新初中数学方程与不等式之分式方程难题汇编及答案解析

新初中数学方程与不等式之分式方程难题汇编及答案解析
一、选择题
1．解分式方程221112
x x x x --=--时，去分母后所得的方程正确的是（ ） A ．220x x -+= B ．4241x x x -+=-
C ．4241x x x +-=-
D ．221x x x +-=- 【答案】C
【解析】
【分析】
根据等式的性质，方程两边同时乘以最简公分母2（x-1），整理即可得答案．
【详解】 ∵
221112x x x x --=--， ∴221112
x x x x -+=--， 方程两边同时乘以最简公分母2（x-1）得：4x+2(x-2)=x-1，
去括号得：4x+2x-4=x-1，
故选：C ．
【点睛】
本题考查解分式方程，正确得出最简公分母是解题关键．
2．若数a 使关于x 的不等式组()3x a 2x 11x 2x 2⎧-≥--⎪⎨--≥⎪⎩
有解且所有解都是2x+6＞0的解，且使关于y 的分式方程
y 51y --+3=a y 1
-有整数解，则满足条件的所有整数a 的个数是（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2 【答案】D
【解析】
【分析】
由不等式组有解且满足已知不等式，以及分式方程有整数解，确定出满足题意整数a 的值即可．
【详解】 不等式组整理得：13x a x ≥-⎧⎨≤⎩
， 由不等式组有解且都是2x+6＞0，即x ＞-3的解，得到-3＜a-1≤3，
即-2＜a≤4，即a=-1，0，1，2，3，4，
分式方程去分母得：5-y+3y-3=a ，即y=
22
a -， 由分式方程有整数解，得到a=0，2，共2个，
故选：D ．
【点睛】 本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同．设原计划平均每天生产x 个零件，根据题意可列方程为（ ）
A ．60045025x x
=- B ．60045025x x =- C ．60045025x x =+ D ．60045025
x x =+ 【答案】C
【解析】
【分析】 原计划平均每天生产x 个零件，现在每天生产（x+25）个，根据现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同即可列出方程.
【详解】
由题意得：现在每天生产（x+25）个， ∴
60045025x x
=+， 故选：C.
【点睛】 此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是列方程的关键.
4．若关于x 的分式方程2x x -﹣12m x
--=3的解为正整数，且关于y 的不等式组2()522
12
6m y y y ⎧-≤⎪⎪⎨+⎪+>⎪⎩至多有六个整数解，则符合条件的所有整数m 的取值之和为（ ） A ．1
B ．0
C ．5
D ．6
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出一元一次不等式组的解集，根据“不等式组的解至多有六个整数解”确定m 的取值范围，再解分式方程，依据“解为正整数”进一步确定m 的值，最后求和即可．
【详解】
解：化简不等式组为
25
632
y m
y y
-≤
⎧
⎨
+>+
⎩
，
解得：﹣2＜y≤
5
2
m+
，
∵不等式组至多有六个整数解，
∴
5
2
m+
≤4，
∴m≤3，
将分式方程的两边同时乘以x﹣2，得x+m﹣1=3（x﹣2），
解得：x=
5
2
m+
，
∵分式方程的解为正整数，
∴m+5是2的倍数，
∵m≤3，
∴m=﹣3或m=﹣1或m=1或m=3，∵x≠2，
∴
5
2
m+
≠2，
∴m≠﹣1，
∴m=﹣3或m=1或m=3，
∴符合条件的所有整数m的取值之和为1，
故选：A．
【点睛】
本题考查分式方程的解法、解一元一次不等式组；熟练掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，是解题关键，分式方程切勿遗漏增根的情况是本题易错点．
5．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与做60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（）
A．9060
6
x x
=
-
B．
9060
6
x x
=
+
C．
9060
6
x x
=
-
D．
9060
6
x x
=
+
【答案】A 【解析】
解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x﹣6）个零件，由题意得：9060
6
x x
=
-
．故
选A．
6．对于非零实数a、b，规定a⊗b＝21
a
b a
-．若x⊗（2x﹣1）＝1，则x的值为（）
A ．1
B ．13
C ．﹣1
D ．-13
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】 解：根据题中的新定义可得：()21x x ⊗-=
21121x x x
-=-， 解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解，
故选A ．
【点睛】 本题考查了新定义、解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
7．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别一点M N 、为圆心，大于
12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P . 若点P 的坐标为11,423a a ⎛⎫ ⎪-+⎝⎭
，则a 的值为( )
A ．1a =-
B ．7a =-
C ．1a =
D ．13
a = 【答案】D
【解析】
【分析】 根据作图过程可得P 在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角
的两边的距离相等可得11=423
a a -+，再根据P 点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a 的数量关系．
【详解】
根据作图方法可得点P 在第二象限角平分线上，
则P 点横纵坐标的和为0，
故11+423
a a -+=0， 解得：a=
13. 故答案选：D.
