高三数学(文)湘教一轮复习精品学案：第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一节平面向量的概念及其线性运算
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
平行四边形法则
3．共线向量定理
向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .
1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；
2．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个； 3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系． [试一试]
1．若向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( ) A ．有不相等的模 B ．不共线
C ．不可能都是零向量
D ．不可能都是单位向量
答案：C
2．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB ＋CD |＝________. 解析：|AB －CB ＋CD |＝|AB ＋BC ＋CD |＝|AD |＝2. 答案：2
1．向量的中线公式
若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP ＝1
2(OA ＋OB )．
2．三点共线等价关系
A ，P ，
B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)⇔OP ＝(1－t )·
OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．
[练一练]
1．D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD 等于( ) A ．－BC ＋1
2BA
B ．－B
C －1
2BA
C ．BC －1
2BA
D ．BC ＋1
2
BA
答案：A
2．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 解析：由题意知a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝－k ，
1＝3k ，解得⎩⎨⎧
k ＝1
3
，λ＝－13.
答案：－1
3
向量的有关概念
1.给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；
②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；
③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是( ) A ．②③ B ．①② C ．③④
D ．④⑤
解析：选A ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵AB ＝DC ，∴|AB |＝|DC |且AB ∥DC ， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形，
则AB ∥DC 且|AB |＝|DC |，因此，AB ＝DC . ③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .
④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a
＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．
⑤不正确．考虑b ＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.
2．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
[类题通法]
平面向量中常用的几个结论
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈．
(3)a |a |是与a 同向的单位向量，a －|a |是与a 反向的单位向量．
向量的线性运算
[典例] (1)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA ＋CD ＋EF ＝( ) A ．0 B ．BE C ．AD
D ．CF
(2)(2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .
若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
[解析] (1)如图，∵在正六边形ABCDEF 中，CD ＝AF ，BF ＝CE ， ∴BA ＋CD ＋EF ＝BA ＋AF ＋EF ＝BF ＋EF ＝CE ＋EF ＝
CF .
(2)由题意DE ＝DB ＋BE ＝12AB ＋23BC ＝12AB ＋23(BA ＋AC )＝－16AB ＋
2
3
AC ，
所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝1
2.
[答案] (1)D (2)1
2
解析：∵CD ＝CA ＋AD ，CD ＝CB ＋BD ， ∴2CD ＝CA ＋CB ＋AD ＋BD . 又∵AD ＝2DB ， ∴2CD ＝CA ＋CB ＋1
3AB
＝CA ＋CB ＋1
3(CB －CA )
＝23CA ＋4
3
CB . ∴CD ＝13CA ＋23CB ，即λ＝23.
答案：2
3
[类题通法]
在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．
[针对训练]
若A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子： ①AB ＋CD ＝BC ＋DA ；②AC ＋BD ＝BC ＋AD ； ③AC －BD ＝DC ＋AB .其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
解析：选C ①式的等价式是AB －BC ＝DA －CD ，左边＝AB ＋CB ，右边＝DA ＋DC ，不一定相等；②式的等价式是AC －BC ＝AD －BD ，AC ＋CB ＝AD ＋DB ＝AB 成立；③式的等价式是AC －DC ＝AB ＋BD ，AD ＝AD 成立．
共线向量定理的应用
[典例]设两个非零向量a与b不共线，
(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，
求证：A，B，D三点共线．
(2)试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线．
[解](1)证明：∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，
∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB.
∴AB，BD共线，
又∵它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)∵k a＋b与a＋k b共线，
∴存在实数λ，使k a＋b＝λ(a＋k b)，
即k a＋b＝λa＋λk b.
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，
∴k2－1＝0.∴k＝±1.
[类题通法]
1．共线向量定理及其应用
(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．
(2)若a，b不共线，则λa＋μb＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．
2．证明三点共线的方法
若AB＝λAC，则A、B、C三点共线．
[针对训练]
已知a，b不共线，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，设t∈R，如果3a ＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．
解：由题设知，CD ＝d －c ＝2b －3a ，CE ＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD ，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，
整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .
因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧
t －3＋3k ＝0，
t －2k ＝0，
解之得t ＝6
5
.
故存在实数t ＝6
5使C ，D ，E 三点在一条直线上．
[课堂练通考点]
1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．
④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误的命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选C ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．
②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．
③错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.
④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量．故选C. 2.如图，已知AB ＝a ，AC ＝b ，BD ＝3DC ，用a ，b 表示AD ，
则AD ＝( )
A ．a ＋3
4
b
B.14a ＋34
b
C.14a ＋14b
D.34a ＋1
4
b 解析：选B ∵CB ＝AB －AC ＝a －b ，又BD ＝3DC ， ∴CD ＝14CB ＝14(a －b )，∴AD ＝AC ＋CD ＝b ＋14(a －b )＝14a ＋3
4
b .
