(3k 2＋1)2－12(m
2
－1)3k 2
＋1 ＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2
＋1)
(3k 2＋1)2
＝3＋12k
2
9k 4＋6k 2
＋1
＝3＋12
9k 2
＋1k
2＋6
(k ≠0) ≤3＋
12
2×3＋6
＝4.
当且仅当9k 2
＝1k 2，即k ＝±33时等号成立|AB |＝2.
当k ＝0时，|AB |＝3， 综上所述，|AB |max ＝2.
∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值，
S＝1
2
×|AB|max×
3
2
＝
3
2
.。