【点睛】
本题考查的知识点是作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质.
8．若关于x 的方程
244x a x x =+--有增根，则a 的值为（ ） A ．-4
B ．2
C ．0
D ．4 【答案】D
【解析】
【分析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．让最简公分母x-4=0，得到x=4．再将x=4代入去分母后的方程即可求出a=4.
【详解】
解：由分式方程的最简公分母是x-4，
∵关于x 的方程
244
x a x x =+--有增根， ∴x-4=0，
∴分式方程的增根是x=4． 关于x 的方程
244
x a x x =+--去分母得x=2(x-4)+a, 代入x=4得a=4
故选D ．
【点睛】 本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
9．解分式方程
11222x x x -+=--的结果是（ ） A ．x="2"
B ．x="3"
C ．x="4"
D ．无解
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
解：去分母得：1﹣x+2x ﹣4=﹣1，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
故选D ．
考点：解分式方程．
10．“绿水青山就是金山银山”某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原来计划提高了25%，结果提前30天完成了这任务，设原计划工作时每天绿化面积为x 万平方米，则下面所到方程中正确的是（ ）
A ．()006060-30x 125x =+
B ．()6060-30125%x x
=+ C ．
()60125%60-30x x
⨯+= D ．()60125%60-30x x ⨯+= 【答案】A
【解析】
【分析】 根据实际工作时每天的工作效率比原来计划提高了25%，结果提前30天完成了这任务，可
列出方程．
【详解】 解：设原计划工作时每天绿化面积为x 万平方米，则根据题意可得：
()00606030125x x
-=+， 故答案为：A ．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
11．从4-，1-，0，2，5，8这六个数中，随机抽一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩
无解，且关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解，则符合条件的a 的值的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
由不等式组无解确定出a 的一个取值范围、由分式方程其解为非负数确定a 的一个取值范围，综上可确定a 的最终取值范围，根据其取值范围即可判定出满足题意的值．
【详解】 解：0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩①②
解①得，x a <
解②得，2x ≥
∵不等式组无解
∴2a ≤ ∵2233y a y y
-+=-- ∴83
a y -= ∵关于y 的分式方程
2233y a y y -+=--有非负数解 ∴803a y -=≥且833
a -≠ ∴8a ≤且a≠-1
∴综上所述，2a ≤且1a ≠-
∴符合条件的a 的值有4-、0、2共三个．
故选：C
【点睛】
本题考查了不等式（组）的解法、分式方程的解法，能根据已知条件确定a 的取值范围是解决问题的关键．
12．已知A 、C 两地相距40千米，B 、C 两地相距50千米，甲乙两车分别从A 、B 两地同时出发到C 地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C 地．设乙车的速度为x 千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）
A ．405012
x x =- B ．405012x x =- C ．405012x x =+ D ．405012x x
=+ 【答案】B
【解析】 试题解析：设乙车的速度为x 千米/小时，则甲车的速度为（x-12）千米/小时， 由题意得，
405012x x
=-． 故选B ．
13．若分式方程2+1kx
x2
-
-
＝
1
2x
-
有增根，则k的值为（）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分式方程有增根得到x=2，将其代入化简后的整式方程中求出k即可.
【详解】
解：分式方程去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx＝﹣1，
由题意将x＝2代入得：1﹣2k＝﹣1，
解得：k＝1．
故选：C．
【点睛】
此题考查分式方程的增根，由增根求方程中其他未知数的值，根据增根的定义得到方程的解是解题的关键.
