山东省潍坊市2017届高三数学三模试卷（理科）Word版含解析

⼭东省潍坊市2017届⾼三数学三模试卷（理科）Word版含解析
2017年⼭东省潍坊市⾼考数学三模试卷（理科）
⼀、选择题（共10⼩题，每⼩题5分，满分50分）
1．设全集U={x∈R|x＞0}，函数f（x）=的定义域为A，则?U A为（）
A．（0，e] B．（0，e）C．（e，+∞）D．（a＞0）上随机抽取⼀个实数x，若x满⾜
＜0的概率为，则实数a的值为．
14．如图，已知函数y=2kx（k＞0）与函数y=x2的图象所围成的阴影部分的⾯积为，则实数k的值为．
15．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）=2x，若存在x0∈使得等式
af（x0）+g（2x0）=0成⽴，则实数a的取值范围是．
三、解答题（共6⼩题，满分75分）
16．已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，），函数f（x）=（+）?．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，在△ABC中，⾓A，B，
C所对边分别a，b，c，若a=3，g（）=，sinB=cosA，求b的值．
17．在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底⾯ABCD，M是PD的中点，AC⊥AD，BA⊥BC，PC=AC=2BC，∠ACD=∠ACB．（1）求证：PA⊥CM；
（2）求⼆⾯⾓M﹣AC﹣P的余弦值．
18．已知等差数列{a n}的⾸项a1=2，前n项和为S n，等⽐数列{b n}的⾸项b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．
（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（2）数列{c n}满⾜c n=b n+（﹣1）n a n，记数列{c n}的前n项和为T n，求T n．
19．某校举⾏⾼⼆理科学⽣的数学与物理竞赛，并从中抽取72名学⽣进⾏成绩分析，所得学⽣的及格情况统计如表：
（1）根据表中数据，判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”；
（2）若以抽取样本的频率为概率，现在该校⾼⼆理科学⽣中，从数学及格的学⽣中随机抽取3⼈，记X为这3⼈中物理不及格的⼈数，从数学不及格学⽣中随机抽取2⼈，记Y为这2⼈中物理不及格的⼈数，记ξ=|X﹣Y|，求ξ的分布列及数学期望．
附：x2=．
20．已知函数f（x）=e x﹣1﹣，a∈R．
（1）若函数g（x）=（x﹣1）f（x）在（0，1）上有且只有⼀个极值点，求a的范围；（2）当a≤﹣1时，证明：f（x）lnx＞0对于任意x∈（0，1）∪（1，+∞）成⽴．
21．已知抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线C上⼀点Q（a，2）到焦点的距离为3，线段AB的两端点A（x1，y1）、B（x2，y2）在抛物线C上．
（1）求抛物线C的⽅程；
（2）若y轴上存在⼀点M（0，m）（m＞0），使线段AB经过点M时，以AB为直径的圆经过原点，求m的值；
（3）在抛物线C上存在点D（x3，y3），满⾜x3＜x1＜x2，若△ABD是以⾓A为直⾓的等腰直⾓三⾓形，求△ABD⾯积的最⼩值．
2017年⼭东省潍坊市⾼考数学三模试卷（理科）
参考答案与试题解析
⼀、选择题（共10⼩题，每⼩题5分，满分50分）
1．设全集U={x∈R|x＞0}，函数f（x）=的定义域为A，则?U A为（）A．（0，e] B．（0，e）C．（e，+∞）D．．
故选：A．
2．设复数z满⾜（1+i）z=﹣2i，i为虚数单位，则z=（）
A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】利⽤复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
【解答】解：（1+i）z=﹣2i，则z===﹣i﹣1．
故选：B．
3．若随机变量X服从正态分布N（4，1），则P（x＞6）的值为（）（参考数据：若随机变量X～N（µ，σ2），则P（µ﹣σ＜x＜µ+σ）=0.6826，P（µ﹣2σ＜x＜µ+2σ）=0.9544，P（µ﹣3σ＜x＜µ+3σ）=0.9974）
A．0.1587 B．0.0228 C．0.0013 D．0.4972
【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表⽰的意义．
【分析】根据变量符合正态分布，和所给的µ和σ的值，根据3σ原则，得到P（2＜X≤6）=0.9544，⼜P（X＞
6）=P（X≤2）=0.6826，即可得到结果．