3．(2013·贵阳监测考试)已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( )
A ．a
B ．b
C ．c
D ．0
解析：选D 依题意，设a ＋b ＝m c ，b ＋c ＝n a ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝m c －n a ，即a －c ＝m c －n a .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0，选D.
4.(2013·“江南十校”联考)如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平
分线交BC 于D ，若AB ＝4，且AD ＝1
4AC ＋λAB (λ∈R )，则AD 的长
为( )
A ．2 3
B ．3 3
C ．4 3
D ．5 3
解析：选B 因为B ，D ，C 三点共线，所以有14＋λ＝1，解得λ＝3
4，如
图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN ＝1
4
AC ，
AM ＝3
4AB ，经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.
5．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用
a ，
b 表示)．
解析：由AN ＝3NC 得4AN ＝3AC ＝3(a ＋b )，
AM ＝a ＋1
2b ，
所以MN ＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋1
4b . 答案：－14a ＋1
4
b
6．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，
则|AM |＝________.
解析：由|AB ＋AC |＝|AB －AC |可知，AB ⊥AC ，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的
中线，因此，|AM |＝1
2
|BC |＝2.
答案：2
[课下提升考能]
第Ⅰ组：全员必做题
1．设a 、b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |
C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λa
D ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b | 解析：选C 对于A ，可得a ，b ＝－1，因此a ⊥b 不成立；对于B ，满足a ⊥b 时
|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；对于C ，可得
a ，
b ＝－1，因此成立，而D 显然不一定成立．
2．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC ＝2BD ，CE ＝2EA ，
AF ＝2FB ，则AD ＋BE ＋CF 与BC ( )
A ．反向平行
B ．同向平行
C ．互相垂直
D ．既不平行也不垂直
解析：选A 由题意得AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋1
3
BC ，
BE ＝BA ＋AE ＝BA ＋1
3AC ，
CF ＝CB ＋BF ＝CB ＋1
3BA ，
因此AD ＋BE ＋CF ＝CB ＋1
3(BC ＋AC －AB )
＝CB ＋23BC ＝－1
3
BC ，
故AD ＋BE ＋CF 与BC 反向平行．
3．(2014·哈尔滨四校联考)在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN ＝1
2NC ，P 是BN
上的一点，若AP ＝m AB ＋2
9
AC ，则实数m 的值为( )
A.19
B.13 C ．1
D ．3
解析：选B 如图，因为AN ＝12NC ，所以AN ＝1
3
AC ，AP ＝
m AB ＋29AC ＝m AB ＋23AN ，因为B 、P 、N 三点共线，所以m ＋23＝1，所以m ＝1
3
.
4．(2014·山师大附中模拟)已知平面内一点P 及△ABC ，若PA ＋PB ＋PC ＝AB ，则点P 与△ABC 的位置关系是( )
A ．点P 在线段A
B 上 B ．点P 在线段B
C 上 C ．点P 在线段AC 上
D ．点P 在△ABC 外部
解析：选C 由PA ＋PB ＋PC ＝AB 得PA ＋PC ＝AB －PB ＝AP ，即PC ＝
AP －PA ＝2AP ，所以点P 在线段AC 上，选C.
5．(2014·大连高三双基测试)设O 在△ABC 的内部，且有OA ＋2OB ＋3OC ＝0，则△ABC 的面积和△AOC 的面积之比为( )
A ．3 .5
3 C ．2
.32
解析：选A 设AC ，BC 的中点分别为M ，N ，则已知条件可化为(OA ＋OC )＋2(OB ＋OC )＝0，即OM ＋2ON ＝0，所以OM ＝－2ON ，说明M ，O ，N 共线，即O 为中位线MN 上的靠近N 的三等分点，S △AOC ＝23S △ANC ＝23·12S △ABC ＝1
3S △ABC ，所以S △ABC S △AOC
＝3.
6．(2013·淮阴模拟)已知△ABC 和点M 满足MA ＋MB ＋MC ＝0.若存在实数m 使得
AB ＋AC ＝m AM 成立，则m ＝________.
解析：由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ，则AM ＝2
3AD ，
因为AD 为中线，则AB ＋AC ＝2AD ＝3AM ，所以m ＝3.
答案：3
7．(2013·大庆模拟)已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA ，OB ，OC ，
OD 满足等式OA ＋OC ＝OB ＋OD ，则四边形ABCD 的形状为________．
解析：∵OA ＋OC ＝OB ＋OD ，∴OA －OB ＝OD －OC ， ∴BA ＝CD ，BA 綊CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形． 答案：平行四边形
8．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ＝a ，CA ＝b ，给出
下列命题：①AD ＝12a －b ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋1
2
b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.
