人教版全等三角形角平分线辅助提优专项训练试卷

人教版全等三角形角平分线辅助提优专项训练试卷
一、全等三角形角平分线辅助
1．如图1，在ABC 中，AF ，BE 分别是BAC ∠和ABC ∠的角平分线，AF 和BE 相交于D 点．
（1）求证：CD 平分ACB ∠；
（2）如图2，过F 作FP AC ⊥于点P ，连接PD ，若45ACB ∠=︒，67.5PDF ∠=︒，求证：PD CP =；
（3）如图3，若23180BAF ABE ∠+∠=︒，求证：BE BF AB AE -=-．
2．阅读资料，解决问题．
人教版《数学九年级（下册）》的30页有这样一个思考问题：
问题：如图，在ABC △中，DE BC ∥交AB ，AC 于点D ，E ，如果通过“相似的定义”证明ADE ABC △△∽？
分析：根据“两直线平行，同位角相等”容易得出三对对应角分别相等，再根据“平行线分线段成比例”的基本事实，容易得出AD AE AB AC =，所以这个问题的核心时如何证明“DE AE BC AC =”． 证明思路：过点E 作EF AB ∥交BC 于点F ，构造平行四边形BDEF ，得到DE BF =，从而将比例式中的DE ，BC 转化为共线的两条线段BF ，BC ，同时也构造了基本图形“”，得到BF AE BC AC
=，从而得证．
解决问题：
（1）①类比资料中的证明思路，请你证明“三角形内角平分线定理”．
三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
已知：如图1，ABC △中，AD 是角平分线． 求证：AB BD AC DC
=．
②运用“三角形内角平分线定理”填空：
已知：如图2，ABC △中，AD 是角平分线，7AB =，4AC =，6BC =，则BD =__________．
（2）我们知道，如果两个三角形有相同的高或者相等的高，那么它们面积的比就等于底的比．
请你通过研究ABD △和ACD 面积的比来证明三角形内角平分线定理．
已知：如图3，ABC △中，AD 是角平分线．
求证：AB BD AC DC
=．
3．如图，∠D ＝∠C ＝90°，点E 是DC 的中点，AE 平分∠DAB ，∠DEA ＝28°，求∠ABE 的大小．
4．已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝108°，BD 平分∠ABC ，求证：BC ＝AC +CD ．
5．如图，已知等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD 交BF 的延长线于点D ，试说明：BF ＝2CD ．
6．如图所示，在四边形ABCD 中，AC 平分,DAB CD CB ∠=，求证：
180B D ∠+∠=．
7．已知：如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥于D ，E 是BC 的中点，求证：()12
DE AB AC =-.
8．如图，ABC ∆的外角ACD ∠的平分线CP 与内角ABC ∠的平分线BP 交于点P ，若40BPC ∠=︒，求CAP ∠的度数．
9．如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，求证：
AB AC BD CD ->-.
10．如图所示，在ABC ∆中，AD 是它的角平分线．
求证：::ABD ACD S S AB AC ∆∆=
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一、全等三角形角平分线辅助
1．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【分析】
（1）过D 点分别作三边的垂线，垂足分别为G 、H 、K ，根据角平分线的定义可证得DG=DH=DK ，从而根据角平分线的判定定理可证得结论；
（2）作DS AC ⊥，DT BC ⊥，在AC 上取一点Q ，使QDP FDP ∠=∠，通过证明SQD TFD △≌△和QDP FDP △≌△得到22.5PDC PCD ∠=∠=︒，从而根据等角对等边判断即可；
（3）延长AB 至M ，使BM BF =，连接FM ，通过证明AFC AFM △≌△得到AC AM =，再结合CE EB =即可得出结论．
【详解】
（1）证明：如图所示，过D 点分别作三边的垂线，垂足分别为G 、H 、K ，
∵AF ，BE 分别是BAC ∠和ABC ∠的角平分线，
∴DG DH DK ==，
∴CD 平分ACB ∠；
（2）证明：如图，作DS AC ⊥，DT BC ⊥，在AC 上取一点Q ，使QDP FDP ∠=∠．
∵CD 平分ACB ∠，
∴DS DT =，
∵67.5QDP FDP ∠=∠=︒，45ACB ∠=︒，
∴13545180QDF ACB ∠+∠=︒+︒=︒，
在四边形QDFC 中，180CQD DFC ∠+∠=︒，
又∵180DFT DFC ∠+∠=︒，
∴CQD DFT ∠=∠，
在SQD 和TFD △中，
90CQD DFT DS DT
DSQ DTF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
∴SQD TFD △≌△，
∴QD FD =，
在QDP △和FDP 中
QD FD QDP FDP DP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴QDP FDP △≌△，
∴45QPD FPD ∠=∠=︒
又∵QPD PCD PDC ∠=∠+∠，22.5PCD ∠=︒，
∴22.5PDC PCD ∠=∠=︒，
∴CP PD =；
（3）证明：延长AB 至M ，使BM
