稷山县第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
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稷山县第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1. 与向量=(1,﹣3,2)平行的一个向量的坐标是(
)
A .(,1,1)
B .(﹣1,﹣3,2)
C .(﹣,,﹣1)
D .(,﹣3,﹣2
)
2. 如图,已知双曲线
﹣
=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,|F 1F 2|=4,P 是双曲线右支上一点,
直线PF 2交y 轴于点A ,△AF 1P 的内切圆切边PF 1于点Q ,若|PQ|=1,则双曲线的渐近线方程为(
)
A .y=±x
B .y=±3x
C .y=±x
D .y=±x
3. 若函数()()22f x x πϕϕ⎛
⎫=+< ⎪⎝
⎭的图象关于直线12x π=对称,且当
1217212
3x x π
π⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭,,,12x x ≠时,()()12f x f x =,则()12f x x +等于(
)
A B
D 4. 执行如图所示的程序框图,若a=1,b=2,则输出的结果是(
)
A .9
B .11
C .13
D .15
5. 已知抛物线:的焦点为,定点,若射线与抛物线交于点,与抛C 2
4y x =F (0,2)A FA C M 物线的准线交于点,则的值是( )
C N ||:||MN FN
A .
B .
C .
D 2)-21:(16. 如图,棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,M 为线段A 1B 上的动点,则下列结论正确的有( )
①三棱锥M ﹣DCC 1的体积为定值
②DC 1⊥D 1M
③∠AMD 1的最大值为90° ④AM+MD 1的最小值为2.
A .①②
B .①②③
C .③④
D .②③④
7. 已知空间四边形,、分别是、的中点,且,,则( )
ABCD M N AB CD 4AC =6BD =A .
B .
C .
D .15MN <<210MN <<15MN ≤≤25
MN <<8. 如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA ,OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是(
)
A .1﹣
B .﹣
C .
D .
9. 下列函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的函数为( )
A .y=sinx
B .y=1g2x
C .y=lnx
D .y=﹣x 3
【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.【专题】函数的性质及应用.
【分析】根据正弦函数的单调性,对数的运算,一次函数的单调性,对数函数的图象及单调性的定义即可判断每个选项的正误,从而找出正确选项.10.已知向量=(1,
),=(
,x )共线,则实数x 的值为(
)
A .1
B .
C . tan35°
D .tan35°
11.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是(
)
A .
B .
C .
D .
12.若动点分别在直线: 和:上移动,则中点所),(),(2211y x B y x A 、011=-+y x 2l 01=-+y x AB M 在直线方程为( )
A .
B .
C .
D .
06=--y x 06=++y x 06=+-y x 06=-+y x 二、填空题
13.设,在区间上任取一个实数,曲线在点处的切线斜率为,则随机()x x
f x e
=
[0,3]0x ()f x ()00,()x f x k 事件“”的概率为_________.
0k <14.【南通中学2018届高三10月月考】定义在
上的函数
满足
,
为
的导函数,且
对恒成立,则的取值范围是__________________.
15.【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f (x )=,若函数y=f (f ()
210{ 21(0)
x
x
x e x x x +≥++<(x )﹣a )﹣1有三个零点,则a 的取值范围是_____.
16.在中,已知,则此三角形的最大内角的度数等ABC ∆sin :sin :sin 3:5:7A B C =于__________.
17.已知椭圆中心在原点,一个焦点为F (﹣2,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是
.
18.已知α为钝角,sin (+α)=,则sin (
﹣α)= .
三、解答题
19.(本小题满分12分)已知在中,角所对的边分别为且ABC ∆C B A ,,,,,c b a .
)3(sin ))(sin (sin c b C a b B A -=-+
(Ⅰ)求角的大小;
A
(Ⅱ) 若,,求.2a =ABC ∆c b ,
20.(本小题满分12分)已知函数,数列满足:,().21
()x f x x +=
{}n a 12a =11n n a f a +⎛⎫= ⎪⎝⎭
N n *∈(1)求数列的通项公式;
{}n a (2)设数列的前项和为,求数列的前项和.