其中正确命题的个数为________．
解析：BC ＝a ，CA ＝b ，AD ＝12CB ＋AC ＝－1
2
a －
b ，故①错；
BE ＝BC ＋12CA ＝a ＋1
2b ，故②错；
CF ＝1
2(CB ＋CA )＝1
2(－a ＋b )
＝－12a ＋1
2
b ，故③正确；
∴AD ＋BE ＋CF ＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －1
2a ＝0.
∴正确命题为②③④. 答案：3
9．设两个非零向量e 1和e 2不共线．
(1)如果AB ＝e 1－e 2，BC ＝3e 1＋2e 2，CD ＝－8e 1－2e 2， 求证：A 、C 、D 三点共线；
(2)如果AB ＝e 1＋e 2，BC ＝2e 1－3e 2，CD ＝2e 1－k e 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．
解：(1)证明：∵AB ＝e 1－e 2，BC ＝3e 1＋2e 2，
CD ＝－8e 1－2e 2，
∴AC ＝AB ＋BC ＝4e 1＋e 2 ＝－12(－8e 1－2e 2)＝－1
2CD ，
∴AC 与CD 共线．
又∵AC 与CD 有公共点C ，∴A 、C 、D 三点共线． (2)AC ＝AB ＋BC ＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2，
∵A 、C 、D 三点共线，∴AC 与CD 共线，从而存在实数λ使得AC ＝λCD ，即3e 1－2e 2
＝λ(2e 1－k e 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧
3＝2λ，
－2＝－λk ，
解得λ＝32，k ＝4
3
.
10.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE
＝2
3
AD ，AB ＝a ，AC ＝b . (1)用a ，b 表示向量AD ，AE ，AF ，BE ，BF ； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．
解：(1)延长AD 到G ， 使AD ＝1
2
AG ，
连接BG ，CG ，得到▱ABGC ， 所以AG ＝a ＋b ，
AD ＝12AG ＝1
2(a ＋b )， AE ＝2
3AD ＝1
3(a ＋b )， AF ＝1
2AC ＝1
2b ，
BE ＝AE －AB ＝1
3(a ＋b )－a ＝1
3(b －2a )，
BF ＝AF －AB ＝12b －a ＝1
2(b －2a )．
(2)证明：由(1)可知BE ＝2
3
BF ，又因为
BE ，BF 有公共点B ，
所以B ，E ，F 三点共线． 第Ⅱ组：重点选做题
1．A ，B ，O 是平面内不共线的三个定点，且OA ＝a ，OB ＝b ，点P 关于点A 的对称点为Q ，点Q 关于点B 的对称点为R ，则PR 等于( )
A ．a －b
B ．2(b －a )
C ．2(a －b )
D ．b －a
解析：选B PR ＝OR －OP ＝(OR ＋OQ )－(OP ＋OQ )＝2OB －2OA ＝2(b －a )．
2.如图，在△ABC 中，设AB ＝a ，AC ＝b ，AP 的中点为Q ，BQ
的中点为R ，CR 的中点恰为P ，则AP 等于________．
解析：如图，连接BP ，
则AP ＝AC ＋CP ＝b ＋PR ，①
AP ＝AB ＋BP ＝a ＋RP －RB ，②
①＋②，得2AP ＝a ＋b －RB .③ 又RB ＝12QB ＝1
2(AB －AQ )
＝1
2⎝⎛⎭⎫a －12 AP ，④ 将④代入③，
得2AP ＝a ＋b －1
2⎝⎛⎭⎫a －12 AP ， 解得AP ＝27a ＋4
7b .
答案：27a ＋47
b
第二节平面向量的基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理
如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.
其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则
a ＋
b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，
λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 2
1＋y 21.
(2)向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.
1．若a 、b 为非零向量，当a ∥b 时，a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；
2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．
3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1
y 2
，因为x 2，y 2有可
能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.
[试一试]
1．若向量BA ＝(2,3)，CA ＝(4,7)，则BC ＝( ) A ．(－2，－4) ．(2,4) C ．(6,10) ．(－6，－10)
答案：A
2．(2013·石家庄模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值是________．
解析：∵u ＝(1＋2x,4)，v ＝(2－x,3)，u ∥v ，∴8－4x ＝3＋6x ，∴x ＝12.
答案：12
用基向量表示所求向量时，注意方程思想的运用． [练一练]
设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .
解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b .
因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，
所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )·e 2.
由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧
m －n ＝1，
2m ＋n ＝1，
所以⎩⎨⎧
m ＝23
，
n ＝－1
3.
答案：23 －13
平面向量的坐标运算
1.(2014·昆明一中摸底)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN ＝－3a ，则点N 的坐标为( )
A ．(2,0) ．(－3,6) C ．(6,2)
．(－2,0)
解析：选A MN ＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N (x ，y )，则MN ＝(x －5，y －(－
6))＝(－3,6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，
y ＝0，
选A.