BF =，连接FM ． ∵AF ，BE 分别是BAC ∠和ABC ∠的角平分线， ∴22180BAF ABE C ∠+∠+∠=︒，
又∵23180BAF ABE ∠+∠=︒，
∴C ABE CBE ∠=∠=∠，
∴CE EB =，
∵BM BF =，
∴BFM BMF ABE CBE C ∠=∠=∠=∠=∠，
在AFC △和AFM △中，
C BMF CAF BAF AF AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴AFC AFM △≌△，
∴AC AM =，
∴AE CE AB BM +=+，
∴AE BE AB BF +=+，
∴BE BF AB AE -=-．
【点睛】
本题考查角平分线的性质与判断，以及全等三角形的判定与性质，灵活结合角平分线的性质构造辅助线是解题关键．
2．（1）①证明见解析②
4211
（2）证明见解析 【解析】
【分析】
（1）①如图过点C 作AB 的平行线交AD 的延长线于点E ，然后说明ADB EDC △∽△，利用相似三角形的性质即可完成证明;②设BD x =,然后利用（1）的结论和已知条件即可完成解答; （2）过点D 作AB ，AC 的垂线，垂足为M 、N ，
过点A 作BC 的垂线，垂足为H ;先利用角平分线定理说明DM DN =，然后再利用等面积法得到11:::22ABD ADC S S AB MD AC DN AB AC =⋅⨯=△△和11:::22
ABD ADC S S BD AH OC AH BD DC =⋅⋅=△△，从而得到::AB AC BD DC =，即AB BD AC DC
=. 【详解】
（1）①证明：过点C 作AB 的平行线交AD 的延长线于点E ，
∴1E ∠=∠，
又∵AD 平分BAC ∠，
∵12∠=∠，
∴2E ∠=∠，
∴AC CE =，
又∵34∠=∠，
∴ADB EDC △∽△， ∴AB BD CE DC =， ∴AB BD AC DC
=． ②设BD x =，
∴6DC x =-，
又∵
AB BD AC DC =， ∴746x x
=-， ∴4427x x =-，
∴1142x =，
42x 11
=．
（2）过点D 作AB ，AC 的垂线，垂足为M 、N ，
过点A 作BC 的垂线，垂足为H ，
∵AD 为BAC ∠的角分线，
∴DM DN =， 11:::22
ABD ADC S S AB MD AC DN AB AC =⋅⨯=△△， 又∵11:::22
ABD ADC S S BD AH OC AH BD DC =⋅⋅=△△， ∴::AB AC BD DC =，
∴
AB BD AC DC
=． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的知识，其中运用等面积法、相似三角形的性质和证明、做辅助线均是解答本题的关键.
3．28°
【分析】
过点E 作EF ⊥AB 于F ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF ，根据线段中点的定义可得DE=CE ，然后求出CE=EF ，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE 平分∠ABC ，即可求得∠ABE 的度数．
【详解】
如图，过点E 作EF ⊥AB 于F ，
∵∠D=∠C=90°，AE 平分∠DAB ，
DE=EF ，
∵E 是DC 的中点，
∴DE=CE ，
∴CE=EF ，
又∵∠C=90°，
∴点E 在∠ABC 的平分线上，
∴BE 平分∠ABC ，
又∵AD ∥BC ，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴∠AEB=90°，
∴∠BEC=90°-∠AED=62°，
∴Rt △BCE 中，∠CBE=28°，
∴∠ABE=28°．
考查了平行线的性质与判定、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，解题关键是熟记各性质并作出辅助线．
4．见解析
【分析】
在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．则只需证明CD ＝CE 即可．结合角度证明∠CDE ＝∠CED ．
【详解】
证明：在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD ＝∠EBD 12
=∠ABC ． 在△ABD 和△EBD 中，
BE BA ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABD ≌△EBD ．（SAS ）
∴∠BED ＝∠A ＝108°，∠ADB ＝∠EDB ．
又∵AB ＝AC ，∠A ＝108°，∠ACB ＝∠ABC 12
=
⨯（180°﹣108°）＝36°， ∴∠ABD ＝∠EBD ＝18°．
∴∠ADB ＝∠EDB ＝180°﹣18°﹣108°＝54°．
∴∠CDE ＝180°﹣∠ADB ﹣∠EDB
＝180°﹣54°﹣54°
＝72°．
∴∠DEC ＝180°﹣∠DEB
＝180°﹣108°
＝72°．
∴∠CDE ＝∠DEC ．
∴CD ＝CE ．
∴BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，添加恰当辅助线是本题的关键． 5．见解析
作BF 的中点E ，连接AE 、AD ，根据直角三角形得到性质就可以得出AE ＝BE ＝EF ，由BD 平分∠ABC 就可以得出∠ABE ＝∠DBC ＝22.5°，从而可以得出∠BAE ＝∠BAE ＝∠ACD ＝22.5°，∠AEF ＝45°，由∠BAC ＝90°，∠BDC ＝90°就可以得出A 、B 、C 、D 四点共圆，求出AD ＝DC ，证△ADC ≌△AEB 推出BE ＝CD ，从而得到结论．