{}n a n n S 1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
n n T 【命题意图】本题主要考查等差数列的概念,通项公式的求法,裂项求和公式,以及运算求解能力.
21.【泰州中学2018届高三10月月考】已知函数.
()(),,x
f x e
g x x m m R ==-∈(1)若曲线与直线相切,求实数的值;()y f x =()y g x =m (2)记,求在上的最大值;()()()
h x f x g x =⋅()h x []0,1(3)当时,试比较与的大小.
0m =()
2f x e
-()g x
22.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数.
3212)(-++=x x x f (I )若,使得不等式成立,求实数的最小值;R x ∈∃0m x f ≤)(0m M (Ⅱ)在(I )的条件下,若正数满足,证明:
.,a b 3a b M +=313b a
+≥23.(本题满分12分)如图1在直角三角形ABC 中,∠A=90°,AB=2,AC=4,D ,E 分别是AC ,BC 边上的中点,M 为CD 的中点,现将△CDE 沿DE 折起,使点A 在平面CDE 内的射影恰好为M .(I )求AM 的长;
(Ⅱ)求面DCE 与面BCE 夹角的余弦值.
24.已知函数f(x)=lnx+ax2+b(a,b∈R).
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1处的切线为y=﹣1,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求证:对任意给定的正数m,总存在实数a,使函数f(x)在区间(m,+∞)上不单调;
(Ⅲ)若点A(x1,y1),B(x2,y2)(x2>x1>0)是曲线f(x)上的两点,试探究:当a<0时,是否存在实数x0∈(x1,x2),使直线AB的斜率等于f'(x0)?若存在,给予证明;若不存在,说明理由.
稷山县第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参考答案)一、选择题
1.【答案】C
【解析】解:对于C中的向量:(﹣,,﹣1)=﹣(1,﹣3,2)=﹣,
因此与向量=(1,﹣3,2)平行的一个向量的坐标是.
故选:C.
【点评】本题考查了向量共线定理的应用,属于基础题.
2.【答案】D
【解析】解:设内切圆与AP切于点M,与AF1切于点N,
|PF1|=m,|QF1|=n,
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a,即有m﹣(n﹣1)=2a,①
由切线的性质可得|AM|=|AN|,|NF1|=|QF1|=n,|MP|=|PQ|=1,
|MF2|=|NF1|=n,
即有m﹣1=n,②
由①②解得a=1,
由|F1F2|=4,则c=2,
b==,
由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x,
即有渐近线方程为y=x.
故选D.
【点评】本题考查双曲线的方程和性质,考查切线的性质,运用对称性和双曲线的定义是解题的关键.
3.【答案】C
【解析】
考
点:函数的图象与性质.
【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质,涉及数形结合思想、函数与方程思想、转化化归思想,考查逻辑推理能力、化归能力和计算能力,综合程度高,属于较难题型.首先利用数形结合思想和转化化归思想可得
()2122k k ππϕπ⨯
+=
+∈Z ,解得3π
ϕ=
,从而()23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭,再次利用数形结合思想和转化化归思想
可得()()()()1122x f x x f x ,,,关于直线1112x π=-对称,可得12116
x x π
+=-,从而
()12113
3f x x ππ⎛⎫
+=-+=
⎪⎝⎭.4. 【答案】C
【解析】解:当a=1时,不满足退出循环的条件,故a=5,当a=5时,不满足退出循环的条件,故a=9,当a=9时,不满足退出循环的条件,故a=13,当a=13时,满足退出循环的条件,故输出的结果为13,故选:C
【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答.
5. 【答案】D 【解析】
考点:1、抛物线的定义;2、抛物线的简单性质.
【方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质,属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关,解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化:(1)将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离;(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,使问题M
得到解决.本题就是将到焦点的距离转化为到准线的距离后进行解答的.
6.【答案】A
【解析】解:①∵A1B∥平面DCC1D1,∴线段A1B上的点M到平面DCC1D1的距离都为1,又△DCC1的面积
为定值,因此三棱锥M﹣DCC1的体积V==为定值,故①正确.