2．(2013·北京高考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λ
μ
＝________.
解析：设i ，j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，根据平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－1
2，
所以λ
μ
＝4.
答案：4
3．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c . (1)求3a ＋b －3c ；
(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .
解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24) ＝(6，－42)．
(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝－1，n ＝－1.
[类题通法]
1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．
2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．
[典例]如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝1
3BC ，E ，F 分别为线
段AD 与BC 的中点．设BA ＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ，
DF ，CD .
[解析] EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝1
3b －a ，
DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋⎝⎛⎭⎫13b －a ＝1
6b －a ， CD ＝CF ＋FD ＝－12b －⎝⎛⎭⎫16b －a ＝a －23b . [类题通法]
用平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．
[针对训练]
(2014·济南调研)如图，在△ABC 中，AN ＝1
3NC ，P 是BN 上的一点，
若AP ＝m AB ＋2
11
AC ，则实数m 的值为________．
解析：因为AP ＝AB ＋BP ＝AB ＋k BN ＝AB ＋k (AN －AB )＝AB ＋k ⎝⎛⎭
⎫1
4 AC －AB ＝(1－k )AB ＋k
4AC ，
且AP ＝m AB ＋
2
11
AC ， 所以1－k ＝m ，k 4＝2
11，
解得k ＝811，m ＝3
11.
答案：3
11
平面向量共线的坐标表示
[典例] 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；
[解] (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，
得⎩⎨⎧
m ＝5
9，
n ＝8
9.
(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， 由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0. ∴k ＝－16
13.
解：设d ＝(x ，y )，d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
4(x －4)－2(y －1)＝0，
(x －4)2＋(y －1)2
＝5，
得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝5，
y ＝3.
∴d ＝(3，－1)或(5,3)． [类题通法]
1．向量共线的两种表示形式
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.
2．两向量共线的充要条件的作用
判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．
[针对训练]
已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．
(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．
解：(1)由已知得AB ＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥AC . ∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2. (2)∵AC ＝2AB ，
∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝5，
b ＝－3.
∴点C 的坐标为(5，－3)．
[课堂练通考点]
1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ＝a ，AD ＝b ，则BE ＝( )
A ．b －1
2a
B ．b ＋1
2a
C ．a ＋1
2
b
D ．a －1
2
b
解析：选A BE ＝BA ＋AD ＋DE ＝－a ＋b ＋12a ＝b －1
2
a .
2．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则m
n 等于( )
A ．－2
B ．2
C ．－12
D.1
2
解析：选C 由题意得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n ) a －2b ＝(4，－1)， 由于(m a ＋n b )∥(a －2b )， 可得－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0， 可得m n ＝－1
2
，故选C.
3．(2013·大连沙河口模拟)非零不共线向量OA 、OB ，且2OP ＝x OA ＋y OB ，若PA ＝λAB (λ∈R )，则点Q (x ，y )的轨迹方程是( )
A ．x ＋y －2＝0
B ．2x ＋y －1＝0
C ．x ＋2y －2＝0
D ．2x ＋y －2＝0 解析：选A PA ＝λAB ，得OA －OP ＝λ(OB －OA )，即OP ＝(1＋λ)OA －λOB .
又2OP ＝x OA ＋y OB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋2λ，
y ＝－2λ，
消去λ得x ＋y ＝2，故选A.
4．已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)，给出下面的结论：
①直线OC 与直线BA 平行；②AB ＋BC ＝CA ；③OA ＋OC ＝OB ；④AC ＝OB －2OA .
其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选C ∵由题意得k OC ＝1
－2＝－12，k BA ＝2－10－2
＝－1
2，∴OC ∥BA ，①正确；∵AB ＋
BC ＝AC ，∴②错误；
∵OA ＋OC ＝(0,2)＝OB ，∴③正确；
∵OB －2OA ＝(－4,0)，AC ＝(－4,0)，∴④正确．
5．(2013·保定调研)已知两点A (1,0)，B (1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC ＝－OA ＋λOB (λ∈R )，则λ的值为________．
解析：由∠AOC ＝135°知，点C 在射线y ＝－x (x <0)上，设点C 的坐标为(a ，－a )，a <0，则有(a ，－a )＝(－1＋λ，λ)，得a ＝－1＋λ，－a ＝λ，消掉a 得λ＝1
2
.
答案：12
6．(2014·朝阳一模)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN ＝λAB ＋μAC ，则λ＋μ的值为( )
A.12
B.1
3 C.14
D ．1
解析：选A ∵M 为边BC 上任意一点， ∴可设AM ＝x AB ＋y AC (x ＋y ＝1)． ∵N 为AM 中点，
∴AN ＝12AM ＝12x AB ＋1
2y AC ＝λAB ＋μAC .
