基于SVD图像压缩技术研究

Technology Research of Image Compression Based on S V D
陈一虎 Chen Yih u
（宝鸡文理学院，宝鸡 721013）
（Baoji Un i versity of Arts and Sciences ，Baoji 721013，Chin a ）
摘 要 ： 数字图像处理方法的研究源于两个主要领域：一是便于人们分解图像，对图像信息进行改进；二是使机器能自动理解图像。

后者正是
我们所要研究的内容。

众所周知，在计算机中，图像是通过矩阵来表示的，一幅图像对应着一个矩阵，对图像的压缩就转换成了对矩阵的处理。

在
数学中，对矩阵进行奇异值分解可以把一个矩阵分解成只用几个数来表示，而且这种分解具有很好的稳定性、唯一性和自相似性。

通过这种方
法，就能用比较少的数据来表示相应的图像。

本文就是通过对图像的矩阵进行奇异值分解，将一幅图像转换成只包含几个非零值的奇异值矩
阵， 实现图像压缩。

Abstr ac t ： The theory about DIP (D i g i ta l Image Processing) i s used in two fi l e d. One i s the i m provement of the i nforma ti on about i ma g e , and the
other i s the saving, transport and display. And the l a tter i s the object that we researched. It i s we ll known that the graph i s presented by matri x i n
computer. So we can de a l w ith a graph by using the matrix. In m ath by using the mu l ti resolu ti on SVD, the matrix can be decomposed into just a few
numbers, and the decompos i ti on i s very stable, un i qu e , and se l f -s i mi l a r. By this method ，we can express di g i ta l i ma g e w itn l e ss data. This paper propos es a
mu l ti resolu ti on form of the sin g u l a r va l u e decompos i ti o n (SVD), and shows how it may be used for si g n a l a n a l ysi s and a pprox ima ti on. D i g i ta l i ma g e i s
transformed into s in g u l a r va l u e matrix that conta i n s nonzero sin g u l a r va l u e s by s in g u l a r va l u e decompos i ti on (SVD) so that the i ma ge i s compre sse d.
关 键 词 ： 图像压缩；矩阵；奇异值分解
Key w o r d s ： i ma g e depre ss ；ma tr i x ；s in g u l a r va l u e decompos i ti on
文 章 编 号 ：1006-4311（2011）13-0169-02
中 图 分 类 号 ：TP319 文 献 标 识 码 ：A 存储和传输问题。

有损压缩方法也称为信息量压缩方法，利用了人类视觉或听觉
对图像或声音中的某些频率成分不敏感的特性，允许压缩过程中损
失一定的信息，
也就是说解码图像和原始图像是有差别的，允许有 一定的失真。

所损失的部分对理解原始图像的影响较小，
却换来了 很高的压缩比，如矢量量化，自适应量化法，基于模型的编码，神经
网络编码，分形编码，小波编码，混合编码等。

有损压缩广泛应用于
语音、图像和视频数据的压缩，图像压缩是图像传输的前提。

矩阵的
奇异值分解，可以将任意一个矩阵分解成只包含几个非零值的奇异
值矩阵，将其用于图像分解，则可以产生图像的压缩。

矩阵计算及分析在工程技术中被广泛的应用，特别是利用矩阵 的分解可以将许多实际问题转化，
使之迎刃而解。

在诸多的矩阵分 1 图像压缩的背景 图像压缩编码研究在中国起步较晚。

进入 21 世纪以来，我国多 媒体信息产业在生产和科研方面都加快了发展速度，但就其发展过 程来说，可以分成三个阶段：第一代，着重于图像信息冗余度的压缩 方法；第二代，着重于图像视觉冗余信息的压缩方法；第三代，基于 模型的图像压缩方法。

图像压缩所要解决的问题是研究如何最大限度的压缩图像数 据，并保证利用这些数据所重建的图形是用户能够接受的。

图像编 码与压缩，从本质上来说，就是对要处理的图像原数据用一定的规 则进行变换和组合，从而以尽可能少的代码（符号）来表示尽可能多 的数据信息。

数字图像压缩主要分为有损压缩和无损压缩，各自在不同的领 域发挥着不同的作用。

要求高精确恢复的主要使用无损压缩技术， 解方法中，有一种具有优良性质的完全正交分解——奇异值分解，
比如文本文档的压缩。

对精度要求不太高的压缩常常使用有损压 缩，这样可以大大节省空间。

在有损压缩中用得最普遍的主要是离 散余弦变换和小波变换，近几年，分形压缩也比较热门，而且有着比 较高的压缩比。

无损压缩也称冗余度压缩方法，利用数据的统计冗余进行压 缩，具体来说就是解码图像和压缩编码前的数据严格相同，没有失 真，从数学上讲是一种可逆运算。

但压缩率受到数据统计冗余度的 理论限制，一般为 2:1 到 5:1 之间。

这类方法广泛用于文本数据、程 序和指纹图像、医学图像等特殊应用场合的图像数据的压缩。

由于 压缩比的限制，仅使用无损压缩方法不可能解决图像和数字视频的 ————————————
基 金 项 目 ：陕西省教育厅科学研究计划项目(N o :09JK329；2010JK400)；陕西 省自然科学基础研究计划项目(N o :2009JM1013)；宝鸡文理学院科 研计划项目(N o :ZK10115) 作 者 简 介 ：陈一虎（1975－），男，陕西宝鸡人，硕士，讲师，研究方向为智能算 法与图像处理。