②∵A1D1⊥DC1,A1B⊥DC1,∴DC1⊥面A1BCD1,D1P⊂面A1BCD1,∴DC1⊥D1P,故②正确.
③当0<A1P<时,在△AD1M中,利用余弦定理可得∠APD1为钝角,∴故③不正确;
④将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形,线段AD1即为AP+PD1的最小值,
在△D1A1A中,∠D1A1A=135°,利用余弦定理解三角形得AD1==<2,故④不正确.
因此只有①②正确.
故选:A .
7. 【答案】A 【解析】
试题分析:取的中点,连接,,根据三角形中两边之和大于第三边,两边之BC E ,ME NE 2,3ME NE ==差小于第三边,所以,故选A .
15MN <<
考点:点、线、面之间的距离的计算.1
【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的位置关系及其应用,其中解答中涉及三角形的边与边之间的关系、三棱锥的结构特征、三角形的中位线定理等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及转化与化归思想的应用,本题的解答中根据三角形的两边之和大于第三边和三角形的两边之差小于第三边是解答的关键,属于基础题.8. 【答案】A
【解析】解:设扇形的半径为r ,则扇形OAB 的面积为
,
连接OC ,把下面的阴影部分平均分成了2部分,然后利用位移割补的方法,分别平移到图中划线部分,则阴
影部分的面积为:
﹣
,
∴此点取自阴影部分的概率是.
故选A .
9.【答案】B
【解析】解:根据y=sinx图象知该函数在(0,+∞)不具有单调性;
y=lg2x=xlg2,所以该函数是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,所以选项B正确;
根据y=lnx的图象,该函数非奇非偶;
根据单调性定义知y=﹣x3在(0,+∞)上单调递减.
故选B.
【点评】考查正弦函数的单调性,对数的运算,以及一次函数的单调性,对数函数的图象,奇偶函数图象的对称性,函数单调性的定义.
10.【答案】B
【解析】解:∵向量=(1,),=(,x)共线,
∴x====,
故选:B.
【点评】本题考查了向量的共线的条件和三角函数的化简,属于基础题.
11.【答案】A
【解析】解:几何体如图所示,则V=,
故选:A.
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积,正确得出直观图是解答的关键.
12.【答案】D
【解析】
考
点:直线方程
二、填空题
13.【答案】
35
【解析】解析:本题考查几何概率的计算与切线斜率的计算.
,由得,,∴随机事件“”的概率为.0
001()x x k f x e -'==
0()0f x '<01x >0k <2
3
14.【答案】
【解析】点
睛:函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。
某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关,但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质,那么运用函数的单调性解题,能起到化难为易、化繁为简的作用。
因此对函数的单调性进行全面、准确的认识,并掌握好使用的技巧和方法,这是非常必要的。
根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧。
许多问
题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效。
15.【答案】1
1[133e
e ⎧⎫+⋃+⎨⎬
⎩
⎭
,)【解析】当x <0时,由f (x )﹣1=0得x 2+2x+1=1,得x=﹣2或x=0
,
当x ≥0时,由f (x )﹣1=0得
,得x=0,110x x
e
+-=由,y=f (f (x )﹣a )﹣1=0得f (x )﹣a=0或f (x )﹣a=﹣2,即f (x )=a ,f (x )=a ﹣2,作出函数f (x )的图象如图:
y=
≥1(x ≥0),1x x
e +y ′=,当x ∈(0,1)时,y ′>0,函数是增函数,x ∈(1,+∞)时,y ′<0,函数是减函数,
1x
x e
-x=1时,函数取得最大值:,
1
1e
+当1<a ﹣2时,即a ∈(3,3+)时,y=f (f (x )﹣a )﹣1有4个零点,
11e <+1
e 当a ﹣2=1+时,即a=3+时则y=
f (f (x )﹣a )﹣1有三个零点,
1e 1
e 当a >3+时,y=
f (f (x )﹣a )﹣1有1个零点
1
e 当a=1+时,则y=
f (f (x )﹣a )﹣1有三个零点,
1
e 当时,即a ∈(1+,3)时,y=
f (f (x )﹣a )﹣1有三个零点.