∴λ＋μ＝12(x ＋y )＝1
2
.
[课下提升考能]
第Ⅰ组：全员必做题
1．(2013·辽宁高考)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35
，－4
5 B.⎝⎛⎭⎫45，－3
5 C.⎝⎛⎭
⎫－35，45 D.⎝⎛⎭
⎫－45，35 解析：选A AB ＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝
AB |AB |＝1
5
(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35
，－45. 2．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ＝2DB ，CD ＝r AB ＋s AC ，则r ＋s 的值是( )
A.23
B.4
3 C ．－3
D ．0
解析：选D ∵CD ＝2DB ， ∴CD ＝23CB ＝2
3(AB －AC )，
∴CD ＝23AB －2
3
AC ，
又CD ＝r AB ＋s AC ，∴r ＝23，s ＝－2
3，
∴r ＋s ＝0.故选D.
3．(2014·江苏五市联考)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫8，1
2x ，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x 的值为( )
A ．4
B ．8
C ．0
D ．2 解析：选A a －2b ＝⎝⎛⎭⎫8－2x ，1
2x －2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)， 由已知(a －2b )∥(2a ＋b )，显然2a ＋b ≠0， 故有⎝⎛⎭
⎫8－2x ，1
2x －2＝λ(16＋x ，x ＋1)，λ∈R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
8－2x ＝λ(16＋x )，12x －2＝λ(x ＋1)
⇒x ＝4(x >0)． 4.(创新题)若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组
基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )
A ．(2,0)
B ．(0，－2)
C ．(－2,0)
D ．(0,2)
解析：选D ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)， 即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，
令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝2.
∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．
5.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N
是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是( )
A ．AC ＝A
B ＋AD B ．BD ＝AD －AB
C ．AO ＝12AB ＋1
2AD
D ．A
E ＝5
3
AB ＋AD
解析：选D 由向量减法的三角形法则知，BD ＝AD －AB ，排除B ；由向量加法的平行四边形法则知，AC ＝AB ＋AD ，AO ＝12AC ＝12AB ＋1
2
AD ，排除A 、C.
6．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝________.
解析：AQ ＝PQ －PA ＝(－3,2)， ∴AC ＝2AQ ＝(－6,4)．
PC ＝PA ＋AC ＝(－2,7)，
∴BC ＝3PC ＝(－6,21)． 答案：(－6,21)
7．(2014·九江模拟)P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．
解析：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．
则⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝－12，n ＝－7.
此时a ＝b ＝(－13，－23)． 答案：{}(－13，－23)
8．已知向量OA ＝(1，－3)，OB ＝(2，－1)，OC ＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．
解析：若点A ，B ，C 能构成三角形， 则向量AB ，AC 不共线．
∵AB ＝OB －OA ＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，
AC ＝OC －OA ＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，
∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1. 答案：k ≠1
9．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求： (1)|a ＋3b |；
(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？ 解：(1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(7,3)， 故|a ＋3b |＝
72＋32＝58.
(2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)， 因为k a －b 与a ＋3b 平行， 所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13.
此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝⎛⎭⎫－7
3，－1， a ＋3b ＝(7,3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )， 即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反．
10．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM ＝t 1OA ＋t 2AB . (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线．
解：(1)OM ＝t 1OA ＋t 2AB ＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．
当点M 在第二或第三象限时，有⎩
⎪⎨⎪⎧
4t 2<0，
2t 1＋4t 2≠0，
故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.
(2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM ＝(4t 2,4t 2＋2)． ∵AB ＝OB －OA ＝(4,4)，
AM ＝OM －OA ＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB ，
∴A ，B ，M 三点共线． 第Ⅱ组：重点选做题
1．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC ＝3CD ，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO ＝x AB ＋(1－x )AC ，则x 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫0，1
2 B.⎝⎛⎭⎫0，1
3 C.⎝⎛⎭
⎫－1
2，0 D.⎝⎛⎭
⎫－1
3，0 解析：选D 依题意，设BO ＝λBC ，其中1<λ<4
3，则有AO ＝AB ＋BO ＝AB ＋λBC ＝AB ＋λ(AC －AB )＝(1－λ)AB ＋λAC .
