高中数学 专题2.4.3 直线与抛物线的位置关系测试(含解析)新人教A版选修2-1(2021年整理)

高中数学专题2.4.3 直线与抛物线的位置关系测试（含解析）新人教A版选修2-1
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直线与抛物线的位置关系
（时间：25分，满分55分）
班级姓名得分
一、选择题
1．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点,若AB中点的横坐标为2，则k＝( ）A．2或－2 B．－1
C．2 D．3
[答案] C
［解析] 由错误!得k2x2－4（k＋2)x＋4＝0，
则错误!＝4，即k＝2.
2．抛物线y＝1
4
x2的焦点关于直线x－y－1＝0的对称点的坐标是( )
A．(2，－1) B．(1,－1)
C．(错误!，－错误!）D．（错误!，－错误!)
［答案］A
［解析] y＝错误!x2⇒x2＝4y，焦点为(0，1),其关于x－y－1＝0的对称点为（2,－1)．3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点O为坐标原点，则错误!·错误!的值是( ）
A．12 B．－12
C．3 D．－3
[答案］D
4．过抛物线y2＝4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( ）
A．有且仅有一条B．有且仅有两条
C．有无穷多条D．不存在
[答案］B
[解析］由定义|AB｜＝5＋2＝7，
∵｜AB｜min＝4,∴这样的直线有两条．
5．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若｜AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是（）A．1 B．2
C.错误!D．错误!
[答案］D
[解析］如图所示，设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A′，Q，B′，由题意得｜AA′|＋|BB′｜＝｜AB|＝4，｜PQ｜＝错误!＝2,又|PQ|＝y0＋1
，∴y0＋错误!＝2，∴y0＝错误!.
8
6．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若错误!＋错误!＋错误!＝0，则｜错误!|＋｜错误!|＋|错误!|等于( ）
A．9 B．6
C．4 D．3
[答案] B
［解析] 设A、B、C三点坐标分别为(x1,y1)、(x2，y2）、(x3，y3)．由题意知F（1，0），因为错误!＋错误!＋错误!＝0，所以x1＋x2＋x3＝3.根据抛物线定义，有｜错误!|＋|错误!|＋｜错误!｜＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝3＋3＝6.故选B.
二、填空题
7．已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2 m时,量得水面宽8 m,当水面升高1米后，水面宽度是________m.
［答案］4错误!
8．已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，A在抛物线上,且|AF｜＝4，则|PA｜＋｜PO｜的最小值是__________________．
[答案］2错误!
9．已知P（4，2）是直线l被椭圆错误!＋错误!＝1截得线段的中点,则直线l的方程为________．解：线段两端点为A（x1,y1),B（x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4。

∵A,B在椭圆上，∴错误!
两式相减得
（x1－x2）（x1＋x2）
＝－错误!.
36
∵x1≠x2，∴k AB＝错误!＝－错误!＝－错误!.
∴直线l的方程为x＋2y－8＝0.
故填x＋2y－8＝0。

10．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点,过点P（－1，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点．若错误!＝2错误!，则直线l的斜率等于________．
解：设A（x1，y1），B(x2,y2），直线l的方程为y＝k(x＋1）,联立错误!得k2x2＋(2k2－4）x＋k2＝0,由错误!解得k∈(－1，0)∪(0，1),x
＋x2＝－错误!＝－2＋错误!，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2k
1
＝错误!，设Q(x0，y0)，则x0＝错误!＝－1＋错误!，y0＝错误!＝错误!，即Q错误!，又F(1，0)，∴错误!＝错误!＝2错误!，解得k＝±错误!。

故填±错误!。

三、解答题
11．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上且BC∥x轴，证明直线AC经过原点O。

[解析］因为抛物线y2＝2px（p>0)的焦点为F(错误!,0），
所以经过点F的直线AB的方程设为：x＝my＋错误!代入抛物线方程得:y2－2pmy－p2＝0若记A(x1，y1)，B（x2，y2）,则y1、y2是该方程的两个根，所以y1y2＝－p2
因为BC∥x轴,且点C在准线x＝－错误!上，
所以点C的坐标为(－错误!，y2),
故直线CO的斜率为：k＝错误!＝错误!＝错误!，
即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点．
12．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
（1）求证:OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于10时,求k的值．
[解析] （1）如图所示，由错误!消去x得，ky2＋y－k＝0.
∴S△OAB＝错误!·1·错误!
＝错误!错误!.
∵S△OAB＝10,
∴错误!＝错误!错误!，解得k＝±错误!。