11{ 21
a e a >+-≤1e
综上a ∈,函数有3个零点.1
1[133e
e ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩
⎭
,)故答案为:.
11[133e
e ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩
⎭
)点睛:已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.16.【答案】120
【解析】
考
点:解三角形.
【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题,其中解答中涉及到三角形的正弦定理、余弦定理的综合应用,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,属于基础题,本题的解答中根据
,根据正弦定理,可设,即可利用余弦定理求解最大角的余弦,
sin :sin :sin 3:5:7A B C =3,5,7a b ===熟记正弦、余弦定理的公式是解答的关键.17.【答案】 .
【解析】解:已知∴∴为所求;
故答案为:
【点评】本题主要考查椭圆的标准方程.属基础题.
18.【答案】 ﹣ .
【解析】解:∵sin (+α)=,
∴cos (
﹣α)=cos[
﹣(
+α)]
=sin (+α)=,
∵α为钝角,即<α<π,
∴<
﹣
,
∴sin (﹣α)<0,
∴sin (﹣α)=﹣
=﹣
=﹣
,
故答案为:﹣
.【点评】本题考查运用诱导公式求三角函数值,注意不同角之间的关系,正确选择公式,运用平方关系时,必须注意角的范围,以确定函数值的符号.
三、解答题
19.【答案】解:(Ⅰ)由正弦定理及已知条件有, 即. 3分
2223c bc a b -=
-bc a c b 3222=-+ 由余弦定理得:,又,故. 6分2
32cos 222=
-+=bc a c b A ),0(π∈A 6π=A
(Ⅱ) ,①, 8分
ABC ∆3sin 2
1
=∴A bc 34=∴bc 又由(Ⅰ)及得,② 10分
2223c bc a b -=-,2=a 1622=+c b 由 ①②解得或. 12分
32,2==c b 2,32==c b 20.【答案】
【解析】(1)∵,∴. 211()2x f x x x +=
=+11
(2n n n
a f a a +==+即,所以数列是以首项为2,公差为2的等差数列, 12n n a a +-={}n a ∴. (5分)
1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=(2)∵数列是等差数列,
{}n a ∴,1()(22)(1)22
n n a a n n n
S n n ++=
==+∴. (8分)1111(1)1
n S n n n n ==-
++
∴1231111n n T S S S S =
++++ 11111111(()()()1223341
n n =-+-+-++-+ . (12分)111n =-+1
n
n =
+21.【答案】(1);(2)当时,;当时,;
1m =-1e m e <-()()max 1h x m e =-1
e
m e ≥-()max h x m =-(3).
()
()2f x e g x ->【解析】试题分析:(1)研究函数的切线主要是利用切点作为突破口求解;(2)通过讨论函数在定义域内的单调性确定最值,要注意对字母m 的讨论;(3)比较两个函数的大小主要是转化为判断两个函数的差函数的符号,然后转化为研究差函数的单调性研究其最值.
试题解析:(1)设曲线与相切于点,()x
f x e =()
g x x m =-()00,P x y 由,知,解得,
()x f x e '=01x
e =00x =又可求得点为,所以代入,得.
P ()0,1()g x x m =-1m =-(2)因为,所以.()()x
h x x m e =-()()()()
[]1,0,1x x x h x e x m e x m e x =+-=∈'--①当,即时,,此时在上单调递增,10m -≤1m ≤()0h x '≥()h x []0,1所以;
()()()max 11h x h m e ==-②当即,当时,单调递减,011m <-<12m <<()0,1x m ∈-()()0,h x h x '<当时,单调递增,.