【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（µ，σ2），P（µ﹣2σ＜X≤µ+2σ）=0.9544，P（µ﹣σ＜
X≤µ+σ）=0.6826，µ=4，σ=1，
∴P（2＜X≤6）=0.9544，⼜因为P（X＞6）=P（X≤2）=（1﹣0.9544）=0.0228，
故选：B
4．已知a∈R，则“a＜0”是“|x|+|x+1|＞a恒成⽴”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】|x|+|x+1|≥|x﹣（x+1）|=1，|x|+|x+1|＞a恒成⽴，可得a＜1．即可得出．
【解答】解：∵|x|+|x+1|≥|x﹣（x+1）|=1，|x|+|x+1|＞a恒成⽴，
∴a＜1．
∴“a＜0”是“|x|+|x+1|＞a恒成⽴”的充分不必要条件．
故选：A．
5．执⾏如图所⽰的程序框图，输出n的值为（）
A．19 B．20 C．21 D．22
【考点】EF：程序框图．
【分析】模拟执⾏如图所⽰的程序框图知该程序的功能是
计算S=1+2+3+…+n≥210时n的最⼩⾃然数值，求出即可．
【解答】解：模拟执⾏如图所⽰的程序框图知，
该程序的功能是计算S=1+2+3+…+n≥210时n的最⼩⾃然数值，
由S=≥210，解得n≥20，
∴输出n的值为20．
故选：B．
6．⼀个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利⽤系统抽样⽅法抽取容量为24的⼀个样本，总体分组后在第⼀组随机抽得的编号为006，则在编号为051～125之间抽得的编号为（）
A．056，080，104 B．054，078，102 C．054，079，104 D．056，081，106
【考点】B4：系统抽样⽅法．
【分析】根据系统抽样的⽅法的要求，先随机抽取第⼀数，再确定间隔．
【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，⾸次抽到006号，以后每隔=25个号抽到⼀个⼈，
则以6为⾸项，25为公差的等差数列，即所抽取的编号为6，31，56，81，106，
故选：D．
7．若直线x=π和x=π是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的两条相邻对称轴，则φ的⼀个可能取值为（）
A． B．C．D．
【考点】H2：正弦函数的图象．
【分析】根据直线x=π和x=π是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的两条相邻对
称轴，可得周期T，利⽤x=π时，函数y取得最⼤值，即可求出φ的取值．
【解答】解：由题意，函数y的周期T==2π．
∴函数y=sin（x+φ）．
当x=π时，函数y取得最⼤值或者最⼩值，即sin（+φ）=±1，
可得：φ=．
∴φ=kπ，k∈Z．
当k=1时，可得φ=．
故选：D．
8．如果实数x，y满⾜约束条件，则z=的最⼤值为（）
A．B．C．2 D．3
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平⾯区域，z=的⼏何意义是区域内的点到定点（﹣1，﹣1）的斜率，利⽤数形结合进⾏求解即可．
【解答】解：作出约束条件所对应的可⾏域（如图阴影），
z=
的⼏何意义是区域内的点到定点P（﹣1，﹣1）的斜率，
由图象知可知PA的斜率最⼤，
由，得A（1，3），
则z==2，
即z的最⼤值为2，
故选：C．
9．函数f（x）=的图象与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有⼀个交点，则实数a的取值范围是（）
A．a＞1 B．a≤﹣C．a≥1或a＜﹣D．a＞1或a≤﹣
【考点】3O：函数的图象．
【分析】作出函数的图象，根据图象的平移得出a的范围．
【解答】解：画出函数f（x）=的图象如图：
与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有⼀个交点，
则可使log2x图象左移⼤于1个单位即可，得出a＞1；
若使log2x图象右移，则由log2（1+a）=﹣2，解得a=﹣，
∴a的范围为a＞1或a≤﹣，
故选：D．
10．已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左右焦点F1、F2，P为椭圆C1与双曲线C2在第⼀象限内
的⼀个公共点，设椭圆C1与双曲线C2的离⼼率为e1，e2，且=，若∠F1PF2=，则双曲线C2的渐近线⽅程为（）
A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±y=0 D．x±2y=0
【考点】K4：椭圆的简单性质．
【分析】设椭圆及双曲线的⽅程，根据椭圆及双曲线的离⼼率公式及定义，求得a1=3a2，⼁