该方法理论的诞生可以说有近百年的历史，而被用到工程领域还是
随着计算机的发展和信息工程的需求，于本世纪 70 年代初开始被
广泛的应用到处理矩阵有关秩的问题中，并且在许多领域展示了其
威力。

它的核心是在不改变矩阵秩度量的前提下，给出有效秩，并在
某种意义下给出矩阵秩的最佳逼近。

在图像处理中应用 SVD(奇异
值分解)的主要理论背景是：①图像奇异值的稳定性非常好，即当图
像被施加小的扰动时，图像的奇异值不会有大的变化；②奇异值所
表现的是图像内蕴特性而非视觉特性。

2 奇异值分解的基本原理
任意一个 N ×N 的矩阵 A 都可以写成 A =US V T 。

其中，U 和 V
T T 的列分别是 AA 和 A A 的特征向量。

如果 A 是对称的，则 U=V .S
为 N ×N 的对角阵，沿其对角线包含 Λ 的奇异值。

由于 U 和 V 是
T 正交的，所以 S=U AV 这个变换称为奇异值分解变换。

由于 S 是对 角阵，所以它至多有 N 个非零元素，这样我们至少获得 N 倍的无损 压缩。

通常，奇异值中总有一些小到可以忽略，而几乎不会带来误差 图 1 为变 M -T 法确定正弦机发送频率流程。

表 2 是对等速跟
踪各速度值下的发送频率进行的计算验证。

计算结果表明在各个速
度、范围内做等速跟踪试验，Δt 时间内发送的角位置信号的阶跃值 ΔW 都很小，满足输出波形平滑性的要求。

参 考 文 献 ： [1]王胜勇，韩月秋，陈禾.基于 DDS 的固定频率正弦信号发生器的改进 [J].电子元器件，
2006（4）：11-13. [2]陈子为，李成飞.基于 DSP 的参数可调的波形发生器设计[J].微计算机 信息，2010，26（2）：153-155. [3]毛群，王仕旭.基于 FPGA 和 DDS 技术的正弦信号发生器设计[J].现代 电子技术，2010（9）：118-120. 4 总 结 根据该高炮随动系统测试的实际特点，通过对固定发送频率方
的特征值。

这样，可以通过忽略一些较小的值，来实现有损压缩，获 值分解后的效果；图 1（c ）为用奇异值压缩后所还原的图片，可以看
得更高的压缩比。

从线性代数的角度看，一幅灰度图像可以被看成是一个非负矩 阵。

若一幅图像用 A 表示定义为 A ∈R n×n （为方便起见，以后均只对 方阵进行讨论），其中 R 表示实数域。

则矩阵 A 的奇异值分解定 义如下
出若选择的压缩程度不一样，还原的图片的质量也有很大的差别，
如果选择了最高的压缩比，得到的图像和原图像相比失真度就很大
了；图 1（d ）是误差图像，也就是原图像和还原图像之间的误差。

相
应的压缩标准的不同得到的误差图像也不一样。

本程序目前只能读取格式为 bmp 的灰度图片。

程序的主体部 分用了 MATL AB 自带的 SVD 奇异值分解程序、IMR EA D 图像读取 程序、IMSH OW 图像表现程序、B LKPR OC 图像分割处理程序；界面 采用 MATLA B 的标准 GUIDE 设计。

其具体流程如下：首先读取一 幅 bmp ；图片，把它转换为灰度图像，然后再将其转换为可操作的矩 T （1） A=USV 其中 U ∈R n ×n 和 V ∈R n×n 均为正交阵，S ∈R n ×n 为对角阵，上标 T 表示矩阵转置。

关于矩阵奇异值分解的证明： 阵，再把矩阵分割成 16×16 的小块，对这些小块进行奇异值分解，然
设 A 是 M ×N 矩阵，且 rank （A ）=r 则存在 M 阶酉矩阵 U 和 N ， 后再合并成一整张图像，最后的图像是各个环节的最终结果。

本程 阶酉矩阵 V 使得 序在 MATLAB 7.0 的环境下能够成功的运行。

如下截图所示，L ow 为选择前 8 个特征值，mid 为选择前 4 个特 UAV = 00 0 0 T ∑ 0 （2） 征值， high 为选择前 2 个特征值。

按钮 误差图像 是是否打开误差 “ ” 其中∑=dia g （σ1 ，…，σn ）且 0燮σr 燮σr-1 燮…燮σ1 图像的开关，如果不需要，则可以关闭，以节省程序的负担，减少运
行时间，
提高效率。