【详解】
解：取BF 的中点E ，连接AE ，AD ，
∵∠BAC ＝90°，
∴AE ＝BE ＝EF ，
∴∠ABD ＝∠BAE ，
∵CD ⊥BD ，
∴A ，B ，C ，D 四点共圆，
∴∠DAC ＝∠DBC ，
∵BF 平分∠ABC ，
∴∠ABD ＝∠DBC ，
∴∠DAC ＝∠BAE ，
∴∠EAD ＝90°，
∵AB ＝AC ，
∴∠ABC ＝45°，
∴∠ABD ＝∠DBC ＝22.5°，
∴∠AED ＝45°，
∴AE ＝AD ，
在△ABE 与△ADC 中，
ABE DAC BAE ACD AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△ADC ，
∴BE ＝CD ，
∴BF ＝2CD ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，直角三角形的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
6．详见解析
【解析】
【分析】
过点C 分别作CE AB ⊥于E ，CF AD ⊥于F ，由条件可得出△CDF ≌△CEB ，可得∠B=∠FDC ，进而可证明∠B+∠ADC=180°．
【详解】
证明：过点C 分别作CE AB ⊥于E ，CF AD ⊥于F ，
∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF AD ⊥于F ，
∴CF=CE ，
在Rt △CDF 与Rt △CEB 中，CF=CE CD=CB ⎧⎨⎩
∴CBE CDF ∆∆≌，
CBE CDF ∴∠=∠，
180ADC CDF ∠+∠=︒，
A C 180
B D ∴∠+∠=︒ .
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL 证明△CDF ≌△CEB 进而得出∠B=∠FDC ．
7．见解析.
【解析】
【分析】
延长CD 交AB 于点F ，然后利用“角边角”证明△ADC 和△ADF 全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=DF ，AC=AF ，再根据三角形的中位线定理进行证明即可.
【详解】
如图，延长CD 交AB 于点F ，
∵AD 平分∠BAC ，
∴∠CAD=∠FAD ，
∵CD ⊥AD ，
∴∠ADC=∠ADF=90°，
又AD ＝AD
∴△ADC ≌△ADF(ASA)，
∴CD=DF ，AC=AF ，
∵点E 是BC 的中点，
∴DE 是△BCF 的中位线，
∴DE=12
BF ，
∵BF=AB-AF=AB-AC ，
∴DE=12
(AB-AC)．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，作辅助线并证明DE 是三角形的中位线是解题的关键．
8．50°
【解析】
【分析】
根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP ，即可得出答案．
【详解】
延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，
设∠PCD=x°，
∵CP 平分∠ACD ，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN ，
∵BP 平分∠ABC ，
∴∠ABP=∠PBC ，PF=PN ，
∴PF=PM ，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=(x-40)°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°，
∴∠CAF=100°，
在Rt △PFA 和Rt △PMA 中，
PA PA PM PF =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △PFA ≌Rt △PMA(HL)，
∴∠CAP=∠FAP ，
又∵∠CAP+∠PAF=∠CAF ，
∴∠CAP =50°．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF 是解决问题的关键．
9．详见解析
【解析】
【分析】
可以在AB 上截取AE=AC ，构造三角形全等，再结合三角形三边关系可证得结论．
【详解】
在AB 上截取AE=AC ，
则BE=AB-AC ，
在△AED 和△ACD 中，
AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AED ≌△ACD(SAS)，
∴DE=DC ，
在△BDE 中，BD-DE ＜BE(三角形两边之差小于第三边)，
∴BE>BD-CD ，
即AB-AC>BD-CD.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，构造三角形全等是解题的关键． 10．证明见解析．
【分析】
根据AD 平分∠BAC ，作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，由角平分线性质可知DE=DF ，△ABD 与△ACD 等高，面积比即为底边的比．
【详解】
证明：作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足为E 、F ，∵AD 平分∠BAC ，∴DE=DF ，
∴S△ABD：S△ACD=（1
2×AB×DE）：（
1
2
×AC×DF）=AB：AC．
考点：1．角平分线的性质；2．三角形的面积．。