PF1⼁=a1+a2=4a2，⼁PF2⼁=a1﹣a2=2a2，利⽤余弦定理即可求得c2=3a22，b2=a2，根据双曲线的渐近线⽅程，即可求得答案．
【解答】解：设椭圆C1的⽅程：（a1＞b1＞0），双曲线C2的⽅程：
（a2＞0，b2＞0），
焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），
由e1=，e1=，由=，则=，则a1=3a2，
由题意的定义：⼁PF1⼁+⼁PF2⼁=2a1，⼁PF1⼁﹣⼁PF2⼁=2a2，
则⼁PF1⼁=a1+a2=4a2，⼁PF2⼁=a1﹣a2=2a2，
由余弦定理可知：⼁F1F2⼁2=⼁PF1⼁2+⼁PF1⼁2﹣2⼁PF1⼁⼁PF1⼁cos∠F1PF2，
则（2c）2=（4a2）2+（2a2）2﹣2×4a2×2a2×，
c2=3a22，b22=c2﹣a22=2a22，则b2=a2，
双曲线的渐近线⽅程y=±x=±x，即x±y=0，
故选：C．
⼆、填空题（共5⼩题，每⼩题5分，满分25分）
11．已知直线l：x+2y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B三点的圆的标准⽅程为（x﹣2）2+（y ﹣1）2=5 ．
【考点】J1：圆的标准⽅程．
【分析】根据题意，求出直线与坐标轴的交点坐标，分析可得经过O、A、B三点的圆的直径为|AB|，圆⼼为AB的中点，求出圆的半径与圆⼼，代⼊圆的标准⽅程即可得答案．
【解答】解：根据题意，直线l：x+2y﹣4=0与坐标轴的交点为（4，0）、（0，2），
经过O、A、B三点的圆即△OAB的外接圆，
⼜由△OAB为直⾓三⾓形，则其外接圆直径为|AB|，圆⼼为AB的中点，
则有2r==2，即r=，
圆⼼坐标为（2，1），
则要求圆的⽅程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5；
故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．
12．某⼏何体三视图如图所⽰，则该⼏何体的体积为．
【考点】L!：由三视图求⾯积、体积．
【分析】由三视图可知：该⼏何体为⼀个正⽅体去掉⼀个倒⽴的四棱锥．
【解答】解：由三视图可知：该⼏何体为⼀个正⽅体去掉⼀个倒⽴的四棱锥．
∴该⼏何体的体积V==．
故答案为：．
13．在（a＞0）上随机抽取⼀个实数x，若x满⾜＜0的概率为，则实数a的值为 4 ．
【考点】CF：⼏何概型．
【分析】求解分式不等式得到x的范围，再由测度⽐为测度⽐得答案．
【解答】解：由＜0，得﹣1＜x＜2．
⼜x≥0，∴0≤x＜2．
∴满⾜0≤x＜2的概率为，得a=4．
故答案为：4．
14．如图，已知函数y=2kx（k＞0）与函数y=x2的图象所围成的阴影部分的⾯积为，则实数k的值为 2 ．
【考点】6G：定积分在求⾯积中的应⽤．
【分析】先联⽴两个解析式解⽅程，得到积分区间，然后利⽤积分的⽅法表⽰出阴影部分⾯
积让其等于，列出关于k的⽅程，求出解即可得到k的值．
【解答】解：直线⽅程与抛物线⽅程联⽴
解得x=0，x=2k，得到积分区间为，
由题意得：
∫02k（2kx﹣x2）dx=（kx2﹣x3）|02k=4k3﹣k3=，
即k3=8，解得k=2，
故答案为：2
15．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）=2x，若存在
x0∈使得等式af（x0）+g（2x0）=0成⽴，则实数a的取值范围是[] ．【考点】3L：函数奇偶性的性质．
【分析】根据函数奇偶性，解出奇函数f（x）和偶函数g（x）的表达式，将等式af（x）+g
（2x）=0，令t=2x﹣2﹣x，则t＞0，通过变形可得a=t+，讨论出右边在x∈的最⼤值，可以得出实数a的取值范围．【解答】解：解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，g（x）为定义在R上的偶函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），
⼜∵由f（x）+g（x）=2﹣x，结合f（﹣x）+g（﹣x）=﹣f（x）+g（x）=2x，
∴f（x）=﹣（2x﹣2﹣x），g（x）=（2x+2﹣x）．
等式af（x）+g（2x）=0，化简为﹣（2x﹣2﹣x）+（22x+2﹣2x）=0．
∵x∈，∴≤2x﹣2﹣x≤，
令t=2x﹣2﹣x，则t＞0，因此将上⾯等式整理，得：a=t+，
函数h（t）=t+在[]递增，≤t+≤，
则实数a的取值范围是[]，
故答案为：[]．
三、解答题（共6⼩题，满分75分）
16．已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，），函数f（x）=（+）?．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，在△ABC中，⾓A，
B，C所对边分别a，b，c，若a=3，g（）=，sinB=cosA，求b的值．