又AO ＝x AB ＋(1－x )AC ，且AB ，AC 不共线，于是有x ＝1－λ∈⎝⎛⎭⎫－1
3，0，即x 的取值范围是⎝⎛⎭
⎫－1
3，0. 2．(2014·湖南五市联合检测)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫2，12，n ＝⎝⎛⎭⎫π
3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图像上运动．Q 是函数y ＝f (x )图像上的点，且满足OQ ＝m ⊗OP ＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．
解析：令Q (c ，d )，由新的运算可得 OQ ＝m ⊗OP ＋n ＝⎝⎛⎭⎫2x ，12sin x ＋⎝⎛⎭⎫π
3，0 ＝⎝⎛⎭
⎫2x ＋π3，1
2sin x ，
⎩⎨⎧
c ＝2x ＋π
3
，
d ＝1
2sin x ，
消去x 得d ＝1
2sin ⎝⎛⎭
⎫12c －π6， 所以y ＝f (x )＝1
2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6， 易知y ＝f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－12，1
2
第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例
1．平面向量的数量积 平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作a·b .即a·b ＝|a||b|cos θ，规定0·a ＝0.
2．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a
(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a·(λb ) (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c
3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)
1．若a ，b ，c 是实数，则ab ＝ac ⇒b ＝c (a ≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a ，b ，c ，若满足a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则不一定有b ＝c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．
2．数量积运算不适合结合律，即(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，因此(a ·b )·c 与a ·(b ·c )不一定相等．
[试一试]
1．(2013·广州调研)已知向量a ，b 都是单位向量，且a ·b ＝1
2，则|2a －b |的值为________．
解析：|2a －b |＝(2a －b )2＝
4a 2－4a ·b ＋b 2＝
4－2＋1＝ 3.
答案： 3
2．(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA ＝(－1，t )， OB ＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．
解析： AB ＝OB －OA ＝(3,2－t )，由题意知OB ·AB ＝0，所以2×3＋2(2－t )＝0，t ＝5.
答案：5
1．明确两个结论：
(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)． 2．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧． [练一练]
1．已知向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
解析：选B (a －2b )·a ＝|a |2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝|b |2－2a ·b ＝0，所以|a |2＝|b |2，即|a |＝|b |，故|a |2－2a ·b ＝|a |2－2|a |2
a ，
b ＝0，可得
a ，
b ＝1
2
，又因为0≤a ，b ≤π，
所以a ，b ＝π
3
.
2．(2013·福建高考)在四边形ABCD 中， AC ＝(1,2)， BD ＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )
A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10
解析：选C 依题意得，AC ·BD ＝1×(－4)＋2×2＝0，
∴AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 的面积为12|AC |·|BD |＝12
×5×20＝5.
平面向量的数量积的运算
1.(2014·沧州模拟)已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6.则
x 1＋y 1
x 2＋y 2
的值为( ) A.2
3
B ．－23
C.5
6
D ．－56
解析：选B 由已知得，向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)反向，3a ＋2b ＝0，即3(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(0,0)，得x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，故x 1＋y 1x 2＋y 2
＝－2
3.
2．(2014·温州适应性测试)在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ·AC ＝－1，则|BC |的最小值是( )
A. 2 B ．2 C. 6 D ．6
解析：选C ∵AB ·AC ＝－1，∴|AB |·|AC |cos 120°＝－1，即|AB |·|AC |＝2，∴|BC |2
＝|AC －AB |2＝AC 2－2AB ·AC ＋AB 2≥2|AB |·|AC |－2AB ·AC ＝6，
∴|BC |min ＝ 6.
3．(2013·南昌模拟)已知向量e 1＝⎝⎛⎭⎫cos π4，sin π6，e 2＝⎝⎛⎭⎫2sin π4
，4cos π
3，则e 1·e 2＝________.
解析：由向量数量积公式得e 1·e 2＝cos π4×2sin π4＋sin π6×4cos π3＝22×2＋1
2×2＝2.
答案：2
4．(2013·全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ·BD ＝________.
解析：因为AE ＝AD ＋12AB ，BD ＝AD －AB ，所以AE ·BD ＝(AD ＋
1
2AB )·
(AD －AB )＝AD 2－1
2AD ·AB －1
2
AB 2＝2. 答案：2
[类题通法]
向量数量积的两种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b
a ，
b ．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2
＋y 1y 2.
运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解．
角度一 平面向量的模
1．(2013·天津高考)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60° , E 为CD 的中点．若
AC ·BE ＝1 , 则AB 的长为________．
解析：由已知得AC ＝AD ＋AB ，BE ＝AD －1
2
AB ，
∴AC ·
BE ＝AD 2－12AB ·AD ＋AB ·AD －12AB 2＝1＋12AB ·AD －1
2|AB |2＝1＋12|AB |·|AD |cos 60°－1
2
|AB |2＝1， ∴|AB |＝1
2
.
答案：12
角度二 平面向量的夹角
2．(1)已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与a ＋b 的夹角为( )
A.π2
B.π3
C.π
6
D ．π 解析：选B ∵|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝7，|a |＝1，|b |＝3，∴4＋
4a ·b ＋3＝7，∴a ·b ＝0，∴a ⊥b .如图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA .
∵tan ∠COA ＝|CA ||OA |＝|b ||a |＝3，∴∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π3
.
(2)(2014·云南第一次检测)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π
3，|a |＝2，|b |＝3，则
2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( )
A.126 B ．－126 C.112 D ．－112
解析：选B 记向量2a －b 与a ＋2b 的夹角为θ，又(2a －b )2＝4×22＋32－4×2×3×cos
π3＝13，(a ＋2b )2＝22＋4×32＋4×2×3×cos π
3＝52，(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝8－18
＋9＝－1，故cos θ＝(2a －b )·(a ＋2b )|2a －b |·|a ＋2b |＝－126，即向量2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值是－1
26，
因此选B.
角度三 平面向量的垂直
3．(1)(2013·荆州高中毕业班质量检查Ⅰ)已知向量a 与b 的夹角是2π
3，且|a |＝1，|b |＝4，
若(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________.
解析：若a ⊥(2a ＋λb )，则a ·(2a ＋λb )＝0，即2|a |2＋λ·|a ||b |·cos 2π
3
＝0，∴2＋λ×1×4×⎝⎛⎭⎫－12＝0.∴λ＝1.
答案：1
(2)在直角三角形ABC 中，已知AB ＝(2,3)，AC ＝(1，k )，则k 的值为________．
解析：(1)当A ＝90°时， ∵AB ⊥AC ，∴AB ·AC ＝0. ∴2×1＋3k ＝0，解得k ＝－23.
(2)当B ＝90°时，∵AB ⊥BC ，
又BC ＝AC －AB ＝(1，k )－(2,3)＝(－1，k －3)，
∴AB ·
BC ＝2×(－1)＋3×(k －3)＝0， 解得k ＝113.
(3)当C ＝90°时，
∵AC ⊥BC ，∴1×(－1)＋k (k －3)＝0， 即k 2－3k －1＝0.∴k ＝3±132.
答案：－23或113或3±13
2.
[类题通法]
1．求两非零向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律；
(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．
2．利用数量积求解长度问题的处理方法 (1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (2)|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. (3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.
[典例] (2013·江苏高考)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；
(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． [解] (1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.
又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， 所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .
(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1.
由此得，cos α＝cos (π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π. 又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1， 得sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.
[类题通法]
平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
[针对训练]
已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．
解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝1
4
.
(2)由|a |＝|b |，知sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5.
从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1， 于是sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝－22. 又由0<θ<π，知π4<2θ＋π4<9π
4，
所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π
4.
因此θ＝π2或θ＝3π
4.
[课堂练通考点]
1．(2014·惠州调研)已知向量p ＝(2，－3)，q ＝(x,6)，且p ∥q ，则|p ＋q |的值为( ) A.5 B.13 C ．5 D ．13
解析：选B 由题意得2×6＋3x ＝0⇒x ＝－4⇒|p ＋q |＝|(2，－3)＋(－4,6)|＝|(－2,3)|＝13. 2．(2014·江西七校联考)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )
A ．－16 B.16
C ．－17 D.17
解析：选C 依题意，λa ＋b ＝(3λ＋1，－2λ)，a －2b ＝(1，－2)，(λa ＋b )·(a －2b )＝(3λ＋1，－2λ)·(1，－2)＝7λ＋1＝0，λ＝－1
7
，故选C.
3．(2013·湖北高考)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为( )
A.322
B.3152
C ．－322
D ．－3152
解析：选A AB ＝(2,1)， CD ＝(5,5)，由定义知AB 在CD 方向上的投影为AB ·CD |CD |
＝
1552
＝322.
4．平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA ＝a ，OB ＝b ，则△OAB 的面积等于( ) A.|a |2|b |2－(a ·b )2 B.|a |2|b |2＋(a ·b )2 C.1
2
|a |2|b |2－(a ·b )2 D.1
2
|a |2|b |2＋(a ·b )2 解析：选C 因为cos 〈a ，b 〉＝
a ·b
|a ||b |
，
所以sin ∠AOB ＝sin 〈a ，b 〉＝ 1－⎝⎛⎭⎫a ·b |a ||b |2
，
则S △AOB ＝1
2×|a |×|b |×sin ∠AOB
＝12
|a |2|b |2－(a ·b )2.
5．若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________． 解析：由|a |＝|a ＋2b |，两边平方，得|a |2＝(a ＋2b )2 ＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ，所以a ·b ＝－|b |2. 又|a |＝3|b |，所以a ，b
＝a ·b |a ||b |＝－|b |2
3|b |2＝－13
. 答案：－1
3
6．在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，O 为BC 的垂直平分线上一点，则AO ·BC ＝________. 解析：取BC 边的中点D ，连接AD ，则AO ·
BC ＝(AD ＋DO )·BC ＝AD ·BC ＋DO ·BC ＝AD ·BC ＝1
2(AB ＋AC )·(AC －AB )＝1
2(AC 2－AB 2)＝1
2
(62－102)＝－32.