14．已知甲车行驶35千米与乙车行驶45千米所用时间相同，且乙车每小时比甲车多行驶15 千米，设甲车的速度为x千米/小时，依据题意列方程正确的是
A．3545
15
x x
=
-
B．
3545
+15
x x
=C．
3545
-15
x x
=D．
3545
+15
x x
=
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据甲车的速度为x千米/小时，表示出乙车的速度为（x+15）千米/小时，再根据关键是语句“甲车行驶35千米与乙车行驶45千米所用时间相同”列出方程即可．
【详解】
解：设甲车的速度为x千米/小时，则乙车的速度为（x+15）千米/小时，由题意得：3545
+15
x x
=，
故选D．
【点睛】
此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，表示出甲乙两车的速度，再根据关键是语句列出方程即可．此题用到的公式是：路程÷速度=时间．
15．如果关于x的分式方程有负数解，且关于y的不等式组
无解，则符合条件的所有整数a的和为（）
A．﹣2 B．0 C．1 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
解关于y的不等式组，结合解集无解，确定a的范围，再由分式方程
有负数解，且a为整数，即可确定符合条件的所有整数a的值，最后求所有符合条件的值之和即可．
【详解】
由关于y的不等式组，可整理得
∵该不等式组解集无解，
∴2a+4≥﹣2
即a≥﹣3
又∵得x＝
而关于x的分式方程有负数解
∴a﹣4＜0
∴a＜4
于是﹣3≤a＜4，且a为整数
∴a＝﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3
则符合条件的所有整数a的和为0．
故选B．
【点睛】
本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．
16．若关于x的分式方程
3
2
22
x m m
x x
+
+=
--
有增根，则m的值为（）
A．1-B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程，满足即可．
【详解】
解：方程两边都乘x﹣2，
得x+m﹣3m＝2（x﹣2），
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣2＝0，
解得x＝2，
当x＝2时，2+m﹣3m＝0，
∴m＝1，
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式方程的增根，难度适中．确定增根可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定可能的增根；
②化分式方程为整式方程；
③把可能的增根代入整式方程，使整式方程成立的值即为分式方程的增根．
17．2017年，全国部分省市实施了“免费校车工程”．小明原来骑自行车上学，现在乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．已知小明家距学校5千米，若校车速度是他骑车速度的2倍，设小明骑车的速度为x千米/时，则下面所列方程正确的为()
A．5
x
＋
1
6
＝
5
2x
B．
5
x
＝
5
2x
＋
1
6
C．
5
x
＋10＝
5
2x
D．
5
x
－10＝
5
2x
【答案】B
【解析】
【分析】
设小明骑车的速度为x千米/小时，校车速度为2x千米/小时，等量关系为：小明骑车所走的时间减去校车所走的时间=10分钟，据此列方程．
【详解】
设小明骑车的速度为x千米/小时，校车速度为2x千米/小时，
由题意得, 5
x
＝
5
2x
＋
1
6
所以答案为B.
【点睛】
本题考查了分式方程，解题的关键是根据实际问题列出分式方程.
18．《九章算术》中记录的一道题目译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（）
A．900900
2
13
x x
⨯=
+-
B．
900900
2
13
x x
=⨯
+-
C．900900
2
13
x x
⨯=
-+
D．
900900
2
13
x x
=⨯
-+
【答案】A
【解析】
【分析】
设规定时间为x 天，可得到慢马和快马需要的时间，根据快马的速度是慢马的2倍的速度关系即可列出方程．
【详解】
解：设规定时间为x 天，则慢马需要的时间为（x +1）天，快马的时间为（x -3）天， ∵快马的速度是慢马的2倍 ∴
900900213
x x ⨯=+- 故选A ．
【点睛】 本题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程．
19．某农场开挖一条480米的渠道，开工后，实际每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，那么所列方程正确的是（ ）
A ．
480x ＋480+20x ＝4 B ．480x －480+4x ＝20 C ．480x －480+20x ＝4 D ．4804x -－480x
＝20 【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意列出方程即可．
【详解】
由题意得 480x －480+20
x ＝4 故答案为：C ．
【点睛】
本题考查了分式方程的实际应用，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
20．关于x 的分式方程
2x a 1x 1+=+的解为负数，则a 的取值范围是( ) A ．a 1>
B ．a 1<
C ．a 1<且a 2≠-
D ．a 1>且a 2≠ 【答案】D
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于a 的不等式，求出不等式的解集即可确定出a 的范围．
【详解】
分式方程去分母得：x 12x a +=+，即x 1a =-，
因为分式方程解为负数，所以1a 0-<，且1a 1-≠-，
解得：a 1>且a 2≠，
故选D ．
【点睛】
本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程的一般步骤及注意事项是解题的关键.注意在任何时候都要考虑分母不为0．。