【考点】9R：平⾯向量数量积的运算；GL：三⾓函数中的恒等变换应⽤；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】（1）运⽤向量的加减运算和数量积的坐标表⽰，以及⼆倍⾓公式和正弦公式，由正弦函数的增区间，解不等式即可得到所求；
（2）运⽤图象变换，可得g（x）的解析式，由条件可得sinA，cosA，sinB的值，运⽤正弦定理计算即可得到所求值．
【解答】解：（1）向量=（sinx，﹣1），=（cosx，），
函数f（x）=（+）?=（sinx+cosx，）?（sinx，﹣1）
=sin2x+sinxcosx﹣=sin2x﹣（1﹣2sin2x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x
﹣），
由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，
可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
即有函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z；
（2）由题意可得g（x）=sin（2（x+）﹣）=sin2x，
g（）=sinA=，
即sinA=，cosA=±=±，
在△ABC中，sinB=cosA＞0，
可得sinB=，
由正弦定理=，
可得b===3．
17．在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底⾯ABCD，M是PD的中点，AC⊥AD，BA⊥BC，PC=AC=2BC，∠ACD=∠ACB．
（1）求证：PA⊥CM；
（2）求⼆⾯⾓M﹣AC﹣P的余弦值．
【考点】MT：⼆⾯⾓的平⾯⾓及求法；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（1）取PA的中点N，连接MN，NC，由三⾓形中位线定理可得MN∥AD，由PC⊥底⾯ABCD，得PC⊥AD，结合AC⊥AD，可得AD⊥平⾯PAC，进⼀步得到MN⊥PA，再由等腰三⾓形的性质可知CN⊥PA，由线⾯垂直的判定得到PA⊥平⾯MNC，则有PA⊥CM；
（2）设PC=AC=1，解三⾓形可得CD=2．以B为坐标原点，以BA、CB所在直线分别为x、y轴，以过B点和PC平⾏的直线为z 轴距离如图所⽰坐标系．求得A，C，D，P的坐标，进⼀步求出平⾯PAC与平⾯ACM的⼀个法向量，利⽤两法向量所成⾓的余弦值可得⼆⾯⾓M﹣AC﹣P的余弦值．
【解答】（1）证明：取PA的中点N，连接MN，NC，
∵MN为△PAD的中位线，∴MN∥AD，
∵PC⊥底⾯ABCD，∴PC⊥AD，
⼜∵AC⊥AD，PC∩AD=C，∴AD⊥平⾯PAC，
∴AD⊥PA，则MN⊥PA，
∵PC=AC，N为PA的中点，∴CN⊥PA，
∵MN∩NC=N，∴PA⊥平⾯MNC，
⼜∵CM?平⾯MNC，∴PA⊥CM；
（2）解：设PC=AC=1，则BC=，
∵BA⊥BC，∴cos，
∴∠ACD=∠ACB=60°，
⼜∵AC⊥CD，∴CD=2．
以B为坐标原点，以BA、CB所在直线分别为x、y轴，以过B点和PC平⾏的直线为z轴距离如图所⽰坐标系．
则A（，0，0），C（0，﹣，0），D（，﹣，0），P（0，﹣，1），
∴M（，﹣1，）．
，
．
∵DA⊥平⾯PAC，
∴是平⾯PAC的⼀个法向量．
设是平⾯ACM的⼀个法向量，
则，即，令x=1，得
．
∴|cos＜＞|=||=||=．由图可知，⼆⾯⾓M﹣AC﹣P为锐⾓，
∴⼆⾯⾓M﹣AC﹣P的余弦值为．
18．已知等差数列{a n}的⾸项a1=2，前n项和为S n，等⽐数列{b n}的⾸项b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．
（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（2）数列{c n}满⾜c n=b n+（﹣1）n a n，记数列{c n}的前n项和为T n，求T n．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．
【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，等⽐数列{b n}的公⽐为q．根据a1=2，b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．
可得2+d=q2，3×2+=6q，联⽴解得d，q．即可得出．．
（2）c n=b n+（﹣1）n a n=2n﹣1+（﹣1）n?2n．可得数列{c n}的前n项和为T n=1+2+22+…+2n﹣1+=2n ﹣1+．对n分类讨论即可得出．
【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等⽐数列{b n}的公⽐为q．
