数学模型期末复习总结

10级数学模型期末复习
一 作业总结（仅供参考）：
1、 列举符合logistic 阻滞增长模型的实例，并阐述其符合的机
理。

2、（第二章习题 7）在超市购物时你注意到大包装的商品比小包装的商品便宜这种现象了么？
（1）分析商品价格c 与商品重量w 的关系。

价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w 成正比，有的与表面积成正比，还有与w 无关的；
（2）给出单位重量价格c 与w 的关系。

参考解答：
（1） 生产成本主要是与重量w 成正比，包装成本主要是与表面
积s 成正比，其他成本也包含与w 和s 成正比的部分上
述三种成本中都含有与w,s 均无关的成分。

又因为形状
一定时一般有
32w s ∝，故商品的价格可表示为λβ++=3
2w aw c
（2） 单位重量价格131−−++==w w a w C c λβ,c 是w 的减函数，同时该函数是下凸函数，说明单价的减少值随着包装的
变大是逐渐降低的，并不是追求过大的包装。

2、 人文科学模型，一名律师为其当事人辩护的问题
在模型中我们通过建立模型解决了辩护人在30英尺高度下跳落地瞬间是会受伤的。

但是该辩护是否合理？
参考解答：
我们需要继续考虑犯罪现场的地势情况，地面的软硬度直接决定了犯罪嫌疑人是否受伤，因此我们考虑建立的参考模型为
22
1=mv FS 3、 钓鱼比赛问题
在钓鱼比赛过程中我们只考虑鱼的长短，如果要考虑鱼的胖瘦该如何建立该问题的数学模型，并给出参赛选手一个简洁的方法。

参考解答：
参考建立模型：其中s 表示腰围，l 表示鱼长
l ks M 2
=
方法是给每个参赛选手发一卷皮尺和一个对照卡，实现选手对所吊鱼重量的确定
4、 核军备竞赛问题
参考解答：
【1】 甲方提高导弹导航系统的性能；
甲方提高导弹系统的导航能力，即甲方的打击精度提升。

则乙方导弹的残存率变小，同时引起乙方的威慑值变大，则乙方曲线整体上移且变陡，从而平衡点向右上方移动；
【2】 甲方增加导弹爆破的威力；
甲方增加导弹爆破的威力，则甲方的威慑值相应变小，乙方的导弹残存率变小，甲方导弹曲线向左平移，从而平衡点向左下方平移；
【3】 甲方发展电子干扰系统；
甲方发展电子干扰系统，则乙方的威慑值变大，甲方的残存率变大，则乙方的曲线上移，甲方的曲线变陡。

平衡点向左上方移动；
【4】 双方发展反导弹系统
则双方的威慑值和残存率均变大，威慑值变大，双方曲线均上移，平衡点向右上方移动；残存率变大，双方曲线均变平缓，双方曲线应向左下方移动，因此综合来看影响通过图示法无法确定；
5、湖水污染模型
6、森林救活问题的模型
在森林救活模型中，如果考虑消防队员的灭火速度与开始救
火时的火势有关，试建立一个合理的数学模型。

参考答案：救火速度是初始火势的减函数。

7、匀速行走步长多大最省力（仅供参考）
参考解答：
模型假设
为了简化问题，先做如下假设：
1．人行走时所作的功由两部份组成：抬高人体重心所需势
能与两腿前后运动所需动能。

暂不考虑负重（划定主要因素）。

2．运动与所穿鞋子、衣服情况无关，地面是相对平坦而干
燥的（舍弃次要因素）。

3．人的行走可视为腿（直杆）绕腰部的转动（理想化表达）。

4．设定下列参量：
人的体重M.人的腿重m ；人的腿长l ；行走速度v ；步长 s, 单位时间行走的步数为n;
有了以上分析和假设，我们只须根据物理中的势能公式和动能公式计算出运动所做的势能和动能（他们自然是步长的函数），然后求其最小值即可。

示意图：
重心升高的势能
)a cos l l (mg H —=
ns v ,a sin l s =2=
则单位时间克服势能做功为:
)a cos (a
sin s nmg )a cos l l (nmg nH ——12==由于腿的摆动所作的动能:
腿的转动惯量为：
l
v w ,ml I =3=2
角速度 所以单位时间行走所需的动能为： a sin l v )l v (ml s v Iw W 2321=2
1=222
二、期末考试范围
（一）建模方法论 电饭煲的销售问题； 飞行管理问题 律师辩护问题
（二）初等模型
1、双层玻璃窗的功效
2、钓鱼比赛模型
3、核军备竞赛
（三）简单优化模型
1、生猪的出售时机
2、森林救火模型
（四）微分方程模型
1、传染病模型
2、湖水污染模型
（五）离散模型
1、减肥计划模型
2、房屋贷款模型
3、层次分析法解决问题
（六）微分方程稳定性模型
1、捕鱼业的持续增长
（七）数学规划模型
1、汽车生产和原油采购
（八）实验
三、试卷题型
1 填空题；
2 简答题；
3 模型分析题
4 计算题
四、成绩：
卷面成绩*80%+平时成绩*100%（实验（10%），作业（10%））=100。