()1,1x m ∈-()()0,h x h x '>()()()0,11h m h m e =-=-(i )当,即时,;()1m m e -≥-21
e
m e ≤<-()()max 0h x h m ==-(ii )当,即时,;
()1m m e -<-11
e
m e <<-()()()max 11h x h m e ==-③当,即时,,此时在上单调递减,
11m -≥2m ≥()0h x '≤()h x []0,1所以.()()min 0h x h m ==-综上,当时,;1
e
m e <-()()max 1h x m e =-当时,.1
e
m e ≥
-()max h x m =-(3)当时,,
0m =()
()2
2,x f x e e e g x x --==①当时,显然;
0x ≤()
()2f x e g x ->②当时,,
0x >()
()2
22ln ln ,ln ln x f x e
x e
e e g x x ---===
记函数,()221
ln ln x x x e x e x e
φ-=-=
⨯-则,可知在上单调递增,又由知,在
()22111
x x x e e e x x
φ-=⨯-=-'()x φ'()0,+∞()()10,20φφ''()x φ'上有唯一实根,且,则,即(*),
()0,+∞0x 012x <<()020010x x e x φ--'==020
1
x e x -=当时,单调递减;当时,单调递增,()00,x x ∈()()0,x x φφ'<()0,x x ∈+∞()()0,x x φφ'>所以,
()()02
00ln x x x e x φφ-≥=-结合(*)式,知,02
1
x e
x -=
002ln x x -=-所以,()()()2
200000000
1211
20x x x x x x x x x φφ--+≥=+-==>则,即,所以.
()2
ln 0x x e x φ-=->2
ln x e x ->2
x e e
x ->综上,.
()
()2f x e
g x ->试题点睛:本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、最值基本思路,当比较两个函数大小的时候,就转化为两个函数的差的单调性,进一步确定最值确定符号比较大小.22.【答案】
【解析】
【命题意图】本题考查基本不等式、绝对值三角不等式等基础知识,意在考查转化思想和基本运算能力.
23.【答案】解:(I )由已知可得AM ⊥CD ,又M 为CD 的中点,∴
; 3分
(II )在平面ABED 内,过AD 的中点O 作AD 的垂线OF ,交BE 于F 点,
以OA为x轴,OF为y轴,OC为z轴建立坐标系,
可得
,∴,,5分
设为面BCE的法向量,由可得=(1,2,﹣),
∴cos<,>==,∴面DCE与面BCE夹角的余弦值为4分
24.【答案】
【解析】解:(Ⅰ)由已知得解得…
此时,(x>0).
令f'(x)=0,得x=1,f(x),f'(x)的变化情况如下表:
x(0,1)1(1,+∞)
f'(x)+0﹣
f(x)单调递增极大值单调递减
所以函数f(x)的增区间为(0,1),减区间为(1,+∞).…
(Ⅱ)(x>0).
(1)当a≥0时,f'(x)>0恒成立,此时,函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,不合题意,舍去.…(2)当a<0时,令f'(x)=0,得,f(x),f'(x)的变化情况如下表:
x
(0,)(,+∞)
f'(x)+0﹣
f(x)单调递增极大值单调递减
所以函数f(x)的增区间为(0,),减区间为(,+∞).…
要使函数f(x)在区间(m,+∞)上不单调,须且只须>m,即.
所以对任意给定的正数m,只须取满足的实数a,就能使得函数f(x)在区间(m,+∞)上不
单调.…
(Ⅲ)存在实数x0∈(x1,x2),使直线AB的斜率等于f'(x0).…
证明如下:令g(x)=lnx﹣x+1(x>0),则,
易得g(x)在x=1处取到最大值,且最大值g(1)=0,即g(x)≤0,从而得lnx≤x﹣1.(*)…
由,得.…
令,,则p(x),q(x)在区间[x1,x2]上单调递增.
且,
,
结合(*)式可得,,
.
令h(x)=p(x)+q(x),由以上证明可得,h(x)在区间[x1,x2]上单调递增,且h(x1)<0,h(x2)>0,…
所以函数h(x)在区间(x1,x2)上存在唯一的零点x0,
即成立,从而命题成立.…
(注:在(Ⅰ)中,未计算b的值不扣分.)
【点评】本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用,考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想.。