但是由于奇异值分解压缩的还原图像的误差不 大，如果在选择低压缩比的时候打开此开关，往往会看到一片漆黑， 这是由于 0 太多的缘故。

本程序为了避免这种情况的出现，做了一
个压缩的比较明显的图像的误差，基本上可以看出来。

这一截图是打开图片之后，各个部分都结束后所形成的效果图。

T 2 2 2 证明：因为 rank （A ）=r 则 AA 的特征值为 0燮σr 燮σr-1 燮…燮σ1 2 2 2 T 且 σr +1 =σr +2 =…=σn 因为 AA 是 Hermite 矩阵，由推论可知存在 N 阶 矩阵 U ，U 使得 V A A V= 00 0
∑ 0 0
T T （3） 记 V=[v 1 ，v 2 ]，其中 v 1 是 N×R 矩阵，则上式可改写为 A A[v 1 ，v 2 ]=[v 1 ，v 2 ] 0 2 0 ∑ 0 0
T （4） 0 记 U[u 1 ，u 2 ]其中 u 1 是 M×R 矩阵，u 2 是 M×（M-R ）矩阵，令
-1
u 1 =Av 1 ∑ （5） T u 1 是列正交规范矩阵，即 u 1 u 1 =I r 取 u 2 使得 V =[v 1 ，v 2 ]是酉矩
阵，则
T T u 2 Au 1 =u 2 v 1 ∑
由此可以推出：
（6） U AV= 0T 0 A[v 1 ，v 2 ] 0 0 T T T u 1 u Av u Av T 1 1 1 2
（7）
T T u 2 Av 2 u 2 u 2 Av 1 3 奇异值压缩的实例 下面看一张 196*196 的图片，如果要存储则需要 196*196 位。

对它进行采样后，所生成的矩阵是一个 196*196 的方阵，经过分解 之后，可求出它的奇异值矩阵为： 这个效果图中，选择的压缩比为高压缩比。

即在十六个特征值 中之选取了前两个，这样达到的压缩比例是相当高的。

从图中可以 看出，得到的还原图像和原图像相比，已经有了很大的失真。

甚至产 生了很多的马赛克。

所以，在一般情况下，选择四到六个特征值，就 可以得到比较好的压缩效果。

所用的图像最好使用灰度图。

061.4958 0 20.4255 0 . 0 0 0 14.9816 . 0 …… …… …… …… …… 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 . 0 0 S= 0 5 结 论 0 0 0 0 0 0 SVD 是最可靠的分解法，但它比 QR 分解法要花近十倍的计算 0.0023 0 时间 奇异值压缩的矩阵具有唯一性的特点，保证了它能唯一的还。

0 该矩阵在第 55 列时的特征值为 1.9485，和 61.4958 相比已经 很小了，所以就把矩阵 55 列之后的全部舍去。

所以现在只需要存贮 矩阵 u ，v 的前 55 列和奇异矩阵了，对于比较成熟的算法，输入的图 像首先被分成 8×8 的图像子块，然后对每个图像子块进行 SVD 变 换，变换后的系数经过量化，编码并传输；在读取图像时，解码出 SVD 变换系数，进行 SVD 逆变换，最后将子块放到图像中。

其中，这 次压缩变换所选择的 SVD 变换矩阵是 8×8 的方阵。

在压缩过程中 取其代表着较大能量的值的矩阵。

从特征值的统计图中我们可以看出在这些奇异值中，它们在 0.1 到 5 之间有很大的密度，值很小的占绝大多数(小于 5 的值一 共有 184 个，小于 4 的一共有 166 个，小于 3 的有 159 个)。

而这些 数与它们最大的相比是很小的，将它们舍去将会节省很大的存储 空间。

由此可见如果我们把奇异矩阵中比较小的数舍去的越多，它的 压缩比越大，同时失真度也越高。

4 奇异值压缩的计算机实现 如图 1 所示，本程序界面有四个显示图形的坐标轴，其中图 1 （a ）为准备要压缩的原图像；图1（b ）该图像数字化后的矩阵经奇异 原被压缩的矩阵。

由以上证明可知奇异值压缩具有很高的压缩比， 而且所还原的图像的质量也很高，但是由于它所计算的矩阵往往很 大，也没有成形的算法，所以运用的不是很广泛。

图像压缩是一个很有发展前途的研究领域，这一领域的突破对 于通信和多媒体事业的发展将具有深远的影响。

因此，在图像压缩 方面投入一定的资金和人力，进行深入的研究，将有助于提高我国 在高科技领域的国际竞争力。

利用矩阵的奇异值分解这一数学工
具，实现了图像的压缩与恢复，在选择忽略部分较小奇异值的基础 上，可以达到很高的压缩比同时不产生图像失真。

当然，利用奇异值 进行压缩的时候，
由于这些特征值都是由该矩阵自身和它的转置的 乘积所求出的，所以在进行大量的计算时并没有一个成型的算法，
所以目前并没有商业化。

参 考 文 献 ： [1]陈逢时.子波变换理论及其在信号处理中的应用.北京：国防工业出版社. [2]吴崇明等编著.基于 M AT LAB 的系统分析与设计—小波变换.西安: 西安电子科技大学出版社，2000. [3]Dony R D,Haykin S. N e ur a l Networks Approaches to I m ag e Compression.Proceeding of The I EEE,V o 1.83,N o .2,Feb.1995.
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