∵a1=2，b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．
∴2+d=q2，3×2+=6q，
联⽴解得d=q=2．
∴a n=2+2（n﹣1）=2n，b n=2n﹣1．
（2）c n=b n+（﹣1）n a n=2n﹣1+（﹣1）n?2n．
∴数列{c n}的前n项和为T n=1+2+22+…+2n﹣1+= +=2n﹣1+．
∴n为偶数时，T n=2n﹣1+．
=2n﹣1+n．
n为奇数时，T n=2n﹣1+﹣2n．
=2n﹣2﹣n．
∴T n=．
19．某校举⾏⾼⼆理科学⽣的数学与物理竞赛，并从中抽取72名学⽣进⾏成绩分析，所得学⽣的及格情况统计如表：
（1）根据表中数据，判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”；
（2）若以抽取样本的频率为概率，现在该校⾼⼆理科学⽣中，从数学及格的学⽣中随机抽取3⼈，记X为这3⼈中物理不及格的⼈数，从数学不及格学⽣中随机抽取2⼈，记Y为这2⼈中物理不及格的⼈数，记ξ=|X﹣Y|，求ξ的分布列及数学期望．
附：x2=．
【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；BO：独⽴性检验的应⽤．
【分析】（1）根据题意，求出X2=≈12.587＞6.635，从⽽有99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”．
（2）从数学及格的学⽣任抽取⼀⼈，抽到物理不及格的学⽣的频率为=，从数学不
及格的学⽣任取⼀⼈，抽到物理不及格的学⽣的频率为=，X 可能的取值为0，1，2，
3，Y 可能的取值为0，1，2，ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E ξ．
【解答】解：（1）根据题意，得：
=
≈12.587，
∵12.587＞6.635，
∴有99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”．
（2）从数学及格的学⽣任抽取⼀⼈，抽到物理不及格的学⽣的频率为=，
从数学不及格的学⽣任取⼀⼈，抽到物理不及格的学⽣的频率为=
，
X 可能的取值为0，1，2，3，Y 可能的取值为0，1，2，ξ的可能取值为0，1，2，3，
P （ξ=0）=P （X=0）P （Y=0）+P （X=1）P （Y=1）+P （X=2）P （Y=2）
=
+
+
=
，
P （ξ=1）=P （X=0）P （Y=1）+P （X=1）P （Y=0）+P （X=1）P （Y=2）+P （X=2）P （Y=1）+P （X=3）P （Y=2）
=
+
+
+
+
=
，
P （ξ=2）=P （X=0）P （Y=2）+P （X=2）P （Y=0）+P （X=3）P （Y=1）=
+
+
=
，
P （ξ=3）=P （X=3）P （Y=0）=
=
，
∴ξ的分布列为：
Eξ=+3×=．
20．已知函数f（x）=e x﹣1﹣，a∈R．
（1）若函数g（x）=（x﹣1）f（x）在（0，1）上有且只有⼀个极值点，求a的范围；（2）当a≤﹣1时，证明：f（x）lnx＞0对于任意x∈（0，1）∪（1，+∞）成⽴．
【考点】6D：利⽤导数研究函数的极值；6E：利⽤导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）由题意可知：由函数g（x）在（0，1）上有且只有⼀个极值点，等价于g′（x）=xe x﹣a﹣1在（0，1）上有且仅有⼀个变号零点，构造辅助函数，根据函数的单调性，即可求得a的范围；
（2）由题意，利⽤分析法，由结论可得（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax≥0 在（0，+∞）恒成⽴，设g（x）=（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax，x∈，
H′（x）=e x（x+1），由x∈，H′（x）＞0，
H（x）在单调递增，
∴H（0）=﹣a﹣1＜0，H（1）=e﹣a﹣1＞0，
解得：﹣1＜a＜e﹣1，
∴当﹣1＜a＜e﹣1时，函数g（x）在（0，1）上有且只有⼀个极值点；
（2）证明：f（x）lnx=（e x﹣1﹣）lnx，只需证：?lnx≥0 在（0，1）∪（1，+∞）上恒成⽴，
由x∈（0，1）∪（1，+∞）时，?lnx＞0恒成⽴，
∴只需证：（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax≥0 在（0，+∞）恒成⽴，
设g（x）=（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax，x∈=（1+k2），
=（1+k2），
=4（1+k2）（x12﹣4kx1+4k2），
同理⼁AD⼁=4，。