答案：－32
[课下提升考能]
第Ⅰ组：全员必做题
1．(2014·武汉调研)已知向量a ，b ，满足|a |＝3，|b |＝23，且a ⊥(a ＋b )，则a 与b 的夹角为( )
A.π2
B.2π
3 C.3π
4 D.5π6 解析：选D a ⊥(a ＋b )⇒a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝|a |2＋|a ||b a ，b
＝0，故
a ，b
＝－
32，故所求夹角为5π6
. 2．已知A ，B ，C 为平面上不共线的三点，若向量AB ＝(1,1)，n ＝(1，－1)，且n ·AC ＝2，则n ·
BC 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．0 D ．2或－2
解析：选B n ·BC ＝n ·(BA ＋AC )＝n ·BA ＋n ·AC ＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0＋2
＝2.
3．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP ·BP 有最小值，则P 点的坐标是( )
A ．(－3,0)
B ．(2,0)
C ．(3,0)
D ．(4,0) 解析：选C 设P 点坐标为(x,0)，
则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)．
AP ·
BP ＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP ·BP 有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0)，故选C.
4．(2014·昆明质检)在直角三角形ABC 中，∠C ＝π
2
，AC ＝3，取点D 使BD ＝2DA ，
那么CD ·
CA ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解析：选D 如图，CD ＝CB ＋BD .
又∵BD ＝2DA ，
∴CD ＝CB ＋23BA ＝CB ＋2
3(CA －CB )，
即CD ＝23CA ＋1
3CB ，
∵∠C ＝π
2
，∴CA ·
CB ＝0， ∴CD ·CA ＝⎝⎛⎭⎫23 CA ＋1
3 CB ·CA ＝23CA 2＋1
3
CB ·
CA ＝6，故选D. 5．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC ·
EM 的取值范围是( )
A.⎣⎡⎦⎤12，2
B.⎣⎡⎦
⎤0，32
C.⎣⎡⎦⎤
12，32 D.[
]0，1
解析：选C 将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x,0)，0≤x ≤1.又M ⎝⎛⎭⎫1，12，C (1,1)，所以EM ＝⎝⎛⎭⎫1－x ，1
2，EC ＝(1－x,1)，所以EM ·EC ＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12·(1－x,1)＝(1－x )2
＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤3
2
，即EM ·EC 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，32. 6．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 解析：∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1， ∴a ·b ＝|a |·|b |·cos 45°＝2
2
|b |， ∴|2a －b |2＝4－4×2
2
|b |＋|b |2＝10.∴|b |＝3 2. 答案：3 2
7．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN ―→的模为________．
解析：∵a ∥b ，∴x ＝4.∴b ＝(4，－2)，∴a ＋b ＝(6，－3)， b －c ＝(1，－2－y )．
∵(a ＋b )⊥(b －c )，∴(a ＋b )·(b －c )＝0， 即6－3(－2－y )＝0，解得y ＝－4. ∴向量MN ―→＝(－8,8)， ∴|MN |＝8 2. 答案：8 2
8．(2013·山东高考)已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB |＝3，|AC |＝2.若AP ＝λ AB ＋AC ，且AP ⊥BC ，则实数λ的值为________．
解析：BC ＝AC －AB ，由于AP ⊥BC ，所以AP ·BC ＝0，即(λAB ＋AC )·(AC
－AB )＝－2AB λ2AB ＋2
AC ＋(λ－1)AB ·AC ＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12＝0，解得λ＝7
12
.
答案：7
12
9．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )? 解：由已知得，a ·b ＝4×8×⎝⎛⎭
⎫－1
2＝－16. (1)①∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a ＋b |＝4 3. ②∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， ∴|4a －2b |＝16 3. (2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )， ∴(a ＋2b )·(k a －b )＝0， ∴k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，
即16k －16(2k －1)－2×64＝0.∴k ＝－7. 即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．
10．已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝(3cos 2A ，sin A )，n ＝(1，－sin A )，且m ⊥n . (1)求A 的大小；
(2)当AB ＝p m ，AC ＝q n (p >0，q >0)，且满足p ＋q ＝6时，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)∵m ⊥n ，∴3cos 2A －sin 2A ＝0. ∴3cos 2A －1＋cos 2A ＝0， ∴cos 2A ＝1
4
.
又∵△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝1
2，
∴A ＝π3
.
(2)由(1)可得m ＝⎝⎛⎭⎫34，3
2，
n ＝⎝
⎛⎭
⎫1，－
32. ∴|AB |＝
214p ，|AC |＝72
q .。